Gleitende Genauigkeit durch Fuzzy-Logik 1

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1 Gleitende Genauigkeit durch Fuzzy-Logik Tilo Könnecke und Detlef Puchert Fachhochschule Braunschweig/Wolfenbüttel Salzdahlumer Straße 46/ Wolfenbüttel Telefon: / ,Telefax: / Gleitende Genauigkeit durch Fuzzy-Logik 1 In den unscharfen Übergängen liegt der Gewinn Zurück zu den analogen Ursprüngen, weg vom absoluten ja/nein. So begann ein Fuzzy-Logik Artikel in einer Elektronik-Zeitschrift. Wie richtig und gut formuliert diese Aussage ist, werden wir in diesem Beitrag erarbeiten; Beispiele werden angeführt, Grundlagen beschrieben, die Historie wird beleuchtet und durch die Erstellung eines Fuzzy-Logik Reglers wird gleichsam spielerisch die gesamte Thematik abgerundet und vertieft werden. Still und ziemlich unbemerkt, sieht man einmal von den Experten ab, erobert sich die Fuzzy-Logik auch in deutschen Produkten, nachdem sie in vielen unterschiedlichen fernöstlichen Artikeln bereits erfolgreich eingesetzt wird, ihren Platz in der Steuerungs- und Regeltechnik. Zu denken ist hier an die Mailänder U-Bahn (Siemens), ein Akku-Schnelladegerät (Bosch) und, seit über einem Jahr im Serieneinsatz, das mitdenkende Automatikgetriebe (Volkswagen). Lassen Sie uns diese Anwendung etwas genauer betrachten. Automatikgetriebe sollen den Fahrerinnen und Fahrern die ständig notwendigen Schaltvorgänge, vor allem in Stadtverkehr, abnehmen. Dabei wird sich eine ab Werk vorgegebene Schaltcharakteristik nicht immer mit den aktuellen Schaltwünschen in Einklang bringen lassen. Vor allen Dingen der sportlichere Fahrertyp kam nicht auf seine Kosten, da die Automatik meist zu früh hochschaltete. Den Automatikgetrieben wurde auch deshalb ein Hosenträger-Image zugeschrieben. Eine erste Verbesserung brachte die Möglichkeit, zwischen zwei Fahrprogrammen wählen zu können: Wirtschaftlichkeit oder Sportlichkeit, sparsamer Verbrauch oder Durchzugskraft standen zur Verfügung. Dem individuellen Anspruch versuchte man somit Rechnung getragen, doch läßt sich nicht jeder Mensch einer dieser Gruppen zuordnen, zumal sich ein Fahrstil zwischenzeitlich ändern oder durch die jeweilige aktuelle Verkehrssituation vorgegeben werden kann. 1 Presseinformationen sowie Prof. Dr.- Ing. E. Schnieder, TU Braunschweig, Institut für Regelungsund Automatisierungstechnik 7

2 Bei der Entwicklung einer neuen Getriebesteuerung setzten die Volkswagen-Ingenieure auf die Fuzzy-Logik. Statt der scharfen Zuordnung des Fahrstils in sparsam oder spritzig, gibt es nun auch umgangssprachlich definierte Zwischenwerte wie beispielsweise überwiegend sportlich oder ziemlich verhalten. Die technische Umsetzung dieses Konzeptes erfolgt über die elektronische Beobachtung des Gaspedals. Dabei wird ständig analysiert, wie weit und wie schnell das Pedal getreten wird. Erfolgt die Betätigung relativ schnell, ist eine hohe Beschleunigung erwünscht, und die nächste Schaltstufe wird erst bei höheren Motordrehzahlen gewählt; anderenfalls wird nach der grundsätzlich verbrauchsoptimierten Fahrcharakteristik bei niedrigen Drehzahlen geschaltet. Ein Beispiel soll die Wirkungsweise verdeutlichen: Fließender Verkehr auf der Landstraße oder Autobahn gestattet eine überwiegend gleichmäßige, sparsame Fahrweise. Die