Kapitel III Arbeit, Leistung und Energie

Transkript

1 Kapitel III Arbeit, Leistung und Energie 3.1 Arbeit Betrachtet man die Momentaufnahme eines Gewichtsstück, welches an einem Kran hängt, so kann man an den Kräften zunächst nicht unterscheiden, ob die Last in Ruhe ist oder sich gleichförmig bewegt. Nach dem Trägheitsgesetz sind Zugkraft und Gewichtskraft in beiden Fällen im Gleichgewicht! (Nur beim Beschleunigen des Gewichtes wäre F Z grösser) Für die Seilwinde sind aber beide Fälle vollkommen unterschiedlich: Während man im ersten Fall (also bei Ruhe) den Motor im Prinzip ausschalten kann (das Seil lässt sich auch mit einer Bremse blockieren) ist es unmöglich die Last ohne den Motor anzuheben. Es liegt daher nahe eine neue Grösse einzuführen, in der neben der Kraft auch die "erbrachte" Höhe mit eingeht. m F Z F G Definition: Physikalische Arbeit wird (nur dann) verrichtet, wenn ein Körper mit Kraftaufwand über eine Strecke s bewegt wird: Einheit: 1 N 1 m = 1 Joule W = F S s Arbeit (Work) = Kraft mal Weg Beachte: F S ist dabei die Kraft in Wegrichtung! (s. unten) Zahlenbeispiel: 4 kg halten: W = F G s = F G 0 m = 0! 4 kg um m anheben: W = F G s = 4 kg 9.81 m/s m = N m 78.5 J Für die Arbeit ist von allen Kräften nur die massgebend, welche auch in Richtung des vorgegebenen Weges zeigt. Als Beispiel betrachten wir das Ziehen eines Schlittens an einem Seil: F Zug F S S Zur Berechnung der Arbeit darf nicht direkt die Zugkraft F Z verwendet werden, sondern man muss die Projektion von F Z auf die Strecke s verwenden: F S = F Z cosα Also ist in diesem Fall: W = F Z cosα s 1

2 3. Die Leistung Wird ein Gewicht wie bei dem Kran nach oben gezogen, spielt für den Motor neben der Arbeit auch noch die Zeit eine Rolle, in der die Arbeit erbracht wird. Je kürzer diese ist, desto schneller muss der Motor die Arbeit liefern, man sagt er muss mehr Leistung besitzen. (Dieses Mal stimmt der Begriff auch mit unserer Alltagssprache überein, auch hier wird eine Leistung um so höher "bewertet", je schneller sie erbracht wird.) Man definiert daher Leistung als Arbeit pro Zeit: P = W/t Einheit: 1 Joule/ Sekunde = 1 Watt [1 W] Vorsicht: W als Einheit nicht mit dem W für die Arbeit verwechseln! (Nach James Watt, Erfinder der Dampfmaschine) 1 Watt ist eher eine kleine Einheit, daher werden im Alltag Leistungen häufig auch in Kilowatt [kw] oder im Zusammenhang mit der Energiewirtschaft in Megawatt [MW] angegeben, wie folgende Beispiele zeigen: MP 3 Player, Geräte im Standby, Sparlampen Mensch (Grundbedarf), Laptop, Glühlampen, Kühlschrank Hochleistungssportler, Haarföhn, Waschmaschine Sonneneinstrahlung bei klarer Atmosphäre pro m Fläche mittlerer Verbrauch einer in der Schweiz lebenden Person PKW ICN Grosskraftwerk (z.b. Gösgen) Sonne absolut Leistung bis 10 W W 1-3 kw 1300 W 5 kw kw 10 MW 000 MW W Eine veraltete Einheit der Leistung ist die Pferdestärke: 1 PS 736 Watt. Diese Einheit stammt noch aus der Zeit der industriellen Revolution, als Pferde dazu eingesetzt wurden, Wasser aus Bergwerkschächten zu "pumpen", indem sie immer im Kreis laufend ein Schöpfrad antrieben. Die Fördermenge war dann ein Mass für die Leistung des Pferdes, aus Sicht des Tierschutzes also eine ziemlich unschöne Definition! 3..1 Die Kilowattstunde Für den Anfänger ist etwas verwirrend, dass man in der Technik die Einheit der Arbeit (und damit der Energie, wie wir später sehen werden) manchmal wieder auf die Leistung zurückführt. Stellt man die Definition um ist: W = P t Für P = 1 Watt und t = 1 s erhält man daraus sofort 1 J = 1 Ws (Wattsekunde) Im Alltag kann man mit einer Leistung von 1 W innerhalb 1 Sekunde aber nicht viel anfangen. Daher verrechnet man (insbesondere bei der Stromrechnung) häufig 1 kw mit 1 Stunde und nennt diese Einheit Kilowattstunde: 1 kw 1 h = 1000 W 3600 s = J Merke: Die Kilowattstunde ist eine Einheit für die Arbeit und entspricht genau 3.6 MJ. Wenn man sich also z. B. mit einem Föhn mit 1500 W Leistung 10 Minuten lang die Haare föhnt, liefert das Elektrizitätswerk eine Arbeit von W = 1.5 kw 10/60 h = 0.5 kwh Nachdem wir nun die Grundbegriffe kennen gelernt haben, soll im nächsten Kapitel untersucht werden, wie bei verschiedenen Vorgängen Arbeit und Leistung bestimmt werden kann.

