2. Der Phasenregelkreis (PLL = Phase Locked Loop)
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- Kevin Schwarz
- vor 10 Jahren
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1 . Der Phasenregelkreis (PLL = Phase Locked Loop). PLL-Grundlagen. Stationäres Verhalten.3 Nachführverhalten hrverhalten.4 Rauschverhalten.5 Phasendetektoren: Realisierungsaspekte W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9 -
2 . PLL-Grundlagen Ein Phasenregelkreis (engl.: Phase Locked Loop = PLL) ist eine rückgekoppelte Schaltungsanordnung zur Erzeugung eines periodischen Signals, dessen Phase der Phase eines (meist gestörten) Referenzsignals folgt. Bezeichnungen: PLL Eingangssignal: ( ) ( ) ( ) ( ) sin ω ϕ ( ) ( ) = cos ω + ϕ ( ) s t = A t+ t + w t HF HF PLL Ausgangssignal: shf t A t t w HF bezeichnet weißes Gausches Rauschen ω bezeichnet eine Trägerfrequenz Anm.: Ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit kann ω eine beliebige Frequenz sein: Sei ω die tatsächliche Trägerfrequenz des Empfangssignals und Δω = ω ω die Differenzfrequenz zu ω, dann ist Δωt additiver Bestandteil der Phase ϕ. W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9 -
3 Beispiel für f r einen Phasendetektor s HF Tiefpass v s HF ( ) ( ) sin ( ) ( ω ϕ ) cos( ω ϕ ( )) s t s t = AA t+ t t+ t HF HF AA shf () t shf () t = () t () t + t+ t + t sin(ϕ ϕ ) ist typischer Weise ein Tiefpasssignal mit einer oberen Grenzfrequenz, die wesentlich kleiner als die Trägerfrequenz ω ist, so dass der hochfrequente Anteil in dem Produkt mittels einfacher Tiefpassfilterung eliminiert werden kann. Nach Tiefpassfilterung erhält man ( ) ( sin( ϕ ϕ ) sin( ω ϕ () ϕ ())) Additionstheorem aus der Trigonometrie: sinα cos β = sin( α β) + sin( α + β) v A A ( ) () t = sin ϕ () t ϕ () t v ϕ ϕ W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-3
4 Blockschaltung eines PLL s HF PD F(s) VCO v u Phasendetektor Schleifenfilter gesteuerter Oszillator s HF ( ) ( ) ( ) () sin ω ϕ ( ) () = cos ω + ϕ ( ) s t = A t+ t + w t HF HF s t A t t HF PD detektiert Phasendifferenz: v = f (ϕ ϕ ) (oft nicht-linear) v Schleifenfilter: unterdrückt Störungen Entwurfskompromiss: Dynamik gegen Störunterdrückung Gesteuerter Oszillator (VCO = Voltage Controlled Oscillator): Generiert periodisches Signal mit der Frequenz ω () t = ω + K u() t ω bezeichnet man als Ruhe-Kreisfrequenz des VCO. ω ω ϕ ϕ u W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-4
5 Aufgaben eines PLL Der PLL ist ein wesentlicher Grundbaustein zur Synchronisation in Trägerfrequenzsystemen Typische Probleme in Nachrichtenempfängern: Synchronisationsparameter (Frequenz, Phase, Takt) sind stark gestört Oszillatoren unterliegen Fertigungsstreuungen, Temperaturschwankungen, Alterungen, usw. Folge: geschätzte Synchronisationsparameter weichen vom Sollwert ab und können sich zeitlich ändern (sowohl im Sender wie im Empfänger) PLL-Lösungsansatz: Kopplung des Oszillatorsignals im Empfänger an Frequenz und Phase der Trägerfrequenz bzw. der Symbolfolge des Empfangssignals Wirkung wie extrem schmalbandiger Bandpass Warum PLL statt Bandpass? (fast) beliebig kleine Bandbreiten realisierbar hohe Störunterdrückung liefert Signal auch bei Ausfall des Empfangssignals Mittenfrequenz ist einfach durchzustimmen Anwendungen: Frequenzsynchronisation Taktsynchronisation Frequenzsynthese W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-5
6 Nachführeigenschaft hreigenschaft und Filterfunktion des PLL H( f, t ) Zeitpunkt: t t PLL-Übertragungsfunktion Trägerfrequenz des Empfangssignals f f f W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-6
