Bearbeitungszeit: 50 Minuten für den ersten, hilfsmittelfreien Teil, 100 Minuten für Pflicht- und Wahlaufgaben.

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1 90 ZENTRALE AUFGABEN FÜR DEN G-KURS Abschlussprüfung Mathematik 2015, Integrierte Gesamtschule, G-Kurs Bearbeitungszeit: 50 Minuten für den ersten, hilfsmittelfreien Teil, 100 Minuten für Pflicht- und Wahlaufgaben. Hilfsmittel für den ersten Teil: Geodreieck und Zirkel Hilfsmittel für den zweiten Teil: zusätzlich ein wissenschaftlicher (WTR) oder grafikfähiger Taschenrechner (GTR). HILFSMITTELFREIER TEIL Aufgabe 1 Dorothee hat in Dänemark im Ferienhaus Cosinus Urlaub gemacht. Solch ein Ferienhaus möchte sie sich auch in Deutschland bauen lassen. Dazu hat sie das Haus fotografiert und einige Winkel und Längen gemessen. Thies Schwarz Dorothee hat eine Dachbreite von d = 6 m gemessen. Für den Winkel α misst sie 15 und für den Winkel β misst sie 15. Thies Schwarz a) Ergänze die Maße für α, β und d in der Skizze. Trage die rechten Winkel ein. (Skizze nicht maßstabsgerecht) Für die weitere Planung müssen noch einige Winkel und Längen berechnet werden. b) Berechne den Winkel γ

2 91 c) Dorothee hat die Dachhöhe a = 0,7 m gemessen. Sie ist sich nicht sicher, ob das stimmt. sin 15 = 0,26 cos 15 = 0,97 tan 15 = 0,27 Berechne die Dachhöhe a. Du kannst die Werte im Kasten verwenden. d) Dorothee hat die Länge b richtig berechnet. cos α= 3 b cos 15 = 3 b 0,97 = 3 b. b = 3,1 m In ihrer Rechnung fehlen einige Umformungsschritte. Ergänze diese Umformungsschritte. Vor dem Haus ist eine dreieckige Terrasse. Dorothee hat die Terrasse ausgemessen und gezeichnet. Sie möchte wissen, wie groß die Terrasse ist. e) Zur Berechnung der Höhe h verwendet Dorothee folgenden Ansatz: sin 30 = h 8 Begründe, warum Dorothees Ansatz falsch ist. f) Berechne die Höhe h. Du kannst die Werte im Kasten verwenden. g) Berechne den Flächeninhalt der Terrasse in m 2. sin 30 = 0,50 cos 30 = 0,87 tan 30 = 0,58 h) Vor dem Ferienhaus steht ein Fahnenmast mit der dänischen Fahne. Dorothee möchte wissen, wie hoch dieser Fahnenmast ist. Beschreibe, wie Dorothee die Höhe des Fahnenmastes mit einem Winkelmesser und einem Maßband ermitteln kann. Fabian Kröpelin

3 92 Nutze für deine Beschreibung die gegebene Skizze i) Am Haus hängt ein Schild mit der Aufschrift Cosinus 108. Kann cos 108 bei einer Berechnung in einem rechtwinkligen Dreieck auftreten? Begründe deine Antwort. PFLICHTTEIL Aufgabe 2 Familie Wassermann braucht für das Auffüllen und das Leerpumpen ihres Pools eine neue Wasserpumpe. Helgo Meyer Es gibt verschiedene Pumpen, die den Pool unterschiedlich schnell mit Wasser füllen oder leerpumpen können. Pumpe Förderleistung in Liter pro Stunde Aquafix Aquafix Aquafix Aquafix

