Virtual Coordinates Simulation

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1 Diploarbeit Virtual Coordinates Siulation Guido Frerker Betreuung: Regina O Dell, Mirja Wattenhofer Prof. Dr. Roger Wattenhofer Distributed Coputing Group Departeent Inforationstechnologie und Elektrotechnik ETH Zürich Soerseester 2004

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3 3 Zusaenfassung Die Diploarbeit behandelt einen Algorithus zur Berechnung von virtuellen Koordinaten, welcher auf de bestehenden Algorithus aus de Paper Geographic Routing without Location Inforation von C. Papadiitriou [1] aufbaut. Es wird dabei versucht, dass i Graphen, der durch die virtuellen Koordinaten definiert ist, längste Distanz it Kante = kürzeste Distanz ohne Kante stetig zu verbessern. A Ende wird durch Siulationen gezeigt, dass die Einführung von Gewichten das Beste Resultat liefert.

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5 5 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Virtuelle Koordinaten Aufgabenstellung Überblick Der Algorithus nach Vorlage Randknoten kennen ihre Koordinaten Algorithus Randknoten sind bekannt Triangulations-Algorithus Weder Koordinaten noch Randknoten bekannt Siulation Siulationsparaeter Messkriterien Auswertung Erweiterungen und Verbesserungen Eckpunkte Gewichte Randknoten bestien Negative Gewichte Gewichte und Negative Gewichte kobiniert Ausblick Randknoten Gewichte Fazit Persönlicher Rückblick...29 Literaturverzeichnis...30

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7 7 1 Einleitung 1.1 Virtuelle Koordinaten In Sensornetzwerken haben die einzelnen Knoten nur beschränkte Energiereserven und es ist nicht öglich Koordinatenbestiende Geräte wie GPS-Epfänger einzubauen. Auf der anderen Seite brauchen aber Applikationen die Sensorkoordinaten u Ereignisse korrekt einordnen zu können. So haben Forscher nach Möglichkeiten gesucht, u Koordinaten nur anhand weniger Ankerknoten zu bestien. Für gewisse Applikationen sind Ankerknoten sogar unnötig, und an kann Virtuellen Koordinaten von Sensoren berechnen, welche die Topologie des Netzwerkes genau reflektieren. 1.2 Aufgabenstellung Zu Begin dieser Diploarbeit stand das Ziel, Algorithen für die Berechnung von so genannten Virtuellen Koordinaten (Virtual Coordinates, VC) besser zu verstehen und iteinander zu vergleichen. Dazu sollte eine Auswahl an bestehenden Algorithen ipleentiert und eine ufassende Siulation durchgeführt werden. Nach der Ipleentation des ersten Algorithus anhand des Papers Geographic Routing without Location Inforation von C. Papadiitriou [1], zeigte sich aber, dass das Ergebnis it den Resultaten i Paper nicht überein stite. Als Folge davon wurde beschlossen, den Algorithus it eigenen Ideen zu verbessern und so von der ursprünglichen Idee einer genauen Ipleentation des Algorithus abzuweichen.

8 8 1.3 Überblick Das erste Kapitel gibt einen kurzen Überblick über die vorliegende Diploarbeit. I zweiten Kapitel wird erklärt, wie der Vorliegende Algorithus aus de Paper Geographic Routing without Location Inforation ipleentiert wurde und die durchgeführten Siulationen werden präsentiert. Kapitel 3 führt dann ehrere Ideen zur Verbesserung des Algorithus aus Kapitel 2 ein und zeigt das Resultat der endgültigen Ipleentation. In Kapitel 4 wird ein Fazit für diese Arbeit gezogen und es gibt ein persönlicher Rückblick.

9 9 2 Der Algorithus nach Vorlage Der Algorithus aus de Paper Geographic Routing without Location Inforation wird in drei Phasen aufgeteilt. A Anfang stellen wir Annahen auf, die dann nach und nach wieder fallengelassen werden, sodass a Ende ein Algorithus entsteht der Virtuelle Koordinaten berechnen kann. Die Annahen der drei Phasen sind wie folgt bestit: - Randknoten wissen, dass sie a Rand sind und kennen ihre Koordinaten. - Randknoten wissen, dass das sie a Rand sind aber kennen ihre Koordinaten nicht. - Knoten wissen weder dass sie a Rand sind, noch kennen sie ihre Koordinaten. 2.1 Randknoten kennen ihre Koordinaten Randknoten werden in eine Rechteck angeordnet und kennen ihre exakten geographischen Koordinaten. Alle Nicht-Randknoten können jetzt ihre Koordinaten it eine iterativen Ralaxations-Algorithus bestien. Abbildung 1: Beispiel eines Netzwerkes it 512 Knoten und 28 Randknoten auf eine Feld von 10 auf 10 Einheiten. Der Sendebereich der Knoten ist eine Einheit. Dargestellt sind die realen Koordinaten.

