Normalabflusstiefe, kritische Tiefe und konjugierte Wassertiefen in der Hydraulik offener Gerinne

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1 Normalabflusstiefe, kritische Tiefe und konjugierte Wassertiefen in der Hydraulik offener Gerinne Autor(en): Hager, Willi H. Objekttyp: Article Zeitschrift: Schweizer Ingenieur und Architekt Band (Jahr): 2 (984) Heft 7 PDF erstellt am: Persistenter Link: Nutzungsbedingungen Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den korrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden. Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. Die systematische Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots auf anderen Servern bedarf ebenfalls des schriftlichen Einverständnisses der Rechteinhaber. Haftungsausschluss Alle Angaben erfolgen ohne Gewähr für Vollständigkeit oder Richtigkeit. Es wird keine Haftung übernommen für Schäden durch die Verwendung von Informationen aus diesem Online-Angebot oder durch das Fehlen von Informationen. Dies gilt auch für Inhalte Dritter, die über dieses Angebot zugänglich sind. Ein Dienst der ETH-Bibliothek ETH Zürich, Rämistrasse, 892 Zürich, Schweiz,

2 Zeitfragen / Hydraulik Schweizer Ingenieur und Architekt 7/84 kantonalen Handelskammern für eine regio nale Promotionsarbeit im Innovationsbe reich ein. Permanente Innovations-Bera tungsstellen sind geschaffen worden, und In formationstagungen mit Hochschflreferenten und Vertretern der mit Forschungsförde rung betrauten Bundesstellen wurden zum Ort der Begegnung, ganz im Sinne des Schlusswortes der GHF-Tagung. Bei aller Anerkennung der Priorität, über welche die Hochschule im Besitze des Fach wissens und der weltweiten Information ver fügt sind diese Hinweise auf andere Bemü hungen, den Innovationsprozess in Gang zu bringen, zu erwähnen. Dies um so mehr, weil sie im Zeichen der Selbsthilfe dem an der Tagung dringlich geforderten pragmati schen Vorgehensmuster entsprechen. Die GHF räumte dem Thema «Technologie transfer» vor vier Jahren zwei Arbeitstage ein; dieser komplexe und aktuelle Gegen stand konnte diesmal nur als Ausschnitt zur Darstellung gelangen. Dabei hätten auch einmal Vertreter der höheren technischen Lehranstalten mit ihren massgeblichen Er fahrungen in der Zusammenarbeit mit der Industrie zu Worte kommen müssen. Adresse des Verfassers: Charles-Louis Gauchat, Dipl. Ing. ETH/SIA, Zumikerstr., 87 Küs nacht Normalabflusstiefe, kritische Tiefe und konjugierte Wassertiefen in der Hydraulik offener Gerinne Von Willi H. Hager, Lausanne Die drei Wassertiefen stellen Grundelemente der hydraulischen Berechnung offener Gerinne dar. Sie sind für die wichtigsten Profile bestimmt und in Berechnungsdiagrammen ausge wertet. Normal depth, critical depth and conjugate depths are the essential lengths of Open Channel Hydraulics. They have been investiyated and plotted on graphs. Les profondeurs normaux, critiques et conjugees sont des elements caracteristiques de l'hydraulique des canaux decouverts. Le but de cet article est leur derivation et presentation graphique pour des calculs pratiques. Die Begriffe Normalabflusstiefe, BaHf; sehe Tiefe und konjugierte Tiefen sind in der Berechnung von Abflüssen in of fenen Gerinnen von zentraler Bedeu tung. Ihre Ermittlung ist unter verein fachenden Annahmen schon lange bekannt, bei konkreten Aufgaben ist der Berechnungsaufwand aber häufig gross. Der Aufsatz verfolgt zwei Ziele: - Aufstellung der Beziehungen für die drei Wassertiefen unter den üblichen Berechnungsannahmen, - Auswertung der Resultate für häufig auftretende Kanalprofile. Der Schwerpunkt der Untersuchung liegt in der Erstellung von Berechnungs diagrammen. Diese bilden eine wertvol le Arbeitsunterlage für Kanalbauer. Die Normalabflusstiefe Unter Normalabfluss versteht man den Gleichgewichtszustand von treibenden und rückhaltenden Kräften im prisma tischen Kanal mit konstanter Rauhig keit, konstantem Durchfluss und kon stantem Sohlengefälle. Wir gehen von der idealisierten Stromröhrentheorie aus, betrachten also eindimensionalen Abfluss. Zur exakten Formulierung führen wir die folgenden Berechnungsvorausset zungen ein: - die Druckverteilung sei überall hy drostatisch, - das Sohlengefälle Js sei im Bereich IO/oo^SIOOo/oo, - die Krümmung der Kanalachse sei sehr gering. Herrscht im Gerinne Normalabfluss, so sind Druck- und Wasserlinie identisch und parallel zur Energielinie sowie zur Gerinnesohle. Bis heute ist es nicht gelungen, den beschriebenen Abflusszustand theore tisch zu erfassen. Obwohl die Turbu lenztheorie halbempirische Ansätze lie fert, verwenden wir zur Beschreibung des Normalabflusszustandes das klassi sche, empirische Gesetz von Strickler (923): () v -fc. (T. KML mit «N» als Bezeichnung des Norma labflusszustandes, v als mittlere Ge schwindigkeit v Q/F, Q als Durch fluss, F als Profilfläche, k als Beiwert nach Strickler, Js als Sohlengefälle, R als hydraulischer Radius R F/U mit [/als benetztem Umfang. Mit der Kontinuitätsgleichung gilt für den Durchfluss: (2) QN=k-yfTs-Rjfi FN oder (3) Qw/fcvX=FJV KN fw Die rechte Seite von Gleichung (3) ist lediglich von der Wassertiefe h abhän gig- Zur universalen Erfassung beliebiger Profile führen wir die dimensionslose Darstellung ein. Alle mit «o» bezeich neten Grössen sind dimensionslos. Mit aals Referenzlänge erhalten wir: (4) U a U F I a2 F und somit als allgemeine Normalab flussgleichung: Qn (5) (Fs/my Die kritische Tiefe Als Energiehöhe H eines Abflusses mit der Wasertiefe h und der mittleren Ge schwindigkeit vdefinieren wir: (6) ff«h + v2/2g~ h + QV (2 gf2) Die kritische Tiefe genügt der Bedin gung: ff _Q2 of (7) dh " gf3 dh - In dimensionsloser Darstellung ergibt sich als Definitionsgleichung der kriti schen Tiefe: (8) Q2 ga5 FS dfb/dho Der kritische Druchfluss ist lediglich vom Profil und vom Wasserstand h ab hängig. 322