4 93 a) Ordne die Graphen den Pumpen passend zu. b) Zeichne den Graphen für die übrig gebliebene Pumpe in das vorgegebene Koordinatensystem. Der Pool von Familie Wassermann hat die Form eines Zylinders. Er hat einen Durchmesser von 5,4 m und eine Wassertiefe von 1,05 m. Laut Beschreibung fasst der Pool Liter. c) Berechne, dass der Pool wirklich Liter fasst. Formelsammlung: Liter = 1 m³ d) Familie Wassermann möchte ihren Pool mit Liter füllen. Mit der neuen Pumpe soll dies nur 8 Stunden dauern. Begründe, dass die Pumpe Aquafix 2 dafür geeignet ist. Im Herbst benutzt Familie Wassermann die Pumpe Aquafix 2, um den Pool leer zu pumpen. Die Funktionsgleichung f(x)= 3200x beschreibt das Leerpumpen des Pools. e) Erläutere die Bedeutung der Zahlen 3200 und GTR Der Nachbar hat einen Pool mit Litern Wasserinhalt. Er benutzt die Pumpe Aquafix 4 zum Leerpumpen seines Pools. f) Der Nachbar beginnt seinen komplett gefüllten Pool leer zu pumpen. Berechne, wie viel Liter Wasser nach 3 Stunden noch im Pool sind. WTR f) Zeichne den Graphen der Funktion f in das Koordinatensystem auf der nächsten Seite ein. g) Bestimme, wie lange die Pumpe laufen muss, bis nur noch 5000 Liter Wasser im Pool sind.

5 94 g) Stelle eine Funktionsgleichung g(x) auf, die das Leerpumpen des Liter-Pools mit der Pumpe Aquafix 4 beschreibt. Bestimme, nach wie vielen Stunden der Pool des Nachbarn komplett leer gepumpt ist. Dokumentiere dein Vorgehen. h) Familie Wassermann und ihr Nachbar beginnen zeitgleich mit dem Leerpumpen ihrer eigenen, komplett gefüllten Pools. Bestimme, wie lange es dauert, bis in beiden Pools genau die gleiche Wassermenge ist. Dokumentiere dein Vorgehen. (Falls du Teil g) nicht lösen konntest, verwende g(x)=-4600 x ) Der Nachbar hat einen Pool mit Litern Wasserinhalt. Er benutzt eine Aquafix Pumpe. h) Beschreibe den Pumpvorgang, der durch den Graphen dargestellt ist. i) Erkläre, welche Aquafix Pumpe der Nachbar verwendet. WAHLTEIL Eine der beiden Aufgaben 3 ist zu bearbeiten. Aufgabe 3 Lisa und Tom erstellen gerne Playlisten und tauschen diese untereinander aus. Lisa erstellt für Tom eine Playlist mit den folgenden Interpreten und unterschiedlichen Liedern. Tom hört die Playlist immer in zufälliger Reihenfolge (Shuffle-Funktion). Künstler Anzahl der Lieder Bruno Mars 4 Taylor Swift 3 Cro 2 Helene Fischer 6 Marc Forster 5 a) Berechne, wie viele Lieder in der Playlist sind. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Tom als erstes Lied eines von Marc Forster hört.

6 95 c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er als erstes Lied eins von Taylor Swift oder Cro hört. d) Lisa hört Toms Playlist mit Shuffle-Funktion. Sie mag nur die Musik von Cro und drückt alle anderen Lieder jedes Mal weg. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie beim ersten Lied weiterdrücken muss. Tom aktiviert zur Shuffle Funktion noch eine weitere Funktion, bei der gehörte Lieder nicht erneut abgespielt werden. Er hört zwei Lieder. e) Ergänze das folgende Baumdiagramm. (6 BE) f) Klara behauptet, dass das Abspielen einem Ziehen ohne Zurücklegen entspricht. Hat Klara Recht? Begründe deine Antwort. g) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Tom bei zwei gehörten Liedern zweimal hintereinander ein Lied von Bruno Mars hört. h) Tom berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass er bei zwei gehörten Liedern genau einmal Bruno Mars hört, mit folgender Rechnung: P (nur einmal Bruno Mars) = = Erkläre Toms Rechnung. i) Tom hört fünf Lieder. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Tom fünf Mal hintereinander Bruno Mars hört. Aufgabe 3 Das Freibad in Badstadt hat ein Becken für Schwimmer und Nichtschwimmer. Das Becken ist 10 m breit und 25 m lang. Im Bereich der Nichtschwimmer beträgt die Wassertiefe 1,30 m. Der Bereich für die Schwimmer hat eine Wassertiefe von 2,80 m. Der Übergangsbereich vom Nichtschwimmer zum Schwimmer fällt gleichmäßig ab.

