Explorative Faktorenanalyse

Transkript

1 Bachelorseminar: Ausgewählte Aspekte der Wirtschafts- und Sozialstatistik Explorative Faktorenanalyse Simon Reitzner Betreuerin: Eva Endres, M.Sc. LMU München, Institut für Statistik / 43

2 Ziele der explorativen Faktorenanalyse Entdecken von übergeordneten latenten Variablen Dimensionsreduktion 2 / 43

3 Beispiele für die Anwendung der EFA Big Five/Fünf-Faktorenmodell Beschreibung der Persönlichkeit durch 5 Faktoren: Neurotizismus, Extraversion, Offenheit für Erfahrungen, Gewissenhaftigkeit und Verträglichkeit Intelligenztests: globale Intelligenz, sprachliches Intelligenz, mathematische Intelligenz 3 / 43

4 Zuordnung verschiedener Freizeitaktivitäten zu Faktoren: Extremsport Disco gehen Segeln, Golfen Individualsport Kneipe gehen Konzerte (Rock, Pop etc.) mit Freunden ausgehen Geselligkeit sportliche Aktivitäten 4 / 43

5 Grundidee z ij = l j1 f i l jl f il l pk f ik + e ij z ij l jl f il e ij standardisierter Wert einer Beobachtung/Person i auf eine Variable j Ladung der Variable j auf Faktor l Faktorwert von Beobachtung/Person i auf Faktor l Fehlerkomponente 5 / 43

6 Matrixdarstellung Z = FL T + E Z L F E standardisierte Datenmatrix Ladungsmatrix Matrix der Faktorenwerte spezifische Faktoren 6 / 43

7 Modell E(f) = 0, E(e) = 0 Faktoren korrelieren nicht mit den spezifischen Faktoren: Cov(f, e) = 0 unkorrelierte spezifische Faktoren: Cov(e) = diag(v1 2,..., vp 2 ) = V für die Ladungsmatrix gilt: Cov(z, f) = L 7 / 43

8 orthogonale und oblique Faktoren orthogonales Modell: unabhängige Faktoren Cov(f) = I obliques Modell: abhängige Faktoren Cov(f) = Φ 8 / 43

9 Schätzproblem Z = FL T + E bekannt: unbekannt: Datenmatrix Z mit p Variablen F, L, E und die Faktorenanzahl k 9 / 43

10 Fundamentaltheorem der Faktorenanalyse Folgende Varianzzerlegung wird angestrebt: Σ = Cov(z) = LL T + V Σ wird durch die empirische Korrelationsmatrix R geschätzt: R = LL T + V 10 / 43

11 Schritte der explorativen Faktorenanalyse Berechnung der Korrelationsmatrix Faktorenextraktion Bestimmen der Faktorenanzahl Schätzen der Kommunalitäten Berechnen der Ladungsmatrix Faktorenrotation Berechnung der Faktorenwerte 11 / 43

12 Struktur des Datensatzes Faktor 1 (2.Ordnung) Faktor 2 (2.Ordnung) Faktor 1 Faktor 2 Faktor 3 Faktor 4 Faktor / 43

13 1. Faktorenextraktion 2. Rotation der Faktoren 3. Berechnung der Faktorenwerte 13 / 43

14 Bestimmen der Faktorenanzahl Eigenwertkriterium Scree-Test Parallelanalyse 14 / 43

15 Eigenwertkriterium Varianz, die die jeweiligen Faktoren erklären, entspricht den Eigenwerten von R Faktoren bedeutsam, sie mehr als die Varianz einer standardisierten Variable erklären Anzahl der Faktoren entspricht Anzahl an Eigenwerten größer 1 15 / 43

16 Eigenwertkriterium Eigenwerte Anzahl an Faktoren 16 / 43

17 Scree-Test grafische Bestimmung der Anzahl Einzeichnen der Eigenwerte in einen Plot Anzahl an Faktoren entspricht der Anzahl an Eigenwerten vor dem Knick 17 / 43

18 Scree-Plot Eigenwerte Anzahl an Faktoren 18 / 43

19 Parallelanalyse Vergleich der Eigenwerte mit Bootstrap-Eigenwerten Eigenwerte über den simulierten, zufälligen Eigenwerten sind auffällig extrahieren! 19 / 43

20 Parallelanalyse FA Actual Data FA Resampled Data eigen values of principal factors Factor Number 20 / 43

21 Spektralzerlegung Sei A eine symmetrische (p p)-matrix mit rg(a) = r. Dann existiert eine (p r)-matrix P, sodass gilt: A = P diag(λ 1,..., λ r ) P T angewendet bei der Faktorenanalyse: R = LL T = P diag(λ 1,..., λ r ) P T für die Ladungsmatrix L gilt: L = P diag( λ 1,..., λ r ) 21 / 43

22 Schätzmethoden des Faktorenmodells Hauptkomponentenmethode Hauptfaktorenanalyse 22 / 43

23 Hauptkomponentenmethode Modellgleichung: Z = FL T Zerlegung der Korrelationsmatrix: R = LL T keine spezifischen Faktoren entspricht nicht der ursprünglichen Idee einer Faktorenanalyse 23 / 43

