1.Klasse ANGEWANDTE MATHEMATIK. Ing. Thomas Gratzl (EIT, EBP, EIP, EBP, EET) Lehrmittel: Rechenbuch Elektrotechnik Europaverlag

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1 ANGEWANDTE MATHEMATIK (EIT, EBP, EIP, EBP, EET) Ing. Thomas Gratzl Lehrmittel: Rechenbuch Elektrotechnik Europaverlag Methodische Lösungswege zum Rechenbuch Elektrotechnik. GT - -

2 Lehrstoffübersicht: Grundlagen der Angewandten Mathematik.... Größen, Einheiten und Zahlenwerte:.... Größen-, Einheiten- und Zahlenwertgleichungen:.... Internationales Einheitensystem (SI) Vielfache und Teile der SI Einheiten:.... Rechnen mit Zehnerpotenzen: Übungsbeispiele Zehnerpotenzen:....6 Rechengenauigkeit, Runden... 8 Gleichungen und Formeln Arbeiten mit Gleichungen Rechenregeln: Zusatzregeln..... Beispiele zum Lösen von Gleichungen:.... Arbeiten mit Formeln... Physikalische Grundlagen.... Vorsätze, Zollmaße.... Flächen.... Rauminhalt und Masse... 4 Elektrotechnische Grundlagen Stromstärke und Ladung Elektrische Spannung Widerstand und Leitwert Ohmsches Gesetz Stromdichte Elektrischer Widerstand Leiterwiderstand Widerstand und Temperatur... 4 Schaltungen von Widerständen.... Reihenschaltung von Widerständen..... Messbereichserweiterung von Spannungsmessern (nur vertiefte Gruppe).... Parallelschaltung von Widerständen..... Messbereichserweiterung von Strommessern (nur vertiefte Gruppe).... Gemischte Schaltungen Unbelasteter Spannungsteiler Belasteter Spannungsteiler (nur vertiefte Gruppe) Elektrische Arbeit und Leistung Elektrische Leistung Elektrische Arbeit Wirkungsgrad... 6 Spannungserzeuger.... Galvanische Elemente.... Schaltungen von Spannungserzeugern..... Reihenschaltung von Spannungserzeugern..... Parallelschaltung von Spannungserzeugern... 8 Rechtwinkeliges Dreieck Satz des Pythagoras... 9 Elektrisches Feld Kapazität von Plattenkondensatoren Ladung und Energie bei Kondensatoren Schaltungen von Kondensatoren... 8 GT - -

3 Grundlagen der Angewandten Mathematik. Größen, Einheiten und Zahlenwerte: Unter einer GRÖßE versteht man eine messbare Eigenschaft physikalischer Objekte, Vorgänge und Zustände. Als Ergebnis der Messung einer Größe erhält man einen Zahlenwert und eine Einheit. Dabei wird durch den Zahlenwert (Messzahl) ausgedrückt, wie oft die gewählte Einheit in der zu messenden Größe enthalten ist. d. h.: GRÖßE ZAHLENWERT EINHEIT Z. B.: 4,m, 46kg,,s Schreibweise: Größen werden durch Formelzeichen, Einheiten durch Kurzzeichen dargestellt, die im internationalen Einheitensystem SI festgelegt sind.. Größen-, Einheiten- und Zahlenwertgleichungen: Größengleichungen verbinden Größen entsprechend den physikalischen Zusammenhängen und sind unabhängig von den gewählten Einheiten. Z. B.: Arbeit Kraft Weg oder W F s In der Größengleichung sind spezielle Werte von Größen als Produkte von Zahlenwert und Einheit einzusetzen. Z. B.: W 0N m 0Nm Einheitengleichungen verknüpfen Einheiten miteinander. Z. B.: m 0cm kp m 9,8N m 6Nm Ps 6W s s s kp...alte Einheit für Kraft neue Einheit ist N (Newton) kp 9,8 Zahlenwertgleichungen setzen Zahlenwerte in Beziehung zueinander. Sie gelten nur, wenn die Zahlenwerte mit bestimmten vorgeschriebenen Einheiten gemessen werden. Z. B.: Weg in Meter, Zeit in Sekunden: Geschwindigkeit ist km/h: v,6 t s GT - -