7 96 Die folgende Abbildung zeigt das Schwimmbecken. a) Ergänze in der Abbildung die fehlenden Werte für a, b und c. Aus Sicherheitsgründen sind die Nichtschwimmer durch eine rot-weiße Schwimmleine vom Übergangsbereich getrennt. b) Zeichne in die Abbildung den Verlauf der rot-weißen Schwimmleine ein. Beginne im Punkt S. c) Benenne die drei Körper, aus denen das Schwimmbecken besteht. Bereich Schwimmerbereich Übergangsbereich Körper Nichtschwimmerbereich d) Berechne das Volumen des Nichtschwimmerbereichs und das Volumen des Schwimmerbereichs ohne den Übergangsbereich. e) Claudia hat vom Bademeister erfahren, dass das Schwimmbecken insgesamt 512,5 m 3 hat. Berechne, wie groß das Volumen vom Übergangsbereich ist. (Wenn du d) nicht gelöst hast, verwende für das Volumen Nichtschwimmer = 140 m 3 und für das Volumen Schwimmer = 260 m 3.) f) Berechne, wie groß der prozentuale Anteil des Volumens des Schwimmerbereichs am gesamten Schwimmbecken ist. Um das Baden interessanter zu gestalten, wird im Nichtschwimmerbereich eine Säule eingebaut. Sie steht auf dem Boden des Beckens und ragt aus dem Wasser heraus. Die Säule hat eine Zylinderform mit einem Radius von 1,50 m und einer Höhe von 1,40 m. g) Zeichne das Netz der Säule im Maßstab 1 : 100. Beschrifte das Netz. h) Die Säule soll rot gestrichen werden. Berechne wie viel m 2 Fläche gestrichen werden. i) Berechne, wie viel Prozent der Säule aus dem Wasser herausragen.

8 97 ZENTRALE AUFGABEN FÜR DEN E-KURS Abschlussprüfung Mathematik 2015, Integrierte Gesamtschule, G-Kurs Bearbeitungszeit: 50 Minuten für den ersten, hilfsmittelfreien Teil, 100 Minuten für Pflicht- und Wahlaufgaben. Hilfsmittel für den ersten Teil: Geodreieck und Zirkel Hilfsmittel für den zweiten Teil: zusätzlich ein wissenschaftlicher (WTR) oder grafikfähiger Taschenrechner (GTR). HILFSMITTELFREIER TEIL Aufgabe 1 Ein Schiff S steuert senkrecht zur Küstenlinie einer Insel auf den Kirchturm K zu. Mit Blick in Fahrtrichtung kann sowohl der Leuchtturm L 1 als auch der Leuchtturm L 2 unter dem Winkel 53 angepeilt werden. Die Entfernung zwischen Schiff S und Leuchtturm L 1 beträgt 5 km, die Entfernung zu L 2 ist doppelt so groß. a) Fertige für die beschriebene Situation eine Zeichnung ohne den Felsen F im Maßstab 1 : an. Beschrifte die Zeichnung. b) Bestimme aus der maßstabsgetreuen Zeichnung die Entfernung des Schiffes von der Kirche. c) Stelle eine Gleichung auf, mit der du die Entfernung des Leuchtturms L 1 vom Punkt K berechnen kannst.

9 98 Wolfgang steht auf dem Leuchtturm L 1. Von L 1 peilt er das Schiff S und den Leuchtturm L 2 unter einem Winkel α = 51 an. d) Wolfgang berechnet die Entfernung e zwischen den Leuchttürmen in km so: 5 sin 106 e = 12,3 sin 23 Erläutere Wolfgangs Rechenweg. e) Notiere eine weitere Möglichkeit, die Entfernung e zu berechnen. Vom Leuchtturm L 1 ist der Punkt F auf dem Felsen 11 km entfernt. f) Yvonne hat zur Berechnung der Entfernung vom Schiff S zum Felsen F folgende Gleichungen aufgestellt. α = =37 tan 37 = x 5 Hierbei hat Yvonne einen Fehler gemacht. Erläutere, was Yvonne falsch gemacht hat und gib an, wie die Länge x richtig berechnet werden kann. Als Sehfeld eines Fernglases bezeichnet man die Geländebreite, die in einem Betrachtungsabstand von 1000 m überblickt wird (siehe Abbildung). Das Sehfeld wird als Länge in Metern oder als Blickwinkel α in Grad angegeben. Wird die Gradangabe mit 17,5 multipliziert, erhält man das Sehfeld. Dirk hat ein Fernglas mit der Aufschrift Blickwinkel α = 8. g) Berechne das Sehfeld von Dirks Fernglas. h) Der Kirchturm K und ein 500 m entferntes Getreidesilo stehen beide auf der Küstenlinie. Dirk steht auf dem Schiff und schaut durch sein Fernglas auf die Kirche. Berechne, ob er gleichzeitig auch das Getreidesilo im Sehfeld hat. (Wenn du b) nicht gelöst hast, verwende SK = 2,5 km und wenn du g) nicht gelöst hast, verwende Sehfeld 120 m.)

