1 Commercial Banking SS2002

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1 1 Commercial Banking SS Übung 4 - ausgewählte Lösungen 1. CDO Evaluator (Präsentation) siehe Lösungs-Excel-Sheet. Die Fragen sind zur Anregung bei der selbständigen Arbeit gedacht. 2. Collateralized Loan Obligation (CLO) Bezeichnungen, Daten: 10 Kredite, für einige Teilaufgaben verallgemeinert auf Kredite A i Ereignis Ausfall von Kredit i A i Ereignis kein Ausfall von Kredit i p := P (A i )=2%; q := 1 p Tranche III hat einen Anteil von 3% Verlustrate LGD := 1 Wiedergewinnungsrate = 0, 6 (a) Von welchem Typ ist die Verlustverteilung des Portfolios? diskret verteilte Zufallsgröße: eine Konstante (0,6) mal eine B (2 % ; 10)-verteilte Zufallsgröße (b) Wie hoch ist der erwartete relative Verlust für das Portfolio? Lösung: Eigentlich kann man die Lösung im Kopf ausrechnen, da für alle Kredite Ausfallrate und -wahrscheinlichkeit gleich sind. Dann ist der durchschnittliche relative Verlust für das Portfolio gleich dem jedes einzelnen Kredites, also (1 R) p =1, 2%. Formaler Ansatz : Bezeichnung für den (zufälligen) relativen Verlust aus Kredit i: ½ 0, 6 : Ai X i := =0, 6I 0 : A Ai i wobei I Ai die Indikatorfunktion von A i bezeichnet. Wegen der gleichen Kreditvolumina ist der relative Verlust für das Portfolio X =1/10 P 10 X i. Die Ausfallwahrscheinlichkeiten sind alle gleich, daher haben wir EX = E X X i = 0, X EI Ai =0, 6 P (A i )=0, 6 2% = 1, 2%. (c) Wie hoch ist das unerwartete Verlustrisiko des Portfolios (gemessen in der Varianz des Verlustes relativ zur Forderung)? (Lösung siehe 2d) (d) ehmen Sie an, das Portfolio sei statt in 10 in Kredite gestückelt. Mit welcher Ordnung verändert sich die Varianz des relativen Verlustes? Lösung: Gesucht ist die Varianz von X =1/ P X i. Die Varianz eines Einzelkredit- Verlustes berechnet sich zu var (X i )=var(0, 6I Ai )=0, 36 var (I Ai )=0, 36pq. 1 Wegen der Unabhängigkeit der X i (diese impliziert Unkorreliertheit) und der Gleichheit der Varianzen erhält man Ã var (X) =var 1! X X i = 1 2 X var (X i )= 0, 36 pq Die Standardabweichung von X verändert sich demnach bei wachsender Portfoliostückelung mit 1/. Für =10ergibt sich σ X =2, 66%; eine Verhundertfachung der Stückelung impliziert eine Reduzierung der Standardabweichung auf ein Zehntel. (e) Stellen Sie in einem Diagramm die Abhängigkeit der Verluste der einzelnen Tranchen vom zufälligen Portfolioverlust dar. (in der Übung besprochen) 1 Den letzten Schritt kann man durch sture Anwendung der Definition der Varianz leicht selbst ausrechnen. 1

2 (f) Wie hoch ist der erwartete relative Verlust für die von der Bank gehaltene letzte Tranche? i. ehmen Sie dazu eine Stückelung von 10 an. Ermitteln Sie, bis zu welcher Stückelung Ihr Ansatz brauchbar ist. Lösung: Wir nutzen hier aus, daß der kleinstmögliche positive Verlust bereits die gesamte Tranche übersteigt (dies gilt für Stückelung bis =20; Portfolioverlust bei genau einem Ausfall: 1/10 0, 6 = 6%). Daher bedeutet jedes Ereignis irgendein Kredit fällt aus für den Inhaber von Tranche III einen Totalverlust. Die erwartete Ausfallrate ist daher gleich der Wahrscheinlichkeit irgendeines Ausfalls im ganzen Portfolio. Wegen der Unabhängigkeit erhält man wieder E (Verlust T III) = P (irgendein Ausfall) =P (A 1... A 10 ) = 1 P A 1... A 10 =1 q 10 =18, 29% ii. Entwickeln Sie einen prinzipiellen Ansatz für höhere Stückzahlen (als 20). Lösung: Der Verlust Y in Tranche III, bezogen