explorative Faktorenanalyse Spickzettel

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1 9.Testkonstruktion eplorative Faktorenanalyse Spickzettel Interpretation / Faktorentaufe Passung Datenmatri standardisiert berechnen /schätzen Beispiel: Item Ich habe gerne viele Menschen um mich herum Zustimmung Heidi 5 Ma 0 3 Tina ablesbare Information: Person v hat auf Item i die Punktzahl z Das sagt mir darüber hinaus nicht viel ich kann mit dieser Information keine anderen Items vorhersagen, weil ich keine Rückschlüsse auf das dahinter stehende Merkmal und dessen Ausprägung habe Ich will aber wissen, auf welches Merkmal die Punktzahl z.b. in Item zurückgehen könnte und welche anderen Items ebenfalls auf Basis dieser Fähigkeit gelöst werden, denn dann kann ich a) Peters Merkmalsausprägung in diesem spezifischen Bereich einschätzen und b) die zu dieser Fähigkeit gehörenden Items identifizieren und damit umfangreichere Vorhersagen machen, Verhalten besser interpretieren, zielgerichteter intervenieren... Faktorenetraktion zur Datenreduktion: zur Theoriebildung: Hauptkomponentenanalyse PCA Hauptachsenanalyse PAF item item item 3 item Peter Ausgangs-Korrelationmatri i i i i i i i Faktorenrotation Ladungsmatri Mustermatri Strukturmatri Regressionskoeffizienten Ladung: Spezifischer Anteil eines Faktors am Item i i i Korrelationskoeffizienten partielle standardisierte Regressionsgewichte = Korrelationen von Items mit Faktoren Ein Item lädt nicht nur auf einen Faktor, sondern auch auf andere = Nebenladungen Zu wie vielen Faktoren lassen sich die Einzelinformationen Um die Nebenladungen möglichst zu verringern, i verdichten, ohne dass dabei allzu also um die Items eindeutiger einem Faktor viel (einzelner) Informationsgehalt zuordnen zu können, werden die Faktoren Die PAF geht davon aus, dass unter den Tisch fällt transfomiert. es bei der Erfassung von Daten IMMER zu Messfehlern kommt Möglichst wenige Faktoren Ziel: gut interpretierbare Einfachstruktur und die Varianz der Items nur sollen möglichst viel Varianz teilweise erklärt werden kann, der Items erklären. Faktorenrotation: weil ein Teil der Varianz auf den Messfehler zurückzuführen orthogonale (rechtwinklige) Rotation ist. Die auf Grundlage der bei unkorrelierten Faktoren = Kommunalitätenproblem etrahierten Faktoren reproduzierte Korrelationsmatri sollte sich Von der Höhe dieses von der AusgangskorrelationsMessfehlers ist abhängig, wie matri möglichst wenig hoch ein Item mit sich selbst unterscheiden! (und einem anderen Item) korreliert. Strukturmatri entspricht der Mustermatri Auswahlkriterien für die Die entsprechenden Werte Faktorenetraktion: können nicht berechnet, sondern nur geschätzt werden. Eigenwert (> ) oblique (schiefwinklige) Rotation bei korrelierten Faktoren Was kann der Faktor an Varianz für alle Items insgesamt in der Diagonalen der erklären Korrelationsmatri werden bevorzugt (es gibt auch noch Scree-Test nach Cartell: andere Schätzmethoden) die grafische Suche nach quadrierten multiplen charakteristischem Korrelationen eines Items mit Eigenwertabfall Strukturmatri enthält oft höhere Korrelationen den restlichen Items als als Mustermatri, Anfangskommunalitäten Parallelanalyse nach Horn: da die Strukturkoeffizienten zusätzlich die eingesetzt welcher Eigenwerte liegen über indirekten Korrelationen beinhalten, die durch iterative Schätzung zur dem Zufallsniveau die Korrelation der Faktoren untereinander Optimierung der Anfangsentstehen kommunalitäten MAP i Die PCA geht davon aus, dass die Daten frei von Messfehleren erfasst wurden und die Varianz eines Items vollständig erklärt werden kann. Jedes Item korreliert perfekt (fehlerfrei) mit sich selbst seine Korrelation mit einem anderen Item ist aus den Daten zu berechnen. in der Diagonalen der Korrelationsmatri stehen deshalb Einsen Aufgrund ihrer Annahme Gesamtvarianz kann erklärt werden ist die PCA keine Ich suche also Informationen, die in den echte Faktorenanalyse Ausgangsdaten versteckt sind und über diese Einzelinformationen hinausgehen: Entwickeln einer Theorie Welche Faktoren stehen hinter den beobachteten manifesten Variablen ähnliche Methode Maimum-Liklihood ML Ab wann steigt die mittlere quadrierte Partialkorrelation K e r n der EFA

