Kernmodelle! Inhalt: Kernradien Bindungenergien MassenbesFmmung Tröpfchenmodell Fermigas Model Kernspin und magnefsches Moment Schalenmodell

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1 Inhalt: Kernradien Bindungenergien MassenbesFmmung Tröpfchenmodell Fermigas Model Kernspin und magnefsches Moment Schalenmodell Kernmodelle! Kerne sind zusammengesetzte Systeme aus Protonen und Neutronen: - Nur einfache Systeme können mit N- N WW beschrieben werden - Gesamtbeschreibung mit N- N WW zu komplex Klassen von Kernmodellen: - Independent par9cle models nnahme: quasifreie Bewegung der Nukleonen als unabhängige Teilchen in PotenFaltopf Beispiel: Schalenmodell - Kollek9ve Modelle Beispiel: Tröpfchenmodell

2 Kernmodelle! Äußere Eigenschaen von Kernen: Masse, Massenverteilung, Ladung, Größe. = Kollek9ve Eigenschaen eines zusammengesetzten Systems Nukleonen haben aber auch individuelle Eigenschaen: Bindungsenergie Nukleonenspin MulFpolmomente Kerne können (wie tome) angeregt werden. Symmetrien: Parität, Isospin

3 Kernradien!... BesFmmung misels Elektronenstreuung am Nukleon R ~ R 0 1/3 R 0 =1, 21 fm Für einen kugelförmigen Kern gilt dann: V = 4! R 3 / 3 = 4! R 0 3 / 3 Das Volumen wächst linear mit und besitzt eine konstante Dichte! V = konst = 0.17 Nukleonen fm 3 ˆ= 3!10 14 g/cm 3

4 Bindungsenergien! Experimentelle Untersuchung der Bindungsenergien durch Unterschied der Massen der Bauteile und Gesamtmasse: B(Z, ) / c 2 = Z! M p + ( " Z)! M n " M K (, Z) Experimentelle Bes9mmung im Massenspektrometer: Energie der Ionen erhält man durch blenkung im E- Feld:! F = Q E! = Mv2 r r E = M v 2 Q E Teilchenimpuls über blenkung im MagneZeld: Mv = p = Q! B! r r B = Mv QB

5 Massen! Einheit: 1u = 1 12 m(12 C) = MeV c 2 = !10 "27 kg - BesFmmung von Massen mit KernreakFonen: z.bsp. n + 1 H! 2 H +! B = (M n + M 1 H + M 2 H )c2 = E! + E! 2 = 2, 25 MeV 2M 2 c2 H - BesFmmung misels Penningfalle und Zyklotronfrequenz: Extreme Genauigkeit möglich! RelaFve Genauigkeit: 10-10!! C = QB Mc

6 Schlussfolgerungen! 1. Bindungsenergie pro Nukleon ist nahezu konstant für alle Kerne B/ ~ 7,5-8,5 MeV usnahmen nur für leichte Kerne ( < 10) 2. Bindungsenergie / Nukleon maximal bei ~60... Eisenhäufigkeit im Universum Spaltprozesse für >> 60, Fusion für < Kerne weisen eine konstante Dichte auf: - Säkgung der Kernkräme. - würden alle Nukleonen miteinander wechselwirken, wäre B ~ 2. - weil aber B ~: nur WW mit nächsten Nachbarn, ähnlich einer Flüssigkeit: Tröpfchenmodell

7 Tröpfchenmodell! Masse eines toms: Masse des Kerns + Masse der Elektronen Bindungsenergie der Elektronen Masse eines Kerns: m K ( Z, N) Zm p + Nm n m K ( Z, N) = Zm p + Nm n Δm K Differenz Δm ist der Massendefekt, gleich der Bindungsenergie E = mc² Die Bindungsenergie entspricht der Energie, die aufgewendet werden muss, um den Kern in seine KonsFtuenten zu zerlegen.... SeparaFonsenergie E = s E b Beispiele:

8 Weizsäcker Massenformel! M (, Z) Z M + Z m + N. M B( Z, ) / c² Bindungsenergie: B( Z, ) / c² = N = -Z a p = a Volumenterm: V S 2/3 Z ² ac 1/3 ( N Z)² aa 4 δ 1/ 2 e n a Oberflächenterm s = 17,23 fehlende Nachbarn Coulomb Term a c = 0,714 bstoßung von Protonen symmetrie Term Paarungsterm B R² N = Z N = Z bevorzugt gerade Zahl von p, n bevorzugt [MeV/c²] a v = 15,67 a S = 93,15 δ gg = -11,2; δ gu = 0; δ uu = +11,2

9 Tröpfchenmodell! E = E + E + E + E + b E b1 b2 b3 b4 b5

10 Tröpfchenmodell! Volumenterm: Kernbindungsenergie proportional zu Volumen des Kerns E ~ b 1 av Proportionalitätskonstante (modellabhängig) Weil V ~ : V Oberflächenterm: = 4πR³ / 3 1/3 R ~ Nukleonen an der Oberfläche erfahren im Mittel eine kleinere Bindung E b2 =!a o 2/3 Proportionalitätskonstante a o > 0

11 Tröpfchenmodell! Coulombterm: Positive Ladungen im Kern stoßen sich ab E b3 = a C Z² R = a C Z² 1/3 symmetrieterm: Für Kerne > 40 Ca werden Kerne mit Z = N instabil ( N Z)² - Proportionalitätskonstante positiv Eb4 = a - Wird später nochmals diskutiert