7 Phasenersatzschaltung eines PLL in HF-Darstellung: ϕ HF + Δϕ NL v F(s) Nichtlinearität Schleifenfilter u K ω ω dt ϕ HF in äquivalenter Basisbandsignaldarstellung: NL F(s) ϕ Δϕ v u Schleifenfilter + f NL (Δϕ) K dt ϕ mit ϕ = ϕ HF ω t und ϕ = ϕ HF ω t ω = Ruhe-Kreisfrequenz des VCOs W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-7
8 Lineares Ersatzschaltbild eines PLL Linearisierung: df Δϕ KD = dδ NL ( ) ϕ ϕ Δ ϕ = + Δϕ K D v G (s) F(s) u K s ϕ Übertragungsfunktionen des linearisierten PLL: Φ ( s) F( s) st offener Regelkreis: G() s = = KK mit Φ D ( s) ( ) = ϕ( t) e dt ΔΦ s s geschlossener Regelkreis: Φ ( s) Φ() s Φ() s ΔΦ() s G() s Führungsfrequenzgang: H() s = = = = Φ() s Φ () s +ΔΦ () s Φ () s + G s + K ( ) ΔΦ ( s) KDF s H() s = s + K K F s ΔΦ s Φ s Φ s Fehlerfrequenzgang: E() s = = = H() s = Φ s Φ s + G s ( ) ( ) D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-8
9 Bezeichnungen: PLL erster Ordnung: F(s) enthält keine Polstelle PLL zweiter Ordnung: F(s) enthält eine Polstelle PLL n-ter Ordnung: F(s) enthält n- Polstellen Anmerkung: Die Ordnung sagt noch nichts darüber aus, wo die Pole liegen. Insbesondere müssen sie nicht bei s = liegen. W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-9
10 . Der Phasenregelkreis (PLL = Phase Locked Loop). PLL-Grundlagen. Stationäres Verhalten.3 Nachführverhalten hrverhalten.4 Rauschverhalten.5 Phasendetektoren: Realisierungsaspekte W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9 -
11 . Stationäres Verhalten des PLL: Δϕ für f r t Eigenschaft der Laplace-Transformation: lim f ( t) = lim s F( s) mit st F s f t e dt () () = ( t) s ( s) s E( s) ( s) limδ ϕ = lim ΔΦ = lim Φ t s s s = lim Φ s s+ K K F s D t s als Laplace-Transformierte von f ( ) () s. Phasensprung: ϕ für t > ϕ ϕ() t = Φ ( s) = für t < s s ϕ limδ ϕ() t = lim t s s+ K K F s D ( ) ϕ ϕ = nur für F(s = ) > t Phasensprünge werden ausgeregelt, wenn F(s) keine Nullstelle bei s = besitzt W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9 -
12 Stationäres Verhalten des PLL: Δϕ für f r t. Phasenrampe (Frequenzsprung): ϕ Δ ωt für t> Δω = Φ = für t < s () t ( s) Δω Δω limδ ϕ() t = lim = t s s+ K K F s K K F ( ) ( ) D D ϕ Δω = nur für F(s = ) = t Frequenzsprünge werden ausgeregelt, wenn F(s) mindestens eine Polstelle bei s = besitzt. 3. Frequenzrampe: Δ ωt für t ω ϕ() t > Δ = Φ () s = 3 für t < s Δω lim Δ ϕ() t = lim = lim ss ( + KKFs ( )) KKDsF( s) t s s D Δω ϕ = nur für sf(s = ) = t Frequenzrampen werden ausgeregelt, wenn F(s) mindestens zwei Polstellen bei s = besitzt. W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9 -
13 . Der Phasenregelkreis (PLL = Phase Locked Loop). PLL-Grundlagen. Stationäres Verhalten.3 Nachführverhalten hrverhalten.4 Rauschverhalten.5 Phasendetektoren: Realisierungsaspekte W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-3
14 Nachführverhalten hrverhalten eines linearen PLL. Ordnung + st Schleifenfilter: F () s = mit T T st ( ) PLL-Übertragungsfunktion: H () s F s = K K D s + K K F s = D ( ) + st KK D st + KK st D + KK = T übliche Darstellung des Nennerpolynoms: D ( ) + st T K K s + K K s+ D D T T s + DωEs+ ωe mit D = Dämpfungsfaktor und ω E = π f E = Eigenfrequenz Koeffizientenvergleich liefert: () H s = K K T KK T D = = D D ω E = T T ( s ω ) + D s E ω E + D s ω + E ω E W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-4
15 Beispiele für f r Schleifenfilter Schaltung Übertragungsfunktion filterlos u u F( s ) = F(jω) ω pass. PI-Regler akt. PI-Regler R u R C u R C R + u u = + st + st ( ) F s mit T = RC T = R + R C ( ) + st st ( ) = F s mit T = RC T = R C F(jω) log T T T T T T F(jω) log T ω log ω log W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-5
16 Übertragungsfrequenzgang eines PLL. Ordnung; Parameter: D =.3,.5,.77,, 5 H(f) [db] D = f/f E W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-6
![77,, 5 H(f) [db] -5 - -5 D =.](/docs-images/44/14078998/images/page_16.jpg "3 - - - f/f E W.")
