Lösung der Wettbewerbsaufgaben vom 2. Bayreuther Tag der Mathematik Klasse

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1 Lösung der Wettbewerbsaufgaben vom 2. Bayreuther Tag der Mathematik Klasse Vorbemerkung: Die hier angegebenen Lösungen sind sehr längliche Lösungen, die häufig etwas mehr zeigen, als in der Aufgabenstellung gefordert. Sicherlich gibt es kürzere und elegantere Lösungen. Auch bei den Lösungswegen sind viele Varianten denkbar. Vorschläge für alternative Lösungswege, bessere Erläuterungen, Hinweis auf (Rechtschreib-)Fehler, Unklarheiten oder sonstige Kommentare zu dieser Sammlung von Lösungen nehmen wir sehr gerne auf. Einfach eine an schreiben. Aufgabe 1: Wir prüfen zunächst nach, dass 8 Münzen ausreichen. Vier Beispiele sind [1, 2, 2, 5, 10, 20, 20, 50] [1, 2, 2, 5, 10, 10, 20, 50] [1, 1, 2, 5, 10, 20, 20, 50] und [1, 1, 2, 5, 10, 10, 20, 50]. Es gibt einen einfachen Trick, wie man möglichst schnell überprüfen kann, dass man mit diesen Münzen auch wirklich alle Geldbeträge von 1 bis 99 Cent zurückgeben kann. Betrachten wir hierfür die erste Möglichkeit [1, 2, 2, 5, 10, 20, 20, 50] und wählen von links beginnend, Stück für Stück eine Münze hinzu. Haben wir nur die 1-Cent-Münze, so können wir 0 oder 1 Cent zurückgeben. Also, [1] {0, 1}. Nehmen wir nun eine 2-Cent-Münze hinzu, so können wir 0, 1, 2 oder 3 Cent zurückgeben. In unserer Kurzschreibweise lautet dies: [1, 2] {0, 1, 2, 3}. Fahren wir so fort erhalten wir: [1, 2, 2] {0, 1,..., 5} [1, 2, 2, 5] {0, 1,..., 10} [1, 2, 2, 5, 10] {0, 1,..., 20} [1, 2, 2, 5, 10, 20] {0, 1,..., 40} [1, 2, 2, 5, 10, 20, 20] {0, 1,..., 60} [1, 2, 2, 5, 10, 20, 20, 50] {0, 1,..., 110} 1

2 Wir können also mit den Münzen [1, 2, 2, 5, 10, 20, 20, 50] alle Geldbeträge zwischen 0 und 110 Cent zurückgeben. Für das zweite Beispiel [1, 2, 2, 5, 10, 10, 20, 50] erhalten wir: [1] {0, 1} [1, 2] {0, 1, 2, 3} [1, 2, 2] {0, 1,..., 5} [1, 2, 2, 5] {0, 1,..., 10} [1, 2, 2, 5, 10] {0, 1,..., 20} [1, 2, 2, 5, 10, 10] {0, 1,..., 30} [1, 2, 2, 5, 10, 10, 20] {0, 1,..., 50} [1, 2, 2, 5, 10, 10, 20, 50] {0, 1,..., 100} Wir können also mit den Münzen [1, 2, 2, 5, 10, 10, 20, 50] alle Geldbeträge zwischen 0 und 100 Cent zurückgeben, was etwas schlechter als das vorherige Beispiel ist, für die gegebene Aufgabenstellung aber immer noch ausreichend gut ist. Die anderen zwei Beispiele kann man genauso überprüfen. Wir wollen uns nun überlegen, dass man nicht mit 7 oder noch weniger Münzen auskommen kann und dass die zwei angebenen Beispiele die einzigen Möglichkeiten sind. Wir machen hierzu immer wieder Annahmen, dass wir bestimmte Münzen nicht hätten und zeigen dann, dass wir in diesem Fall mehr als 8 Münzen brauchen würden. Annahme: Wir haben keine 50-Cent-Münze. Um nun 99 Cent zurückgeben zu können bräuchten wir mindestens 8 Münzen: 99 = Da wir auch 1 Cent zurückgeben können müssen, würden wir also insgesamt mindestens 9 Münzen benötigen. Wir kennen aber schon eine Lösung mit 8 Münzen. Also sollten Erna und Fritz auf jeden Fall eine 50 Cent Münze für ihren Kaufladen haben. Haben wir eine 50 Cent-Münze so vereinfacht sich unser Problem. Wir müssen nun mit den anderen Münzen nur noch die Geldbeträge 0, 1,..., 49 zurückgeben können. Hierfür dürfen wir maximal 7 Münzen verwenden. Eine zweite 50-Cent Münze macht also keinen Sinn. Annahme: Wir haben keine 20-Cent-Münze. Um nun 49 Cent zurückgeben zu können bräuchten wir mindestens 7 Münzen: 49 = Da wir auch 1 Cent zurückgeben können müssen, würden wir also insgesamt mindestens 8 Münzen benötigen. Wir kennen aber schon eine Lösung mit 7 Münzen. 2

