45. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 5 Aufgaben

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1 45. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 5 Aufgaben c 2005 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. Alle Rechte vorbehalten. Hinweis: Stelle deinen Lösungsweg (mit Begründungen und Nebenrechnungen) so dar, dass auch andere ihn leicht nachvollziehen können. Wenn du in deiner Lösung Aussagen benutzt, die nicht aus dem Schulunterricht bekannt sind, dann müssen sie beweisen werden Nach dem Abschluss eines Sportfests vergleichen Arne, Bert, Carsten, Daniel, Erik und Felix ihre Ergebnisse im Hochsprungwettbewerb. Dabei stellten sie fest: (1) Bert sprang höher als Daniel. (2) Erik sprang höher als Bert. (3) Arne war in der Endwertung unmittelbar vor Felix. (4) Daniel war besser als Carsten (5) Felix war schlechter als Carsten. a) Bestimme aus diesen Angaben die Reihenfolge der sechs Jungen beim Hochsprung! b) Die Ergebnisliste sagt aus, dass Arne, Bert und Carsten zusammen genauso hoch gesprungen sind wie Daniel, Erik und Felix zusammen. Der Schiedsrichter ist sich aber nicht ganz sicher, ob die Liste stimmt, er weiß aber genau, dass jeder der Schüler eine andere Höhe erreicht hat. Zeige, dass die Aussage der Ergebnisliste stimmen kann, indem du für jeden Schüler die passende Höhe angibst (Sprunghöhen etwa zwischen 1 Meter und 1,50 Meter) Eine alte Aufgabe lautet: Wenn man ein Kilogramm Rosenöl herstellen will, dann benötigt man dazu eine halbe Tonne an Rosenblüten. Zur Herstellung von einem Liter Parfüm braucht man zwölf Tropfen Rosenöl. Dabei wiegen 36 Tropfen Rosenöl genau ein Gramm. Auf den Feldern von Moldawien wurden 1500 kg Rosenblüten geerntet. Wie viel Liter Parfüm kann man daraus herstellen? Hinweis: Berechne zunächst, wie viele Liter Parfüm man mit einem Kilogramm Rosenöl herstellen kann! Zu den Einheiten: Ein Kilogramm hat 1000 Gramm (1 kg = 1000 g). Eine Tonne hat 1000 Kilogramm (1 t = 1000 kg). Auf der nächsten Seite geht es weiter! 1

2 Familie Fröhlich möchte heute zur 17:30-Uhr-Vorstellung ins Kino gehen. Weil alle am Nachmittag etwas anderes zu tun haben, treffen sie sich vor dem Kino. (1) Rico wartet doppelt so lange auf den Vater, wie die Mutter auf Nadine. (2) Auf die Mutter braucht Rico nur 20 Minuten zu warten, sie kommt eine Viertelstunde vor der Zeit. (3) Nadine kommt eine Viertelstunde nach dem Vater. (4) Nadine kommt so viele Minuten vor der Zeit, wie Rico auf den Vater wartet. a) In welcher Reihenfolge treffen die Familienmitglieder vor dem Kino ein? b) Gib zu jedem Familienmitglied die Uhrzeit an! Du siehst in der Abbildung A a drei Stufen einer Entwicklung, in der immer größere Quadrate gefärbt werden. (Die Seitenlänge wächst immer um 2 Kästchen.) a) Wie viele graue und wie viele weiße kleine Einheitsquadrate enthält die vierte Stufe? 1. Stufe 2. Stufe 3. Stufe b) Wie viele Einheitsquadrate umfasst die Gesamtfläche des Quadrats in der siebenten Abbildung A a Stufe, und wie viele graue und weiße Einheitsquadrate sind hier vorhanden? Nun betrachten wir das Entsprechende im Raum. In der ersten Stufe beginnen wir mit dem kleinen Würfel (1. Stufe), der in Abbildung A b gezeigt ist. Angebaut wird immer auf den drei Seiten, die dem einzelnen grauen Würfel vom Anfang gegenüberliegen, also auf der linken Seite, hinten und oben. In einer Stufe wird immer erst eine Schicht grauer Würfel angeklebt, dann eine Schicht weißer Würfel. Der so erzeugte Würfel der 2. Stufe ist ebenfalls in Abbildung A b zu sehen. 1. Stufe 2. Stufe Abbildung A b c) Wie viele graue und wie viele weiße kleine Einheitswürfel bilden den Würfel der 2. Stufe? d) Wie viele graue und wie viele weiße kleine Einheitswürfel bilden den Würfel der 3. Stufe? 2

