Maria Goeppert-Mayer Kernmodelle und die magischen Zahlen. Nobelpreis 1963

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1 Maria Goeppert-Mayer Kernmodelle und die magischen Zahlen Nobelpreis 1963 Justus-Liebig-Universität Giessen Dr. Frank Morherr

2 Inhalt Tröpfchenmodell Bethe-Weizsäcker-Formel Thomas-Fermi-Modell des Atomkerns Was sind magische Zahlen? Schalenmodell des Atomkerns ohne Spin-Bahn-Kopplung Maria Goeppert-Mayer Erinnerung: Spin-Bahn-Kopplung Schalenmodell des Atomkerns mit Spin-Bahn-Kopplung Erklärung der magischen Zahlen Fazit: Spin-Bahn-Kopplung im Kern Diskussion der empirischen Daten

3 Kernmodelle Kerne sind komplexe Vielteilchensysteme von wechselwirkenden Nukleonen eine universelle, alle Kerneigenschaften beschreibende Theorie gibt es bisher nicht Entwicklung phänomenologischer Modelle für bestimmte Eigenschaften Tröpfchenmodell: Kern in enger Analogie zu geladenem Flüssigkeitstropfen (quasiklassisch), Nukleonen bewegen sich stark korreliert in inkompressibler Flüssigkeit Fermigasmodell: Nukleonen bewegen sich unabhängig voneinander in einem resultierenden Kernpotential, Potentialtiefe aus der Quantenstatistik eines Fermigases Schalenmodell: Nukleonen bewegen sich voll quantenmechanisch (Schrödinger-Gleichung) Potential mit starkem Spin-Bahn-Term, magische Zahlen, Spin, Parität

4 Tröpfchenmodell des Atomkerns Große Zahl von Nukleonen in schweren Kernen begründen Vorstellung, dass zusammengesetzter Kern sich ähnlich verhält wie Flüssigkeitstropfen, in dem Wassermoleküle zwar zusammengehalten werden, aber doch Bewegungen ausführen. Bindungsenergien werden auf die Nukleonenzahl bezogen Werte lassen sich als Funktion der Massenzahl darstellen

5 Tröpfchenmodell des Atomkerns Bindungsenergie pro Nukleon erreicht ihren größten Wert um 8 MeV/u im Massenbereich u. Verhalten stellt Sättigung der Kernkräfte dar. Anziehende Kraft reicht nicht weiter raus, als zu den nächsten Nachbarnukleonen Erstes Modell, dass Sachverhalt beschreibt, stammt von Albrecht Bethe und Carl Friedrich von Weizsäcker (1935): Nicht alle Nukleonen im Kern erfahren die gleichen Kräfte, denn die Teilchen an der Oberfläche haben weniger Nachbarn. Bindung dort ist gelockerter abstoßende Wirkung der Coulomb-Kraft zwischen Protonen lockert Bindung Asymmetrie in der Zahl der Protonen und Neutronen mindert die Bindungsenergie, macht sich vor allem bei schweren Kernen bemerkbar Paarungskräfte zwischen gleichartigen Nukleonen können Bindung geringfügig verstärken

6 Bethe-Weizsäcker-Formel

7 Bethe-Weizsäcker-Formel Ableitung von ac aus Elektrostatik:

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9 5 2 1/ 3 2 / / ), ( B A A Z a A Z a A a A a A Z B A C S V Tröpfchenmodell kann die Elementhäufigkeiten und die magischen Zahlen nicht erklären Schalenmodell Übliche Darstellung der Bethe-Weizsäcker-Formel:

10 Thomas-Fermi-Modell des Atomkerns Das Tröpfchen-Modell ist empirisch und gewährt kaum Einblicke in die Struktur des Atomkerns zum Verständnis der Eigenschaften von Kernen sind andere physikalische Modelle erforderlich. Im Fermigas-Modell heben sich die Kräfte aller umgebenden Nukleonen praktisch auf, so dass sich die Protonen und Neutronen quasi frei in einer Kugel mit Radius a/2 bewegen. Wegen der Unabhängigkeit beider Teilchenarten (Isospin) setzt man zwei Potentialtöpfe an, die sich in der Tiefe unterscheiden, weil die Protonen sich untereinander abstoßen. Jeder Topf wird bis zur Fermi-Energie aufgefüllt: Die Fermi-Energien hängen nur von der Dichte der Neutronen bzw. Protonen im Kern ab (Herleitung unten)