12 Tröpfchenmodell! Paarungsterm: E b5 = ± a P 1/ 2 Stärkere Bindung bei gerader nzahl an Neutronen resp. Protonen - gg, uu Kerne: Z und N gerade. a P positiv - gg, uu Kerne: Z und N ungerade. a P negativ - ug, gu Kerne:. a P = 0

13 Folgerungen aus dem Modell! Wichtige Phänomene, die mit dem Modell beschrieben werden können: - Variation der Kernmasse von Isobaren ( fixiert, anderes Z): Massenformel ~ Z² - für ungerades : Parabel - für gerades : 2 Parabeln wegen Paarungsterm - Nur ein stabiles Isobar mit ungeradem - Mehrere stabile Isobare mit geradem - Protonenzahl für minimale Masse bei fixiertem (Z des stabilsten Kerns Z 0 ): Tal der Stabilität in der Nuklidkarte 0 2) / ( ), ( 1 0 1/3 0 = = Z a Z a M m M Z Z M a C n e p 2/3 2/3 0 0,015 1,98 2 a a a m M M Z a C a e p n + = + + =

14 Stabilität der Kerne! bb.: Segre

15 Superschwere Kerne! Extrapolation zu sehr schweren Kernen: - Massenformel + Schalenmodell zusätzliche Information über ufbau der Kerne - Kerne schwere Z = 100 werden im Reaktor nicht mehr erzeugt, sondern am Beschleuniger (GSI Darmstadt, LBNL Berkeley, Dubna) - Isotope mit bis zu Z = 119 entdeckt Neue Doppelt magische Kerne erwartet: Insel der Stabilität? 108Hs - Schwere Kerne sind nicht sphärisch, sondern deformiert

16 Fermigas Modell! Tröfchenmodell: - Kann die Bindungsenergien gut beschreiben - Basiert auf empirischen Parametern Fermigas-Modell: - Beinhaltet keine Nukleon-Nukleon Wechselwirkungen - Größe des Kerns durch einen Potentialtopf bestimmt - Mittleres Potential durch alle Nukleonen erzeugt - Protonen und Neutronen bewegen sich frei im Potentialtopf - Protonen und Neutronen sind unterscheidbare Fermionen - Unterschiedliches Potential für p, n - Fermionen: Protonen und Neutronen haben Spin ½ - Pauli Prinzip

17 Fermigas Modell! 3D Kastenpotential: Lösung der Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Kastenpotential mit entsprechenden Randbedingungen: Stehende Wellen mit n Knoten Zahl der Zustände im Phasenraum mit Volumen V dn 4π p² dp = V (2π )³ Zustandsdichte als Energie ausgedrückt

18 Fermigas Modell! Bei T = 0 K (Kern im Grundzustand) sind die Zustände bis zur Fermi-Energie (Impuls) gefüllt: dn 3 pf = n = dn = V 6π ² 4π p² dp V (2π )³ Besetzungswahrscheinlichkeit als Funktion der nregungsenergie p F ³ 0 p F Fermi-Impuls Jeder Zustand kann mit 2 Nukleonen der gleichen rt gefüllt werden: N, P = 3 pf, n, p V 3π ² ³

19 Fermigas Modell! V ist das Kernvolumen R fm V 4 = π R³ = 3 4 πr 3 Impuls der Nukleonen für Z = N = /2, Kernradius für p,n gleich p 9π = ~ 250 MeV c F R 8 / 0 Fermienergie: Energie des höchsten besetzten Niveaus 1/3 3 0 E F = p2 F 2M ~ 33 MeV M Nukleonenmasse Tiefe des Potentials ~ E F + E B ~ 40 MeV

20 Fermigas Modell! Kinetische Energie und Potentialtiefe sind vergleichbar: Kerne sind nur schwach gebunden -> Ähnlich dem Fermigas in einem Metall Coulomb-bstoßung der Protonen verursacht zusätzlichen Term, der die Potentialtiefe für Protonen verringert (für ein Teilchen) V C α c = ( Z 1) R Potentialtöpfe für Protonen und Neutronen

21 Fermigas Modell! Für stabilen Kern ist E f,p ~ E f,n. (sonst Zerfall zu einem stabileren Kern) N > Z für schwere Kerne! Mittlere kinetische Energie pro Nukleon Gesamte kinetische Energie des Kerns: E kin = 3 5 p F 2 2M ~ 24 MeV E kin (N, Z) = N E kin + Z E kin = 3 10M Np 2 2 ( F,n + Zp F,n ) = 3 10M! 2 R 0 2 2/3! 9! $ N 5/3 + Z 5/3 # & " 4 % 2/3 Ohne Coulombenergie existiert ein Minimum bei N=Z...

22 Fermigas Modell! Entwickeln des symmetrieterms: Radius R 0 ist gleich für p,n; Volumen V = 4 π R E kin = ( N, Z) 3 10M R = 3 10M 9 π 4 2/3 R π /3 ( N N 5/3 Z) + Z 2/3 2 5/ E kin ist minimal bei N=Z für festes - E kin wächst mit Neutronen oder Protonenüberschuss (symmetrie Term) - Potential ändert sich für N Z

23 4.6.2 Fermigas Modell! Beispiel für eine experimentelle Bestätigung des Fermigas-Modells: Die Bewegung von Nukleonen im Kern Quasi-elastische Streuung von e- an Nukleonen im Kern Nukleonen haben Impuls ~ Fermi-impuls p F. bb.: Segre