3 3.3 Verschiedene Formen von Arbeit Je nachdem, durch welche Kraft die Arbeit verrichtet wird, unterscheidet man verschieden Formen der Arbeit. In der Mechanik sind folgende Varianten von Bedeutung: Hubarbeit Die Hubarbeit haben wir schon im vorigen Kapitel kennengelernt, sie wird verrichtet, wenn ein Körper der Masse m (gegen die Gewichtskraft) um die Höhe h angehoben wird: W Hub = F G s = m g h Dabei muss der Weg aber nicht immer "direkt" nach oben führen : Betrachtet man einen Körper der eine schiefe Ebene hochgeschoben wird, wird dieser indirekt angehoben. Wir bestimmen zunächst die Kraft F S, die dazu notwendig ist. Nach nebenstehender Abbildung wirken auf den Wagen zunächst die Gewichtskraft F G und die Normalkraft F N. Die Resultierende diese beiden Kräfte würde den Wagen nach unten beschleunigen und wird Hangabtriebskraft F Hg genannt. Genau mit der gleichen Kraft muss der Wagen aber auch nach oben gestossen werden, daher gilt: F S = F Hg = F G sin α = m g sin α sin α = F / F α Hg (-) F Hg s G F N α F G h Damit berechnen wir die Arbeit: W = F S s = m g sinα s Andererseits ist aber sinα = h/s, woraus sich sofort wieder W Hub = m g h ergibt! Im Ergebnis kommt es nur auf die gewonnene Höhe an, die Hubarbeit ist unabhängig davon, welchen Weg man dabei einschlägt! Beispiel: Wasserkraftwerk Die (mittlere) Höhendifferenz (Staumauer - Kraftwerk) betrage 500 m, der Stausee sei bei einer Fläche von drei Quadratkilometerm 40 m tief. Wir berechnen die Arbeit, welche durch das Wasser (gesamt) verrichtet werden kann und die Leistung, wenn pro Stunde m 3 Wasser die Turbine durchströmen kann: Stausee h 1 Zunächst ist V Ges = A h 1 = m 3 h und die Masse des Wassers: m = ρ V = kg (ρ W = 1000 kg/m 3!) Turbine Damit erhält man W Ges = m g h J Für die Leistung der Turbine verwenden wir m' = kg und t = 3600 s: W' = m' g h J und P = W' /t W = 136 MW Damit lässt sich eine Stadt in der Grösse von Solothurn mit elektrischer Energie versorgen, und zwar für t = W ges /P s 50 d. 3