10 99 PFLICHTTEIL Aufgabe 3 Rechts im Bild siehst du einen Zuckerhut. Wolfgang nimmt an, dass der Zuckerhut die Form eines Kegels hat. Er misst eine Körperhöhe von h = 14 cm. Die Grundfläche hat einen Durchmesser von d = 5,8 cm. Der Zuckerhut hat eine Dichte von 1,45 g cm 3. Diamant Zucker a) Berechne für Wolfgangs Kegel das Volumen in cm³ und das Gewicht in g. b) Dieser Kegel wird in Folie eingewickelt. Die Fläche der Folie ist 15 % größer als die Oberfläche des Kegels. Berechne den Flächeninhalt der benötigten Folie. Handelsüblicher Würfelzucker hat die Kantenlängen 16 mm, 16 mm, 11 mm. c) Benenne diesen Körper mathematisch korrekt. d) Zeichne ein Schrägbild von einem Stück Würfelzucker im Maßstab 4 : 1 und beschrifte es vollständig. Berechne, wie viele Stücke Würfelzucker dem Volumen von Wolfgangs Kegel entsprechen. (Wenn du a) nicht gelöst hast, verwende V Kegel = 120,5 cm 3.)

11 100 Dorothee liest auf der Verpackung, dass der Zuckerhut 250 g wiegt. Bei Wolfgangs Modellierung ist das berechnete Gewicht zu gering. Dorothee wählt deshalb eine andere Modellierung. Dabei orientiert sie sich an den Kanten des Zuckerhuts. Die Höhe ihres Kegels beträgt 22 cm. f) Claudia betrachtet die beiden Bilder mit den eingezeichneten Modellierungen: Weder Wolfgang noch Dorothee können mit ihren Modellierungen das tatsächliche Gewicht des Zuckerhuts berechnen. Begründe mit Hilfe der Bilder, warum Claudia Recht hat. g) Claudia schlägt vor: Ich schneide bei Dorothees Modellierung die Spitze ab. So kann ich das tatsächliche Gewicht genauer berechnen. Claudia hat für diese Modellierung Werte ermittelt und sie in die Skizze rechts eingetragen. Beurteile ihre Modellierung. Berechne das Gewicht des Zuckerhuts für diese Modellierung..

12 101 WAHLTEIL Eine der beiden Aufgaben 3 ist zu bearbeiten. Aufgabe 3 Stochastik Die Fluggesellschaft Windstar hat große Probleme, die Koffer der Fluggäste richtig zu befördern. Jährlich kommen Koffer entweder zu spät an oder werden beim Transport beschädigt. Das sind insgesamt 4 von allen beförderten Koffern. 10 a) Berechne, wie viele Koffer jedes Jahr insgesamt von der Fluggesellschaft befördert werden. Von allen Koffern kommen 26 % zu spät am Zielort an. Von allen Koffern werden 14 % auf dem Weg beschädigt. Zu spät und auch noch beschädigt sind 1000 Koffer. b) Vervollständige die Vier-Felder-Tafel. zu spät pünktlich beschädigt nicht beschädigt (Wenn du a) nicht gelöst hast, arbeite im Folgenden mit beförderten Koffern.) c) Vervollständige das Baumdiagramm.. (5 BE) d) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein Koffer nicht beschädigt wird und pünktlich ankommt. e) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein Koffer, der beschädigt wurde, auch zu spät ankommt. f) Im Baumdiagramm ist eine Wahrscheinlichkeit durch einen Kreis gekennzeichnet. Erkläre die Bedeutung der Zahl, die du an dieser Stelle eingetragen hast, im Sachzusammenhang.