10 Algorithus Der -Algorithus ist eine iterative Lösung u für alle Nicht- Randknoten die Koordinaten zu bestien. Dabei starten alle Knoten it den gleichen initialen Koordinaten. Diese befinden sich in der Mitte des Feldes definiert durch die Randknoten. Ausgehend von den Randknoten sendet nun jeder Knoten seine Koordinaten an seine Nachbarn (Knoten die i Sendebereich liegen). Jeder Nicht-Randknoten berechnet dann in jeder Iteration seine neuen Koordinaten wie folgt: x y i i k neighbor _ set( i) xk = size _ of ( neighbor _ set( i)) k neighbor _ set( i) yk = size _ of ( neighbor _ set( i)) Abbildung 2 Abbildung 3 Die virtuellen Koordinaten von den Nicht-Randknoten aus Abbildung 1 nach 10 (Abbildung 2) bzw. 100 (Abbildung 3).

11 Randknoten sind bekannt Die Bestiung der Koordinaten der Randknoten erfolgt in drei Schritten. Schritt 1: Alle Randknoten senden eine Hallo Nachricht ins ganze Netzwerk, sodass alle Randknoten ihre Distanz (in Hops) zu allen anderen Randknoten erfahren. Schritt 2: Jeder Randknoten sendet nun diese Distanzen wiederu ins ganze Netzwerk. A Ende kennen alle Randknoten alle Distanzen zwischen jede paar von Randknoten. Schritt 3: Jeder Randknoten benutzt nun einen Triangulations-Algorithus [siehe Abschnitt 2.2.1], u die Koordinaten von allen Randknoten zu berechnen. Weil die Distanzen über das ganze Netzwerk versendet werden, kennen auch die Nicht-Randknoten die Distanzen und können denselben Triangulations- Algorithus ausführen u dait vernünftige Anfangskoordinaten zu berechnen, bevor sie it de -Algorithus beginnen. Dait sichergestellt werden kann, dass alle Knoten für jeden die gleichen Koordinaten berechnen werden zwei Startknoten, so genannte Bootstrapping beacons, eingeführt. Diese Startknoten fluten das Netzwerk zuerst it einer Hallo Nachricht. Die Randknoten beziehen dann diese Startknoten ebenfalls in ihre Triangulations-Berechnungen it ein. Mit allen Koordinaten wird anschliessend das Gravitationszentru (Center of Gravity, CG) berechnet. Das CG zusaen it den zwei Startknoten bildet das neue Koordinatensyste. Dabei ist das CG der Ursprung, die Achse CG erster Startknoten die x-achse und der zweite Startknoten liegt auf der positiven y-seite. Alle Koordinaten werden dann anhand dieser neuen Achsen noralisiert. Ein Randknoten uss also ier seine Distanzen zu den beiden Startknoten kennen. Da die Startknoten irgendwo i Netzwerk sein können, üssen sie ihre Koordinaten ebenfalls it de -Algorithus anpassen. Nur die Randpunkte behalten ihre durch den Triangulations-Algorithus berechneten Koordinaten.

12 12 Abbildung 4 Abbildung 5 Die virtuellen Koordinaten von den Nicht-Randknoten aus Abbildung 1 nach 10 (Abbildung 4) bzw. 100 (Abbildung 5), wenn die Randknoten bekannt sind, sie aber ihre Koordinaten nicht kennen Triangulations-Algorithus Die Koordinaten werden so gewählt, sodass E = i, j perieter _ set ( easured _ dist( i, j) dist( i, j)) 2 iniiert wird. Wobei easured_dist(i,j) die geessene Hopdistanz zwischen Knoten i und j ist und dist(i,j) die euklidische Distanz zwischen den virtuellen Koordinaten der Knoten i und j ist. U das lokale Miniu von dieser Sue zu finden, üssen wir für jeden Knoten die partielle Ableitung lösen. Dies führt zu 2n nichtlinearer abhängiger Gleichungen. Weil dieses Syste von Gleichungen zielich schwierig zu lösen ist, wird jeweils nur ein Knoten aufs Mal beachtet. Man sucht nun den Knoten it der Höchsten Energie und verschiebt ihn an einen Ort it lokale Miniu. p ist nun dieser Knoten it der Energiefunktion = E x 2 E + y 2

