R. J. N eveling. Gotik und Graphik im Mathematikunterricht

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1 R. J. N eveling Gotik und Graphik im Mathematikunterricht

2 Aus dem Programm ~ Didaktik der Mathematik Der Mathematikunterricht in der Primarstufe von G. Müller und E. Ch. Wittmann Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht von H. Winter Gotik und Graphik im Mathematikunterricht von R. J. Neveling Grundfragen des Mathematikunterrichts von E. Ch. Wittmann Didaktische Probleme der elementaren Algebra von G. Malle Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

3 Rolf J oachim Neveling Gotik und Graphik im Mathematikunterricht Konzepte mit Sketchpad und Mathematica Herausgegeben von Erich Ch. Wittmann II VI8W89

4 Für die freundliche Erlaubnis, Bilder übernehmen zu dürfen, danke ich Herrn Dr. Heinz Götze, Heidelberg, (Bilder Seite 12 und 13), dem Dumont Buchverlag, Köln, {Bilder Seite 2 und 144) und dem Kröner-Verlag, Stuttgart, {Bilder Seite 51 und 89). Alle Rechte vorbehalten Springer Fachmedien Wiesbaden 1996 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig/Wiesbaden 1996 Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Satz und Layout: Der Autor Gedruckt auf säurefreiem Papier ISBN ISBN (ebook) DOI /

5 Vorwort Vor einigen Jahren blieb ich im Geometrieunterricht einer achten Klasse bei einer Aufgabe länger "hängen", als ich es geplant hatte; zunächst - Lehrern ist dieses Gefühl nicht ungeläufig - unwillig, dann aber mit Interesse, schließlich mit Überzeugung. Es ging als Anwendung zur Konstruktion von Tangenten an Kreise um die Einmündung einer Straße in eine andere. Was ich als einfache Übung geplant hatte, weitete sich in der Klasse zu einer Diskussion über alternative Straßenführungen, Ampelanlagen und Fußgängerinseln aus. Schülerinnen und Schüler variierten die Situation der Aufgabe, ich stellte eine Hausaufgabe in diesem Sinne, und so entstand eine Unterrichtseinheit über Straßenkreuzungen, die als wesentliche mathematische Elemente immer wieder Parallelverschiebungen und Tangentenkonstruktionen enthielt, deren Schwerpunkt aber eher in der Planung von Kreuzungen mit baulichen Zwangsbedingungen lag. Der unterrichtliche Akzent hatte sich verschoben, die Verschiebung war willkommen. Dies war der Anfang des Gedankens, der in dieser Arbeit seine Ausformulierung findet. Zu Straßenkreuzungen kamen Grundrisse und Bögen, aus Bögen wurde Gotik, aus Gotik ganz allgemein Architektur. Es entstand so die Idee, zu untersuchen, ob sich in der Architektur und insbesondere in ihrer Geschichte Themen für bedeutungstragenden Mathematikunterricht in der Sekundarstufe finden lassen. In meinen Vorstellungen sah ich naturgemäß zunächst eher eine Verbindung zur Geometrie als zur elementaren Funktionenlehre oder später zur Analysis. Das hat sich geändert: Graphische Taschenrechner und ausgereifte Rechnerprogramme können dazu beitragen, architektonische Formen zum Gegenstand der Analysis machen. V

6 Der Gedanke, Architektur aus mathematikdidaktischem Blickwinkel zu studieren, hat eine zweite Wurzel, die in der kritischen Auseinandersetzung mit Kurvendiskussionen gründet. Sie beherrschen offenbar den Analysisunterricht vieler Grund- und Leistungskurse über einen langen Unterrichtszeitraum und machen einen großen Teil der Abiturprüfung aus. Dies scheint mir schon seit langem nicht sinnvoll zu sein. Da aber Analysis sicher auch weiter unterrichtet wird, muß man nach sinntragenden Alternativen mit gewisser Affinität zu Kurvendiskussionen suchen, also nach Gegenstandsbereichen, in denen Graphen auftreten, die zu Unterrichtsgegenständen werden können und die zudem auch über sich hinaus weisen und interessant sind. In "Gotik und Graphik" ist also "Gotik" pars pro toto: Es geht im folgenden insbesondere auch um die Frage,wie sich Bögen, Fensterbögen, Brückenbögen mit aus dem Unterricht bekannten Graphen verstehen, d.h. approximieren lassen, wie sie sich mit mathematischen Methoden und Rechnerprogrammen perspektivisch abbilden lassen, also unter Perspektive erscheinen, ob ein Gewölbe als Fläche im Raum zu einer Unterrichtseinheit der Analysis werden kann oder wie ein Grundriß ein gotisches Gewölbe determiniert. Ich gehe weiter der Frage nach, welche Charakteristika ein umfassendes Anwendungsfeld des Mathematikunterrichts auszeichnet und versuche, die These zu stützen, daß in der Architektur ein solches vorliegt. Dies geschieht dann so, daß ich exemplarisch diesbezügliche Units beschreibe und im Hinblick auf Verwendung in der Klasse oder im Kurs analysiere. Mathematikdidaktik wird dabei im Sinne der Dortmunder Schule als Design science verstanden: Es geht um die Arbeit "am Kern" mit dem Ziel, einen möglichen Unterrichtsinhalt, hier Gegenstände aus der Architektur, elementarmathematisch zu durchdringen [Wittmann, 1992, S. 57]. In dieser Arbeit - so mein Ziel und meine Hoffnung - soll neben der Diskussion eines Grundgedankens vor allem Material für das Unterrichten einiger Bereiche der Mathematik - auch der Analysis - entstehen, das unsere Arbeit in der Schule reicher, lebendiger und vielleicht auch wirklichkeitsnäher macht. Daß das Thema Architektur nur eine Facette VI