4 . Internationales Einheitensystem (SI) Die SI Einheiten sind durch Einheitengleichungen miteinander verknüpft, in denen kein anderer Zahlenfaktor als vorkommt. J m m m kg m m Z. B.: W N kg s s s s s s s s Im System der SI Einheiten gibt es die Basiseinheiten und die abgeleiteten Einheiten. Die sieben Basiseinheiten sind: Das METER (m) für die LÄNGE ( l, s ), die SEKUNDE (s) für die ZEIT ( t ), das KILOGRAMM (kg) für die MASSE ( m ), das KELVIN (K) für die THERMODYN. TEMP. ( T ), die AMPERE (A) für die EL. STROMSTÄRKE ( I ), die CANDELA (cd) für die LICHTSTÄRKE ( I v ), das MOL (mol) für die STOFFMENGE ( n ). Diese Basiseinheiten werden von speziellen Stoffen oder Naturvorgängen abgeleitet und können untereinander nicht mehr durch Einheitengleichungen verbunden werden. Die abgeleiteten Einheiten werden von den Basiseinheiten so abgeleitet, das sich Einheitengleichungen ergeben, die keinen anderen Zahlenfaktor als enthalten. Ein Teil der abgeleiteten Einheiten hat besondere Namen und Zeichen: Z. B.: Hertz, Joule, Watt, Volt, Ampere, Ohm, Newton, Pascal,... GT - 4 -

5 .4 Vielfache und Teile der SI Einheiten: Von den SI Einheiten können dezimale Vielfache und Teile gebildet werden. Man verwendet dazu so genannte VORSATZZEICHEN. VORSATZ NAME Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka VORSATZ ZEICHEN Faktoren ZEHNERPOTENZ -SCHREIBWEISE Dezi 0, - Zenti 0,0 - Milli 0,00 - Mikro 0, Nano 0, Pico 0, Femto 0, Atto 0, Die Vorsatzzeichen sind unmittelbar vor das Zeichen der SI Einheit zu setzen: Z. B.: cm -6 m, ka, MW, 0kV,... Zusammengesetzte Vorsatzzeichen sind nicht zulässig: Z. B.: Nicht mµm sondern richtig: nm!! GT - -

6 . Rechnen mit Zehnerpotenzen: Ein Produkt aus gleichen Faktoren kann als Potenz geschrieben werden. Z. B.: a a a a n Faktoren a a... a a n a Grundzahl oder Basis n Hochzahl oder Exponent In der Technik ist es üblich sehr große oder sehr kleine Zahlenwerte mit Zehnerpotenzen anzugeben. Z. B.:,4 8,, -9,... (Gleitkommadarstellung) dh:, , Die Kehrwerte der Potenzen kann man als Potenz mit negativer Hochzahl schreiben. dh:, -9 9, 0, MERKE: 0, , ,000 4 Jede Potenz mit der Hochzahl Null hat den Wert!! RECHENREGELN: Addition u. Subtraktion: (nur mit gleichen Exponenten möglich)!! * Multiplikation: Faktoren multiplizieren, Hochzahl addieren!! Division: Faktoren dividieren, Hochzahlen subtrahieren!! 4 6 : - (4:) 6-(-) 9 Potenzieren: Faktoren potenzieren, Hochzahlen multiplizieren!! ( 4 6 ) GT - 6 -

7 .. Übungsbeispiele Zehnerpotenzen: A B C.,4 6 +, : : : : : - 8 :4-6 ( ) 6. ( -4 ) ( - ) - (4 4 ) - Beachte: n n a a a n n a Rechnen mit Vorsilben: m m m µ m n m k µ k n M k M m:m m:µ µ:n m:p m:k k:m M:m k:µ Weitere FRB Seite 9 Aufgaben zu. Nr.,,, 4, 6, ; GT - -