13 13 p wird nun schrittweise bewegt u zu iniieren. Das Energieiniu liegt a Ort wo E x E = y = 0 erfüllt ist. Dies wird erreicht durch iteratives Lösen der folgenden zwei linearen Gleichungen für δx und δy, und sie zu x bzw. y hinzufügen. t ist die laufende Iteration. Diese Schritte werden solange wiederholt, bis die neue Energiefunktion nicht ehr sinkt. 2 E x 2 2 E x y ( x', y' ) δ x + ( x', y' ) δy = ( x', y' ) 2 E x y E E x ( x, y' ) δ x + ( x', y' ) δy = ( x', y' ) ' 2 y 2 E y Der Algorithus sieht in Pseudocode etwa so aus: initialisiere Paraeter while (ax > ε ) i p ist der Knoten, der while ( > ε ) berechne δ x und δ y; x x + δ x y y + δ y end while end while = ax i erfüllt; Die Nicht-Randknoten erhalten ihre Anfangs-Koordinaten, inde sie zuerst ebenfalls die Koordinaten der Randknoten berechnen. Anschliessend werden die Koordinaten der Randknoten fixiert und nur die Koordinaten der Nicht- Randknoten werden ins Energieiniu verschoben.

14 Weder Koordinaten noch Randknoten bekannt In der endgültigen Version, wissen die Knoten nicht, ob sie a Rand sind oder nicht. Wir stellen de Algorithus von vorhin also eine weitere Phase voran, in der wir die Randknoten identifizieren. Dazu benötigen wir einen der Startknoten (bootstrap beacon node) von vorhin, der das ganze Netzwerk it einer Hallo Nachricht flutet. Dadurch erfahren alle anderen Knoten ihre Hop-Distanz zu diese Startknoten und können nun it de folgenden Kriteriu entscheiden, ob sie a Rand sind oder nicht. Wenn ein Knoten unter allen Nachbarn in Ukreis von zwei Hops a weitesten vo Startknoten entfernt ist, dann entscheidet er, dass er ein Randknoten ist. Wenn zwei Knoten die gleiche Entfernung haben entscheidet z.b. die grössere ID welcher Knoten genoen wird. Abbildung 6: Ein Netzwerk it 512 Knoten und 15 gefundenen Randknoten auf eine Feld von 10 auf 10 Einheiten. Der Sendebereich der Knoten ist eine Einheit. Dargestellt sind die realen Koordinaten.

15 15 Abbildung 7 Abbildung 8 Die virtuellen Koordinaten von den Nicht-Randknoten aus Abbildung 6 nach 10 (Abbildung 7) bzw. 100 (Abbildung 8), wenn weder die Randknoten noch ihre Koordinaten bekannt sind. 2.4 Siulation Für die Siulation wurde der vollständige Algorithus für die Berechnung der virtuellen Koordinaten verwendet. Also der Algorithus, wo weder die Koordinaten noch die Randpunkte bekannt sind Siulationsparaeter Die hier aufgelisteten Paraeter zeigen für die Siulation verwendete Werte. Anzahl Knoten: 200, 400 und 800. Die Anzahl Knoten die i Netwerk verteilt sind. Weil die Berechnung der Koordinaten in der Triangulations-Phase zielich lange dauert, waren ehr Knoten nicht öglich, u vernünftige Resultate zu erhalten. Senderadius: 1 Einheit. Der Sendebereich eines Knoten liegt ier bei einer Einheit. Knotendichte: Sie wird berechnet durch die Anzahl Knoten al den Senderadius geteilt durch die Fläche des ganzen Netzwerkes. Anzahl Knoten *Senderadius Netzwerkfläche

