Statistische Methoden in der Wirtschaftsund Sozialgeographie

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1 Statistische Methoden in der Wirtschaftsund Sozialgeographie Ort: Zeit: Multimediapool Rechenzentrum Mittwoch Uhr Material: Thema: Beschreibung und Analyse Wirtschafts- und Sozialgeographischen Datenmaterials mit multivariaten Statistikmethoden wie Regressions-, Faktor-, Cluster- oder Diskriminanzanalyse. Einblick in Schätz-, Test- und Modellierungstheorie Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie

2 Inhalt 9. Lehrveranstaltung 9 Z-Transformation 9.0 Problem 9. Berechnung 0 auptkomponenten- und Faktorenanalyse 0.0 Problem 0. Voraussetzungen und Ziel 0. Korrelationsmatrix 0.3 Grundidee 0.4 auptkomponentenanalyse Mathematische Lösung des Problems 0.4. Interpretation der Ergebnisse 0.4. Methoden zur Auswahl der auptkomponenten Berechnung mit SPSS Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie / LV9

3 9 Z-Transformation 9.0 Problem Bei der multivariaten Statistik werden oft Zahlen mit verschiedenen Größenordnungen analysiert (Einwohnerzahlen, durchschnittliches Jahreseinkommen, Kind pro aushalt). Um aber die Schwankungen untereinander zu vergleichen, muss eine Standardisierung (Studentisierung, Z-Transformation) vorgenommen werden Reihe Reihe 6 5 Z(Reihe) Z(Reihe) Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie 3 / LV9

4 9. Berechnung Gegeben sind die Werte x,,xn. Die standardisierten Zahlen z,,zn berechnen sich mit: z i = xi σ x x x σ x - Stichprobenmittelwert - Stichprobenstreuung Eigenschaften der z-werte-verteilung: die Z-Transformation ist eine lineare Abbildung der Werte xi auf die Werte zi Mittelwert -> 0, Streuung -> die Werte bewegen sich etwa im Bereich -5 bis +5 Durch die Standardisierung werden Verteilungen unterschiedlicher Größenordnungen aneinander angepasst. Durch die Ausprägung verursachte Verzerrungen werden ausgeschaltet. Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie 4 / LV9

5 Berechnung mit SPSS: Analyse/Deskriptive Statistik/Deskriptive Statistik -> äkchen setzen bei Speichern der standardisierten Werte als Variable -> neue Variable mit Z-Werten wird eingefügt Std. Dev = 33,7 Mean = 83,3 N =,00 0,0 00,0 400,0 00,0 300,0 500,0 0 -, -,5,,8,5, Std. Dev =,00 Mean = 0,0 N =,00 VAR0000 Zscore(VAR0000) Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie 5 / LV9

6 0 auptkomponenten- und Faktorenanalyse 0.0 Problem Während wissenschaftlicher Datenerhebungen (Befragung, Messfahrt) fallen eine Vielzahl von Variablen unterschiedlichster Ausprägung an. Oftmals ähneln sich gestellte Fragen oder gemessen Werte (Kontrollverfahren). auptkomponenten- und Faktorenanalyse sind Verfahren zu Reduzierung und Zusammenfassung der Menge der Variablen. Die Bündelung erlaubt es mit weniger Variablen weiterzuarbeiten, ohne die Gesamtaussage der Daten erheblich zu verringern. Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie 6 / LV9

7 0. Voraussetzungen und Ziel auptkomponenten- und Faktorenanalyse Zahl der Variablen: Art der Skalierung: Erhebung: Ziel: zwei oder mehr (multivariates Verfahren) intervallskalierte Variablen Stichproben- oder Vollerhebung Bündelung der Variablen und Transformation in auptkomponenten Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie 7 / LV9

8 0. Korrelationsmatrix von n Variablen Correlations RESTMÜLL Sperrmüll Duales System BIOMÜLL Bevölkerungsdichte Pearson Correlation Sig. (-tailed) N Pearson Correlation Sig. (-tailed) N Pearson Correlation Sig. (-tailed) N Pearson Correlation Sig. (-tailed) N Pearson Correlation Sig. (-tailed) N Duales Bevölkeru RESTMÜLL Sperrmüll System BIOMÜLL ngsdichte,95 -,09,000,309,,7,93,999, ,95,03,07,96,7,,96,344, ,09,03 -,376 -,06,93,96,,077, ,000,07 -,376,084,999,344,077,, ,309,96 -,06,084,5,37,906,705, auptkomponenten- und Faktorenanalyse sind Verfahren zur Analyse der in Korrelationsmatrizen gegebenen Informationen. Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie 8 / LV9

9 0.3 Grundidee Gegeben sei eine Menge von n Variablen. Die Menge der Variablen spannen einen k-dimensionalen Raum auf. Dieser bezeichnet die Menge aller möglichen Werte, die in unserer Untersuchung angenommen werden können. Um ihn beschreiben zu können, braucht man genau k linear unabhängige Komponenten. In der Abbildung spannen 0 Variablen (die Stecknadeln) einen 3-dimensionalen Ereignisraum auf. Es wären also nur 3 Variablen nötig um die gesamte Varianz zu erklären. Die Güte der Untersuchung (erklärte Varianz) nähme dabei nicht ab. Es ist also möglich die Zahl der Variablen von n auf k zu verringern. Doch wie werden diese k Variablen ermittelt? Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie 9 / LV9