Gaspedalstellung wird kaum verändert. Soll aber ein Lastwagen überholt werden, wird der Fahrer instinktiv mehr Gas geben. Durch den Grad der Bewegung des Gaspedals erkennt die Elektronik den Fahrerwunsch, ob er auf der Autobahn nur zügig am Lastwagen vorbeifahren möchte, oder ob er auf der Landstraße die Gänge möglichst weit ausdrehen möchte, um den Überholvorgang zu verkürzen. In beiden Fällen wird zugunsten höherer Kraftentfaltung kurzfristig ein leistungsorientierteres, sportlicheres Schaltprogramm gewählt. Dieser Wechsel der Fahrcharakteristik, der bisher nur durch ein scharfes Umschalten zwischen den Automatikprogrammen Sport und Economy erreicht wurde, kann mit Hilfe der Fuzzy-Logik sehr viel feinfühliger erfolgen, da beliebige Zwischentöne möglich sind. Der Fahrer muß nicht bei jedem Überholvorgang gleich zu 100 % sportlich fahren, sondern kann je nach Fahrsituation oder Fahrerwunsch auch nur ein wenig oder ziemlich sportlich fahren. Das Automatikgetriebe paßt sich mit Hilfe der Fuzzy-Logik, bei grundsätzlich verbrauchsorientierter Fahrcharakteristik, den individuellen Wünschen des Fahrers sowie der jeweiligen Fahrsituation an, ohne dabei auf die Leistungsreserven des Fahrzeugs zu verzichten. Dies bedeutet mehr Fahrkomfort durch eine intelligentere Getriebeansteuerung. Wir haben nun einige interessante Aspekte vom mitdenkenden Automatikgetriebe beleuchtet. Hierzu fällt mir noch ein anschauliches Beispiel für umgangssprachliche, unscharfe Anweisungen ein. Jeder von Ihnen kann sich sicherlich noch an seine erste Fahrstunde erinnern, als der Fahrlehrer so wohlmeinende Hinweise gab, wie: die Kupplung langsam kommen lassen und gleichzeitig vorsichtig Gas geben oder zügig im Verkehr mitschwimmen und nicht so verkrampft hinter dem Lenkrad sitzen. Alles Aufforderungen, die sich im binären, zweiwertigem Zahlensystem nicht nachbilden lassen, da sie dafür zu vage, unscharf sind. Grundgedanken Doch wie kam es überhaupt dazu: Lassen Sie uns hierzu ein wenig im Fuzzy-Logik Museum umschauen. Wäre da nicht eine geplatzte Verabredung gewesen, wer weiß, ob Fuzzy-Logik überhaupt jemals entstanden wäre. Im Juli 1964 hatte sich Lofti Zadeh in New York mit einem Freund zum Essen verabredet. Doch der mußte ganz kurzfristig das Treffen absagen und so ergab sich ein freier Abend für Zadeh. Auf dem Bett liegend, seine bevorzugte Position zum Nachdenken, überkam ihn eine erste Ahnung zur Fuzzy-Theorie. Nach weiteren drei Stunden hatte er a reasonably good idea of how this whole thing would look. Sein Grundgedanke dabei war, daß sich nicht alle Beobachtungen und Ereignisse eindeutig mit ja/nein oder 0/1 klassifizieren lassen. Ist beispielsweise ein 2000 km langer Fluß kurz oder lang? Ist ein 170 cm langer Mensch groß oder klein? Eine interessante Fragestellung ist auch, bei wievielen Haaren ein Mensch keine Glatze mehr hat. Sind es 1.000, oder Haare? Hierzu sei angemerkt, daß ein Mensch ca Kopfhaare besitzt. 8