16 16 -Epsilon: 10-3, 10-4 und Bei jeder Iteration des - Algorithus wird geessen, welcher Knoten sich a Weitesten bewegt hat. Liegt dieser Wert unter de Epsilon, beendet der Algorithus die Berechnungen. Triangulations-Epsilon: 0.1. Der Triangulations-Algorithus wird solange wiederholt, bis alle Knoten weniger als Epsilon Energie haben Messkriterien U gute Aussagen über einen Algorithus zur Bestiung virtueller Koordinaten zu achen, ohne dass an gleich einen Algorithus für Geographisches Routing benötigt, braucht an Kriterien, die ein einfaches und essbares Ergebnis liefern. Randknoten: Die Anzahl gefunden Randknoten in eine Graphen. : Das Kantenkriteriu eines Graphen wird bestit durch den längste Abstand zwischen zwei Knoten, die ein Kante haben und de kleinsten Abstand zwischen zwei Knoten, die keine Kante haben. = längste Distanz it Kante kürzeste Distanz ohne Kante Gesendete : Die Anzahl für die Berechnung der virtuellen Koordinaten n. Epfangende : Die Anzahl für die Berechnung der virtuellen Koordinaten epfangenen. -: Die Anzahl i -Algorithus duchgeführten. Triangulations-: Die Anzahl, bis die definitiven Koordinaten für die Randknoten und die Startkoordinaten für die Nicht- Randknoten berechnet wurden.

17 Auswertung Zuerst konzentrieren wir uns auf die Anzahl Randknoten, die vo Algorithus gefunden werden. Sie werden ganz a Anfang der Algorithus definiert und sind deshalb unabhängig von der Triangulations- und -Paraeter. Anzahl Knoten Dichte Randknoten Wie an sieht hängt die Anzahl der gefundenen Randknoten einerseits von der Anzahl Knoten ab, andererseits von der Dichte des Netzwerkes. Es fällt auf das ab einer bestiten Dichte, die Anzahl Randknoten u einen konstanten Wert zu pendeln beginnen. Dass es bei kleiner Dichte ehr Randknoten gibt liegt daran, dass ein Graph dann a Rand viel zackiger ist als bei eine Graphen it hoher Dichte. Betrachten wir nun die anderen Paraeter etwas genauer, allen voran interessiert uns das (). epfangene Epsilon Triangulations 96'971 1'472' '137 1'257' ' ' Tabelle 1: Daten für ein Netzwerk it 200 Knoten und einer Dichte von 15 und 20 Randknoten i Schnitt. epfangene Epsilon Triangulations 314'393 4'373' '030 3'168' '143 1'736' Tabelle 2: Daten für ein Netzwerk it 400 Knoten und einer Dichte von 15 und 30 Randknoten i Schnitt.

18 18 epfangene Epsilon Triangulations 931'517 12'969' '898 10'934' '618 5'609' Tabelle 3: Daten für ein Netzwerk it 800 Knoten und einer Dichte von 15 und 41 Randknoten i Schnitt. Die Anzahl r bzw. die Anzahl epfangener ergibt sich logischerweise aus der Anzahl Knoten und der Grösse des - Epsilon. Die Anzahl für die Triangulations-Berechnungen ist vor alle auf die Anzahl der Randknoten zurückzuführen. Das sollte nun eine Qualitative Aussage über den Algorithus geben. Wie sich aber herausstellte hüpft der Wert unberechenbar zwischen willkürlichen Werten hin und her. Deshalb werden i Nächsten Kapitel Verbesserungen für den Algorithus gesucht und eingeführt.