11 Thomas-Fermi-Modell des Atomkerns

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15 Massenformel in erweiterter Form berücksichtigt Dicke der Oberflächenschicht des Kerns Fermi- Verteilung der Ladungsdichte Radiale Ladungs-Verteilung einiger Atomkerne

16 Fermi-Gas-Modell Konsequenzen schwere Kerne müssen eine höhere Zustandsdichte bzw. kleinere Abstände der Energie-Niveaus besitzen der Neutronen-Topf ist tiefer als der Protonentopf, da Protonen sich gegenseitig abstoßen bei gleicher Fermi-Energie ist der relative Unterschied (N-Z)/A wird bei schweren Kernen größer, weil die zunehmende Coulomb-Abstoßung den Abstand anwachsen lässt

17 Was sind magische Zahlen? Magische Zahlen sind in der Kernphysik bestimmte Neutronen- und Protonenzahlen in Atomkernen, bei denen im Grundzustand des Kerns eine höhere Stabilität als bei benachbarten Nukliden beobachtet wird. magische Kerne bezeichnet Magische Kerne besitzen eine besonders hohe Separationsenergie für ein einzelnes Nukleon magischen Zahlen durch Schalenmodell der Kernphysik erklärbar. (Analogie: Atomhülle mit ihren Schalenabschlüssen) Inseln der Stabilität bei Ordnungszahlen oberhalb natürlich vorkommender Elemente vorhergesagt.

18 Schalenmodell des Atomkerns ohne Spin-Bahn-Kopplung Hinweise auf die Schalenstruktur des Kerns Kerne mit magischer Protonenzahl Z oder Neutronenzahl N sind besonders stabil In der Umgebung dieser magischen Protonen- oder Neutronenzahlen gibt es besonders viele Isotope/Isotone Beispiele: Es gibt 6 (stabile) Kerne mit N=50 und 7 Kerne mit N=82 Es gibt 10 natürlich vorkommende Isotope von Sn (Z=50) Doppelt magische Kerne (Z und N magisch) sind außergewöhnlich stabiler als vergleichbare: Beispiele:

19 Schalenmodell - Hypothese Jedes Nukleon bewegt sich als freies Spin-1/2 Teilchen in einem mittleren sphärischen Potentialfeld U(r), das durch die Wechselwirkung mit allen anderen Nukleonen erzeugt wird Die Besetzung der diskreten Quantenzustände (Orbitale) im Schalenmodell-Potential erfolgt nach den Regeln des PAULI-Prinzips Ansatz: Potential U(r) proportional zur Dichte ρ(r) der Nukleonen

20 Hamiltonoperator des Kerns im Schalenmodell Ausgangspunkt: Kern-Hamiltonoperator Mittleres Einteilchen-Schalenmodell-Potenzial U: Schalenmodell-Hamiltonoperator Restwechselwirkung: klein Optimierung des Schalenmodell-Potentials: Hartree-Fock-Verfahren Schrödinger-Gleichung

21 H i 2 pi 2m e Ze 4πε 2 0 Hartree-Fock r i Coulombfeld des Atomkerns i j V i j r i V r i r j Bewegung im mittleren Potential der übrigen Elektronen

22 Wellenfunktion Isospin-Symmetrie: Proton und Neutron als Isospin-Dublett Pauli-Prinzip: Wellenfunktion total antisymmetrisch unter Vertauschung zweier Nukleonen Lösungen der Einteilchen-Schrödingergleichung Antisymmetrisierte Produktwellenfunktion des Kerns: Energie (Slater-Determinante)

23 Schrödinger Gleichung in Kugelkoordinaten Lösung durch den Produktansatz: Gleichung für die Radialfunktion R(r)

24 Phänomenologische Kernpotentiale im Schalenmodell 3-dimensionaler harmonischer Oszillator Energie-Eigenwerte: Entartungsgrad: Woods-Saxon-Potential: (typische Parameter- Werte)

25 Spektrum der Einteilchen-Orbitale: Spektroskopische Notation Hauptquantenzahl Bahndrehimpulsquantenzahl

26 Problem des Schalenmodells Rechnungen mit harmonischem Oszillator-Potential reproduzieren nur die magischen Zahlen bis 20 Auch Modellrechnungen mit Rechteck- und Woods-Saxon- Potential können die magischen Zahlen größer 20 nicht reproduzieren Verbesserung des Modells: Kopplung von Bahndrehimpuls und Spin (1949: Maria Goeppert-Mayer, Hans D. Jensen Nobelpreis für Physik 1963) Aufspaltung der Energie-Niveaus entspricht der Feinstruktur- Aufspaltung für die Elektronenzustände in der Atomhülle, ist aber erheblich stärker infolge der Kernkräfte Aufspaltung kann größer werden, als die Energiedifferenz zwischen zwei Schalen