3 Abbildung 1: Haariges Diagramm Betrachten wir die Abbildung 1, so erkennen wir, daß uns die zweiwertige (boolsche) Logik vorgibt, bei Haaren ist der scharfe Übergang von einer Glatze zu einer Nichtglatze. Pech für denjenigen, der nur Haare sein eigen nennt, und Glück bei Haaren. Gerade an diesem Beispiel läßt sich die Absurdität einer solchen scharfen Begrenzung verdeutlichen. Zadeh läßt hier gleitende Übergänge zu, wie der geschwungene Kurvenverlauf kennzeichnet. Abbildung 2: Wieviele Haare braucht der Mensch? 1965 von ihm in Kalifornien weiterentwickelt, zählt die Fuzzy-Logik heute zu den zukunftsweisenden Technologien. Diese Zukunft konnte man ihr jedoch zu Beginn der Entwicklung noch nicht voraussagen, fand sie doch zu einer Zeit statt, in der man glaubte, mit Hilfe der Digitaltechnik alle Probleme lösen zu können, sofern sie nur ausreichend präzise formuliert werden konnten. Diesem Präzisionsdenken widersprach scheinbar die Fuzzy-Logik, welche man in etwa mit unscharfer Logik übersetzen kann. Man verwechselte hier Unschärfe mit Ungenauigkeit. Tatsächlich verbirgt sich hinter der Fuzzy-Logik eine Verallgemeinerung der "klassischen", zweiwertigen Logik, die in der Lage ist, menschliche Denkweisen und Formulierungen mathematisch darstellbar zu machen. Mit Hilfe der Fuzzy- 9

4 Logik ist es möglich geworden, menschliche Formulierungen und Denkweisen numerisch aufzunehmen und zu verarbeiten. Dieser Fähigkeit besann man sich, nachdem man festgestellt hatte, daß in einzelnen Fällen der Diagnose, der Prozeßautomatisierung, der Mustererkennung und anderen Anwendungen die herkömmlichen Methoden und Beschreibungsmittel nicht ausreichend gewesen waren oder versagt hatten. Entweder mangelte es an Möglichkeiten zur Beschreibung des Lösungsweges oder die Anforderungen konnten nicht rechnergerecht formuliert werden. So führen z. B. fehlende mathematische Modelle oder zu komplexe Modelle von Prozessen zu unbefriedigenden Automatisierungen. Hier lieferte der Mensch mit seinem Expertenwissen nach wie vor das bessere Ergebnis. Die Fuzzy- Logik ist nun in der Lage, dieses Expertenwissen darzustellen und somit nutzbar zu machen. Das Ergebnis sind Expertensysteme, Steuerungen oder Diagnosesysteme, die in ihrem Verhalten stabiler und fehlertoleranter sind. Vor allem in Japan wurde die Fuzzy-Logik mit großem Erfolg sehr schnell der industriellen Nutzung zugeführt und vermarktet. Besonders in der Automatisierungs-, Steuerungs- und Regeltechnik erregte die Fuzzy-Logik in den letzten Jahren auch in der Bundesrepublik Deutschland großes Aufsehen. Komplexe Prozesse, deren mathematische Beschreibung gar nicht oder nur mit großem Aufwand möglich ist, sind durch Fuzzy-Logik automatisiert oder in ihrer Qualität aufgewertet worden. Das zusammengetragene, unscharfe Expertenwissen und menschliche Verhalten wurde durch Fuzzy-Logik zur Verarbeitung mit Rechensystemen aufbereitet. Bisherige Anwendungen in den verschiedensten technischen und auch nicht technischen Bereichen weisen auf das hohe Potential der Fuzzy-Logik hin. Ihr Einsatz ist dort angebracht, wo Zielgrößen nicht exakt, d. h. nur qualitativ formuliert werden können, Größen nicht exakt gemessen, sondern z. B. durch die menschliche Interpretation qualitativ vorliegen, Nur eine sprachliche Problembeschreibung vorliegt, Die Steuergesetze nicht algebraisch, sondern in Form von unscharfem Expertenwissen vorliegen. Die Entwicklung der Fuzzy-Logik Die Fuzzy-Logik wurde von Professor Zadeh an der Universität von Berkeley, USA, entwickelt. Dieser mathematischen Methode liegt die unscharfe Mengenlehre (Fuzzy-Set-Theory) zugrunde, die eine Erweiterung, Verallgemeinerung der klassischen Mengenlehre darstellt. Anfang der siebziger Jahre wurde diese Theorie von dem Informatiker Professor Ebrahim Mamdani, vom Queen Mary and Westfield College der Universität London, für komplexe industrielle Steuerungen nutzbar gemacht. Damals konnte mit der Fuzzy-Logik jedoch kein entscheidender Durchbruch erreicht werden. Man erkannte noch nicht die Vorteile des Fuzzy-Konzeptes, das es ermöglichte, empirisches Prozeßwissen und verbal beschreibbare Steuereingriffe in die Prozeßautomatisierung einzubringen. In dieser Zeit der aufstrebenden Rechnertechnik glaubte man, jedes Problem in den Griff zu bekommen, wenn es nur genau genug beschrieben war. Was man damals noch nicht wahrhaben wollte, war Zadehs Prinzip der Unvereinbarkeit von hoher Komplexität und Präzision. In Japan wurden die Vorteile der Fuzzy-Logik recht schnell erkannt und für eine Vielzahl von Regelungsaufgaben (Fuzzy Control) eingesetzt. Fuzzy Control ist eine Anwendung der Fuzzy-Logik in der Automatisierungstechnik und ergänzt die klassische Regelungstechnik. 10

5 Grundlagen der Fuzzy-Logik Die unscharfe Logik ist eine Form einer mathematischen mehrwertigen Logik, die die Grenzen der starren zweiwertigen Logik, die nur die Werte 0/1 oder wahr/falsch kennt, erweitert und auch Zwischenwerte zuläßt. Dadurch ist es möglich, linguistische Werte, wie zu hohe Temperatur" oder " zu geringe Luftfeuchte" durch einen Zahlenwert zwischen 0 und 1 darzustellen. Mit Hilfe dieser subjektiven Begriffe können Verhaltensregeln aufgestellt werden, von denen sich Entscheidungen ableiten lassen. Das menschliche Wissen über einen bestimmten Prozeß kann nun in eine mathematisch darstellbare Form überführt werden, die von einem Rechner abgearbeitet werden kann. Stellglied Fuzzy- Regler M M Lüftermotor Stellglied Trommelmotor f1 f2 Lüfter Heizung ϑ> Trommel = = = ϑ> T F Ansaugen 83 C 68 C f3 f4 Ausblasen f1: Übertemperaturschalter Zuluft f2: Übertemperaturschalter Abluft f3: Temperatursensor f4: Feuchtesensor Abbildung 3: Funktionsprinzip des Wäschetrockners Abbildung 4: Fuzzygeregelter Wäschetrockner 11

6 Beispielsweise werden beim Prototypen des Fachhochschul-Wäschetrockners 2 folgende, hier vereinfacht dargestellte, Regeln verwendet: "WENN die Temperatur niedrig ist UND die Luftfeuchte hoch ist, DANN soll die Heizung maximal an sein". Hierbei werden die linguistischen Variablen "Temperatur niedrig" und "Luftfeuchte hoch" durch den Fuzzy-Operator "UND" miteinander verknüpft. Das Ergebnis der Verknüpfung wird auf die linguistische Variable des "DANN"-Teiles ("Heizung maximal an") übertragen. Grundsätzlich besteht ein Fuzzy-Regler aus einer bestimmten Anzahl von linguistischen (sprachlichen) Eingangsvariablen, einer Regelbasis und einer linguistischen Ausgangsvariable. Linguistische Eingangsvariablen Die linguistischen Variablen besitzen im Vergleich zu herkömmlichen Variablen eine zusätzliche Aufteilung in umgangssprachlich definierte Bereiche. In der Fuzzy-Theorie bezeichnet man diese Bereiche als Zugehörigkeitsfunktionen, Klassen, Fuzzy-Sets oder Membership Funktions. Den einzelnen Zugehörigkeitsfunktionen werden je nach Problemstellung bestimmte Bezeichnungen zugewiesen. Dies