8 .6 Rechengenauigkeit, Runden Technische Messungen werden normalerweise mit höchstens 0,% /00 Genauigkeit durchgeführt. Das entspricht einer Anzeigegenauigkeit von drei tragenden Ziffern! Bei technischen Rechnungen genügt daher meist die Genauigkeit von drei tragenden Ziffern, wobei die vierte Ziffer der Zahlenangabe zum Runden der. Ziffer benützt wird!! Dabei gelten folgende Regeln: Nullen am Anfang von Dezimalbrüchen und am Ende ganzer Zahlen zählen nicht zu den tragenden Ziffern, wohl aber eine Null zwischen zwei von Null verschiedenen tragenden Ziffern. Abrunden: Die letzte Stelle die noch angegeben werden soll, bleibt unverändert, wenn eine 0,,, oder 4 folgt!!!! Z. B.:,4, 6 60,... Aufrunden: Die letzte Stelle wird um EINS erhöht, wenn eine 6,, 8 oder 9 folgt!!!! Z. B.: 9 800,,86,9,... Vor einer FÜNF () erkennbarer Herkunft wird nur dann aufgerundet, wenn sie nicht durch Aufrunden entstanden ist. Z. B.: ,,6,68,... nicht: 0, ,08 0,09!!!!! Weitere FRB Seite 8 Aufgaben zu.9 Nr.,, ; GT - 8 -

9 Gleichungen und Formeln. Arbeiten mit Gleichungen Eine Gleichung ist die Verbindung zweier Ausdrücke durch ein Gleichheitszeichen. Die gesuchte Größe wird mit X bezeichnet. Formeln sind ebenfalls Gleichungen, aber mit allgemeinen Zahlen (Buchstaben) und werden nach der gesuchten Größe hin aufgelöst Gleichungen umwandeln!.. Rechenregeln: Merksatz: Ein Pluszeichen auf der einen Seite wird zum Minuszeichen auf der anderen Seite und umgekehrt! Merksatz: x + x x 9 x 8 x + 8 x 9 Ein Malzeichen auf der einen Seite wird zum Divisionszeichen auf der anderen Seite und umgekehrt! Merksatz: 4x x : 4 x x 9 x 9 x Eine Zahl vom Nenner auf der einen Seite kommt in den Zähler auf der anderen Seite und umgekehrt! Merksatz: Zähler 8 Nenner Ein Quadrat auf der einen Seite wird zum Wurzelzeichen auf der anderen Seite und umgekehrt x 4 x x 4 x x x 9 GT - 9 -

10 .. Zusatzregeln Beim Umstellen kommt die Strichrechnung (+ oder -) vor der Punktrechnung ( oder :) und diese wieder vor Quadrat- oder Wurzelrechnung. 6x 4 0 6x x x x x x x x Wenn die gesuchte Größe (x) ein Minus als Vorzeichen hat, so muss man sie vorher auf die andere Seite geben, damit sie ein Plus erhält. x 0 0 x x x 6 4 x x 4 6 x 8 x x 4 x x 6 Wenn die gesuchte Größe im Nenner eines Bruches steht, so muss sie vorher auf die andere Seite gebracht werden, damit sie in den Zähler kommt. x 4 4 x x 60 x 4 x 4 x 60 x Ist die unbekannte Größe in einer Klammer, so muss die Klammer aufgelöst werden, ( x ) indem man alle Größen außerhalb der Klammer auf die andere Seite gibt. x / / x + x x ( x ) x 4 6 0x + 4 x 0 x 0, x x ( x ) 4+ 4x + ( x ) 4+ 4x x 0 x x 4x 96 96x x GT - -