27 Sowohl Kastenpotential, als auch harmonischer Oszillator mit Parabelpotential als auch Rechnung mit Woods-Saxon Potential liefert falsche Sequenz Richtige Schalenabschlüsse 1949 unabhängig voneinander Haxel, Jensen, Suess und andererseits von Maria Goeppert-Mayer gefunden Kernkräfte bewirken Spin-Bahn-Wechselwirkung von solcher Stärke, dass Sie Termfolge entscheidend bestimmt Im Gegensatz zur Atomhülle ist bei Kernen die Spin-Bahn- Kopplungsenergie in der gleichen Größenordnung wie die Termabstände

28 Fazit: Lösungen der Schrödingergleichung ergeben Energieniveaus, die nur die magischen Zahlen 2, 8, 20 als Schalenabschlüsse erklären können. Bei größerer Zahl von Nukleonen im Kern ergeben sich andere als die magischen Zahlen. Das Oszillatorpotential liefert für alle Niveaus konstante Abstände Die richtigen Schalenabschlüsse wurden 1949 unabhängig von Hans Jensen und Maria Goeppert-Mayer gefunden Entscheidender Gedanke: Analogie zur Atomhülle, in der auf elektromagnetischer Wechselwirkung beruhende Spin-Bahn-Kopplung des Elektrons Rolle spielt Spektrallinienaufspaltung (Feinstruktur) Einführung einer ebensolchen Spin-Bahn-Kopplung für die starke Wechselwirkung der Nukleonen

29 Maria Goeppert-Mayer 1906 Maria Goeppert wird am in Kattowitz geboren 1909 Zieht mit ihren Eltern nach Göttingen, Hochburg der Mathematik und Physik, Nachbar David Hilbert 1921 Maria beendet die Volkschule 1923 Maria legt als Externe an einer Knabenschule in Hannover das Abitur ab 1924 Schreibt sich an Universität ein, zunächst für Mathematik 1930 Maria heiratet im Frühjahr den Amerikaner Joseph Mayer 1930 Maria schreibt mit Max Born als Doktorvater ihre Dissertation 1930 Maria forscht selbständig auf unterschiedlichen Gebieten weiter 1941 Maria erhält eine halbe Stelle als naturwissenschaftliche Lehrkraft am College in Bronxville Sie wird angeworben, hochspaltbares Uran-235 von dem stabileren Uran-238 zu trennen (Manhatten-Projekt) 1946 Das Ehepaar Mayer zieht nach Chicago um 1950 Ab April beginnt sie in der theoretischen Physik auf dem Gebiet der Atomkerne zu forschen 1963 Hans Jensen und Maria Goeppert-Mayer werden für ihre Entdeckung der Schalenstruktur des Kerns mit dem Nobelpreis für Physik geehrt, als erste Frau in theoretischer Physik und als zweite Frau nach Marie Curie überhaupt 1972 Am 20. Februar stirbt sie an den Folgen eines Schlaganfalls

30 Erinnerung: Spin-Bahn-Kopplung Klassische Sichtweise: Elektron bewegt sich um Kern, dadurch ändert sich aus Sicht des Elektronenspins s die relative Position des Kerns Bewegte Ladungen erzeugen Magnetfeld, also sieht Spin des Elektrons inneres Magnetfeld, zu dem es zwei Ausrichtungsmöglichkeiten gibt Klassische und genaue quantenmechanische Betrachtung liefert D Mögliche Ausrichtungen von zueinander werden bestimmt aus Regel zur Berechnung der Quantenzahl j aus den Quantenzahlen

31 Das für die Kopplungsenergie wichtige Skalarprodukt berechnet sich zu

32 Zur Erinnerung: Spin-Bahn-Potential in der Atomphysik (Thomas-Präzession) Spin-Bahn-Potential in der Kernphysik Versuch mit analogem Ansatz Falsches Vorzeichen und viel zu klein(um ca. Faktor 20)