19 19 3 Erweiterungen und Verbesserungen In diese Kapitel wird der Algorithus aus Kapitel zwei abgeändert und verbessert, u ein besseres Resultat für das Messkriteriu zu erhalten. 3.1 Eckpunkte Anstatt die Randpunkte it eine rechenaufwändigen Triangulations- Verfahren zu berechnen, werden erst einal nur die Eckpunkte eines virtuellen Rechtecks berechnet. Dabei wird von eine zufälligen Startpunkt ausgegangen. Der erste Eckpunkt (Ecke a) ist der Knoten it der grössten Distanz (Anzahl Hops) vo Startpunkt. Gibt es ehrere Punkte it der grössten Distanz, so definiert sich der Knoten it der höchsten Identifikations-Nuer als Ecke a. Die zweite Ecke (Ecke b) ist der Knoten, der von der Ecke a die grösste Entfernung hat, also diagonal gegenüber der Ecke a liegt. Für die Ecke c wird jener Knoten bestit, der den axialen Wert des Produktes Distanz(Ecke_a) * Distanz(Ecke_b) hat. Die letzte Ecke (Ecke d) wird schlussendlich durch den grössten Wert des Produktes Distanz(Ecke_a) * Distanz(Ecke_b) * Distanz(Ecke_c) definiert. Die Koordinaten werden anhand der Hop-Distanzen, die die Eckknoten untereinander haben gesetzt. Knoten a liegt i Ursprung, Knoten c auf der y-achse, Knoten d auf der x-achse und Knoten b entsprechend der Distanzen zu c und d. Alle anderen Knotenkoordinaten werden nun it Hilfe zweier Geraden berechnet. Diese zwei Geraden eines Knoten werden dabei definiert als: Alle Punkte, wo die Gleichung euklid. Distanz zu a euklid. Distanz zu b = HopDistanz zu a HopDistanz zu b erfüllt ist. Für die zweite Gerade wird c für a und d für b eingesetzt. Die initialen Koordinaten eines Knotens befinden sich i Schnittpunkt dieser beider Geraden.

20 20 Abbildung 9: Ein Netzwerk it 512 Knoten und den 4 gefundenen Eckknoten auf eine Feld von 10 auf 10 Einheiten. Der Sendebereich der Knoten beträgt eine Einheit. Abbildung 10: Das Netwerk aus Abbildung 9 nach einer -Iteration. Abbildung 11: Das Netwerk aus Abbildung 9 nach Abbildung 12: Das Netwerk aus Abbildung 9 nach 100 -Iteration. Man sieht in den Abbildungen 10 bis 12 deutlich, dass je ehr durchgeführt werden, desto ehr zieht sich das Netzwerk zusaen und die Kanten zwischen eine Eckknoten und eine noralen Knoten werden in die Länge gezogen. Das wirkt sich auch auf das Kriteriu aus wie in den folgenden Siulationsergebnissen sichtbar wird.

21 21 epfangene Tabelle 4: Daten für ein Netzwerk it 200 Knoten und einer Dichte von 15. Die Daten sind die Durchschnittswerte von 50 Messungen. epfangene Tabelle 5: Daten für ein Netzwerk it 400 Knoten und einer Dichte von 15. epfangene Tabelle 6: Daten für ein Netzwerk it 800 Knoten und einer Dichte von 15. U diese Verhalten des Algorithuses entgegenzuwirken werden zwei Lösungsvorschläge in den Abschnitten 3.2 und 3.3 eingeführt. 3.2 Gewichte Der erste Lösungsvorschlag besteht darin, für die Eckpunkte grössere Gewichte einzuführen, d.h. sie werden ehrals als Nachbarknoten gewertet. Wenn also ein Knoten ein Eckpunkt als Nachbar hat, suiert er alle noralen Nachbarknoten einal und den Eckpunkt x-al. Dabei ist x proportional zu den Anzahl Nachbarn, die ein Knoten hat. Dait wird erreicht, dass der Eckpunkt auch einen Einfluss hat, wenn der Knoten viele Nachbarn hat. Neben de Gewicht der Eckpunkte haben nun auch die Initialkoordinaten eines Knotens einen Einfluss. So bleiben die Knoten ehr oder weniger ier in der Nähe ihres Startpunktes. Die Initialkoordinaten werden ebenfalls x-al gewichtet. Dies verhindert, dass sich das Netzwerk zusaenzieht und so einerseits die längste Distanz zwischen zwei Knoten it einer Kante nicht grösser wird und andererseits die kürzeste Distanz zwischen zwei Knoten ohne Kanten nicht kleiner wird.

22 22 Abbildung 13: Das Netwerk aus Abbildung 9. Nach einer gewichteten - Iteration. Abbildung 14: Das Netwerk aus Abbildung 9. Nach 7 gewichteten -. Der Algorithus stoppte nach 7, weil das -Epsilon von 0.01 unterschritten wurde. Wie an sieht, ist durch das Gewichten das deutlich verbessert worden. Die Werte bleiben jetzt ehr oder weniger konstant. epfangene Tabelle 7: Daten für ein Netzwerk it 200 Knoten und einer Dichte von 15. Die Daten sind die Durchschnittswerte von 50 Messungen. epfangene Tabelle 8: Daten für ein Netzwerk it 400 Knoten und einer Dichte von 15. epfangene Tabelle 9: Daten für ein Netzwerk it 800 Knoten und einer Dichte von 15.