10 0.4 auptkomponentenanalyse Gegeben seien die Messwerte xij der Variable Xi (i=,..n) und des Falles j (j=,..,m). Die n Variablen werden standardisiert -> Zi Modellvorstellung: Sind Zi etwa normalverteilt, so bilden die Werte einen n-dimensionalen Ellipsoiden, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Raumes liegt. auptkomponenten sind die Achsen des (orthogonalen) Koordinatensystems, welches den Raum beschreibt. Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie 0 / LV9

11 0.4.0 Mathematische Lösung des Problems. Bestimmung und Ordnung der Eigenwerte der Korrelationsmatrix (für Eigenwerte? einer Matrix zu den Eigenvektoren v gilt M*v=?*v) : λ.... Die zugehörigen Eigenvektoren liefern die auptachsenrichtungen des Ellipsoids 3. Ihnen entsprechen die auptkomponenten l als neue Zufallsgrößen (sie besitzen Mittelwert 0 und Varianz?l) 4. Die alten Variablen Zj lassen sich aus den auptkomponenten j wie folgt berechnen: n a jl Z j = l + U j l = λ l λ λ n -> die Koeffizienten ajl werden als Faktorladungen bezeichnet, die aus den ajl gebildete Matrix heißt Faktormatrix 5. Auswahl der geeigneten auptkomponenten zur Datenbeschreibung Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie / LV9

12 0.4. Interpretation der Ergebnisse Für n standardisierte Variable ist die Gesamtvarianz gleich n, es gilt außerdem: n = n l= λ l = n l= Var( l ) = n l= Var( Z l ) Der Anteil der Varianz der auptkomponente l an der Gesamtvarianz wird durch?l/m gegeben Dieser Quotient des Eigenwerts gibt also an, welcher Teil der Gesamtvarianz durch einen bestimmten Faktor erklärt wird. Dem entgegen stehen die Kommunalitäten h j Var( U = Var( Z j j ) ) Sie geben an welcher Teil der Varianz der Einzelvariablen durch alle auptkomponenten erklärt wird. Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie / LV9

13 0.4. Methoden zur Auswahl der auptkomponenten. Möglichkeit: Auswahl aller auptkomponenten mit?l >. Möglichkeit: Kaiserkriterium: die r Komponenten für die wobei z = 90% oder 95% r j= λ j m 00% > z 3. Möglichkeit: Scree-Test Eigenwerte Anzahl der K Am schwierigsten ist jedoch, den einzelnen auptkomponenten mit ilfe der Faktorkoeffizientenmatrix eine Bedeutung zuzuweisen -> das ist die wahre Kunst des Statistikers!! Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie 3 / LV9

14 0.4.3 Ausführung mit SPSS Analyse->Datenreduktion->Faktoranalyse Variablen auswählen und Optionen festlegen! -> Muell.sav Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie 4 / LV9

15 0.5 Faktorenanalyse Vorausetzung Jeder Faktorenanalyse geht eine auptkomponentenanalyse (PCA- principal components analysis) voraus. In ihr wird die Zahl der Faktoren festgelegt, die benötigt wird, um die Gesamtvarianz hinlänglich zu beschreiben. Das Ergebnis der PCA sind k Faktoren j, die mit den Ausgangsvariablen Zi über die Faktorladungen aij im Zusammenhang stehen: Z Z Z... Z n = a = a = a = a n + a + a + a + a n a a k k a a k nk k k + U + U k k + U + U n RESTMÜLL Sperrmüll Duales System BIOMÜLL Component Matrix Component,395,684,57,59 -,60,549,769 -,348 Problematisch ist die Interpretation der Faktoren, um diese zu erleichtern wird eine Koordinatentransformation durchgeführt-> Rotation der Faktoren Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie 5 / LV0

16 0.5. Rotationsmethode Varimax Faktoren werden so rotiert, dass die Varianz der quadratischen Ladungen maximal ist. Var( a,..., a ) max Var( a... Var( a n,..., a,..., a k k nk ) max ) max Der Betrag der Faktorladungen wird somit maximal klein oder maximal groß. Interpretationsspielraum!!! RESTMÜLL Sperrmüll Duales System BIOMÜLL Component Matrix Component,395,684,57,59 -,60,549,769 -,348 RESTMÜLL Sperrmüll Rotated Component Matrix Duales System BIOMÜLL Component -6,90E-0,786,8,83 -,83 9,38E-0,830,56 Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie 6 / LV0

17 0.5. Eigenschaften von Varimax Die gesamte aufgeklärte Varianz wird durch die Rotation nicht verändert, lediglich die die Verteilung auf die Faktoren Die Orthogonalität der Faktoren bleibt erhalten Rotation mit SPSS Im Auswahl-Dialog Faktoranalyse -> Rotation -> Varimax Statistische Methoden WS00/003 Tim offmann Folie 7 / LV0