11 .. Beispiele zum Lösen von Gleichungen: FRB Seite 8 Aufgaben zu.6. Nr.,,, 4,, 6, ; Zusätzliche Übungsaufgaben mit Lösungen: Aufgaben Lösungen A B C D A B C D. 6x x 40 y ρ 8,, z x 4y z x 6 x 4p 4 8 n 9 4. x 4 4 y 9 8 v z t w 6 z t x+44 y+4 x- 8z q+8 +6t m-60 6p-, 8. 4-x -p 69-4u 6-t u 8-w 8-x6 -y ( x ) ( 0x 4) 4( + 0 ) 6 6 ( + x ) ( x) ) ( 4 x) ) ( 8x ) 4( 4 x) ) n t 6 4 z v p + 8 w x 8 y 9 4. x z t 4, 6,,,9 8,06. t 4 x 8 4y 8 + n 9 4,9,48 6, 6,48 6. v y z,4,9 4,9,48 x 9 y 6z t 0 x 4 y 6z 6 t 9,4,,, 8. x--x x+4-6x -8y-y (x+6)-8x,4-4 -0, - 9. (-x)(4-x) (x+)9(-x) 6,4-0. ( x ) ) ( x) 8 + x 8 9 4x x 8 x x x p GT - -

12 . Arbeiten mit Formeln Formeln, die in der Technik für Berechnungen verwendet werden, stellen Gleichungen dar, bei denen Zahlenwerte durch allgemein gültige Buchstaben ersetzt werden. A l b A l b A b l l R γ A l R γ A l A R γ l γ R A A a a A R l ρ A R A l ρ A l ρ R R A ρ l A d π 4 A 4 d π A 4 d π U I R R U I U I R A r π A r π A r π ( ) U I R + R R R 0 I a i a U0 R + R a U0 R I U0 R I i i a i FRB Seite 9 Aufgaben zu.6. Nr.,,, 4,, 6,, 8; GT - -

13 Physikalische Grundlagen. Vorsätze, Zollmaße Basis: FRB Seite 9 Aufgaben zu. Nr.,,, ; Top: FRB Seite 9 Aufgaben zu.8. Nr. 4, ;. Flächen Basis: FRB Seite Aufgaben zu. Nr.,,, 4, ; Top: FRB Seite Aufgaben zu. Nr. 6;. Rauminhalt und Masse Basis: FRB Seite Aufgaben zu.4 Nr.,,, 4; Top: FRB Seite Aufgaben zu.4 Nr. ; 4 Elektrotechnische Grundlagen 4. Stromstärke und Ladung Formeln: Q I t Q n e,60* -9 C e Basis: FRB Seite 4 Aufgaben zu. Nr.,,, 4; 4. Elektrische Spannung Formeln: F s W U Q Q N m C VAs As [ U ] V Basis: FRB Seite 4 Aufgaben zu. Nr.,,, 4; 4. Widerstand und Leitwert Formeln: R G G R Basis: FRB Seite 4 Aufgaben zu. Nr.,,, 4; GT - -

14 4.4 Ohmsches Gesetz Formeln: U I R U R U R I I Basis: FRB Seite 4, 44 Aufgaben zu.4 Nr.,,, 4,, 6,, 8, 9, ; Top: FRB Seite 4, 44 Aufgaben zu.4 Nr., ; 4. Stromdichte Formeln: J I A J I mm² Basis: FRB Seite 4 Aufgaben zu. Nr.,, ; Top: FRB Seite 4 Aufgaben zu. Nr., ; 4.6 Elektrischer Widerstand 4.6. Leiterwiderstand Formeln: l R ρ l R ρ A γ A γ Ω mm² m [ ρ ] [ γ ] m Ω mm² Basis: FRB Seite 46 Aufgaben zu.6. Nr.,,, 4; Top: FRB Seite 46 Aufgaben zu.6. Nr., 6, ; 4.6. Widerstand und Temperatur Formeln: ϑ ϑ ϑ R α R ϑ R R + R 0 ϑ 0 R ϑ R0 ( + α ϑ) Basis: FRB Seite 4 Aufgaben zu.6. Nr.,,, 6; Top: FRB Seite 4 Aufgaben zu.6. Nr. 9, ; GT - 4 -