3 45. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 5 Lösungen c 2005 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. Alle Rechte vorbehalten Lösung 10 Punkte Wenn wir die Höhen der sechs Jungen entsprechend ihrer Anfangsbuchstaben mit A, B, C, D, E und F bezeichnen, dann können wir die Aussagen (1) (6) wie folgt aufschreiben. Teil a) (1) B > D, (2) E > B, (3) A > F und dazwischen liegt keine Höhe eines anderen Jungen, (4) D > C, (5) C > F. Die ersten beiden Bedingungen ergeben (6) E > B > D. Zusammen mit den letzten beiden Bedingungen erhalten wir (7) E > B > D > C > F. Jetzt ist nur noch Arne einzuordnen. Der ist nach (3) unmittelbar vor Felix, und so ergibt sich die eindeutige Reihenfolge E > B > D > C > A > F, also sind Erik Erster, Bert Zweiter, Daniel Dritter, Carsten Vierter, Arne Fünfter und Felix Letzter. Teil b) Das Ergebnis kann stimmen. (Letztlich liegt dies daran, dass der Erste und der Letzte in ihren Höhen nicht sehr begrenzt sind.) Ein Beispiel ist: Erik 1,50 m; Bert 1,45 m; Daniel 1,30 m; Carsten 1,25 m; Arne 1,20 m und Felix 1,10 m Lösung 10 Punkte Da 12 Tropfen Öl für einen Liter Parfüm benötigt werden und 36 Tropfen ein Gramm wiegen, kann man mit 1 g = 0,001 kg Öl 3 Liter Parfüm herstellen. Deswegen kann man mit 1 kg Öl 3000 Liter Parfüm erzeugen. Für ein Kilogramm Öl werden 500 kg Blüten gebraucht kg Blüten sind das Dreifache von 500 kg, also kann man aus dieser Menge auch die dreifache Menge an Öl erzeugen, also 3 kg und damit erhält man auch die dreifache Menge an Parfüm, also 9000 Liter Lösung 10 Punkte Teil a) Die Auswertung der Aussage (2) führt auf die Ankunftszeit der Mutter. Da sie eine Viertelstunde vor der Zeit kommt, muss sie um 17:15 Uhr eintreffen. Rico war 20 Minuten früher da, das ist dann um 16:55 Uhr. Da die Mutter noch auf Nadine warten muss, kommt 3