auf das Gesamtvolumen des Portfolios, berechnet sich zu Y =min(3%,x). Bezeichnung: X := P I A i. Diese Zufallsgröße zählt die Ausfälle im Portfolio und ist wegen deren Unabhängigkeit binomial verteilt. Sie läßt sich mit X = 0,6X nach X übersetzen. Bei der Berechnung des Erwartungswertes muß man die Portfolio-Ausfallhöhen über 3% von denen darunter trennen. Im ersten Fall ist Y =3%, ansonsten gleich dem Portfolioverlust. Letzteres tritt ein, wenn X [5%] =: M ist, dem größten ganzzahligen Bestandteil von 5%. Wir erhalten EY = E 3% I {X >M} + 0, 6 X I {X M} = 3%P (X >M)+ 0, 6 MX ip (X = k) X µ = 3% p i q i + 0, 6 MX µ i p i q i i i i>m Das ist zunächst eine korrekte Lösung, die man entsprechend in einem Spreadsheet verarbeiten könnte. Von Interesse ist weiterhin, wie sich der erwartete Verlust für die Tranche verändert, wenn sich die Varianz des Portfolioverlustes (das unerwartete Verlustrisiko) bei gleichbleibendem Erwartungswert verändert. Dies geschieht ja u.a. bei feinerer Stückelung des verbrieften Portfolios. Zunächst eine intuitive Lösung dieser Frage: Der nach oben gekappte Verlust von Tranche III ist duplizierbar durch den unbegrenzten Verlust minus einem Call auf diesen mit Strike in Höhe des Tranchenvolumens. Wenn die Analogie zwischen Calls auf Wertpapiere und diesem Call hinsichtlich der Stochastik der Underlyings ausreicht (Binomialvs. Lognormalverteilung), dann wird der Call mit wachsender Volatilität ( unerwartetes Verlustrisiko) teurer, also der erwartete Verlust EY kleiner. Das heißt: Je näher die tatsächliche Portfolio-Verlustrate im Mittel an ihrem erwarteten Verlust liegt, desto höher wird der erwartete Verlust für die letzte Tranche. Das gilt im übrigen sogar, wenn Tranche III kleiner als der erwartete Gesamtverlust ist. In diesem Fall kann es allerdings sein, daß auch die vorletzte Tranche mit verringertem unerwarteten Verlustrisiko an Wert verliert. Analytisch: Wir kehren zu X zurück und zerlegen den Erwartungswert wie beschrieben in Gesamtverlust minus Call: EY = E min (3%; X) =EX E max (0; X 3%) = EX E (X 3%) I {X>3%} Für große ist X annähernd normalverteilt mit µ, σ 2 = (p; pq) und demnach X annähernd normalverteilt mit (0, 6 p;0, 36 pq/) =: µ, σx 2. ach Teil a ist EX =1, 2%. Der rechte Teil läßt sich direkt berechnen unter der ormalverteilungsannahme. Bezeichnungen: µ := 0, 6 p; σ 2 X := 0, 36 pq/; κ := µ 3%; Φ (...) ist die 2

3 Standard-ormalverteilungsfunktion. Z ( ) 1 (y µ)2 E (X 3%) I {X>3%} = (y 3%) exp σx 3% 2σ 2 dy X Z 1 = µ κ = κφ κ/σ 2 X σ X (xσ X + κ) e x2 2 dx + σ X exp µ 2, 8% = 2, 8% Φ σ X ½ κ2 ¾ + σ X exp ( ) (2, 8%)2 Dieser Ausdruck wächst in σ X, was nicht unmittelbar klar ist, aber ersichtlich wird, wenn man die Ableitung berechnet: d E max (0; X 3%) = 1 ¾ exp ½ κ2 > 0 dσ X Der Call wird mit wachsendem σ X teurer: Das analytische Ergebnis deckt sich mit der Intuition. (g) Sie wollen die Größe der Tranche I maximieren und gleichzeitig ein AAA-Rating garantieren. Dieses Rating erhält die Tranche, wenn ein (Teil-) Ausfall für diese Tranche eine Wahrscheinlichkeit von weniger als 0,004% hat. Wie gehen Sie (prinzipiell) vor und wie groß kann man die Tranche wählen? Lösung: Die Anzahl der Ausfälle ist nach 2(f)ii binomialverteilt. Unter dem einfachen gegebenen Kriterium für das Rating ist lediglich das obere Quantil zu 0,004% zu finden, also die Zahl K derart, daß die Wahrscheinlichkeit von K oder mehr Ausfällen 0,004% unterschreitet. Das ist