5. Arbeitsschritt: Skalenkonstruktion mit Hilfe der Faktorenanalyse

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1 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe Arbeitsschritt: Skalenkonstruktion mit Hilfe der Faktorenanalyse Mit Hilfe der orthogonalen Hauptkomponenten- und Faktorenanalyse haben wir die in Abbildung 12 des vorherigen Kapitels enthaltenen Messmodelle für die Konstrukte Xenophobie, Antisemitismus und Autoritäre Unterwürfigkeit überprüft und deren Gültigkeit festgestellt. Bei den zu einem Konstrukt gehörenden Items haben wir erhebliche Unterschiede in der Höhe der Faktorladungen festgestellt. Beispielsweise lag die Ladung des Items V138A bei der Varimaxrotierten Hauptkomponentenlösung mit +0,45 deutlich unter denjenigen der anderen Antisemitismusitems, die mindestens einen Ladungskoeffizienten von +0,74 aufweisen. Dasselbe gilt für das Item V13A (Wichtigkeit des Erziehungsziels Gehorsam), das mit seiner Ladung von +0,52 deutlich niedriger liegt als die beiden anderen Autoritarismusitems V69 und V70 mit: +0,79 bzw. +0,73. Da wir die Faktorladung als geschätzte Korrelation zwischen Item und Faktor interpretieren, müssen wir sie lediglich quadrieren, um die Messgenauigkeit des Items auf seiner Zieldimension zu bestimmen. Analog zum Determinationskoeffizienten der Regressionsanalyse läßt sich dieses spezielle b² dergestalt interpretieren, daß je höher der Varianzanteil des Items ist, der durch den betrachteten gemeinsamen Faktor gebunden oder erklärt wird, desto besser mißt das Item seine Zieldimension. Während der gemeinsame Varianzanteil des Antisemitismusfaktors bei V138A nur bei 20, 3% liegt, erreicht er bei den anderen drei Items (V137, V139, V140) mindestens 54,8 %. Ein ähnliches Bild bietet sich uns beim Autoritarismusfaktor. Hier liegt die Messgenauigkeit des Items V13A bei 27,0%, während die Items V69 und V70 62,4 % bzw. 53,3 % erreichen. Beim Xenophobiefaktor schwankt die Reliabilität auf Itemebene zwischen 38,4% bei V50 und 57,8% bei V51. Angesichts dieser offensichtlichen Schwankungen der Messgenauigkeit erweist sich die klassische Skalenkonstruktion in der Form eines ungewichteten Summenindexes, wie sie Cronbach bei seinem 2-äquivalenten Messmodell praktiziert, als durchaus realitätsfern. Wir müssen daher überlegen, wie wir die unterschiedlichen Reliabilitäten der Items bei der Skalenkonstruktion berücksichtigen können. Mit Hilfe der Hauptkomponenten-/Faktorenanalyse können wir die Gewichte der Items für eine linear-additive Skalenbildung bestimmen. Diese enge Verbindung zwischen Faktorenanalyse und Skalenkonstruktion veranschaulicht das Pfaddiagramm in der Abbildung 21. Mit Hilfe der Hauptachsenmethode haben wir neben den gemeinsamen Ladungen der drei Items X 1, X 2 und X 3 auf dem Faktor F ihre jeweiligen Meßfehler in Sinne ihrer spezifischen oder uniquen Faktoren (U 1, U 2, U 3 ) bestimmt. Im Sinne unseres Ziels, die Daten zu reduzieren, müssen wir für jeden Befragten einen Punktwert ( score ) auf den latenten Variablen Xenophobie, Antisemitismus und Autoritäre Unterwürfigkeit ermitteln. In der Terminologie der Faktorenanalyse wird dieser Punktwert als factor score bezeichnet. Er ergibt sich aus der gewichteten Linearkombination der Antworten des Befragten auf die einzelnen Items. Die zugehörigen Gewichte der Items w 1, w 2 und w 3 werden im Englischen als factor score coefficients bezeichnet. Im deutschen Sprachraum sind eher der Termini Faktor-Beta-Ladungen (Thome 1990, S. 34) oder Faktorbetagewichte (Holm 1976, S. 74) geläufig.