17 Fehlerfrequenzgang eines PLL. Ordnung; Parameter: D =.3,.5,.77,, - D =.3 E(f) [db] f/f E W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-7
18 Berechnung der Impulsantwort h(τ) = inverse Laplace-Transformierte von H(s) Berechnung mit Hilfe von Transformations-Tabellen Zur Anwendung kommen hier die folgenden Korrespondenzen F ( s ) = β s + α β s + α ( ) s + α + β ( ) s + α + β ( ) s + α β ( ) s + α β f ( t ) = e αt sin βt e αt cosβt e αt sinh βt e αt cosh βt. Umformung von H(s) für 3 Fälle: D <, D =, D >. Korrespondenzen der Tabelle entnehmen 3. Ausdrücke zur kompakten Darstellung zusammenfassen W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-8
19 Zeitfunktionen eines PLL. Ordnung Bezeichnungen: Impulsantwort: Sprungantwort: W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9 = D und c= DωEt ωee ( DcosβωEt csin βωet) für D< ωet himp () t = ωee ( ωet) für D= DωEt βωet βωet ω (( ) ( ) ) für D Ee c+ D e c D e > D Et D ω e cosβωet sin βωet für D< β ωet hstep () t = e ( ωet) für D= DωEt c+ D βωet c D βωet e e e für D> D+ β D β Dω sin Et βωet t e für D < βωet ωet hramp t = t e für D= DωEt c D βωet c D + βωet t e e e ω für D > E ( D+ β) ( D β) Rampenantwort: () ( ) β D D -9
20 Sprungantwort eines PLL. Ordnung; Parameter D =.3,.5,.77,,.5 D =.3 h Step t*f E W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9 -
21 Asymptotisches Verhalten der Sprungantwort eines PLL. Ordnung in log. Darstellung; Parameter D =.3,, - D =.3 e Dω Et für D < β h Step - -3 c D e D β für D > ( β D) ω t E te ωe ω t E für D = t f E W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9 -
22 Phasenfehler eines PLL. Ordnung als Reaktion auf einen Frequenzsprung; Parameter D =.3,.5,.77,,. Der Phasenfehler ist normiert auf Δf/f E D =.3 Δφ * f E /Δf t*f E W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9 -
23 . Der Phasenregelkreis (PLL = Phase Locked Loop). PLL-Grundlagen. Stationäres Verhalten.3 Nachführverhalten hrverhalten.4 Rauschverhalten.5 Phasendetektoren: Realisierungsaspekte W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-33
24 Rauschverhalten des PLL s HF w HF r HF PD s HF v ( ) = cos( ω + ϕ ) s t a t HF j ( ) = ae ϕ s t w HF = bandbegrenztes weißes Gauß sches Rauschen mit Rauschleistungsdichte N und Bandbreite B Signal zu Rauschleistungsverhältnis am Eingang des Phasendetektors: a SNR = B N Einfluss des Rauschens auf das Phasendifferenzsignal: jϕ ( ) = + ( ) rt ae wt Gaussprozesse können mit einem beliebigen Rotationsfaktor (z.b. auch mit e jϕ ) multipliziert werden, ohne dass sich die statistischen Eigenschaften ändern (Rotationsinvarianz). W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-44
25 Varianz des Phasenrauschens am Eingang des PLL PLL-Eingangssignal: Phase des PLL-Eingangssignals: jϕ jϕ ( ) = + ( ) jϕ = ( a + w() t ) e j = ( a + wi( t) + jwq( t) ) e wq ( t) r () t ϕ arctan a + wi ( t) w ( t) rt ae wte ϕ = + Q Näherung für SNR >> : ϕr () t ϕ + a E w () t E ( ) wt B N Rauschvarianz: Q σ ϕ = = r a a a ϕ σϕ r für SNR >> SNR Anmerkung: Bei Phasensignalen macht es keinen Sinn, ein Signal-zu Rauschleistungsverhältnis anzugeben, da die Größe der Nutz-Phase kein Maß für die Signalqualität darstellt. W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-55