von Hand eher umständlich, man kann aber in Excel leicht eine Tabelle der entsprechenden kumulativen Binomialverteilung (s. Funktion =BIOMVERT()) erzeugen: Ausfall von mindestens Krediten Wahrscheinlichkeit % % % % % % % % % % % Der Ausfall von mindestens 4 Krediten hat noch eine hinreichend kleine Wahrscheinlichkeit. D.h. bei einem Ausfall von 3 Krediten darf Tranche I nicht betroffen sein. Mit R =0, 6 und 3 Ausfällen ist X =0, 18. Also darf Tranche I einen Anteil von maximal 82% haben. (h) Angenommen, die Recovery Rate ist nicht fest, sondern stochastisch (z.b. unabhängig von der Gesamtheit der Ausfallereignisse, mit einem gleichbleibenden Erwartungswert von 0,4). Welchen Einfluß hat dies auf das unerwartete Verlustrisiko? Lösung: Ein einfaches Beispiel vermittelt bereits den Effekt: Angenommen, es sind jetzt für jeden Verlust (zufällige, unabhängige, gleichwahrscheinliche) RecRates von 0,1 oder 0,7 möglich. Deren Erwartungswert bleibt bei 0,4. Die Spannweite des Gesamtverlustes reicht aber bei 10 Krediten jetzt nicht mehr von 6% bis 60%, sondern von 3% bis 90%. Die Varianz der Ausfallraten dürfte sich erhöhen. Analytisch: Die Verlustrate für Kredit i sei R i und außerdem R := ER i. Alle R i und alle Ausfälle sollen unabhängig sein (die Unabhängigkeit der R i ist weit realistischer als die der A i ). Der Einzelverlust berechnet sich jetzt zu X i = I Ai R i. Ist R i nicht zufällig, dann ist 3

4 var (X i )=R 2 pq. Unter Ausnutzung der Eigenschaft var (Z) =EZ 2 (EZ) 2 für beliebige Zufallsgrößen Z und der Unkorreliertheit ermittelt man: var (X i ) = EIA 2 i R 2 i (EI A i R i ) 2 = EI Ai ERi 2 (EI A i ER i ) 2 = per 2 i p 2 R 2 = p ³var 2 (R i )+(ER i ) p 2 R 2 = pvar (R i )+p (1 p) R 2 = pvar (R i )+R 2 pq Der linke Term ist also der Varianz-Unterschied für X i zwischen zufälliger und fester Verlustrate bei gleicher Erwartung. Analog zu 2d zieht sich bei der Berechnung der Portfoliovarianz dieser Unterschiedsbetrag durch die Summe hindurch, und man erhält: var (X) = 1 (var (X 1)) = 1 pvar (R1 )+R 2 pq Eine zunehmende Variabilität in den Wiedergewinnungsraten überträgt sich also unmittelbar auf das unerwartete Verlustrisiko. Wird die Varianz der Wiedergewinnungsraten von den Investoren der Tranche II ignoriert, so unterschätzen sie ihr Verlustrisiko ganz abgesehen von Kriterien jenseits der Risikoneutralität. (i) Wie ordnen Sie das Ergebnis eine Risikoanalyse unter Unabhängigkeit ein im Vergleich zu alternativen Methoden? In welcher Weise kann es nützlich sein? Antwort: In aller Regel sind reale Ausfälle positiv korreliert, was zu einer Verbreiterung der Verlustverteilung führt im Vergleich zu unabhängigen Portfolien mit gleichen erwarteten Verlusten (probieren Sie es aus im CDO-Evaluator!). Folglich ist das Portfolio-VaR höher. Die Analyse unter Unabhängigkeit ist also zu optimistisch in Bezug auf das Risiko. Sie kann eingesetzt werden, um abzuschätzen, ob überhaupt denkbar ist, dass eine geplante Verbriefung unter geltenden Marktkonditionen sinnvoll ist. Die Analyse unter Unabhängigkeit rechnet zu große super-senior-tranchen aus, man würde also hieraus zu große Rückflüsse vom Kapitalmarkt erwarten. Sollte das Verbriefungsprojekt bereits unter dieser Annahme am Rand der Profitabilität stehen, so hat es keine Chance in der Realität. Eine Betrachtung unter Unabhängigkeit kann also als Killerkriterium eingesetzt werden. (j) Zusatz: Wir lassen die Annahme der Unabhängigkeit fallen. Welchen