könnte bei einer linguistischen Eingangsvariable, die sich auf die Temperatur bezieht und drei Zugehörigkeitsfunktionen besitzt, folgendermaßen lauten: Zugehörigkeitsfunktion 1 => niedrig; Zugehörigkeitsfunktion 2 => mittel; Zugehörigkeitsfunktion 3 => hoch. Abbildung 5: Zugehörigkeitsfunktionen der linguistischen Eingangsvariablen Ablufttemperatur Die Anzahl der Zugehörigkeitsfunktionen pro linguistischer Variable wird dadurch bestimmt, wie genau der jeweilige Bereich beschrieben werden muß. Soll eine sich bewegende Kugel an einem bestimmten Punkt zum Stillstand gebracht werden, so reicht es in den meisten Fällen nicht aus, zwei Zugehörigkeitsfunktionen zu definieren, wobei die eine besagt, daß die Kugel im Bereich des Zielpunktes ist und die andere, daß sie noch weit entfernt ist. Eine wesentlich bessere Beschreibung der Lage der Kugel erhält man, wenn mindestens 3 Zugehörigkeitsfunktionen definiert werden, die wie folgt lauten könnten: Zugehörigkeitsfunktion 1 => Die Kugel ist im Bereich des Zielpunktes; Zugehörigkeitsfunktion 2 => Die Kugel ist in der Nähe des Zielpunktes; Zugehörigkeitsfunktion 3 => Die Kugel ist weit vom Zielpunkt entfernt. 2 Prof. Dr.-Ing. Gerd Schlüter, Entwicklungsprojekt der Fachhochschule Braunschweig/Wolfenbüttel, Institut für Elektrische Anlagen und Automatisierungstechnik 12

7 Wie wichtig eine geeignete Wahl der Zugehörigkeitsfunktionen für die einzelnen linguistischen Variablen ist, wird bei der Erstellung der Regelbasis deutlich, denn alle Regeln basieren auf den zuvor festgelegten Zugehörigkeitsfunktionen. Regelbasis In der Regelbasis wird das menschliche Wissen über den Prozeß in Form von Regeln hinterlegt. Diese Regeln bestehen aus einem WENN - und einem DANN -Teil. Der erste Teil bezieht sich auf die Zugehörigkeitsfunktionen der linguistischen Eingangsvariablen, die untereinander zumeist mit UND verknüpft werden. Im zweiten Teil wird die Zugehörigkeitsfunktion der linguistischen Ausgangsvariable aufgrund der Verknüpfung im WENN -Teil festgelegt. Verallgemeinert kann eine Regel wie folgt geschrieben werden: WENN Zugehörigkeitsfunktion XA der linguistischen Eingangsvariable A UND Zugehörigkeitsfunktion XB der linguistischen Eingangsvariable B DANN Zugehörigkeitsfunktion XC der linguistischen Ausgangsvariable C. Ein Ausschnitt aus der Regelbasis des zuvor beschriebenen Kugelmodell könnte zum Beispiel wie folgt lauten: WENN die Kugel weit vom Zielpunkte entfernt ist UND sich nicht bewegt, DANN soll die Kugel stark in Richtung des Zielpunktes beschleunigt werden. WENN die Kugel in der Nähe des Zielpunktes ist UND sich schnell dem Zielpunkt nähert, DANN soll die Kugel abgebremst werden.... Bei der Verwendung von UND -Regeln ist zu berücksichtigen, daß ihr Wahrheitsgrad bzw. Erfülltheitsgrad von der Zugehörigkeitsfunktion mit dem kleinsten Erfülltheitsgrad im WENN -Teil der Regel bestimmt wird. Dies bedeutet, daß eine UND -Regel mit zwei linguistischen Eingangsvariablen nur erfüllt ist, wenn beide Zugehörigkeitsfunktionen der Eingangsvariablen -auf die sich die Regel bezieht- einen Erfülltheitsgrad größer Null aufweisen. Hat zum Beispiel die Zugehörigkeitsfunktion der ersten linguistischen Eingangsvariable einen Erfülltheitsgrad von 0,7 (Bereich: 0-1) und die Zugehörigkeitsfunktion