13 102 g) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Koffer, der pünktlich angekommen ist, beschädigt wurde. Immerhin kommen 70 % der verspäteten Koffer nur einen Tag zu spät. h) Berechne, wie viele von den verspäteten Koffern nur einen Tag zu spät sind. i) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Koffer mit mehr als einem Tag Verspätung ankommt. Aufgabe 3 Funktionen Entzündungen werden häufig von Bakterien hervorgerufen. Eine spezielle Bakterienart ruft beim Menschen Halsentzündungen hervor. Die Bakterien dieser Art vermehren sich stündlich mit einer Wachstumsrate von 30 % Prozent. Zeit in Stunden Anzahl der Bakterien in Millionen 0,1 0,22 a) Vervollständige die Tabelle zum Bakterienwachstum. b) Gib eine Funktionsgleichung der Form f(x) = c a x für das Bakterienwachstum an. Erkläre die Bedeutung von c, a, x und f(x) im Sachzusammenhang. c) Berechne, auf wie viel Prozent die Anzahl der Bakterien nach 3,5 Stunden im Vergleich zur Anfangsgröße von 0,1 Millionen angestiegen ist. (Wenn du b) nicht gelöst hast, verwende f(x) = 1,2 1,32 x ) GTR d) Bestimme den Zeitpunkt, an dem die Bakte rien die Anzahl von 0,50 Millionen erreicht haben. Dokumentiere dein Vorgehen. e) Dirk erklärt, wie er die Tabelle aus a) ausfüllt: Am Anfang sind es Bakterien, nach 3 Stunden sind es ca Bakterien. Also kommen jede Stunde etwa Bakterien dazu. Nimm begründet Stellung zu Dirks Aussage. f) Stelle die Bakterienentwicklung aus a) für die ersten 8 Stunden im vorgegebenen Koordinatensystem dar. WTR d) Dirk erklärt, wie er die Tabelle aus a) ausfüllt: Am Anfang sind es Bakterien, nach 3 Stunden sind es ca Bakterien.Also kommen jede Stunde etwa Bakterien dazu. Nimm begründet Stellung zu Dirks Aussage. e) Stelle die Bakterienentwicklung aus a) für die ersten 8 Stunden im vorgegebenen Koordinatensystem (siehe unten) dar. Damit die Anzahl der Bakterien abnimmt, verschreiben Ärzte bei einer schweren Halsentzündung ein Antibiotikum.

14 103 Damit die Anzahl der Bakterien abnimmt, verschreiben Ärzte bei einer schweren Halsentzündung ein Antibiotikum. Sylvia bekommt eine Halsentzündung. In den ersten 8 Stunden vermehren sich die Bakterien wie in a). Nach 8 Stunden nimmt sie ein Antibiotikum ein. Die Bakterienanzahl nimmt dann exponentiell mit einer Rate von 20 % ab. Gehe vereinfacht davon aus, dass das Antibiotikum sofort nach der Einnahme wirkt. g) Ergänze deinen Graphen aus f) und stelle die weitere Entwicklung der Bakterienanzahl nach Einnahme des Antibiotikums im vorgegebenen Koordinatensystem dar. h) Bestimme mithilfe des GTRs, wann die Anzahl der Bakterien unter Wirkung des Antibiotikums unter 0,1 Millionen fällt. Dokumentiere dein Vorgehen. Sylvia bekommt eine Halsentzündung. In den ersten 8 Stunden vermehren sich die Bakterien wie in a). Nach 8 Stunden nimmt sie ein Antibiotikum ein. Die Bakterienanzahl nimmt dann exponentiell mit einer Rate von 20 % ab. Gehe vereinfacht davon aus, dass das Antibiotikum sofort nach der Einnahme wirkt. f) Ergänze deinen Graphen aus e) und stelle die weitere Entwicklung der Bakterienanzahl nach Einnahme des Antibiotikums im vorgegebenen Koordinatensystem dar. Bestimme, wann die Anzahl der Bakterien unter Wirkung des Antibiotikums 0,5 Millionen beträgt. g) Dorothee stellt für die Berechnung der Bakterienanzahl unter Wirkung des Antibiotikums einen Funktionsterm g(x) auf. Sie berechnet die Bakterienanzahl nach 12 Stunden korrekt mit g(12) = 4,9 0,8 12 Zeige durch eine Rechnung, wie sie den Wert c = 4,9 bestimmt hat.

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