15 Schaltungen von Widerständen. Reihenschaltung von Widerständen Formeln: In der Reihenschaltung fließt überall derselbe Strom. I I I I... Die Gesamtspannung teilt sich an den Verbrauchern auf. U U + U +... Der Gesamtwiderstand ist gleich der Summe der Einzelwiderstände. R R + R +... Bei der Reihenschaltung fällt am größten Widerstand auch die größte Spannung ab, das heißt die Spannungen verhalten sich wie die zugehörigen Widerstände. U U U II I U R U R oder R R R U R U R Basis: FRB Seite 49, 0 Aufgaben zu.. Nr.,,, 4, ; Top: FRB Seite 49, 0 Aufgaben zu.. Nr. 9,, ;.. Messbereichserweiterung von Spannungsmessern (nur vertiefte Gruppe) Der Messbereich von Spannungsmessern mit Drehspulmesswerk kann mit Vorwiderständen erweitert werden. U U m U Rm RV n RV ( n ) Rm r k I m U m U m Top: FRB Seite Aufgaben zu.. Nr.,,, 4;. Parallelschaltung von Widerständen Formeln: In der Parallelschaltung liegt an jedem Zweig dieselbe Spannung. U U U U... Die Gesamtstrom teilt sich an den Verbrauchern auf. I I + I + I.+... Der Gesamtwiderstand ergibt sich aus der Summe der Leitwerte. G G + G + G +... Somit ergibt sich: für Widerstände ergibt sich: für lauter Widerstände gilt: R R R R R R R R R R + R n Es gilt jedoch immer, der Gesamtwiderstand ist immer kleiner als der kleinste Teilwiderstand!! Basis: FRB Seite, Aufgaben zu.. Nr.,,, 4,,, 8, 9, ; Top: FRB Seite, Aufgaben zu.. Nr. 6,, 4, 6;.. Messbereichserweiterung von Strommessern (nur vertiefte Gruppe) Der Messbereich von Spannungsmessern mit Drehspulmesswerk kann mit Nebenwiderständen erweitert werden. Top: FRB Seite 4 Aufgaben zu..4 Nr.,,, ; GT - -

16 . Gemischte Schaltungen Gemischte Schaltungen sind Kombinationen aus Reihenschaltungen und Parallelschaltungen. Basis: FRB Seite, 6 Aufgaben zu.. Nr.,,, 4,, 6, ; Top: FRB Seite 6, Aufgaben zu.. Nr., 8;.. Unbelasteter Spannungsteiler Beim unbelasteten Spannungsteiler wird die Spannung durch zwei in Reihe geschaltete Teilwiderstände R und R aufgeteilt. Basis: FRB Seite 8 Aufgaben zu..6 Nr.,,,, 6; Top: FRB Seite 8 Aufgaben zu..6 Nr. 4, ;.. Belasteter Spannungsteiler (nur vertiefte Gruppe) Durch zuschalten eines Lastwiderstandes an den unbelasteten Spannungsteiler entsteht eine Gemischte Schaltung. Basis: FRB Seite 9 Aufgaben zu.. Nr.,, 4; Top: FRB Seite 9 Aufgaben zu.. Nr., ; 6 Elektrische Arbeit und Leistung 6. Elektrische Leistung Die elektrische Leistung ist das Produkt aus Stromstärke und Spannung. 6. Elektrische Arbeit Basis: FRB Seite 6 Aufgaben zu.8. Nr.,,,4; Top: FRB Seite 6 Aufgaben zu.8. Nr. 6,, 8; Die elektrische Arbeit ist umso größer, je größer die Leistung und je länger die Arbeitszeit. 6. Wirkungsgrad Basis: FRB Seite 64 Aufgaben zu.8. Nr.,,,4; Top: FRB Seite 64 Aufgaben zu.8. Nr. ; Die abgegebene Leistung P ab ist und die Verlustleistung P v kleiner als die zugeführte Leistung (Leistungsaufnahme) P zu. Basis: FRB Seite 66 Aufgaben zu.8.4 Nr.,,, ; Top: FRB Seite 66 Aufgaben zu.8.4 Nr. 4, 6, ; GT - 6 -

