Theorie des Regenbogens

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2 Theorie des Regenogens Trifft weisses Licht aus trockener Luft auf Regentropfen mit feuchter Luft, dann haen wir es mit einem Üergang zwischen zwei Medien zu tun. Licht wird ei einem solchen Üergang gerochen und ein Teil auch direkt reflektiert. Bei der Reflexion ist der Einfallswinkel gemessen ezüglich der Flächennormale (Senkrechte auf der Grenzfläche gleich dem Ausfallswinkel. Das direkt an der Oerfläche des Tropfens reflektierte Licht ist für den Beoachter wieder weiss und deshal hier nicht interessant. Das Reflexionsgesetz! einfallend =! ausfallend Ein Teil der Intensität der Lichtestrahlen wird an der Grenzschicht eines Tropfens gerochen, dann entweder ein oder zweimal im Tropfen reflektiert evor der Strahl wieder in die Schicht der trockenen Luft zurückgerochen wird. Wir haen es also mit zweimaliger Brechung und einer Einfach- oder Doppelreflexion im Wassertropfen zu tun. Bei der Brechung werden nicht alle Faren, also Wellenlängen gleich stark gerochen. Diesen Effekt nennt man Dispersion. Er eruht darauf, dass die Lichtgeschwindigkeit in Stoffen von der Wellenlänge ahängig ist. Weisses Licht wird so im Wassertropfen in die Spektralfaren zerlegt und zeigt alle Faren. Bezeichnet man mit n = v Vakuum v Medium = c!,!c! v 3"08! m s den Brechungsindex, welcher das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum zur Geschwindigkeit v des Lichtes in einem durchsichtigen Medium angit, dann kann nach dem Gesetz von Snellius aus dem Einfallswinkel! im ersten Medium der Brechungswinkel! im zweiten Medium estimmt werden. Das Brechungsgesetz n!sin! =!sin" # " = arcsin n ( $sin! In trockener Luft ist n =,000272, das heisst, die Lichtgeschwindigkeit ist nur wenig kleiner als im Vakuum. In Wasser ist der Brechungsindex je nach Fare: n lau =,340!; n rot =,328, woraus die unterschiedlichen Strahlengänge im Wassertropfen resultieren. Im oigen Bild sind der Hauptregenogen und der Neenregenogen sichtar. Wir werden in der Folge nun versuchen, die eiden Typen von Regenogen zu eschreien. Studieren wir dazu die nachfolgenden Aildungen, welche den erechneten Verlauf der Strahlen darstellen. Berechneter Strahlengang im Regentropfen eines Hauptregenogens mit Einfachreflexion Berechneter Strahlengang im Regentropfen eines Neenregenogens mit Doppelreflexion Der Regenoge Dr. F. Raemy

3 Der totale Alenkwinkel eim Hauptregenogen und eim Neenregenogen Damit die Faren eim Regenogen getrennt erscheinen, muss der Alenkwinkel! zwischen dem einfallenden weissen Strahl und dem doppelt gerochenen und reflektierten farigen Strahlen maximal sein. Bei einem parallel zur x-achse einfallenden Strahl auf die Kugel (Kreis kann die Höhe variiert werden, die auch den totalen Alenkwinkel eeinflusst. Würde der Strahl entlang der x-achse einfallen, ergäe sich nur eine Reflexion in die gleiche Richtung und die Faren wären nicht sichtar. Die folgende Figur zeigt den Verlauf der Strahlen im Regentropfen für den Hauptregenogen nach einfacher Reflexion aer doppelter Brechung. Soll der Alenkwinkel als Funktion des y-achsenaschnittes maximal werden, dann muss zuerst die Zielfunktion! ( ermittelt und maximiert werden.! = 80 0 " (# + $ Der Winkel! ist im Falle des Haupt- und des Neenregenogens wie folgt definiert. Hauptregenogen: Neenregenogen! = " + 2# $ 80 0! = " + 2# $ 80 0 Damit ergit sich für den Haupt- und Neenregenogen:! = 4" # 2$! = " # " 2$ Das Brechungsgesetz liefert: n sin! = sin" # " = arcsin n Der Winkel! ist definiert durch: sin! = r "! = arcsin r Somit wird der totale Alenkwinkel! ( = 4 arcsin n! ( r " 2arcsin r ( r ( ( eim Haupt- und Neenregenogen: (! ( = " arcsin n ( r " 2 arcsin r ( Der Regenogen 3 Dr. F. Raemy