2 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe Abbildung 21: Pfaddiagramm zur Veranschaulichung des Zusammenspiels von Faktorenanalyse und Skalenkonstruktion (Kim&Mueller 1978b, S. 62) Da die Faktorenanalyse von z-standardisierten Variablen und ihren Korrelationen ausgeht, erhalten wir die entsprechenden Faktorwerte, indem wir für jeden Faktor die z-standardisierten Antworten der Befragten mit dem zugehörigen Faktorbetagewicht des Items multiplizieren und anschließend aufsummieren.

3 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe J ˆF ik j1 w jk Z Xij Legende: ˆF ik : w jk : Z Xij : Wert für Proband i auf Faktor k Faktorbetagewicht des Items j auf Faktor k Z standardisierter Wert der Antwort von Proband i auf Item j (30) Berechnung der Faktorwerte mit Hilfe der Faktorbetagewichte Die Berechnungsart der Faktorbetagewichte w j hängt davon ab, ob wir eine Hauptkomponenten oder Hauptachsenanalyse zuvor durchgeführt haben. Nur für die Hauptkomponentenlösung lassen sich die zugehörigen Faktorenwerte exakt berechnen. Hingegen müssen wir die Betagewichte nach der Hauptachsenlösung mit Hilfe der Kleinsten-Quadrate-Schätzung ermitteln. Hierfür stehen uns die Regressions-, die Bartlett- und die Anderson-Rubin-Methode in SPSSfWin zur Verfügung. Die ersten beiden werden im Folgenden detailliert dargestellt. Berechnung der Faktorwerte für die Hauptkomponentenlösung Mit Hilfe der Matrixalgebra können wir die Faktorbetagewichte für die Hauptkomponentenlösung nach der folgenden Formel direkt ermitteln, wobei sie für die orthogonale und oblique Rotation gleichermassen gilt. Bei erster sind die Ladungs- und Strukturmatrix identisch, hingegen müssen wir bei letzterer zwischen beiden unterscheiden. Diese exakte Berechnung ist möglich, weil wir die Meßfehler der Items, ihre uniquen Faktoren, einfach ignorieren. Arminger (1979, S. 114f.) stellt ausführlich die Ableitung der Faktorbetagewichte und der Faktorwerte dar.

4 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe Berechnung der Faktorbetagewichte W bei der Hauptkomponentenlösung: Für die Hauptkomponentenlösung gilt: 1) Z X B F 2) R B B 3) G B B Vormultiplizieren von 1) mit B ergibt: 4) B Z X B B F Division durch (B B) ergibt: 5) F (B B) 1 B Z X G 1 B Z X W (B B) 1 B G 1 B Legende: W: Vektor der Faktorbetagewichte B: Strukturmatrix der Faktorladungen nach der Rotation B : Transponierte Strukturmatrix der Faktorladungen nach der Rotation G: Diagonalmatrix der Eigenwerte Z X : Matrix der z standardisierten Items/Variablen (31) Berechnung der Faktorbetagewichte für die Hauptkomponentenlösung Setzen wir die ermittelten Faktorbetagewichte in die Formel 30 ein, so erhalten wir die entsprechenden Faktorwerte für jeden Probanden. Die Faktorwerte des Hauptkomponentenmodells verfügen über einen Erwartungswert von Null und eine Varianz von Eins, wobei sie über die verschiedenen Komponenten hinweg nicht korrelieren. Dies bedeutet, daß die Unabhängigkeit der Konstrukte als wesentliche Annahme unseres Messmodells auch nach der Skalenbildung erhalten bleibt. In SPSSfWin fordern wir die Berechnung der Faktorbetakoeffizienten, der Faktorwerte für die einzelnen Befragten und ihre externe Speicherung in der Arbeitsdatei über das Wertemenu der Faktorenanalyse an. Bei der Hauptkomponentenlösung berechnet SPSSfWin stets die exakten Faktorwerte unabhängig von der im Menu gewählten Methode.