4 Nadine später als die Mutter, aber vor 17:30 Uhr. Da das dann höchstens 14 Minuten sein können, muss nach Aussage (4) der Vater auch höchstens 14 Minuten nach Rico kommen. Also lautet die Reihenfolge des Eintreffens: Rico Vater Mutter Nadine. Teil b) Die Ankunftszeiten von Rico und der Mutter wurden schon ermittelt. Aussage (1) und (4) führen zu der Erkenntnis, dass die Minutenanzahl, die Nadine vor der Zeit kommt, doppelt so groß ist, wie die Zeit, die die Mutter auf Nadine wartet. Die 15 Minuten, die die Mutter vor der Zeit kommt, müssen in drei gleiche Teile geteilt werden, 15 min : 3 = 5 min. Die Mutter wartet 5 Minuten auf Nadine, und Nadine kommt (2 5 min =) 10 Minuten vor der Zeit. Nadine kommt um 17:20 Uhr. Die 10 Minuten wartet Rico nach (4) auch auf den Vater. Der Vater ist dann um 17:05 Uhr gekommen. Die Ankunftszeiten der Familienmitglieder lauten: Rico 16:55 Uhr, Vater 17:05 Uhr, Mutter 17:15 Uhr, Nadine 17:20 Uhr. Hinweis: Hier kann ein Zeitstrahl bei der Lösungsfindung ein günstiges Hilfsmittel sein (siehe Abbildung L ), der der Veranschaulichung dient. Auch eine Probe am Text wird dadurch erleichtert. R 16:55 V 17:00 17:05 M 17:10 17:15 Abbildung L N 17:20 K 17:25 17: Lösung 10 Punkte Teil a) In der vierten Stufe sind es ( =) 28 graue Einheitsquadrate, und es sind ( =) 36 weiße Einheitsquadrate (siehe auch Abbildung L ). Teil b) Das Quadrat der siebten Stufe hat die Seitenlänge 14 (= 7 2). Daher ist die Gesamtfläche (14 14 =) 196 Einheitsquadrate. Für die Anzahl der grauen Einheitsquadrate gilt = 91, es kommen in jeder Stufe 4 Einheitsquadrate mehr dazu als in der vorhergehenden. Für die Anzahl der weißen Einheitsquadrate gilt = 105, es kommen auch hier in jeder Stufe jeweils 4 Einheitsquadrate mehr dazu als in der vorhergehenden. Abbildung L Die Anzahl der zweiten Farbe kann auch über die Differenzbildung zu 196 ausgerechnet werden, wenn nur die Anzahl der Einheitsquadrate einer Farbe ausgerechnet worden ist. Teil c) Der Würfel der zweiten Stufe setzt sich aus (4 4 4 =) 64 Einheitswürfeln zusammen. In der ersten Stufe ist ein Würfel grau. Für die zweite Stufe werden zunächst erst links (2 2 =) 4 graue Würfel angeklebt, dann hinten (3 2 =) 6 graue Würfel und dann noch oben (3 3 =) 9 graue Würfel. Zusammen sind das ( =) 20 graue Einheitswürfel in der zweiten Stufe. Somit müssen (64 20 =) 44 Einheitswürfel weiß sein. Diese Anzahl kann auch über eine entsprechende Berechnung für die weißen Würfel gefunden werden: In der ersten Stufe sind (8 1 =) 7 Würfel weiß. Nachdem die grauen Würfel angeklebt worden sind, ist der Würfel jeweils 3 Einheitswürfel breit, tief und hoch. Es müssen also links (3 3 =) 9 weiße Würfel angeklebt werden, hinten (4 3 =) 12 weiße Würfel und oben (4 4 =) 16 weiße Würfel. Zusammen sind das ( =) 44 weiße Einheitswürfel. Teil d) Der Würfel der zweiten Stufe hat 20 graue Würfel und 44 weiße Würfel und ist (4 4 4 =) 64 Einheitswürfel groß. 4

5 Für die dritte Stufe kommt jetzt zunächst eine graue Schicht hinzu. Dazu werden auf der linken Seite (4 4 =) 16 graue Würfel angeklebt, hinten müssen dann schon (5 4 =) 20 graue Würfel angeklebt werden und oben (5 5 =) 25. Zusammen sind das ( =) 81 graue Würfel. Der Würfel ist jetzt (5 5 5 =) 125 Einheitswürfel groß. Für die dritte Stufe kommt jetzt die weiße Schicht hinzu. Dazu werden auf der linken Seite (5 5 =) 25 weiße Würfel angeklebt, hinten müssen dann schon (6 5 =) 30 weiße Würfel hinzugetan werden und oben (6 6 =) 36. Zusammen sind das ( =) 135 weiße Würfel. 81 graue Würfel und 135 weiße Würfel ergeben zusammen die 216 Einheitswürfel, die der große Würfel (wegen = 216) auch aufweisen muss. (Die Anzahl der Würfel der zweiten Farbe kann auch wieder durch Differenzbildung zu 216 ermittelt werden, wenn die Anzahl für eine Farbe berechnet wurde.) Hinweis auf einen anderen Lösungsweg: Der Würfel ersten Stufe besteht offensichtlich aus einem grauen Einheitswürfel und ( =) 7 weißen Einheitswürfeln. In dem Würfel zweiter Stufe kommen zu dem einen grauen Einheitswürfel weitere ( =) 19 graue Einheitswürfel neu hinzu, und es kommen zu den 7 weißen Einheitswürfeln weitere ( =) 37 weiße Einheitswürfel neu hinzu. Diese Gesetzmäßigkeit gestattet es, nicht nur die Aufgabe für Würfel der zweiten und der dritten Stufe sondern auch für Würfel höherer Stufen durch eine Berechnung zu lösen, was durch Abzählen nicht mehr möglich wäre. Stufe graue Einheitswürfel weiße Einheitswürfel Einheitswürfel neu gesamt neu gesamt gesamt = 8 = = = = = = 64 = = = = = = 216 = = = = = = 512 = 8 3 5