7 auf dem Weg zu einem anderen Unterricht sein kann, daß weitere zu finden, zu entwickeln sind, muß nicht herausgestellt werden. Als ein wesentliches Werkzeug erscheinen in diesem Zusammenhang graphikfähige Taschenrechner und Computerprogramme, die relativ flexibel in der Lage sind, Ideen von Schülern und Lehrern zu visualisieren. Daraus folgt, daß ich meine Arbeit auch als einen Diskussionsbeitrag zur Didaktik neuerer Taschenrechner, dynamischer Geometriesoftware und von Computeralgebra-Systemen verstehen möchte. Schließlich möchte ich im Kontext architektonischer Formen die Frage nach einem Verstehen im kulturellen Sinne ansprechen: Inwieweit kann Mathematik, bzw. Mathematikunterricht dazu beitragen, einen Grundriß, die Form eines Bogens, eines Gewölbes, eine architektonische Abbildung etc. vertieft zu verstehen? Wer über literarische Werkzeuge zur Interpretation eines Romans verfügt, wird Th. Mann besser lesen; wer Harmonielehre kennt, hört Beethoven anders. Gilt Gleiches für die Architektur? Welche Rolle spielt bei diesem Verstehensprozeß der architektonischen Formenwelt als einer Ausprägung künstlerischen Gestaltens die Mathematik, und welche Chance haben wir, wenn wir unseren Schülern Einsichten in diesen Metagegenstandsbereich vermitteln wollen? Dieses Buch habe ich in der Zeit vom Herbst 1992 bis zum Sommer 1994 am Institut für Didaktik der Mathematik der Universität Dortmund geschrieben. Für ihre Anregungen und für die Geduld beim Zuhören danke ich den Herren G. Schrage, H. Kilian und B. Schuppar. Mein langjähriger Kollege H. Braun gab mir den ersten Hinweis auf die Mathematik im Grundriß von Castel del Monte. Meine Frau, G. Neveling-Werbeck, hat mich literarisch beraten und zudem vor allem oft den Alltag von mir ferngehalten. Schließlich gilt mein Dank vor allem auch Herrn E. Chr. Wittmann: Er formulierte den mathematikdidaktischen Rahmen, der mir eine Theoriediskussion ersparte, und er übernahm die Herausgabe dieses Buches. VII

8 Inhalt 1 Architektonische Formen 1.1 Zahl und Maß, Ornament und Bogen Das Prinzip des konkreten Zugangs Von mathematischer Form zu architektonischem Tun Architektonische Formen trotz überfrachteter 7 Curricula? 1.5 Zu den folgenden Kapiteln 1.6 Interesse an architektonischen Formen 2 Castel del Monte Castel del Monte: architektonisch-geometrischer Sicht Castel del Monte im Unterricht - der Grundgedanke Das Thema in verschiedenen Jahrgangsstufen Castel del Monte mit anderen Grundrissen? Nachkonstruieren Castel del Monte dynamisch Zusammenfassung: Architektur als Anwendungsfeld 34 3 Bögen Graphische Approximation Einschätzung von Approximationen Approximation mit Mathematica Maßwerk in dynamischer Sicht Gotik mit Parabeln? Korbbögen Korbbögen in analytischer Sicht zur Definition der Krümmung Autobahnabfahrten, Klothoiden Zur Darstellung der Klothoide Untersuchung einer Autobahnabfahrt Zusammenfassung 87 4 Bögen und Perspektive Die Dürermaschine und die Transformation A Ein Zusatzmodul für die Dürermaschine Transformation A in analytischer Darstellung Zur Arbeit mit der Transformation A Tangenten bleiben Tangenten Wege zur und über die Dürermaschine hinaus Transformation f1 Transformation ~(u) Die Kegelschnittmaschine Zusammenfassung: Perspektive mit Maschinen Gewölbe, Flächen im Raum 5.1 Einfache Gewölbe 5.2 Rippen und senkrechte Schnitte 5.3 Einfache Tangentialflächen 5.4 Ein Turmgewölbe 5.5 Überhöhe Kreuzgewölbe 5.6 Der hohe Chor von Altenberg 5.7 Tangentialflächen 5.8 Fläche und Tangentialfläche 5.9 Die Erkundung einer Fläche 5.10 Schnitte von Flächen VIII

9 5.11 Zusammenfassung: Funktionen mit zwei Variablen in 169 der Sekundarstufe II 6 Neue Werkzeuge für alte Inhalte 6.1 Programmieren in der Geometrie 6.2 Virtuelle Rekonstruktionen und fundamentale Prinzipien 6.3 Holistisch versus operativ 6.4 Parallelrechnen 6.5 Wege in die Komplexität 6.6 Zusammenfassung: Alte Inhalte werden zu neuen. 7 Architektonische Formen in zwei Kulturen 7.1 Zwei Kulturen 7.2 Stufen der Imagination 7.3 Sehen und Verstehen 7.4 Zusammenfassung: Verstehen als Weg 8 Schluß: Guarinis Treppe Mathematica-Anhang Literatur IX