23 Randknoten bestien Der zweite Lösungsvorschlag besteht darin wieder ehr Randknoten einzuführen. Dadurch sollen die Knoten an den Rand gezogen werden. Die Randknoten werden dabei durch den kürzesten Pfad zwischen zwei Eckpunkten gefunden. Gibt es ehrere kürzeste Pfade, wird jener ausgewählt, der a Weitesten von den gegenüberliegenden Eckknoten entfernt ist. Zu Beispiel für die kürzesten Pfade zwischen a und c wird jener ausgewählt, der von b die grösste Entfernung hat. Abbildung 15: Das Netwerk aus Abbildung 9 it 48 Randknoten. Nach einer noralen -Iteration. Abbildung 16: Das Netwerk aus Abbildung 9 it 48 Randknoten. Nach 35 noralen -. Der Algorithus stoppte nach 35, weil das -Epsilon von 0.01 unterschritten wurde. Die Einführung von Randknoten verhinderte ebenfalls, das sich die Knoten gegen die Mitte des Netzwerkes zusaenklupen. Das zeigt aber weniger gute Werte auf, als das bei der Gewichtung vo vorherigen Abschnitt der Fall war. Randknoten epfangene Tabelle 10: Daten für ein Netzwerk it 200 Knoten und einer Dichte von 15. Die Daten sind die Durchschnittswerte von 50 Messungen.

24 24 Randknoten epfangene Tabelle 11: Daten für ein Netzwerk it 400 Knoten und einer Dichte von 15. Randknoten epfangene Tabelle 12: Daten für ein Netzwerk it 800 Knoten und einer Dichte von 15. Weil die Grösse des ses vor alle von der kleinsten Distanz zwischen zwei Knoten, die keine Kante haben, abhängt wird i nächsten Kapitel ein weiteres Gewicht für die - eingeführt, das Negative Gewicht. 3.4 Negative Gewichte Negative Gewichte werden eingeführt, weil Knoten, die zu eine anderen Knoten eine euklidische Entfernung kleiner als der Senderadius (bei uns eine Einheit) haben, ohne it einer Kante verbunden zu sein, sich gegenseitig abstossen sollen. Haben zwei Knoten p und q den euklidischen Abstand x so befindet sich der virtuelle Nachbarknoten p von q auf der von p gegenüberliegenden Seite it de Abstand d = (Senderadius-x) 2 von q. Abbildung 17: Das Netwerk aus Abbildung 9. Nach einer -Iteration it negativen Gewichten. Abbildung 18: Das Netwerk aus Abbildung 9. Nach 75 - it negativen Gewichten. Der Algorithus stoppte nach 75, weil das -Epsilon von 0.01 unterschritten wurde.

25 25 epfangene Tabelle 13: Daten für ein Netzwerk it 200 Knoten und einer Dichte von 15. Die Daten sind die Durchschnittswerte von 50 Messungen. epfangene Tabelle 14: Daten für ein Netzwerk it 400 Knoten und einer Dichte von 15. epfangene Tabelle 15: Daten für ein Netzwerk it 800 Knoten und einer Dichte von 15. Die negativen Gewichte verbessern das enor. Aber erst nach ehreren. Erstaunlicherweise haben die Anzahl Knoten auf jetzt fast keinen Einfluss ehr. Der Unterschied zwischen 200 Knoten und 800 Knoten ist nur noch inial. Der Anstieg von zwischen 10 und 100 ist wieder auf die Verklupung der Knoten in Richtung Zentru des Netzwerks zurückzuführen, d.h. die Kanten zwischen Ecken und nicht Ecken werden ier ehr gedehnt, während die kürzeste Distanz zwischen zwei Knoten i Graphen ohne Kante, sich in der Waage hält. 3.5 Gewichte und Negative Gewichte kobiniert Es soll nun versucht werden, die Vorteile der zwei Verbesserungen der gewichteten Ecken und der Negativen Gewichte zu kobinieren.