4 3.3. Beschleunigungsarbeit Auch bei der Beschleunigung eines Fahrzeugs wirkt eine Kraft entlang des Weges, also wird Arbeit verrichtet. Wir gehen von einer gleichmässig beschleunigten Bewegung aus, die entsprechende Kraft beträgt: F = m a und die Beschleunigungsarbeit ist W B = m a s F s v Verwendet man für die zurückgelegte Strecke s = a oder: W B = ½ m v v erhält man W B = m a a Zahlenbeispiel: m = 100 kg; v = 90 km/h = 5 m/s W B = ½ 100 kg (5 m/s) = 600 kg 65 m /s = J = 375 kj Spannarbeit einer Feder Dehnt oder staucht man eine Feder, muss ebenfalls Arbeit verrichtet werden, diese nennt man die Spannarbeit. Um sie zu bestimmen muss man erst die Kraft kennen, die zum Spannen der Feder notwendig ist. Nach dem Hook'schen Gesetz ist sie proportional zur Ausdehnung s der Feder: F s Dies bedeutet, dass der Quotient D = F/s konstant ist. D heisst Federkonstante. Berechnung der Arbeit: Ist s die Strecke, um die die Feder gedehnt wird, gilt im Prinzip wieder W = F s. Aber: Während des Dehnens ändert sich die Kraft. Zu Beginn ist sie praktisch null, nachdem die Feder um s gedehnt wurde, beträgt sie F max = D s. Die Arbeit bezieht sich aber auf den "Prozess" der Dehnung, d. h man muss mit der mittleren Kraft rechnen. In unserem Fall ist dies gerade die Hälfte von F max, also F = ½ D s F F max F s F Damit erhält man: W S = ½ D s F Mittel Spannarbeit einer Feder Zahlenbeispiel: Eine Feder wird durch 30 N um 0 cm gedehnt. Die Federkonstante beträgt D = F/s = 30 N/ 0. m = 150 N/m und die verrichtete Arbeit: W = ½ D s = ½ 150N/m (0. m) = 3 Joule s Die Reibungsarbeit Wird ein Körper gegen die Reibungskraft bewegt, muss gleichfalls Arbeit verrichtet werden: W = F R s Die Reibungskraft war: F R = µ F N = µ m g cosα (µ : Reibungskoeffizient, F N : Normalkraft) Damit ist die verrichtete Arbeit: W R = µ m g cosα s 4

5 3. 4 Die Energie Ein Stein wird vom Boden auf eine Mauer gehoben und dort abgelegt. Nach dem vorigen Kapitel wird an ihm Hubarbeit verrichtet. Auch wenn anschliessend der Stein auf der Mauer liegt, muss diese Arbeit immer noch vorhanden sein: sobald der Stein herunterfällt kann er jemanden erschlagen. Die Arbeit war gewissermassen gespeichert. Gespeicherte Arbeit nennt man Energie. Energie hat die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten Obwohl beides eng miteinander verwandt ist, sind Arbeit und Energie nicht das Gleiche. Das Verrichten einer Arbeit kann man sich als aktiven Prozess vorstellen, während die Energie einen passiven Zustand beschreibt. Um Energien zu bestimmen, kann man aber die entsprechende Arbeit berechnen und auch die Einheit bleibt das Joule. D. h. rein mathematisch kann man Energie und Arbeit gleich behandeln. Nach dem vorigen Kapitel erhält man daher die: Lageenergie oder potentieller Energie: E Lage = m g h Bewegungsenergie oder kinetische Energie : E kin = ½ m v Spannenergie: E Spann = ½ D s Bei der Reibung macht es dagegen keinen Sinn von "Reibungsenergie" zu sprechen, da sie in unserem Sinne nicht gespeichert wird. In der Wärmelehre werden wir sehen, dass Reibungsarbeit in die sogenannte innere Energie umgewandelt wird, Eine Besonderheit ist bei der potentiellen Energie (Lageenergie) zu beachten. Diese kann immer nur auf ein bestimmtes Niveau (auch Nullniveau genannt) bezogen werden. Dies kann, muss aber nicht, der Erdboden sein. Denn selbst ein Körper, welcher auf dem Boden liegt, kann noch Lageenergie besitzen, z. B. kann man ihn immer noch in einen Brunnen werfen! Das Nullniveau kann man im Prinzip frei wählen, geschickterweise sucht man meistens den tiefsten Punkt, der für eine gegebene Problemstellung in Frage kommt (Beispiele später). Befindet sich ein Körper trotzdem einmal unter dem Nullniveau, muss man seine potentielle Energie negativ rechnen. E E 1 Bei der Bestimmung der potentiellen Energie eines Körpers bezieht man sich auf ein vorher bestimmtes Nullniveau. Dieses kann beliebig gewählt werden, vorteilhaft nimmt man den tiefsten Punkt, den ein Körper in der betrachteten Situation erreichen kann (um negative Werte zu vermeiden). Es sollte klar sein, dass man zwei oder mehr potentielle Energien nur dann sinnvoll miteinander vergleichen kann, wenn sie sich auf dasselbe Nullniveau beziehen! 5