5 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe SPSSfWin-Menu: Faktorenanalyse - Werte... Mit Hilfe der SPSSfWin-Kommandosprache können wir ebenfalls die Berechnung der Faktorwerte anfordern, indem wir sie über die /SAVE-Option und das gewählte Verfahren REG, BART oder AR angeben. Zusätzlich können neben der Faktorenzahl auch Namensstämme für die neuen Faktorwertvariablen angeben. Schränken wir die Faktorenzahl nicht ein oder geben wir lediglich ALL an, so berechnet SPSSfWin die Faktorwerte für alle Hauptkomponenten, die einen Eigenwert größer als Eins haben. Um die Faktorbetagewichte zu erhalten, müssen wir auf der /PRINT- Anweisung die Option FSCORE angeben. SPSSfWin-Syntax: * Berechnung der Faktor-Beta-Gewichte und der Faktorscores. FACTOR /VARIABLES v50 v51 v52 v53 v13a v69 v70 v137 v138a v139 v140 /MISSING LISTWISE /ANALYSIS v50 v51 v52 v53 v13a v69 v70 v137 v138a v139 v140 /PRINT UNIVARIATE INITIAL CORRELATION KMO AIC EXTRACTION ROTATION FSCORE /PLOT EIGEN ROTATION /CRITERIA MINEIGEN(1) ITERATE(25) /EXTRACTION PC /CRITERIA ITERATE(25) /ROTATION VARIMAX /SAVE=REG (3 PCFSC). Neben dem uns bereits bekannten Protokoll der Hauptkomponentenlösung erhalten wir dann die folgenden Angaben:

6 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe SPSSfWin-Ausgabeprotokoll: Factor Score Coefficient Matrix: Exakte Faktorbetagewichte der Hauptkomponentenlösung Xenophobie Antisemi- Autoritäre tismus Unterwürfigkeit Factor 1 Factor 2 Factor 3 V50, , ,02790 V51, , ,14256 V52, , ,13502 V53, ,11874,00950 V13A -,00754,01716,30831 V69 -, ,09537,57703 V70 -, ,06625,49302 V137 -,14273,40100,10803 V138A -,03237, ,15070 V139 -,07807, ,05908 V140 -,09657,39826, F A C T O R A N A L Y S I S Covariance Matrix for Estimated Regression Factor Scores: Factor 1 Factor 2 Factor 3 Factor 1 1,00000 Factor 2, ,00000 Factor 3,00000, , PC EXACT factor scores will be saved with rootname: PCFSC Following factor scores will be added to the working file: Name Label PCFSC1 REGR factor score 1 for analysis 1 PCFSC2 REGR factor score 2 for analysis 1 PCFSC3 REGR factor score 3 for analysis 1 Wir erhalten die Faktorwerte für die Konstrukte Xenophobie, Antisemitismus und autoritäre Unterwürfigkeit, indem wir gemäß Formel 30 jeweils pro Item die z-standardisierte Antwort des Probanden mit dem Faktorbetagewicht des Items multiplizieren und über alle Items hinweg aufsummieren.

7 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe Berechnung der Faktorenwerte für die drei Subdimensionen des autoritären Charakters: ˆF Xenophobie i 0,32276Z V50 i 0,42276Z V51 i 0,41548Z V52 i 0,35616Z V53 i 0,00754Z V13A i 0,14393Z V69 i 0,06454Z V70 i 0,14273Z V137 i 0,03237Z V138A i 0,07807Z V139 i 0,09657Z V140 i ˆF Antisemitismus i 0,08320Z V50 i 0,07125Z V51 i 0,06695Z V52 i 0,11874Z V53 i 0,01716Z V13A i 0,09537Z V69 i 0,06625Z V70 i 0,40100Z V137 i 0,27004Z V138A i 0,42885Z V139 i 0,39826Z V140 i ˆF Autoritäre Unterwürfigkeit i 0,02790Z V50 i 0,14256Z V51 i 0,13502Z V52 i 0,00950Z V53 i 0,30831Z V13A i 0,57703Z V69 i 0,49302Z V70 i 0,10803Z V137 i 0,15070Z V138A i 0,05908Z V139 i 0,02870Z V140 i (32) Berechnung der Faktorwerte für Xenophobie, Antisemitismus und autoritäre Unterwürfigkeit mit Hilfe der zugehörigen Faktorbetagewichte Der Kovarianzmatrix der geschätzten Faktorwerte ( Covariance Matrix for Estimated Regression Factor Scores ) können wir entnehmen, daß im Hauptkomponentenmodell ihre Varianz Eins und ihre Kovarianz untereinander Null ist. Des weiteren informiert uns SPSSfWin darüber, daß es die Faktorwerte in drei neuen Variablen mit dem vorgegebenen Wortstamm PCFSC und der Faktornummer abgespeichert. Unter diesem Variablennamen können wir bei späteren Analysen auf die Faktorwerte zugreifen. Die Verteilung der Faktorwerte der Xenophobie-, Antisemitismus- sowie der Autoritarismus- Hauptkomponenten lassen sich anschaulich über die folgenden Histogramme darstellen.