3 ([1, 2, 2, 5, 10, 20, 20] oder [1, 2, 2, 5, 10, 10, 20]) Also sollten Erna und Fritz auf jeden Fall eine 20 Cent Münze für ihren Kaufladen haben. Also können wir annehmen, dass Erna und Fritz neben der 50 Cent Münze auch noch eine 20 Cent Münze als Wechselgeld haben. Unser Problem vereinfacht sich weiter. Wir müssen nun mit höchstens 6 Münzen die Geldbeträge 0, 1,..., 29 zurückgeben können. Wir betrachten nun zwei Fälle: (a) Wir haben noch eine zweite 20 Cent Münze: Unser Problem vereinfacht sich weiter. Wir müssen nun mit höchstens 5 Münzen die Geldbeträge 0, 1,..., 19 zurückgeben können. Nehmen wir wieder an, dass wir keine 10 Cent Münze hätten, dann bräuchten wir mindestens 5 Münzen, um 19 = Cent zurückgeben zu können. Da wir aber die 1 Cent Münze auf jeden Fall benötigen, würden wir zu viele Münzen benötigen. Also haben wir eine 10 Cent Münze und unser Problem vereinfacht sich weiter. Wir müssen nun mit höchstens 4 Münzen die Geldbeträge 0, 1,..., 9 zurückgeben können. Ohne eine 5 Cent Münze geht dies nicht (9 = ). Also ist eine 5 Cent Münze dabei und wir müssen mit höchstens 3 Münzen die Geldbeträge 0, 1,..., 4 zurückgeben können. Dies geht nur mit den Kombinationen [1, 1, 2] oder [1, 2, 2]. (b) Wir haben keine zweite 20 Cent Münze: Um 29 ohne 10 Cent Münze zurückgeben zu können bräuchten wir mindestens sieben Münzen (29 = ). Also müssen wir eine 10 Cent Münze haben und unser Problem vereinfacht sich. Wir müssen nun mit höchstens 5 Münzen die Geldbeträge 0, 1,..., 19 zurückgeben können. Dieses Problem haben wir aber schon in Fall (a) gelöst. Insgesamt ergeben sich also die vier anfangs genannten Lösungen für 8 Münzen und wir wissen, dass es nicht mit weniger Münzen geht. Aufgabe 2: Nehmen wir ein mal an, dass der Alien b Tentakel habe. Er hat also 3 b + 5 Söhne, 4 b + 3 Töchter und insgesamt 1 b b + 1 b + 1 Kinder. Da sich die Anzahl seiner Kinder aus der Anzahl seiner Söhne und der Anzahl seiner Töchter zusammensetzt, können wir die Gleichung 3b b + 3 = b 2 + b + 1 aufstellen. Diese läßt sich umschreiben zu b 2 6b 7 = 0. 3