17 Spannungserzeuger. Galvanische Elemente Der Spannungsabfall im galvanischen Element ist von der Stromentnahme und vom Innenwiderstand abhängig. Batterien bestehen aus gleichartigen galvanischen Elementen. Basis: FRB Seite Aufgaben zu.. Nr.,,, 4; Top: FRB Seite Aufgaben zu.. Nr., 6;. Schaltungen von Spannungserzeugern.. Reihenschaltung von Spannungserzeugern Es addieren sich die Teilspannungen und die Innenwiderstände der einzelnen Zellen. Es sollen nur Zellen mit gleicher Leerlaufspannung und gleichem Innenwiderstand zusammengeschaltet werden. Basis: FRB Seite Aufgaben zu.. Nr.,,, 4, ; Top: FRB Seite Aufgaben zu.. Nr. 6, ;.. Parallelschaltung von Spannungserzeugern Es addieren sich die Teilströme. Es sollen nur Zellen mit gleicher Leerlaufspannung und gleichem Innenwiderstand zusammengeschaltet werden, sonst kommt es zum fließen von Ausgleichsströmen. Basis: FRB Seite Aufgaben zu.. Nr.,,, 4; Top: FRB Seite Aufgaben zu.. Nr. ; 8 Rechtwinkeliges Dreieck 8. Satz des Pythagoras Für rechtwinkelige Dreiecke gilt der Lehrsatz des Pythagoras. Hier ist die Fläche des Hypotenusenquatrats gleich der Flächensumme der Kathetenquatrate. Basis: FRB Seite Aufgaben zu.8. Nr.,,, 4,; GT - -

18 9 Elektrisches Feld 9. Kapazität von Plattenkondensatoren Die Kapazität von Plattenkondensatoren hängt von der Größe der Plattenfläche, dem Plattenabstand und dem Dielektrikum zwischen den Platten ab. Basis: FRB Seite 8 Aufgaben zu. Nr.,,, 4, ; Top: FRB Seite 8 Aufgaben zu. Nr. 6; 9. Ladung und Energie bei Kondensatoren Der Kondensator speichert elektrische Energie im elektrischen Feld und speichert elektrische Ladung auf den Platten. Zwischen den geladenen Platten wirkt eine Kraft. Basis: FRB Seite 86 Aufgaben zu. Nr.,, ; Top: FRB Seite 86 Aufgaben zu. Nr. 6; 9. Schaltungen von Kondensatoren Basis: FRB Seite 8 Aufgaben zu.4 Nr.,,, 4, ; Top: FRB Seite 8 Aufgaben zu.4 Nr. 6, ; GT - 8 -

19 Lösungen:. Lösung zu.4 Von den SI Einheiten können dezimale Vielfache und Teile gebildet werden. Man verwendet dazu sogenannte VORSATZZEICHEN. VORSATZ NAME Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Dezi Zenti Milli Mikro Nano Pico Femto Atto VORSATZ ZEICHEN E P T G M k h da d c m µ n p f a Faktoren , 0,0 0,00 0, , , , , ZEHNERPOTENZ -SCHREIBWEISE GT - 9 -

20 . Lösung.: A B C.,4 6 +, : : : :8 0, : :4-6 9 ( ) ( -4 ) 4-8 ( - ) - ( ) Beachte: n a 6 (4 4 ) - ( ) 6 8 n a a n n , , Rechnen mit Vorsilben: 6 9 4, a , m mµ -6 m µn -9 m np - m k 0 µ km - n Mm - k MG 9 m:m 0 m:µ k µ:nk m:pg 9 m:kµ -6 4 k:mm 6 M:mG 9 k:µ G 9 Z. B.: cm -6 m, ka, MW, 0kV,... Zusammengesetzte Vorsatzzeichen sind nicht zulässig: Z. B.: Nicht mµm sondern richtig: nm!!. Weiter Lösungen Siehe Lösungsbuch zum Rechenbuch Elektrotechnik GT - 0 -