6 3. 5 Energieerhaltung Die physikalische Bedeutung der Energie wird erst klar, wenn man verschiedene Formen miteinander vergleicht. Dazu machen wir folgendes Experiment: Eine an einer Schnur befestigte Masse schwingt als Pendel durch eine Lichtschranke. Wir messen die "Starthöhe" h und über die Dunkelzeit (vgl. Kap. 1.4.) die Geschwindigkeit der Kugel im tiefsten Punkt. Aus diesen Werten können wir Lage- und kinetische Energie in den beiden verschiedenen Positionen berechnen und miteinander vergleichen: v h Es ist m = 0.3 kg h [m] E L = m g h [J] v [m/s] E kin = ½ m v [J] Ergebnis: Die Lageenergie wird praktisch vollständig in kinetische Energie verwandelt! Die Umwandlung von Energie lässt sich auch bei vielen anderen Vorgängen beobachten und führt uns zu einen der grundlegendsten Aussagen in der Physik. Bezieht man alle an dem Vorgang beteiligten "Komponenten" mit ein (im weiteren Sinne z. B. auch die Bewegung der Moleküle und damit die innere Energie) und betrachtet dies als ein sogenanntes abgeschlossenes System, stellt man fest: In einem abgeschlossenem System bleibt die Gesamtenergie konstant. Die einzelnen Energieformen können sich dabei ineinander umformen. Im Falle der Reibung entsteht Wärme bzw. innere Energie. Weiteres Beispiel: "Bungee - Jumping" Ein Massestück fällt an einem Gummiseil (vergleichbar mit einer Feder) zu Boden. Wir suchen die maximal mögliche Ausgangshöhe, so dass der "Springer" gerade den Boden "touchiert". bekannt sind: m = 1 kg, D = 35 N/m, s = 1.1 m h s (s ist die Strecke, um welche das Seil im tiefsten Punkt gedehnt wird und im allgemeinen kleiner als h, da das Seil ja nicht von Beginn an unter Spannung ist!) gesucht: h Idee: Die Lageenergie des "Springers" wird vom Seil aufgenommen: "Start": E 1 = m g h tiefster Punkt: E = ½ D s gleichsetzen: m g h = ½ D s h = s m g D.16 m Zusatzaufgabe: Bestimme die Geschwindigkeit des Springers bei der halben Fallhöhe! 6

7 3. 6 Der Wirkungsgrad In der Realität bleibt die Energie eines mechanischen Systems (leider) in den seltensten Fällen vollständig erhalten, sondern wird mehr oder weniger schnell durch Reibung oder Luftwiderstand "verbraucht", d. h. als Wärme an die Umgebung abgegeben. Um diesen Prozess mit einzubeziehen, gibt es grundsätlich zwei Möglichkeiten: Man kann das ganze System erweitern und versuchen, die Umgebung mit der darin enthaltenen inneren Energie einzuberechnen. Man nimmt die Wärmeverluste in Kauf und geht davon aus, dass die Energie des betrachten Systems kleiner wird. Die erste Methode setzt tiefere Kenntnisse aus der Wärmelehre voraus, ist aufwendig und hat für den Alltag fast keine Bedeutung. Daher betrachten wir die. Methode, die auch in der Technik häufig angewandt wird und uns auf den Begriff des Wirkungsgrad führt. Man geht davon aus, das für einen Vorgang eine bestimmte Menge Energie (in Form von Treibstoff, Lageenergie, auch Wärmeenergie) zur Verfügung steht, häufig als Gesamtenergie E Ges oder als zugeführte Energie E Zu bezeichnet. Ein Teil dieser Energie kann bei einem E ges Prozess Prozess nach unseren Massstäben sinnvoll genutzt werden, in dem mechanische Arbeit W Nutz verrichtet wird. Der andere Teil wird als Verlustenerige E Verlust bezeichnet. Man erkennt sofort, dass E Ges = W Nutz + E Verlust Unter dem Wirkungsgrad versteht man nun das Verhältnis der verrichteten Arbeit zur gesamten Energie: E Verlust W Nutz η = W Nutz / E ges Bemerkung: Ob man in diesem Zusammenhang besser von Arbeit oder von Energie spricht, ist nicht ganz einheitlich, man findet beide Versionen. Die gleichen Beziehungen gelten natürlich auch, wenn man die Leistung betrachtet. Daher gilt auch: η = P Nutz /P Ges Der Wirkungsgrad ist eine dimensionslose Zahl zwischen 0 und 1, wird aber manchmal als Prozentzahl angegeben. Beispiel: η = 0,4 = 4 % bedeutet, dass 4% der verfügbaren Energie tatsächlich gebraucht werden können. Die eigentliche Bedeutung des Wirkungsgrades werden wir erst in der Wärmelehre kennen lernen, wenn wir "Wärmeverluste" ebenfalls berechnen können. In einem Versuch bestimmen wir den Wirkungsgrad eines Elektromotors, welcher ein Gewichtstück nach oben zieht. Die aufgenommene Energie kann ein Messgerät über die Spannung und den Strom messen: E ges = 33.4 J Wir nutzen den Motor für Hubarbeit, daher gilt W nutz = 1 kg 9.81 m/s m = 19.6 J Damit ist η = 19.6 J / 33.4 J = 57.7 % und W Verlust = E ges W nutz = J 7