4 Die einzigen Lösungen dieser Gleichung sind b = 1 und b = 7. Da es negative Anzahlen von Tentakeln nicht gibt, besitzt der Alien, falls er sich nicht verzählt hat, also genau b = 7 Tentakel. Er hat also 26 Söhne, 31 Töchter, was insgesamt eine sehr stattliche Zahl von 57 Kindern ergibt. Aufgabe 3: Wir unterscheiden folgende vier Fälle, je nach dem, ob a und b gerade oder ungerade sind: 1. Fall a und b gerade: a + b gerade (a + b) 2 gerade daher ist n gerade. a b gerade 2. Fall a und b ungerade: a + b gerade (a + b) 2 gerade daher ist n gerade. a b gerade 3. Fall a gerade, b ungerade: a + b ungerade (a + b) 2 ungerade daher ist n gerade. a b ungerade 4. Fall a ungerade, b gerade: a + b ungerade (a + b) 2 ungerade daher ist n gerade. a b ungerade In allen vier Fällen hat sich ergeben, dass n eine gerade Zahl sein muss. Die Beobachtung trifft also immer zu. Aufgabe 4: Betrachten wir nun zwei beliebige der drei Punkte, z. B. A und B. Sei nun g eine Gerade, die den selben Abstand zu A und B hat. Es gibt nun drei Fälle: (i) A und B liegen auf der Geraden g. (ii) A und B liegen auf der gleichen Seite von g (also entweder beide links davon, oder beide rechts davon). (iii) A und B liegen auf unterschiedlichen Seiten von g. Im Fall (i) besitzen die Punkte A und B einen Abstand 0 von g. Soll nun C den gleichen Abstand von g besitzen, müsste auch C auf der Geraden g liegen. In unserem Fall liegen die drei Punkte aber nicht auf einer Geraden. In (ii) und (iii) fällen wir jeweils das Lot von Punkt A und Punkt B auf Gerade g. Da die zwei Punkte den gleichen Abstand zu g haben, sind die Höhen- (Lotlinien) 4

5 gleich lang. Im Fall (ii) ist die Gerade durch die Punkte A und B also paralell zur Geraden g. Im Fall (iii) schneidet die Gerade g das Geradensegment AB zwischen A und B im Inneren. Sei nun h eine Gerade die zu allen drei Punkten A, B und C den selben Abstand besitzt. Betrachten wir alle drei Paare {A, B}, {A, C} und {B, C} von je zwei dieser drei Punkte, so kann nicht drei mal Fall (iii) auftreten, da eine Gerade höchstens zwei Seiten eines Dreiecks schneiden kann. Fall (ii) kann aber höchstens ein Mal auftreten, da eine Gerade nur zu einer Seite eines Dreiecks paralell sein kann. Es tritt also genau ein Mal Fall (ii) und zwei Mal Fall (iii) auf. Wir konstruieren nun die Geraden h mit der geforderten Eigenschaft. Zunächst wählen wir ein beliebiges Paar von Punkten, z. B. {A, B} und zeichnen eine Gerade h durch die Punkte A und B ein und fällen das Lot von C auf h. Nun verschieben wir h parallel, so dass die Höhe zwischen h und C halbiert wird. Wir erhalten eine Gerade h mit den gewünschten Eigenschaften. Da wir die eben beschriebene Konstruktion mit allen drei Paaren {A, B}, {A, C} und {B, C} von Punkten durchführen können und die entstehenden Geraden paralell zu der entsprechenden Seite sind, erhalten wir genau drei solche Gerade, sie folgende Zeichnung: Wir bemerken, dass es immer drei solche Geraden gibt, falls die drei Punkte nicht kollinear (also alle auf einer Geraden liegen) sind. Liegen dagegen alle drei Punkte auf einer Geraden g, so gibt es unendlich viele Lösungen - allen Paralellen von g (inklusive g selbst). Es schliessen sich eine Reihe von weiteren interessanten Fragen an. Betrachte ein Viereck V mit Eckpunkten A, B, C, D und bezecichne mit n die Anzahl der verschiedenen Geraden, die den selben Abstand zu allen vier Punkten besitzen. Zu welcher Klasse von Vierecken gehört V, wenn n = 1, n = 2 oder n = 3 gilt? Viel Spass beim Knobeln und diskutieren mit eurem Mathelehrer. 5