8 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe ,50-2,00-1,50-1,00 -,50 0,00,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 Std.abw. = 1,00 Mittel = 0,00 N = 1998,00 REGR factor score 2 for analysis 1 Abbildung22: Verteilung der Faktorwerte der Antisemitismus-Hauptkomponente mit Normalverteilungskurve ,50-2,00-1,50-1,00 -,50 0,00,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 Std.abw. = 1,00 Mittel = 0,00 N = 1998,00 REGR factor score 1 for analysis 1 Abbildung23: Verteilung der Faktorwerte der Xenophobie-Hauptkomponente mit Normalverteilungskurve

9 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe ,25-1,75-1,25 -,75 -,25,25,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 Std.abw. = 1,00 Mittel = 0,00 N = 1998,00 REGR factor score 3 for analysis 1 Abbildung25: Verteilung der Faktorwerte der Autoritarismus-Hauptkomponente mit Normalverteilungskurve Schätzung der Faktorbetagewichte mit Hilfe der Regressionsmethode nach der Hauptachsenlösung Im Gegensatz zur Hauptkomponentenlösung berücksichtigt das Hauptachsenverfahren ausdrücklich die Meßfehler der Items/Variablen, die es als spezifische oder unique Faktoren ins Modell aufnimmt. Diese Meßfehler führen dazu, daß wir keine exakten Faktorbetagewichte und Faktorwerte berechnen können, sondern wir müssen die Betagewichte W k mit Hilfe der Regressions-, Bartlett- oder der Anderson-Rubin-Methode schätzen. Die Werte der einzelnen Faktoren ergeben sich aus linear-additiven Kombination der Faktorbetagewichte mit den Werten der z-standardisierten Items/Variablen und einem Fehlerterm e j :

10 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe ˆF Xenophobie i W F1V50 Z V50 i W F1V51 Z V51 i W F1V52 Z V52 i W F1V53 Z V53 i W F1V13A Z V13A i W F1V69 Z V69 i W F1V70 Z V70 i W F1V137 Z V137 i W F1V138A Z V138A i W F1V139 Z V139 i W F1V140 Z V140 i e Xenophobie ˆF Antisemitismus i W F2V50 Z V50 i W F2V51 Z V51 i W F2V52 Z V52 i W F2V53 Z V53 i W F2V13A Z V13A i W F2V69 Z V69 i W F2V70 Z V70 i W F2V137 Z V137 i W F2V138A Z V138A i W F2V139 Z V139 i W F2V140 Z V140 i e Antisemitismus ˆF Autoritäre Unterwürfigkeit i W F3V50 Z V50 i W F3V51 Z V51 i W F3V52 Z V52 i W F3V53 Z V53 i W F3V13A Z V13A W i F3V69 Z V69 W i F3V70 Z V70 i W F3V137 Z V137 W i F3V138A Z V138A W i F3V139 Z V139 W i F3V140 Z V140 i e Autoritäre Unterwürfigkeit In Matrixnotation: F W Z X E Legende: F: Matrix der Faktorwerte der Faktoren W: Matrix der Faktorbetagewichte Z X : Matrix der z standardisierten Items/Variablen E: Matrix der Residuen/Meßfehler der Faktorwerte (33) Gleichungen zur Berechnung der Faktorwerte im Hauptachsenmodell Mit Hilfe der Kleinste-Quadrate-Schätzung des Regressionsmodells können wir die Faktorbetagewichte dergestalt bestimmen, daß die Summe der quadrierten Fehlerterme (*e²) ein Minimum annimmt. Anders ausgedrückt haben wir die Faktorbetagewichte so zu bestimmen, daß die Korrelation zwischen den wahren Werten des gemeinsamen Faktors und den geschätzten Faktorwerten möglichst hoch ausfällt. Dieses Minimierungskriterium der OLS-Schätzung ist anwendbar, da uns die Faktorenanalyse zum einen die Korrelationen zwischen den Faktoren und Items in der rotierten Ladungsmatrix als Faktorladungen zur Verfügung stellt und zum anderen die Interkorrelation der Prädiktoren in Form der Korrelationsmatrix der Items vorliegen.