4 Maximum der Funktion! ( durch Optimierung Wir suchen das Maximum der Funktion! ( eim Haupt- und Neenregenogen. Dazu ildet man die Aleitungen: n n ( ( "!( = 4 # 2 "!( = 6 # 2 # ( r 2 # ( r 2 # n! Setzt man die Aleitung gleich Null, erhält man den y-achsenaschnitt, für welchen der maximale Alenkwinkel resultiert. "!( = 4 $ 2 $ 2 n $ 4 n n ( # 2 # n! ( 2 n ( n2 = # ( r 2 # n! ( # r # ( r 2 = 4 n ( 2 # $ 3 n!!r $ = r n 4n 2 # 2 = 0 # r (!r 2 = # n! ( = # n!!r 3 "!( = 6 $ 3 $ 3 n $ 9 n # n! n ( # 2 # n! ( 2 n ( n2 = # ( r 2 # n! = 0 # r ( # r # ( r 2 = 9 n ( 2 # $ 8 n!!r $ = r n 9n 2 # 2 (!r 2 = # n! ( = # n!!r 8 Die numerischen Werte für die y-achsenaschnitte im Kreis mit Radius r = sind: Fare Brechungsindex y-achsenaschnitt y-achsenaschnitt im Hauptregenogen im Neenregenogen rot: n =,32889! = 0,86336! = "0, gel: n =,333! = 0,86022! = "0, grün: n =,337! = 0,858902! = "0, lau: n =,3403! = 0,857238! = "0, Aus den eiden y-achsenaschnitten wird der maximale Alenkwinkel im Hauptregenogen und dem Neenregenogen erechnet. im Hauptregenogen rot:! = 0,86336 im Neenregenogen ( = 42,7328 0! ( = "0, = 49,77 0 gel:! ( = 0,86022 = 42,308 0! ( = "0, = 50, grün:! ( = 0, = 4,5379 0! ( = "0, = 5, lau:! ( = 0, = 4,0802 0! ( = "0, = 52, Der Hauptregenogen zeigt sich nach der Totalen Alenkung um ca. 42 Grad, der Neenregenogen zeigt sich nach der totalen Alenkung von ca. 5 Grad. Der Regenogen 4 Dr. F. Raemy

5 Der Neenregenogen und der Hauptregenogen In den eiden folgenden Darstellungen wird die Brechung und Reflexion im Regentropfen für doppelt und einfach reflektierte Sonnenstrahlen analysiert. Die gestrichelt gezeichneten Linien stellen die Normale auf der Kugel (Kreis dar und dienen im Falle der Brechung zur Bestimmung des Einfalls- und Brechungswinkels und im Falle der Reflexion zur Bestimmung des Einfalls- oder Reflexionswinkels, die im zweiten Falle gleich sind. Beim Neenregenogen wird Doppelreflexion im innern des Regentropfens für die Spektralfaren wirksam, während eim Hauptregenogen nur eine einfache Reflexion wirksam ist. Die Intensität der Faren ist eim Hauptregenogen grösser als eim Neenregenogen. Beachten Sie die umgekehrte Reihenfolge der Faren. Die folgenden Figuren zeigen den Strahlengang im innern des Regentropfens anschaulich. Insesondere die Strahlüerschneidungen werden sichtar dargestellt. Der Verlauf der Strahlen im Regentropfen eines Hauptregenogens mit Einfachreflexion Der Verlauf der Strahlen im Regentropfen eines Neenregenogens mit Doppelreflexion Im rechten Bild geschieht die Brechung an den Orten S und S 4, im linken Bild an den Orten S und S 3. Rechts finden die Reflexionen in den Punkten S 2 und S 3, links nur im Punkt S 2 statt. Die Farreihenfolge im Hauptregenogen und im Neenregenogen Damit der rote und laue Strahl des Hauptregenogens gleichzeitig im Auge sichtar sind, muss der Tropfen, welcher für das Auge rotes Licht reflektiert weiter oen sein als der Tropfen, der laues Licht reflektiert. Somit ist rot im Hauptregenogen oen und lau unten zu sehen. Im Neenregenogen, der oerhal des Hauptregenogens liegt, ist die Farreihenfolge umgekehrt, weil die Faren durch Zweifachreflexion entstanden sind. Faren im Hauptregenogen rot oen und lau unten Faren im Neenregenogen lau oen, rot unten Der Regenogen 5 Dr. F. Raemy