2 30.Testkonstruktion Faktorenanalyse Basics Vergleich Was wird untersucht Faktorenanalyse Varianzanalyse Regressionsanalyse Korrelationsmuster Zusammenhänge zwischen von mehrere manifesten Variablen UV AV Prädiktor Kriterium Faktor = Faktor = latente Variable, die die Korrelationen der manifesten Variablen erklärt UV, die die Ausprägung der AV bestimmt Items als Effektindikatoren korrelieren untereinander und zeigen in der Höhe der jeweiligen Korrelationen den Effekt des gemeinsamen Faktors an 3 Zwecke der Faktorenanalyse Thompson 00 Items als Kausalindikatoren müssen nicht untereinander, sondern nur mit dem Faktor korrelieren und zeigen quasi die Ausprägung des Faktors an (vgl. rationale Testkonstuktion) Validitätsprüfung Theorie-Entwicklung Gültigkeit von Modellannahmen bezüglich der empirischen Daten interne Struktur psychologischer Konstrukte konfirmatorische Faktorenanalyse CFA Voraussetzungen abhängig von der angewandten Methode Inhaltliche Erwägungen vor Faustregeln! Prädiktor, der die Ausprägung des Kriteriums vorhersagt Datenreduktion Zusammenfassung von Variablen zu Faktoren Hauptkomponentenanalyse PCA eploratorische Faktorenanalyse EFA Korrelation der Items Stichproben- ohne die gibt s offensichtlich keine gemeinsamen Faktoren größe Verteilungseigenschaften der Items Tests: Bartlett-Test auf Sphärizität testet die H0 totale Unabhängigkeit sollte signifikant werden Kaiser-Meyer-Olkin-Koeffizient testet Korrelation sollte möglichst hoch sein nicht <.50 Kommunalitäten (= Mindestreliabilität) einzelner Items nicht <.0 MSA-Koeffizient (ähnlich wie KMO, für einzelne Items) Zahl der Items Verhältnis Items/Faktoren Reliabilität der Items sollte um so größer sein, je kleiner die Stichprobe ist mindestens Intervallskalenniveau für die oben genannten Verfahren sonst andere Koeffizienten z.b. tetrachorische, polychorische Korrelation bei ordinal skalierten Variablen univariate Normalverteilung Varianz = Für ML: sogar multivariat Meist robust gegen geringe Abweichungen (Schiefe, Ezess) bei großer Abweichung: Transformation Parceling (z.b. Zusammenfassen von Items mit gegenteiliger Schiefe) u.a.m.

3 3.Testkonstruktion eplorative Faktorenanalyse: Grundannahme Modell Die Ausprägung einer Itemantwort einer Person wird beeinflusst mehrerer gemeinsamer. von den hinter diesem Item stehenden Faktoren und Faktoren. von der Ausprägung der Person auf den jeweiligen Faktoren Definitionsgleichung zim = fi am fi am f am3.. fij amj.. fiq amq ei zim = z-wert einer Person i auf einem Item m Grad der Zustimmung 0 3- fi = Faktorwert der Person i auf Faktor am = Ladung des Items m auf Faktor fij = Faktorwert der Person i auf Faktor j amj = Ladung des Items m auf Faktor j q = Anzahl der Faktoren ei = Fehlerkomponente, die durch die etrahierten Faktoren nicht erklärt werden kann Problem: in dieser Gleichung ist zunächst nur der z-werte der Person auf dem Item bekannt: Wie setzt sich dieser Wert aus Ladungen, Faktorwerten und Fehlern zusammen Aufgabe: Finde Werte für Ladung, Faktorwert (und Fehler), die zu ALLEN z-werten ALLER Personen über ALLE Items passen! Versuche, dabei die Anzahl der erklärenden Faktoren möglichst gering zu halten, ohne auf zu viel Information zu verzichten! Die aus deinen Werten berechneten z-werte sollten möglichst nahe an die ursprünglichen Werte rankommen!