der zweiten linguistischen Eingangsvariable einen Erfülltheitsgrad von 0,2, so ist die Regel zu 0,2 (20%) erfüllt. Betrachtet man diese Eigenschaften etwas genauer, so ist zu erkennen, daß eine UND -Regel nur lokal wirkt. Dies ist bei der Erstellung der Regelbasis ein Vorteil, da speziell für die jeweiligen Gegebenheiten des Systems Regeln definiert werden können. Dies erfordert aber auch die Betrachtung aller möglichen Zustände, um zu gewährleisten, daß alle Bereiche durch Regeln beschrieben werden. Statt UND -Regeln ist es auch möglich, ODER -Regeln zu verwenden. Der Erfülltheitsgrad einer solchen Regel richtet sich nach der Zugehörigkeitsfunktion mit dem höchsten Erfülltheitsgrad im WENN -Teil der Regel. Dies hat zur Folge, daß eine ODER -Regel mit zwei linguistischen Eingangsvariablen schon erfüllt ist, wenn eine der beiden Zugehörigkeitsfunktion einen Erfülltheitsgrad größer Null aufweist. Besitzt die Zugehörigkeitsfunktion der ersten linguistischen Eingangsvariable einen Erfülltheitsgrad von 0,7 (Bereich: 0-1) und die Zugehörigkeitsfunktion der zweiten linguistischen Eingangsvariable einen Erfülltheitsgrad von 0,2, so ist die Regel zu 0,7 (70%) erfüllt. Diese Eigenschaft ist bei der Erstellung von Regeln besonders zu berücksichtigen, da im Gegensatz zu UND -Regeln, die nur lokal wirken, eine ODER -Regel schon erfüllt ist, wenn nur eine Bedingung des WENN -Teils zutrifft. In der Praxis spielen diese ODER -Regeln nur eine untergeordnete Rolle. 13

8 Wenn A positiv klein ist und B positiv klein ist, dann ist C positiv klein A B C Wenn A positiv groß ist, und B positiv klein ist, dann ist C positiv groß A B C Eingangswerte A 1und B1 der Eingangsvariablen A und B 1 Defuzzifizierung Ausgangswert C1 C Abbildung 6: Darstellung eines einfachen Fuzzy-Reglers mit zwei Eingangsgrößen, einer Ausgangsgröße und zwei UND -Regeln; Ausgewertet nach der MAX-MIN-Inferenz und der Flächenschwerpunktmethode Linguistische Ausgangsvariable Zur Bestimmung des scharfen Ausgangswertes der linguistischen Ausgangsvariablen muß zum einen die Inferenz-Methode und zum anderen die Defuzzyfizierungs-Strategie festgelegt werden. Zwei der bekanntesten Inferenz-Methode sind die MAX-MIN-Inferenz und MAX-PROD-Inferenz: Die MAX-MIN-Inferenz besagt, daß die Fläche einer Ausgangs-Zugehörigkeitsfunktion von ihrem Wahrheitsgrad, der sich aus den Regeln ergibt, begrenzt wird ( Minimum ). Die so erhaltenen Einzelflächen werden zu einer Gesamtfläche (unscharfe Gesamtmenge) zusammengefaßt ( Maximum ). Die MAX-PROD-Inferenz besagt, daß das Produkt aus der Ausgangs-Zugehörigkeitsfunktion und ihrem Wahrheitsgrad, der sich aus den Regeln ergibt, die Fläche der Ausgangs- Zugehörigkeitsfunktion bestimmt ( PROD ). Die so erhaltenen Einzelflächen werden zu einer Gesamtfläche (unscharfe Gesamtmenge) zusammengefaßt ( Maximum ). Besitzen mehrere Regeln die gleiche Ausgangs-Zugehörigkeitsfunktion, wird für die weitere Auswertung nur die Regel mit dem größten Wahrheitsgrad (Erfülltheitsgrad) verwendet. Für die Defuzzyfizierung stehen mehrere Methoden zur Auswahl. Die hier beschriebene Schwerpunktmethode ist eines der gebräuchlichsten Defuzzyfizierungs-Verfahren. Mit dieser Methode wird der Wert des Flächenschwerpunkts auf der horizontalen Achse bestimmt, der zugleich der scharfe Fuzzy-Ausgangswert ist. Die hierfür zugrunde gelegte Fläche (unscharfe Gesamtmenge) ergibt sich aus der Inferenz-Methode, die den Erfülltheitsgrad der Ausgangs-Zugehörigkeitsfunktionen festlegt und der Form der Ausgangs-Zugehörigkeitsfunktionen. 14