33 Schalenmodell des Atomkerns mit Spin- Bahn-Kopplung Problem: Nukleonen haben eine vergleichbare Größe wie der Kern selbst. Wie entstehen wohldefinierte Bahnen ohne Nukleon- Nukleon-Stöße? Antwort: Wenn Energie in einem Stoß übertragen wird, müssen die Nukleonen andere Orbitale (höhere und tiefere) besetzen. Alle nahen tief liegenden Zustände sind jedoch besetzt. Die Nukleonen im Grundzustand müssen sich deshalb kollisionsfrei innerhalb des Kerns bewegen. Spin-Bahn-Wechselwirkung im effektiven Potential Erwartungswert

34 Schalenmodell des Atomkerns mit Spin- Bahn-Kopplung Wichtige Erweiterung des Schalenmodell-Potentials Goeppert-Mayer und Jensen (beide Nobelpreis 1963) Gesamtdrehimpuls eines Nukleons im Kern: Eigenwerte des Spin-Bahn-Operators: Spin-Bahn-Aufspaltung der Einteilchenenergien: Einteilchen-Wellenfunktion mit Spin-Bahn-Kopplung:

35 Das Spin-Bahn-Potential im Kern Es erweist sich, dass genau wie negativ ist, daher liegen Zustände für energetisch höher als die mit. Anzahl erlaubter Kombinationen von n,l zu festem j ergibt maximale Zahl der Nukleonen im Zustand. Zu jedem Wert von j gibt es wie in der Atomhülle 2j+1 mögliche energieentartete Richtungseinstellungen, man erhält die unten angegebenen Nukleonenzahlen Energetische Reihenfolge und Absolutenergien der Niveaus ergeben sich erst aus umfangreicher Rechnung mit den oben angegebenen Wellenfunktionen.

36 Erklärung der magischen Zahlen Spin-Bahn-Potential in der Kernphysik ist ungewöhnlich hoch Erklärung der empirisch beobachteten magischen Zahlen Insbesondere: magische Zahl 28 nur mit starker Spin- Bahn-Kopplung möglich

37 Erklärung der magischen Zahlen die Verwendung des Wood-Saxon- Potentials liefert eine Verschiebung und Aufspaltung der Terme des Oszillator- Potentials die Berücksichtigung der Spin-Bahn- Kopplung liefert eine weitere Aufspaltung und erzeugt Lücken im Termschema passend zu den magischen Zahlen. die Spins und Bahndrehimpulse der Nukleonen in einer vollgefüllten Schale koppeln zu Null. Drehimpuls und magnetisches Moment des Kerns werden dann einzig vom Leuchtnukleon (bzw. vom Nukleon-Loch) bestimmt.

38 Auftragen der sich ergebenden Niveaufolge mit Besetzungszahlen ergibt experimentell gefundene magische Zahlen als Summe aller Protonen bzw. Neutronenzahlen, die alle Niveaus bis zu besetzen können, bei dem besonders große Energielücke zum nächst höheren Niveau auftritt (Energielücken schraffiert) Vollständig besetzte Schale (d.h. Zustand mit Teilchen vorgegebener Gesamtdrehimpulsquantenzahl j ) hat Kernspin=Gesamtdrehimpuls, da alle 2j+1 Unterzustände mit besetzt sind Kerne mit abgeschlossenen Schalen müssen kugelsymmetrisch sein, den Kernspin I=0 haben und können kein Quadrupolmoment besitzen Abweichung bei schwereren Kernen

39 Maria Goeppert-Mayer Otto Haxel Hans Jensen Hans Suess

40 Fazit: Spin-Bahn-Kopplung im Kern Ansatz beinhaltet die Annahme, dass Spin-Bahn-Potential an der Kernoberfläche dominant ist Starke Spin-Bahn-Kopplung (Kopplung des Spins eines Nukleons mit seinem eigenen Bahndrehimpuls aufgrund des Kernpotentials) selektive Verschiebung von Energieniveaus zu höheren oder niedrigeren Werten Lücken im Energieniveauschema, die genau an den Stellen auftreten, die den magischen Zahlen entsprechen Zustände mit höherem Gesamtdrehimpuls j liegen energetisch niedriger als die mit kleinem Gesamtdrehimpuls, d.h. P3/2-Zustände liegen tiefer als die P1/2-Zustände, entgegengesetzt zur Atomhülle Bei Aufbau der Kerne werden diejenigen Zustände mit höherem Drehimpuls zuerst besetzt Magnetische Momente werden jeweils durch ungepaarte Nukleonen bestimmt