11 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe Strukturgleichungen des Hauptachsenmodells in Matrixform: Z X B F D U Minimierungskriterium der "Regressionsmethode"(OLS Schätzung): n i1 J j1 (Z Xij B j ˆF) 2 < Minimum mit ˆF W Z X Legende: Z X : Matrix der z standardisierten Items/Variablen B: Rotierte Faktorladungsmatrix/Strukturmatrix F: "Wahren Faktorwerte" D: Ladungsmatrix der uniquen/spezifischen Faktoren U: Matrix der uniquen Faktoren/Meßfehler ˆF: Matrix der geschätzten Faktorwerte W: Matrix der Faktorbetagewichte i,n: Laufindizes der Fälle/Beobachtungen j,j: Laufindizes der Items/Variablen (34) Minimierungskriterium der Regressionsmethode für die Schätzung der Faktorbetagewichte Arminger (1979, S.116) ermittelt die zugehörigen Faktorbetagewichte mit Hilfe der Matrixalgebra folgendermaßen:

12 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe Schätzung der Faktorbetagewichte mit dem Kleinste Quadrate Kriterium: W F X (X X ) 1 W 1 n F X 1 n (XX ) 1 Bei z standardisierten Variablen gilt: 1 n (X X ) R 1 n (F X ) B Matrixlösung der OLS Schätzung bei Populationsdaten: W B R 1 und ˆF B R 1 Z X Für Stichprobendaten empfehlen Kim&Mueller (1978b,S.50) die Verwendung der reproduzierten Korrelationsmatrix ˆR: W B (B B ) 1 und ˆF B (B B ) 1 Z X (35) Schätzung der Faktorbetagewichte mit der Regressionsmethode Die mit Hilfe von Formel 35 ermittelten Faktorbetagewichte müssen wir in die Gleichungen der Formel 33 einsetzen, um die Faktorwerte für jeden Probanden auf den drei Faktoren Xenophobie, Antisemitismus und Autoritäre Unterwürfigkeit zu erhalten. SPSSfWin berechnet im Rahmen der Hauptachsenlösung die zugehörigen Faktorbetagewichte und Faktorwerte mit Hilfe der Regressionsmethode, wenn wir sie im Untermenu Werte... der Faktorenanalyse ausdrücklich anfordern. Alternativ hierzu können wir dies ebenfalls über Kommandosprache spezifizieren. SPSSfWin-Syntax: * Berechnung der Faktor-Beta-Gewichte/Faktorscores im PAF-Modell. FACTOR /VARIABLES v50 v51 v52 v53 v13a v69 v70 v137 v138a v139 v140 /MISSING LISTWISE /ANALYSIS v50 v51 v52 v53 v13a v69 v70 v137 v138a v139 v140 /PRINT UNIVARIATE INITIAL CORRELATION KMO AIC EXTRACTION ROTATION FSCORE /PLOT EIGEN ROTATION /CRITERIA MINEIGEN(1) ITERATE(25) /EXTRACTION PAF /CRITERIA ITERATE(25) /ROTATION VARIMAX /SAVE=REG (3 PAFFSC).

13 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe SPSSfWin-Ausgabeprotokoll: Faktorbetagewichte nach Hauptachsenextraktion Factor Score Coefficient Matrix: OLS-Regression-Methode Antisemitismus Xenophobie Autoritäre Unterwürfigkeit Factor 1 Factor 2 Factor 3 V50 -,00886,14503,04987 V51 -,03362, ,07715 V52 -,02184, ,05584 V53 -,05773,25007,08523 V13A,00578,02443,16185 V69 -, ,04844,32076 V70 -, ,04338,43848 V137, ,13161,10436 V138A,06312, ,03821 V139, , ,09796 V140, ,03841,00334 Sehen wir uns die Kovarianzmatrix der geschätzten Faktorwerte genauer an, so zeigt sich, daß sie deutlich kovarieren. Dies bedeutet, daß trotz der dem Hauptachsenmodell zugrunde liegenden Annahme der statistischen Unabhängigkeit der Faktoren ihre Faktorwertskalen durchaus miteinander korrelieren können. Covariance Matrix for Estimated Regression Factor Scores: Antisemitismus Xenophobie Autoritäre Unterwürfigkeit Factor 1 Factor 2 Factor 3 Factor 1,69996 Factor 2,11998,63053 Factor 3,06653,13936,53650 Dies ist deutlich in der zusätzlich berechneten Korrelationsmatrix der Faktorwerte ersichtlich. Die Skalenwerte der Xenophobie- und Autoritarismusskalen korrelieren auf der Befragtenebene mit +0,24, diejenigen der Antisemitismus- und Xenophobieskalen mit +0, Correlation Coefficients - - Antisemitismus Xenophobie Autoritäre Unterwürfigkeit PAFFSC1 PAFFSC2 PAFFSC3 PAFFSC1 1,0000,1806**,1086** PAFFSC2,1806** 1,0000,2396** PAFFSC3,1086**,2396** 1,0000 * - Signif. LE,05 ** - Signif. LE,01 (2-tailed) In der Hauptdiagonalen der Kovarianzmatrix der Faktorwerte können wir ebenfalls die verallgemeinerte Reliabilität (Messgenauigkeit oder Zuverlässigkeit) der Faktorskalen ablesen. In der klassischen Testtheorie handelt es sich bei ihr um die quadrierte Korrelation zwischen den wahren und den geschätzten Faktorwerten. Nach Kim&Mueller (1979b, S. 65) ist sie folgendermaßen definiert und gibt uns die Untergrenze der geschätzten Reliabilität an:

14 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe Berechnung der Verallgemeinerten Reliabilität (r 2 F, ˆF ) einer regressionsbasierten Faktorskala: J var( ˆF) Verallgemeinerten Reliabilität (r 2 F, ˆF ) j1 var( ˆF) (1 h 2 j )w j [0;1] var( ˆF) i Legende j w i w j r ij F: Wahre Faktorwerte ˆF: Geschätzte Faktorwerte var( ˆF): Varianz der geschätzen Faktorwerte h 2 j : Kommunalität der Variablen j w i : Faktorbetagewicht für Variable i w j : Faktorbetagewicht für Variable j r ij : Korrelation zwischen Variablen i und j (36) Berechnung der Verallgemeinerten Reliabilität einer regressionsbasierten Faktorskala Wir schätzen die Varianz unser Faktorwerte, indem wir jeweils die Korrelation zweier Items mit ihren zugehörigen Faktorbetagewichten multiplizieren und über alle Items/Variablen hinweg aufsummieren. Hiervon ziehen wir die Summe der mit den zugehörigen Faktorbetagewichten multiplizierten Messfehleranteile ab. In seinem Aufbau folgt dieser Reliabilitätskoeffizient der Logik der proportionalen Fehlerreduktion, indem er die durch die gemeinsamen Faktoren gebundene Varianz der Items ins Verhältnis zur theoretisch erwartbaren Gesamtvarianz setzt. Je höher die Kommunalitäten der Items ausfallen, desto höher ist die Reliabilität der Faktorskala zu veranschlagen. Sie ist mindestens so groß wie das Quadrat der höchsten Faktorladung eines Items auf dem zugehörigen Faktor. Daher ist es wichtig, daß mindestens ein Item auf dem Faktor sehr hoch lädt. Im Vergleich zu unseren Reliabilitätsanalysen auf der Basis einfacher Summenskalen zeigen sich folgende Unterschiede:

15 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe Tab. 6: Vergleich der geschätzten Untergrenzen der Reliabilitäten der Summen- und faktorbasierten Skalen (Regressionsmethode der Hauptachsenlösung) Zieldimension/ Konstrukt: Summenskala: 2-äquivalentes Messmodell Cronbach s. Faktorskala: kongenerisches Messmodell Verallgemeinertes. Antisemitismus 0,6754 0,7000 Xenophobie 0,7411 0,6305 Autoritäre Unterwürfigkeit 0,5426 0,5365 Der Vergleich zeigt, daß die Verwendung eines faktorbasierten Messmodells nicht zwingender maßen einer einfachen Summenskala überlegen sein muß. Beispielsweise liegt die geschätzte Untergrenze der Reliabilität für den einfachen Summenindex der Xenophobie mit 0,74 deutlich über derjenigen der faktorbasierten Skala mit 0,63. Nur bei der Antisemitismusskala liegt das Faktorenmodell mit 0,70 im Vergleich zu 0,68 leicht vorn. Hingegen fallen die Unterschiede bei der Autoritären Unterwürfigkeit so gering aus, als wir sie als gleichermaßen schlecht bezeichnen können. Schätzung der Faktorbetagewichte mit Hilfe der Bartlett-Methode Im Gegensatz zur Regressionsmethode berücksicht das Bartlett-Verfahren die Messfehleranteile der Items direkt bei der Schätzung der Faktorbetagewichte. Quadrieren wir die unique/singuläre Ladung eines Items, so erhalten wir dessen Anteil an Fehler- oder Restvarianz, die durch die gemeinsamen Faktoren nicht gebunden wird.. Beim Verfahren fungiert der Kehrwert dieses Fehleranteils als Gewichtungsfaktor für die Schätzung der Faktorbetagewichte. Es handelt sich daher um eine gewichtete Kleinste-Quadrate-Schätzung (WLS). Durch die Gewichtung erhalten Items mit hoher Messfehleranteilen ein deutlich geringeres Gewicht bei der Parameterschätzung. Umgekehrt steigt der Einfluß von Items mit niedrigen Messfehleranteilen.