26 26 Abbildung 19: Das Netwerk aus Abbildung 9. Nach einer gewichteten - Iteration it zusätzlichen negativen Gewichten. Abbildung 20: Das Netwerk aus Abbildung 9. Nach zehn gewichteten - it zusätzlichen negativen Gewichten. epfangene Tabelle 16: Daten für ein Netzwerk it 200 Knoten und einer Dichte von 15. Die Daten sind die Durchschnittswerte von 50 Messungen. epfangene Tabelle 17: Daten für ein Netzwerk it 400 Knoten und einer Dichte von 15. epfangene Tabelle 18: Daten für ein Netzwerk it 800 Knoten und einer Dichte von 15. Vergleicht an nun die Tabellen 16 bis 18 it den Tabellen 13 bis 15, sieht an schnell, dass der Wert von wiederu verbessert worden ist. Zwar liegen die Werte nach zehn noch über den Werten vo Algorithus it nur negativen Gewichten, doch befinden sie sich nach hundert überall darunter.

27 Ausblick Weil die Zeit leider nicht ehr gereicht hatte, u noch ehr Verbesserungen zu ipleentieren, werden hier nun weitere Ideen noch theoretisch aufgeführt Randknoten Weil die Fläche des Netzwerks nicht unbedingt die For eines Rechtecks haben uss oder der Rand zielich zackig und ausgefranst sein kann, ist es nicht ier sinnvoll den kürzesten Pfad für die Randknoten zu nehen. Als Alternative wird hier ein Algorithus aufgezeigt, der die Knoten schrittweise it folgende Kriteriu auswählt. Zu Beispiel für die Randknoten von a nach c: Der nächste Knoten ist ier entweder ein Hop näher zu c oder ein Hop ehr von a entfernt oder beides und ist unter allen Kandidaten ier a weitesten von b und d entfernt, d.h. der Wert des Produktes Hopdistanz(Knoten b) * Hopdistanz(Knoten d) ist bei diese Knoten a grössten. Auch sollte ausprobiert werden, ob eventuell auf de Pfad nur jeder zweite Knoten als Randknoten definiert werden kann. Der Grund, die Anzahl Randknoten zu verkleinern, liegt darin, dass die Knoten zu stark nach aussen gezogen werden und dadurch lange Kanten noch länger werden. Knoten, die sich in eine Knotenhaufen befinden, ziehen sich gegenseitig an, dadurch hat eine einzelne Kante zu eine Entfernten Knoten nur wenig Gewicht Gewichte Also folge von den langen Kanten aus Abschnitt kot an auf die Idee, Kanten die länger als ein Senderadius betragen stärker zu Gewichten als Kanten, die weniger als den Senderadius betragen. Also ähnlich wie die negativen Gewichte, nur ugekehrt.

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29 29 4 Fazit In dieser Arbeit wird ein Algorithus für die Berechnung von Virtuellen Koordinaten für Sensornetzwerke untersucht. Es wird versucht diesen Algorithus der Vorlage entsprechend zu ipleentieren und it Siulationen die Ergebnisse zu überprüfen. Weil dies aber nicht ganz gelingt, wird der Algorithus durch diverse Anpassungen und Änderungen ergänzt, u dait das zu verbessern. Das Resultat a Ende zeigt einen guten, verbesserten Algorithus, der ein kleines liefert, das aber durchaus noch verbessert werden kann. 4.1 Persönlicher Rückblick A Anfang der Diploarbeit war geplant, dass nach ca. zwei Monaten ehrere Algorithen für die Berechnung von Virtuellen Koordinaten von Sensorknoten ipleentiert sind. Aber schon it de ersten Algorithus zeigten sich Problee, die nicht so schnell zu lösen waren. Viele Details, die wichtig für die Ipleentierung sind, werden i Paper nur ungenau beschrieben. Voralle die Triangulations-Berechnungen sind i Paper nur dürftig aufgeführt und ich usste zuerst einen Algorithus dafür finden, den ich ipleentieren konnte. Dazu diente ir die JLink Schnittstelle von Matheatica, it der ich in Java den Matheatica-Kernel aufrufen konnte und so die rechenaufwändigen Differentialgleichungen für die Triangulations-Berechnungen zu lösen.

30 30 Literaturverzeichnis [1] Ananth Rao, Sylvia Ratnasay, Christos Papadiitriou, Scott Shenker, and Ion Stoica. Geographic routing without location inforation. In ACM MobiCo Conference, Septeber 2003.