9 Beispiel eines Fuzzy-Reglers Zur Veranschaulichung und zur Vertiefung der erläuterten Grundlagen wird im folgenden ein einfaches Beispielsystem aufgezeigt. Es besteht aus einer frei beweglichen Kugel, die sich auf einer Wippe mit variablen Winkel befindet (siehe Abbildung 7). Abbildung 7: Prinzipdarstellung des Beispieles Für dieses Modell soll im folgenden ein einfacher Fuzzy-Regler entwickelt werden. Ziel der Regelung ist es, die Kugel im Mittelpunkt (Drehpunkt) der Wippe zu stabilisieren, wobei Sie aus jeder beliebigen Lage in kürzester Zeit zur Zielposition gelangen soll. Diese Aufgabe wird mit Hilfe der Fuzzy- Logik auch einem auf dem Gebiet der Regelungstechnik völlig unerfahrenen Leser gelingen. Der Entwurf eines unscharfen Reglers kann grob in folgende Schritte unterteilt werden: Festlegung der Eingangs- und Ausgangsvariablen Erstellen der Zugehörigkeitsfunktion Erstellen einer Regelbasis Festlegung der Inferenz-Methode Festlegung der Defuzzifizierungsstrategie Bevor wir beginnen, treffen wir noch einige Vereinbarungen. Steuern wollen wir den Winkel der Wippe (Ausgangsgröße des Fuzzy-Reglers); Dazu benötigen wir die Position der Kugel auf der Wippe sowie die Geschwindigkeit der Kugel (2 Eingangsgrößen). Um die Kugel in die Mitte der Wippe zu bewegen, müssen wir die Abweichung von der Zielposition kennen. Wir legen fest, daß es positive wie auch negative prozentuale Abweichungen im Wertebereich von -100% bis +100% geben kann. Unser Zielbereich 0% liegt somit genau in der Mitte. Weiterhin nehmen die Zugehörigkeitsfunktionen nur Werte im Bereich zwischen 0 und 1 an. Abbildung 8: Zugehörigkeitsfunktionen der linguistischen Eingangsvariablen Kugelgeschwindigkeit 15

10 Abbildung 9: Zugehörigkeitsfunktionen der linguistischen Eingangsvariablen Kugelposition Um für alle Abweichungen gleiche Voraussetzungen zu schaffen, legen wir eine ungerade Anzahl von Zugehörigkeitsfunktionen fest; z. B. drei, wie in der Abbildung 8. Die mittlere Zugehörigkeitsfunktion oder auch Klasse Zero (ZR) trifft mit dem Zugehörigkeitswert 1 genau unseren Zielwert 0%; Also genau die Kugel in der Mitte der Wippe. Die anderen Klassen lauten: NK: negativ klein: PK: positiv klein. Würden wir fünf Klassen bilden, könnten sie heißen: NM: negativ mittel; NK: negativ klein; ZR: zero: PK: positiv klein; PM: positiv mittel (vgl. Abbildung 9). Zero steht hier nicht für null, sondern meint eine Zugehörigkeitsfunktion, bzw. eine Klasse, die den Zielbereich definiert. Nun müssen wir uns noch Handlungsanweisungen geben, die den Winkel so stellen, daß die Kugel ins Ziel kommt und dort bleibt. In unserem Beispiel haben wir die Eingangsgrößen Geschwindigkeit (NK: negativ klein; ZR: zero; PK: positiv klein) und Kugel-Position (NM: negativ mittel; NK: negativ klein; ZR: zero: PK: positiv klein; PM: positiv mittel) mit denen die Ausgangsgröße Winkel (NM: negativ mittel; NK: negativ klein; ZR: zero: PK: positiv klein; PM: positiv mittel) beeinflußt wird. Es werden normierte