24 Hauptfaktorenanalyse Modellgleichung: Z = FL T + E Zerlegung der Korrelationsmatrix: R = LL T + V R V = LL T R h = LL T R h : reduzierte Korrelationsmatrix 24 / 43

25 Unterschied zwischen Hauptfaktorenanalyse und Hauptkomponentenmethode Hauptkomponentenmethode: Hauptfaktorenanalyse: 1 R = h R h = 1... hp 2 25 / 43

26 Kommunalitäten Varianzanteil einer Variable, der durch die Faktoren erklärt wird iterative Schätzung Startkommunalitäten: quadrierter multiple Korrelationskoeffizient betragsmäßig größte Korrelationskoeffizient zweier Variablen 26 / 43

27 Iterative Schätzung der Kommunalitäten Einsetzen der Startkommunalitäten in R Berechnen der Ladungsmatrix L mit k Eigenvektoren und Eigenwerten Berechnung von LL T = R h Diagonale von R h enthält Kommunalitäten für den 2.Iterationsschritt 27 / 43

28 1. Faktorenextraktion 2. Rotation der Faktoren 3. Berechnung der Faktorenwerte 28 / 43

29 Rotation der Faktoren Ziel der Rotation: eindeutige Zuordnung einfachere Interpretation 29 / 43

30 unrotierte Ladungsmatrix V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V16 V17 V18 V19 V20 F1 F2 F3 F4 F / 43

31 Ladungsmatrizen unrotiert: F1 F2 F3 F4 F5 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V16 V17 V18 V19 V20 rotiert: F1 F2 F3 F4 F5 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V16 V17 V18 V19 V20 31 / 43

32 Rotation Faktoren vor der Rotation: Faktor 2 90 Faktor 1 32 / 43

33 Rotation Faktoren nach orthogonaler Rotation: Faktor 2 Faktor 1 90 α 33 / 43

34 Rotation Faktoren nach obliquer Rotation: Faktor 2 Faktor 1 β α 34 / 43

35 Rotation Gesucht ist eine Rotationsmatrix M α mit Rotationswinkel α: L M α = L Für 2 orthogonale Faktoren: l 11 l 12 ( ) l 11 l 12 L M α cos α sin α =.. = sin α cos α.. = L l p1 l p2 lp1 lp2 35 / 43

36 Rotationsmethoden orthogonale Rotationen Varimax: Quartimax: oblique Rotationen Promax: Oblimax: 36 / 43

37 1. Faktorenextraktion 2. Rotation der Faktoren 3. Berechnung der Faktorenwerte 37 / 43

38 Faktorenwerte Ausprägungen der Personen auf die Faktoren Schätzverfahren: Summenscores Bartlett-Methode Anderson-Rubin-Methode Ten Berge 38 / 43

39 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 39 / 43

40 Literaturverzeichnis I [1] J. Bortz and C. Schuster. Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. Lehrbuch mit Online-Materialien. Springer, S.415, [2] F. Brosius. SPSS 19. mitp, S.787, [3] A. Bühl. SPSS 16: Einführung in die moderne Datenanalyse. Pearson Studium, S.527, [4] M. Bühner. Einführung in die Test- und Fragebogenkonstruktion. Pearson Studium, S , [5] C. DiStefano, M. Zhu, and D. Mindrila. Understanding and using factor scores: Considerations for the applied researcher. Practical Assessment, Research & Evaluation, 14(20): S.1 11, / 43

41 Literaturverzeichnis II [6] B. Everitt and T. Hothorn. An Introduction to Applied Multivariate Analysis with R. Springer New York, S.141, [7] L. Fahrmeir, W. Brachinger, A. Hamerle, and G. Tutz. Multivariate statistische Verfahren. de Gruyter, S , [8] T. Fehr. Big Five: Die fünf grundlegenden Dimensionen der Persönlichkeit und ihre dreißig Facetten. aufgerufen am: [9] J. W. Grice. Computing and evaluating factor scores. Psychological Methods, 6(4): S , [10] J. L. Horn. A rationale and test for the number of factors in factor analysis. Psychometrika, 30(2): S , / 43

42 Literaturverzeichnis III [11] H. F. Kaiser. The varimax criterion for analytic rotation in factor analysis. Psychometrika, 23(3): S , [12] L. Knüsel. Factor analysis: Chisquare as rotation criterion. http: //epub.ub.uni-muenchen.de/6350/1/tr040.pdf, aufgerufen am: [13] M. Noack. Faktorenanalyse. stein/faktorenanalyse.pdf, aufgerufen am: [14] W. Revelle. psych: Procedures for Psychological, Psychometric, and Personality Research. Northwestern University, Evanston, Illinois, R package version / 43

43 Literaturverzeichnis IV [15] O. Walter. Intelligenz. de/psychologie/personlichkeit/intelligenz/ intelligenz.htm#globalmodell. aufgerufen am: / 43