16 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe Minimierungskriterium der "Bartlett Methode"(WLS Schätzung): n i1 J j1 (Z Xij B j ˆF) 2 d 2 j < Minimum mit ˆF W Z X Übersetzung in Matrixalgebra: W B (B U 2 B ) 1 und ˆF B (B U 2 B ) 1 Z X U 2 Legende: Z X : Matrix der z standardisierten Items/Variablen B: Rotierte Faktorladungsmatrix/Strukturmatrix F: "Wahren Faktorwerte" d 2 j : Quadrat der uniquen/spezifischen Faktorladung von Item j D 2 : Diagonalmatrix der uniquen Faktorladungsquadrate U: Matrix der uniquen Faktoren/Meßfehler ˆF: Matrix der geschätzten Faktorwerte W: Matrix der Faktorbetagewichte i,n: Laufindizes der Fälle/Beobachtungen j,j: Laufindizes der Items/Variablen (37) Berechnung der Faktorbetagewichte nach der Bartlett-Methode (WLS-Schätzung) Wenn wir im Werte... -Untermenu der Faktorenanalyse die Schätzung der Faktorbetagewichte nach der Bartlett-Methode anfordern erhalten wir die folgende Matrix von Faktorwertregressionskoeffizienten:

17 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe Factor Score Coefficient Matrix: Bartlett-Methode Antisemitismus Xenophobie Autoritäre Unterwürfigkeit Factor 1 Factor 2 Factor 3 h² V50 -,05446,23701, ,2861 V51 -,14057, , ,5065 V52 -,10835, , ,4831 V53 -,16653,41697, ,4314 V13A -, ,03232, ,2356 V69 -, ,20465, ,2917 V70 -, ,23961, ,4246 V137, ,36619, ,5594 V138A,09278, , ,0624 V139, , , ,5235 V140, , , ,4812 Im Vergleich zur OLS-Schätzung erreichen die Faktorbetagewichte der Bartlett-Methode fast doppelt so hohe Koeffizientenwerte, wobei Items mit niedrigen Kommunalitäten deutlich niedrigere Betagewichte aufweisen. Bartlett basierte Faktorskalen können ebenfalls korrelieren, obwohl die sie konstituierenden Faktoren orthogonal sind. Dies ist in der folgenden Korrelatonsmatrix der Faktorskalenwerte deutlich erkennbar, die zeigt, daß die Skalenwerte des Antisemitismus negativ mit der Xenophobie (r = -0,16) und letztere negativ mit dem Autoritarismus korrelieren (r = -0,23). - - Correlation Coefficients - - Antisemitis- Xenophobie Autoritäre mus Unterwürfigkeit PAFBFSC1 PAFBFSC2 PAFBFSC3 PAFBFSC1 1,0000 -,1602** -,0684** PAFBFSC2 -,1602** 1,0000 -,2250** PAFBFSC3 -,0684** -,2250** 1,0000 * - Signif. LE,05 ** - Signif. LE,01 (2-tailed) An dieser Schwachstelle setzt die Anderson-Rubin-Methode für die Schätzung der Faktorbetagewichte an. Ebenso wie das Bartlett-Verfahren minimiert sie die Abweichungsquadrate mit Hilfe der Gewichteten-Kleinste-Quadrate-Methode (WLS-Schätzung) unter der Restriktion, daß die zu ermittelnden Skalen orthogonal sind. Wenn wir im Werte... Untermenu der Faktorenanalyse die Anderson-Rubin-Methode zur Berechnung der Faktorwerte wählen, erhalten wir die folgende Matrix der Faktorbetagewichte:

18 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe Factor Score Coefficient Matrix: Anderson-Rubin-Methode Antisemitismus Xenophobie Autoritäre Unterwürfigkeit Factor 1 Factor 2 Factor 3 V50 -,02723,18472,03894 V51 -,07773, ,16480 V52 -,05515, ,13035 V53 -,10581,32221,08453 V13A -,00535,00178,22500 V69 -, ,10866,45872 V70 -, ,11710,62543 V137, ,22542,14570 V138A,07534, ,05590 V139, , ,15091 V140, , ,00446 Ob die entsprechenden Faktorwerte tatsächlich unkorreliert sind, können wir direkt mit Hilfe der Korrelationsanalyse überprüfen. Wir erhalten dann die folgende Korrelationsmatrix, die eindeutig zeigt, daß die Anderson-Rubin-Methode zur Schätzung der Faktorbetagewichte zu stochastisch unabhängigen Faktorwerten führt. - - Correlation Coefficients - - Antisemitismus Xenophobie Autoritäre Unterwürfigkeit PAFARFS1 PAFARFS2 PAFARFS3 PAFARFS1 1,0000,0000,0000 PAFARFS2,0000 1,0000,0000 PAFARFS3,0000,0000 1,0000 * - Signif. LE,05 ** - Signif. LE,01 (2-tailed) ", " is printed if a coefficient cannot be computed Angesichts des Problems, daß die Faktorwerte nicht nur untereinander sondern auch mit den Faktoren korreliert sein können, stellt sich die Frage, ob sie wirklich einfachen Summenindizes überlegen sind. Um dies zu überprüfen, müssen wir lediglich die Faktorwerte der unterschiedlichen Methoden mit den einfachen ungewichteten Summenscores der Befragten korrelieren oder gegeneinander in Form von Streudiagrammen plotten. Hierfür müssen wir zunächst die Antworten der Befragten auf dem Items die zu den Zieldimension CXenophobie", CAntisemitismus" sowie Cautoritäre Unterwürfigkeit" gehören jeweils aufsummieren.

19 Dr. Wolfgang Langer - Methoden V: Explorative Faktorenanalyse SoSe SPSSfWin-Syntax zur Berechnung der einfachen Summenskalen : * Bildung der einfachen Summenskalen. COMPUTE XENOPHOB=V50+V51+V52+V53. COMPUTE AUTORITU=V13a+V69+V70. COMPUTE ANTISEMI=V137+V138a+V139+V140. FREQUENCIES /VARIABLES=XENOPHOB,AUTORITU,ANTISEMI. Tabelle 7 gibt die Korrelationen zwischen den Summenskalen und den nach den unterschiedlichen Methoden gebildeten Faktorskalen wider. Die niedrigsten Korrelationen finden wir zwischen den Summenskalen und der nach der Bartlett-Methode berechneten Faktorwerten. Für das Konstrukt CXenophobie" liegt sie bei r=0,86, was einem gemeinsamen Varianzanteil von rd. 74,0 % (r ² in %) entspricht. Bei den exakten Faktorwerten der Hauptkomponentenlösung liegt die Korrelation zwischen einfacher Summen- und Faktorwertskala im Durchschnitt bei einem Pearson s r von 0,95, was einer Varianzaufklärung von rd. 90,3% entspricht. Diese Korrelationen fallen bei der Regressionsmethode zur Schätzung der Faktorbetagewichte nach einer Hauptachsenlösung so gar noch etwas höher aus. Tab. 7: Vergleich der Faktorwertskalen mit den einfachen Summenindizes (Pearson s r) Zieldimension / Konstrukt: PC: Exakte Werte PAF: OLS- Regression PAF: WLS- Bartlett PAF: Anderson-Rubin Summenindizes: Xenophobie 0,9513 0,9611 0,8574 0,9184 Antisemitismus 0,9564 0,9513 0,9028 0,9308 Autoritäre Unterwürfigkeit 0,9514 0,9646 0,9141 0,9451. Angesichts dieser hohen Korrelationen zwischen den einfachen Summenindizes und den diversen Faktorwerten behalten erstere durchaus ihre Existenzberechtigung bei und erweisen sich in der Forschungspraxis den Faktorwerten gegenüber als durchaus gleichberechtigt.