4 3.Testkonstruktion Grundannahme eplorative Faktorenanalyse Ausgangs-Korrelationsmatri PCA / PAF Hauptkomponentenanalyse Principle Components Analasys Hauptachsenanalyse Principle Aes Factoring Varianz der Items ist vollständig erklärbar. Varianz der Items ist nicht vollständig erklärbar. im Rahmen psychologischer Messungen keine realistische Annahme Kommunalitätenproblem: Es gibt Varianzanteile, die ein Item mit keinem anderen teilt = Einzigartigkeit/Uniqueness keine Faktoren-Analyse, nur Faktoren-Beschreibung (z-werte der Stichprobe) i i i P 0 H 5 M 0 3 T aufgrund im Datensatz nicht enthaltener Faktoren Fehlervarianz spezifische Varianz/Spezifität Gesamtvarianz (=) gemeinsame Varianz (= Kommunalität) Ausgangs-Korrelationsmatri: berechnet Ausgangs-Korrelationsmatri: geschätzt erklärt wird erstellt aus der Ausgangsdatenmatri aufgrund von Messfehlern i i i Die paarweisen Korrelationen der Items lassen sich aus den i Verteilungen berechnen i - jedes Item korreliert mit sich selbst in der Höhe von. i in der Hauptdiagonalen: Einsen Ein-Schritt-Verfahren führt immer zu einer Lösung i i i i i i als Anfangskommunalitäten in der Hauptdiagonalen: Einsen (dann entspricht der. Schätzschritt der PCA) höchste Korrelation des Items mit einem anderen quadrierte multiple Korrelationen des Items mit allen anderen Items (bevorzugt) iteratives Schätzverfahren bis zur Konvergenz von reproduzierter Korrelationsmatri und Ausgangs-Korrelationsmatri Die Anfangskommunalitäten werden im Laufe der folgenden Faktoren-Etraktion durch die jeweils neuen geschätzten Kommunalitäten immer wieder ersetzt, bis die Residualmatri (= Differenz zwischen Ausgangskorrelationsmatri und reproduzierter Korrelationsmatri) möglichst klein wird im ungünstigsten Fall konvergieren die Schätzungen nicht.

5 33.Testkonstruktion Ladungsmatri mit etrahierten Faktoren eplorative Faktorenanalyse Faktoren-Etraktion Jeder neue Faktor erklärt dabei nur Varianz, die von den zuvor etrahierten Faktoren nicht erklärt wurde. Anzahl der Faktoren festzulegen nach dem Kriterium der Varianzmaimierung zur Berechnung der reproduzierten KorrelationsMatri Der erste Faktor erklärt insgesamt die meiste Varianz, der zweite erklärt von der restlichen Varianz das meiste, der dritte Faktor... geordnet nach dem sukzessiven Beitrag des Faktors zur Varianzaufklärung PCA: PAF: möglichst hohe Varianzaufklärung mit möglichst wenig Faktoren möglichst hohe Varianzaufklärung durch möglichst wenige Faktoren bei möglichst wenig Informationsverlust Verglichen mit der Ausgangs-Korrelationmatri Auswahlkriterien Berücksichtigung mehrerer Kriterien inhaltlicher Plausibilität Kaiser-Guttman-Kriterium: Eigenwert > Scree-Test Parallelanalyse MAP (führt oft zur Etraktion vieler Faktoren, wird daher in der PAF eher nicht empfohlen) evtl.auch nach theoretischen Vorstellungen evtl. werden alle Faktoren etrahiert vlg. ProkrustesRotation übrigens: Je höher die gemessenen Variablen untereinander korreliert sind, desto weniger Faktoren sind zur Varianzaufklärung erforderlich. Kommunalität = gemeinsame Eigenwerte Kommunalitäten Varianzaufklärung aufgeklärter Varianzanteil mit anderen Items geteilte Varianz des Items Faktor Faktor Faktor 3 Zeilen-Summen der quadrierten Faktorladungen item 0,8 0, 0, 0,8² 0,² 0,² = item 0, 0,7 0,0 0,² 0,7² 0,0² = item3 0,6 0, 0, item 0, 0,3 0, Eigenwert des Faktors, 0,63 0,03 Spaltensumme der quadrierten Faktorladungen kumulierte % der Kommunalitäten 0,66 (0,66/)*00 0,53 (0,53/)*00 0,6² 0,² 0,² = 0, (0,/)*00 0,² 0,3² 0,² = 0,6 (0,6/)*00,86 6,5 % bei unkorrelierten Faktoren (nach orthogonaler Rotation) entspricht die Zeilen-Summe der Eigenwerte ebenfalls der aufgeklärten Varianz Bei meinen erfundenen Beispiel-Daten wär die aufgeklärte Gesamtvarianz jetzt nicht grad so groß... 6,5 % 9,75 % 0 % 6,5 % bei Etraktion aller Faktoren in der PCA = 00 % gesamt aufgeklärte Varianz