Einfluß hat qualitativ eine wachsende Kreditausfallkorrelation auf den erwarteten relativen Verlust der letzten Tranche? Lösung: Sind jetzt die Einzelverluste X i positiv korreliert, so vergrößert sich die Varianz der Portfolioverlustverteilung. ³ Dies sieht man, wenn man wie in (??) beim Ausmultiplizieren von var 1 P X i nun die Kovarianzen berücksichtigen muß. Diese sind positiv, vergrößern also die Gesamtverlustvarianz. In Teil 2(f)ii hatten wir bei der Untersuchung des Einflusses der Stückelung auf den erwarteten Verlust über die Gesamtverlustvarianz argumentiert. Dort führte eine Erhöhung der Stückzahl zu einem Rückgang der Varianz und damit zu wachsenden erwarteten Verlusten in Tranche III, hier erhöht sich die Varianz, die erwarteten Verluste sinken also (mit wachsender Kreditausfallkorrelation). 3. CMO (Collateralized Mortgage Obligations) In den USA emittiert die Quasi-Regierungsorganisation Freddie Mac Loan Obligations auf langlaufende Hypothekardarlehen. In den entsprechenden Verträgen sind normalerweise Freiräume für eine vorzeitige Rückzahlung der Kredite ohne essentielle Vertragsstrafen gegeben. Die verschiedenen Tranchen werden in strikter Reihenfolge bedient (das ist eine Vereinfachung). (a) Wie verteilt sich das Risiko vorzeitiger Rückzahlung auf die Tranchen? Lösung: Das Prepayment-Risiko wird vor allem für die letzte, mit Blick auf Kreditausfälle riskanteste Tranche am geringsten: Die meisten Kredite zahlen mit großer Wahrscheinlichkeit wie vereinbart. Ist ein ausreichend großes Volumen erst am Ende der Paket-Laufzeit fällig, so werden die Ansprüche der letzten Tranche auch erst dann befriedigt, egal, ob mit oder ohne Prepayment im Gesamtportfolio. Durch Tranchenbildung erfolgt also tendenziell eine Aufteilung in Kredit- und Prepayment-Risiko. Es erfolgt (bei Aufteilung in eine größere Anzahl Tranchen) durch die zeitliche Sortierung auch eine Reduktion des Prepayment-Risikos für die anderen Tranchen, allerdings weniger stark. Diese haben natürlich eine im Mittel geringere Laufzeit als die letzte Tranche. 4

5 (b) Stellen Sie einen Zusammenhang zum Zinsrisiko her. Verdeutlichen Sie sich diesen Zusammenhang mit Hilfe des Black/Derman/Toy-Modelles und stellen Sie stark vereinfacht den ungefähren Zusammenhang zwischen aktuellem Zins und dem Wert von T1 zu einem Zeitpunkt mitten in der Laufzeit in einem Diagramm dar. Lösung: Die Hypothekardarlehen im Verbriefungsportfolio sind den Callable Bonds aus der Übung über Kreditderivate vergleichbar: Zu ex ante vereinbarten Konditionen kann der Kredit liquidiert werden. Sinken nun die aktuellen Marktzinsen unter die der verbrieften Kredite, so werden (in etwas radikalem Sinne) rationale Kreditnehmer dazu neigen, vorzeitig zurückzuzahlen, um sich am Markt zu besseren Konditionen einzudecken (genauer: sie werden den Optionswert der Vertragsfortführung mit dem der vorzeitigen Rückzahlung vergleichen siehe die Knoten im B/D/T-Modell, in denen der Emittent eines Callables callt ;-) ). Als Investor in die erste Tranche partizipieren Sie also weniger stark am Wertzuwachs Ihrer ausstehenden Forderungen, als wenn Prepayment ausgeschlossen wäre. Steigen dagegen die Zinsen, so tragen Sie den Wertverlust allein. Eine solche Tranche birgt also im (modellhaften) Extremfall ausschließlich downside-risk in Bezug auf Zinsveränderungen. Wert der Tranche Kritischer Zins (Rückgabe des Kredites sinnvoll für K) Zins zu einem Zwischenzeitpunkt 5