Zugehörigkeitsfunktionen (Dreiecke) verwendet und lediglich UND -Regeln benutzt. Aus der Betrachtung von charakteristischen Situationen im Ablauf der Kugelbewegung und - position stellen wir Reaktionen für die Wippenstellung auf, d. h. wir verfolgen einen heuristischen Ansatz zur Formulierung der Regeln: Liegt die Kugel auf der linken Wippenhälfte (negative Position; Geschwindigkeit v = 0), sollte die Wippe rechts unten geneigt sein (Ausgangsklasse: Winkel α = NM negativ mittel, um die Kugel zur Mitte rollen zu lassen. Formal läßt sich diese Regel als: Wenn v = ZR und x = NM dann α = NM schreiben. Von den 15 möglichen Kombinationen der Eingangsvariablen ziehen wir alle zur Formulierung von Regeln heran: Wenn v = ZR und x = PK dann α = PK Wenn v = ZR und x = PM dann α = PM Wenn v = ZR und x = ZR dann α = ZR Wenn v = ZR und x = NK dann α = NK Wenn v = NK und x = PM dann α = PK Wenn v = NK und x = PK dann α = ZR Wenn v = NK und x = ZR dann α = NK Wenn v = NK und x = NK dann α = NM Wenn v = NK und x = NM dann α = NM Wenn v = PK und x = PM dann α = PM Wenn v = PK und x = PK dann α = PM Wenn v = PK und x = ZR dann α = PK Wenn v = PK und x = NK dann α = ZR Wenn v = PK und x = NM dann α = NK Übersichtlicher zeigt die zugehörige Regeltabelle den Sachverhalt an, wie sie in der Abbildung 10 zu finden ist. Abbildung 10: Regeltabelle 16

11 Die folgenden Schritte führen in der Fuzzy-Logik zur Bestimmung des Wertes der Ausgangsgröße: 1. Für ein bestimmtes Wertepaar von Eingangsgrößen ermitteln wir den Grad der Zugehörigkeit für alle Klassen der Eingangsvariablen. 2. Danach werden alle Regeln überprüft, ob die angegebene Verknüpfung für den vorliegenden Fall erfüllt ist, d. h., daß das Resultat der Verknüpfung der Zugehörigkeitswerte ungleich null ist (Erfülltheitsgrad). Im Falle einer UND -Regel bedeutet dies, daß der Erfülltheitsgrad der Regel sich aus dem kleinsten Erfülltheitsgrad der zur Regel gehörenden Eingangsklassen ergibt. Abbildung 11: Bildung des scharfen Ausgangswertes für den Winkel der Wippe nach der MAX-MIN- Inferenz und der Flächenschwerpunktmethode 3. Da aus dem Regelwerk eine Schlußfolgerung gezogen werden soll, gilt es, die Inferenz-Methode zur Bestimmung der unscharfen Menge (Fläche) festzulegen. Für unser Beispiel verwenden wir die MAX- MIN-Inferenz. Sie besagt, daß die Fläche einer Ausgangs-Zugehörigkeitsfunktion von ihrem Erfülltheitsgrad begrenzt wird, wobei die Einzelflächen zu einer Gesamtfläche der sogenannten unscharfen Menge zusammengefaßt werden (siehe Abbildung 10). 4. Um aus der unscharfen Menge eine scharfe Steuergröße zu erhalten, die den Winkel der Wippe festlegt, muß das Gegenstück zu Fuzzyfizierung -die Defuzzyfizierung- erfolgen. Hierzu verwenden wir die Flächenschwerpunkt-Methode. Sie stellt sicher, daß ein ausgewogener charakteristischer Wert die Form dieser unscharfen Menge repräsentiert. Es ergibt sich ein abgelesener Wert für den Winkel von -9,16. Daß sich genau dieser Zahlenwert einstellt, liegt an den verwendeten Zugehörigkeitsfunktionen, den aufgestellten Regeln, der Inferenz- Methode und der Defuzzyfizierungs-Strategie. Somit haben wir eine scharfe Ausgangsgröße als Funktion der scharfen Eingangsgrößen erhalten, obwohl kein mathematisches Modell für die Regelung vorhanden ist. 17