6 3.Testkonstruktion eplorative Faktorenanalyse Faktoren-Etraktion Kaiser-Guttman-Kriterium Eigenwerte > Faktor (= zusammgefasste Items neue Variable ) erklärt mehr Varianz ein einzelnes Item ( alte Variable ) Parallelanalyse nach Horn Vergleich der empirischen Eigenwerte mit simulierten Eigenwerten gleiche Stichprobengröße und Variablenzahl! sind empirische Eigenwerte größer als (95 % der) zufällige Eigenwerte mit dem gleichen Rangplatz differenzierte Aufteilung evtl. schwer zu interpretieren überschätzt in der Regel tatsächliche Anzahl an Faktoren methodische Artefakte statt inhaltlicher Konstrukte Scree-Test nach Cartell grafische Analyse des Eigenwerteverlaufs im Scree-Plot zu etrahierende Faktoren: vor dem Knick, wenn Eigenwert > 0 Problem: Wann genau ist ein Knick auffällig bei sehr großen Stichproben: Überschätzung der Faktorenzahl. bei starker erster Hauptkomponente: Unterschätzung der Faktorenzahl grafisch: Eintragen des zufälligen Eigenwerteverlaufs in Screeplot des empirischen Faktoren links vom Schnittpunkt der beiden Kurven Minimum-Average-Partial-Test (MAP-Test) Das hat irgendwas mit quadrierten Partialkorrelationen [= Korrelation zweier Variablen, die vom Effekt anderer (spezifizierter) Variablen bereinigt wurden] zu tun... jedenfalls werden nur die Faktoren mit den fallenden Werten etrahiert sobald die Werte steigen, fällt der entsprechende Faktor raus.

7 35.Testkonstruktion eplorative Faktorenanalyse Faktoren-Rotation Problem: Ladungsmuster, die aus der Faktorenetraktion resultieren, sind oftmals inhaltlich schwer zu erklären. Tranformation / Rotation der Faktoren mit dem Ziel: Einfachstruktur auf jeden Faktor laden einige Variablen hoch und die übrigen Variablen möglichst niedrig jede Variable lädt nur auf einem Faktor hoch und auf den übrigen niedrig. Häh Rotation Was ist das und wie sieht das aus, wenn ich mehr als Faktoren etrahiert habe orthogonale Rotation: unkorrelierte Faktoren oblique Rotation: korrelierte Faktoren Ausgabeansicht meistens: alternativ: Varima-Rotation maimaler Unterschied: hohe Ladungen höher, geringere geringer Quartima Rotation geringe noch geringer Equama-Rotation Kompromiss aus den anderen beiden Ausgabeansicht Proma-Rotation hohe Ladungen verkleinern sich, geringe Ladungen verschwinden fast Direkte Oblimin-Rotation Grad der Korreliertheit mit Kennwerten veränderbar Ausgabe nach Rotation: Ladungsmatrizen Mustermatri Strukturmatri Faktormusterkoeffizienten = partielle standardisierte Regressionsgewichte des Items mit den rotierten Faktoren Strukturkoeffizienten Korrelationen zwischen Items und den rotierten Faktoren Im Etremfall: Werte <- und > Multikollinearität Modellinterpretation nicht mehr eindeutig Werte zwischen - und bei obliquer Rotation (korrelierte Faktoren) höhere Korrelationen als die Mustermatri bei orthogoneler Rotation mit Mustermatri identisch

8 Einschub: Interkorrelationen woher kommen bei der obliquen Rotation die Unterschiede in den Matrizen Regressionskoeffizienten Korrelationskoeffizienten Welcher Varianzanteil wird nur durch diesen einen Faktor erklärt Welcher Varianzanteil wird auch durch diesen einen Faktor erklärt 36.Testkonstruktion Interpretation Faktorentaufe eplorative Faktorenanalyse Interpretation Faktorwert = aus den Variablenbündeln eine Bezeichnung für den Faktor finden subjektive Interpretation! Faktorwerte Nebenladungen beachten Muster- und Strukturmatri vergleichen evtl orthogonal oblique rotieren und vergleichen... = gewichtete Summation von Einzelitems individuelle Ausprägung einer Person auf den Faktoren stichprobenabhängig zwischen Studien kaum vergleichbar evtl. Grundlage für Faktorenanalyse höherer Ordnung (lassen sich Faktoren vielleicht auf einen höheren Faktor zusammenfassen )