8 Ergänzung: Arbeit bei beliebigen Kraftgesetzen "Professionelle" Bogenschützen verwenden heutzutage Verbundbögen, die die Eigenschaft besitzen, dass die Kraft ab einer gewissen Spannung des Bogens wieder abnimmt. Dadurch erreicht man, dass der Arm entlastet wird und man sich besser und länger auf das Zielen konzentrieren kann. Das nebenstehende Diagramm zeigt in etwa den Verlauf der Kraft eines solchen Bogens. Natürlich wird beim Spannen des Bogens auch Arbeit verrichtet. Diese soll nun direkt aus dem Diagramm bestimmet werden , 0,4 0,6 s [m] Dazu teilt man sich in Gedanken den Spannprozess in kleine Schritte (im Beispiel zu 0.05 m) auf. 180 Für jeden dieser Schritte berechnet man nach W = F s die Arbeit, wobei für die Kraft der Wert bei der "Mitte" des jeweiligen Schrittes verwendet wird. Im Beispiel wäre also in etwa 100 W = 16 N 0.05 m + 45 N 0.05 m + 73 N 0.05 m N 0.05 m Das erscheint zunächst mühsam und zudem kann man kritisieren, dass die für die Kraft verwendeten Werte auch nur ungefähr richtig sind. 0,05 0, 0,4 0,6 s [m] Der nächste Schritt macht aber den Sinn dieser Überlegungen klar: Macht man die Unterteilung immer feiner, erkennt man, dass man eigentlich "nur" die Fläche unter der Kurve bestimmen muss. Diese entspricht der verrichteten Arbeit. Kennt man die Funktionsgleichung der Kurve, kann man diese Fläche im allgemeinen auch berechnen (Integralrechnung), leider (oder glücklicherweise, je nach Standpunkt), wird dies in der Mathematik aber erst im letzten Jahr behandelt , 0,4 0,6 s [m] Wir können uns jedoch damit behelfen, dass wir die Fläche durch Auszählen der Häuschen bestimmen, im Beispiel entspricht jedes Häuschen einer Arbeit von 10 N 0.05 m = 0.5 J! Durch die "Grenzfälle" direkt bei der Kurve hat man zwar immer noch eine Fehlerquelle, man erhält dennoch ein recht gute Abschätzung für die Arbeit. 8

9 Aufgaben 1) Bestimme die Arbeit für den beschriebenen Pfeilbogen. ) Bestimme so genau wie möglich die Arbeit bei den folgenden Diagrammen , 0,5 1 s [m] 0,1 0,5 s [m] ,1 0,5 s [m] 5 1 s [m] 3) Begründe mit dem Kraft-Weg-Diagramm, dass bei einer "normalen" Feder die Spannenergie beträgt! D s 9

10 Zusammenfassung Arbeit und Energie: Wird längs eines Weges eine Kraft ausgeübt wird dabei Arbeit verrichtet: W = F s s In der Mechanik unterscheidet man folgende Formen der Arbeit: Hubarbeit: W H = m g h Beschleunigungsarbeit: W B = 1/ m v Spannarbeit (Feder): W S = 1/ D s Reibungsarbeit: W R = µ F R s Arbeit pro Zeit nennt man Leistung: P = W/t Gespeicherte Arbeit nennt man Energie (Ausnahme: Reibung). Die verschiedenen Energieformen können sich ineinander umformen, die Gesamtenergie bleibt dabei jedoch gleich; dies hilft uns beim Lösen von Aufgaben! Schliesslich versteht man unter dem Wirkungsgrad das Verhältnis von nutbarer Energie zur Gesamtenergie; η = W Nutz / W ges 30