41 Experimente zeigen, das spezielle Zahlen von Nukleonen (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126,...) stabiler gebunden sind. Ein Zentralpotential kann das nicht erklären. Ergänzt man ein Spin-Bahn- Potential, dann liefert dies eine Erklärung Das Spin-Bahn-Potential spaltet die j=l+1/2 Konfiguration von der l-1/2 Konfiguration ab Durch Anpassen der Stärke der Störung durch die Spin-Bahn- Kopplung waren Mayer und Jensen in der Lage, die magischen Zahlen zu erklären

42 Beispiel: Durch Streuphasenzerlegung für Streuung von Neutronen an erschließt sich, dass energetisch tiefster Streuzustand Drehimpuls 3/2 und nächsthöherer Drehimpuls ½ hat Da 1s-Schale in abgeschlossen ist, muss Neutron an p-zustand mit l=1 gestreut werden. Durch Spin-Bahn-Wechselwirkung wird l=1 Zustand in energetisch tieferen mit j=1+1/2=3/2 und einen höheren mit j=1-1/2=1/2 aufspaltet. Experiment zeigt, dass Termfolge genau umgekehrt wie bei Feinstrukturaufspaltung der Atomhülle ist Nachweise

43 Diskussion der empirischen Daten für Kerne mit ungeradem A=N+Z Verschiedene Werte von N und Z (Grundzustände von Kernen)

44 N oder Z ungerade =1 - Der uu-kern des Deuteriums hat magnetisches Moment von , unterscheidet sich um 2,5% vom magnetischen Moment des Protons und des Neutrons. Erklärt durch Vermischen eines d-zustands mit s- Zustand ( magische Zahl 2) N oder Z ungerade zwischen 2 und 8 p-zustand ist gefüllt Aufgrund starker Spin- Bahn Kopplung ist der P3/2 Zustand niedriger Für N oder Z=3 und 5 Grundzustandsspin und magnetisches Moment korrespondieren zu P3/2, für N oder Z=7 zu P1/2 ( magische Zahl 8)

45 N oder Z ungerade zwischen 8 und 20 Zustände in dieser Schale sind in der Reihenfolge d5/2, s1/2, d3/2 Z oder N=13 mit 5p oder 5n oder einem Loch im d5/2 Zustand ist, findet man als möglichen Zustand nur d5/2 Das positive Quadrupolmoment des zeigt, dass die Schale mehr als halb gefüllt ist Bei 15 wird der s1/2- Zustand für ungerade Protonenanzahl gefüllt

46 N oder Z ungerade zwischen 8 und 20

47 N oder Z ungerade zwischen 20 und 28 Einziger Zustand dieser Region ist f7/2

48 N oder Z ungerade zwischen 28 und 50 bei 28 geht die Spin-Bahn-Kopplung entscheidend ein. Die Zustände füllen sich in der Reihenfolge p3/2, f5/2, p1/2, g9/2

49 N oder Z ungerade zwischen 28 und 50

50 N oder Z ungerade zwischen 50 und 82 Bis jetzt verhielten sich die Kerne mit ungeradem Z und ungeradem N gleich, dies wird jetzt anders Neutronen haben wir Besetzungsreihenfolge Protonen haben die Besetzungsreihenfolge Barium mit N=81, A=137, dagegen Thallium mit Z=81, A=203 und 205 Coulombenergie spielt entscheidende Rolle

51 N oder Z ungerade zwischen 50 und 82

52 N oder Z ungerade zwischen 50 und 82

53 N oder Z ungerade zwischen 82 und 126

54 N oder Z ungerade zwischen 82 und 126

55 Vergleich der Abweichung der magnetischen Momente für Kerne mit N und Z ungerade

56 This was wonderful. I liked the mathematics in it Mathematics began to seem too much like puzzle solving Physics is puzzle solving, too, but of puzzles created by nature, not by the mind of man Physics was the challenge. Maria Goeppert-Mayer

57 Literaturverzeichnis Maria Goeppert-Mayer, H. Jensen: Elementary Theory of Nuclear Shell Strukture, Wiley New York 1955 W. Demtröder: Experimentalphysik 4, Springer 1998 K. Bethge, G. Walter, B. Wiedemann: Kernphysik, Springer 2008 T. Mayer-Kuckuk: Kernphysik, Teubner 1994 gmf-lectures5: Nucleons and Nuclei Grace Ross: Mary Goeppert Mayer, Interdisciplinary Symposium