Rekursion und Induktion

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1 Rekursion und Induktion Rekursion und Induktion Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2011/ Oktober 2011

2 Rekursion und Induktion > Rekursion > Was ist Rekursion? Definition der Rekursion fu r Funktionen Definition Eine rekursive Funktion ist eine Funktion, die sich selber aufruft Beispiel: Wir kennen (aus der Schule): n! = n Wir ko nnen dies umformulieren zu einer rekursiven Funktion: f :N N f (0) = 1 f (n) = f (n 1) n

3 Rekursion und Induktion > Rekursion > Was ist Rekursion? Auswertung der Funktion f :N N f (0) = 1 f (n) = f (n 1) n Wir ko nnen diese Funktion wie folgt auswerten: f (3) = f (2) 3 = f (1) 2 3 = f (0) = = 6 Wir vermuten f (n) := n!.

4 Rekursion und Induktion > Rekursion > Anwendungen in der Informatik Anwendung von Rekursion in der Informatik Die Rekursion hat viele Anwendungen in der Informatik zum Beispiel als Programmiertechnik. Beispiel: f :N N f (0) = 1 f (n) = f (n 1) n wa re programmiert in Python: def f (n ) : i f n == 0 : return 1 else : r e t u r n f ( n 1) n

5 Rekursion und Induktion > Rekursion > Anwendungen in der Informatik weitere Anwendungen in der Informatik Programmiertechnik Es gibt Programiersprachen, in denen die Rekursion sehr stark optimiert ist. (Beispiel: Haskell) Ersetzen in einigen Programmiersprachen, Kontrollstrukturen wie die for-schleife (siehe: Haskell (PRG-2)) Gu ltige Syntax fu r Programmiersprachen werden (mu ssen meist sogar) rekursiv definiert werden Der U bersetzer (Compiler) arbeitet meist rekursiv

6 Rekursion und Induktion > Rekursion > Basis- und Rekursionsfall... wieder ein bisschen Fachchinesisch Definition (Basisfall) Der Basisfall in einer Rekursion beschreibt den Teil, in dem die Funktion nicht noch einmal aufgerufen wird. f :N N f (0) = 1 f (n) = f (n 1) n Quizfrage der Folie Wo ist hier der Basisfall??

7 Rekursion und Induktion > Rekursion > Basis- und Rekursionsfall... und noch mehr Fachchinesisch :-P Definition (Rekursionsfall) Der Rekursionsfall in einer Rekursion beschreibt den Teil, in dem die Funktion noch einmal aufgerufen wird. f :N N f (0) = 1 f (n) = f (n 1) n Quizfrage der Folie Wo ist hier der Rekursionsfall??

8 Rekursion und Induktion > Rekursion > Rekursionstu rmchen Tu rmchen bauen Wir ko nnen uns die einfache Rekursion auch wie ein Tu rmchen vorstellen. Sei f eine rekursive Funktion. f (n) stellt das Dach dar. Teile, die darunter sind, werden von dem oberen Teil aufgerufen. Irgendwann haben wir einen Boden und das ist dann unser Basisfall. (Animation siehe na chste Folie)

9 Rekursion und Induktion > Rekursion > Rekursionstu rmchen...zur Animation

10 Rekursion und Induktion > Rekursion > Rekursionstu rmchen...und als Sequenzdiagramm

11 Rekursion und Induktion > Induktion > Einleitung Wie kann ich nachpru fen, dass rekursive Aussagen richtig sind? Wir erinnern uns: Wir haben unseren Python Code: def f (n ) : i f n == 0 : return 1 else : r e t u r n f ( n 1) n und wir haben dann vermutet, dass dieser Code die Fakulta t: 0! = 1 n! = 1 2 n berechnet. Tut er das wirklich????

12 Rekursion und Induktion > Induktion > Einleitung Die vollsta ndige Induktion Auch dafu r gibt es eine Beweistechnik: Die vollsta ndig Induktion. Sie besteht aus zwei Teilen: Induktionsanfang: Wir u berpru fen, ob die Aussagen fu r die Rekursionsbasis gilt. Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass im rekursiven Aufruf unsere Aussage stimmt. Dann weisen wir das nur noch fu r den Rest nach! Schauen wir uns mal das Beispiel von der vorherigen Folie an!

13 Rekursion und Induktion > Induktion > Rekursive Definition der natu rlichen Zahlen Was kann so eine Induktion noch? Aussagen fu r natu rliche Zahlen beweisen. Wir hatten: N = {0, 1, 2,...} Geht diese Definition auch rekursiv? In der Tat: Wir bauen ein Tu rmchen mit Zahlen. Unten ist die 0 und den Nachfolger stecken wir drauf.

14 Rekursion und Induktion > Induktion > Rekursive Definition der natu rlichen Zahlen...zur Animation

15 Rekursion und Induktion > Induktion > Rekursive Definition der natu rlichen Zahlen Rekursion in nat. Zahlen Wir haben hier unseren N-Turm. Die Basis: 0 ist eine natu rliche Zahl. Die Rekursion: Wenn n eine natu rliche Zahl ist, dann ist der Nachfolger (also ein Stockwerk ho her) n + 1 ebenfalls eine natu rliche Zahl.

16 Rekursion und Induktion > Induktion > Rekursive Definition der natu rlichen Zahlen Wenn wir unser N-Turm betrachten, dann... gilt fu r die Induktion fu r natu rliche Zahlen: Der Induktionsanfang : Die Aussage ist fu r n = 0 zu pru fen. (Fu r Mengen wie {n n N, n 2} nehmen wir n = 2 als Induktionsanfang) Der Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass die Aussage fu r ein beliebiges n N gilt, und weisen dann nach, dass es fu r n + 1 (im Turm eine Etage ho her) gilt.

17 Rekursion und Induktion > Induktion > Rekursive Definition der natu rlichen Zahlen Das Prinzip der Induktion Gilt eine Aussage fu r n = 0 und gilt die Aussage unter der Annahme, dass sie fu r n gilt, auch fu r n + 1, dann gilt sie fu r alle natu rlichen Zahlen.

18 Rekursion und Induktion > Induktion > Summen- und Produktzeichen Ein paar Kleinigkeiten... Definition Summen- und Produktzeichen Sei n N. Seien a1,..., an beliebige Zahlen. Dann ist: n X ai = a1 + + an i=1 n Y a1 = a1 an i=1 Spezialfa lle: 0 X i=1 ai = 0 0 Y ai = 1 i=1

19 Rekursion und Induktion > Induktion > Beispiel fu r die vollsta ndige Induktion fu r natu rliche Zahlen Jetzt zum Beispiel Induktion fu r nat. Zahlen Der Klassiker: Beweise: Satz Fu r alle n N gilt: n X i=0 i= n (n + 1) 2 Beweis: siehe Tafel

20 Rekursion und Induktion > Induktion > Beispiel fu r die vollsta ndige Induktion fu r natu rliche Zahlen Wie geht es jetzt weiter?... mit der Diskreten Modellierung Mengen, Beweise Aussagenlogik Graphentheorie Markov-Ketten Logik erster Stufe kontextfreie Grammatiken

21 Rekursion und Induktion > Induktion > Beispiel fu r die vollsta ndige Induktion fu r natu rliche Zahlen noch Fragen??? Quelle Bild: fragezeichen.png