26 Auswirkung des Rauschens auf ϕ lineares Ersatzmodell: ϕ ϕ r + Δϕ K D v F(s) u K s ϕ wq a ( t) H(s) Leistungsdichtespektrum des Rauschanteils in ϕ r : Leistungsdichtespektrum des Rauschanteils in ϕ : N Sϕ ( f) = r a S f S f H j f ( ) = ( ) ( ) ϕ ϕ π Rauschleistung von ϕ : σ = ( ) ( π ) ϕ σ = r NB S f H j f df ϕ r Noise H ( ) mit B = ϕ a H ( ) B Noise ist die äquivalente Rauschbandbreite des PLL ( π ) Noise H j f df W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-66
27 Anschauliche Interpretation der äquivalenten Rauschbandbreite H( jπ f ) sei die Übertragungsfunktion eines linearen zeitinvarianten Systems. Dann ist B : = + ( π ) H j f df Noise H () seine äquivalente Rauschbandbreite. H( jπ f ) idealer Bandpass = = B Noise f Ein idealer (rechteckförmiger) Bandpass mit der Bandbreite B Noise hat an seinem Ausgang dieselbe Rauschleistung wie das System mit der Übertragungsfunktion H( jπ f ) W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-77
28 Äquivalente Rauschbandbreiten für f r verschiedene Filter Filter- Übertragungsfunktion F(s) PLL- Übertragungsfunktion H(s) äquivalente Rauschbandbreite B Noise KK D s+ K K D KK D + st st + st + st ( s ω ) + D s ω E ( D β) ( s ω ) E E + D s ω + + s E ω E + D s ω + E ω D E + 4 D β β ω + + D E D 4D KK KK D D ω E = D = T T T β = D W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-88
29 . Der Phasenregelkreis (PLL = Phase Locked Loop). PLL-Grundlagen. Stationäres Verhalten.3 Nachführverhalten hrverhalten.4 Rauschverhalten.5 Phasendetektoren: Realisierungsaspekte W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-99
30 Phasendetektoren () Phasendetektoren bestehen aus einem Signalkomparator und einem Tiefpass zur Oberwellenbefreiung (Grenzfrequenz deutlich größer als beim Schleifenfilter, daher kein Einfluss auf das dynamische PLL-Verhalten). Multiplizierer-PD: s HF s HF TP ( ϕ ϕ) + ( ω t + ϕ + ϕ ) sin sin v s HF = sin(ω t +ϕ ) s HF = cos(ω t +ϕ ) v = sin(ϕ ϕ ) π v π ϕ ϕ. Multiplizierer-PD mit Begrenzer: s HF s HF TP v s HF = sin(ω t +ϕ ) s HF = sign(cos(ω t +ϕ )) π v = sin(ϕ ϕ ) ϕ ϕ Vorteil: einfache Realisierung des Multiplizierers v π W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-3
31 Phasendetektoren () 3. Dreiecks-PD mit Excl. Oder v s HF s HF TP v T on T v ~ T on /T,5 π ϕ ϕ 4. Sägezahn-PD mit RS-Flipflop v s HF s HF RS-FF R Q S Q TP v T on T v ~ T on /T,5 π ϕ ϕ π W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-3
32 Phasendetektoren (3) 5. Phasen- und Frequenzdetektor mit 4π linearem Bereich Vorteil: keine separaten Frequenz-Fangschaltungen in PLL erforderlich s HF s HF R D D R Q Q Q Q u + u TP v Kennlinie: -π neg. Frequenzversatz pos. Frequenzversatz v π ϕ ϕ s nach s : sign(s ) sign(s ) T on u s vor s : u v W. Koch: Synchronisationsverfahren,, SS9-3
Abb. 1: Darstellung eines Phasenregelkreises (PLL)
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