3 Hydraulik Schweizer Ingenieur und Architekt 7/84 s Th, r* : vzz^~ -^?Fr, V l A >H m h2 Bild (oben). Wassersprung zwischen den beiden Querschnitten und 2 mit h als Abflusstiefe, H als Energiehöhe, k als kritische Tiefe, AH als Energiediffe renz und Lals Sprunglänge Bild 2 (rechts). Abmessungen Untersuchte Profiltypen und Bezeichnung ihrer; ^metrischen h \ ' B Ü v A h U b U b^l Mr\ --^r- T j MJ h MJ U D - [ D? h Die konjugierten Wassertiefen Mit den konjugierten Wassertiefen be zeichnen wir die beiden ungestörten Abflusstiefen vor und nach dem Was sersprung. Bild zeigt schematisch den unstetigen Übergang vom schiessenden zum strömenden Abflusszustand. Für die Berechnung des Zusammen hangs der beiden Tiefen in den Schnit ten und führen wir die folgenden zusätzlichen Voraussetzungen ein: - Die Wandreibungsverluste sind ge genüber den Stossverlusten gering, - die Gerinnesohle ist annähernd hori zontal, - die Druckverteilung an den beiden Kontrollquerschnitten ist hydrosta tisch. Dann gilt nach dem Impulssatz in Rich tung der Gerinneachse (9) eö(v2-v)=f,-p2 mit p_ als Dichte des Mediums und Pals Druckkraft. Nach Anwendung der Kontinjpätsgleichung entsteht anstelle von (9): () Q-Q2l4r-4r)=Pi-P2 Die Druckkraft^Älautet in dimensions loser Darstellung () P=Q.g.a*-P und somit die Gleichung für die konju gierten Wassertiefen: Q2 ga> Poi Po: Zusammenfassung Normalabflusstiefe, kritische Tiefe und die konjugierten Tiefen sind wichtige Begriffe in der Gerinnehydraulik. Ihre Definitionsgleichungen sind in allge meiner Form ermittelt worden. Diese gestatten die Berechnung der Abflusstie fen in beliebigen Profilen, falls folgen de geometrischen Beziehungen be kanntsind: (3) U,Fo,dF/dho,Po Die Profile Bild 2 gibt eine Übersicht über die wichtigsten Profile des Kanalbaus. Im folgenden werden die dimensionslosen Parameter (3) ermittelt. Das Trapezprofil Als Referenzlänge wählen wir die Grundseite b. Dann gilt: (4) l4-l+2-2-.vtrm' #i*i JfH^fr ^mm m ist der Kotangens der Neigung der Seitenwände. Für m =» entsteht der Spezialfall des Rechteckprofils. Das volle Trapezprofil Die Referenzlänge ist gleich der Was serspiegelbreite B. Mit ß ~> b/b gilt für /j/ß^(l-ß)/(2m): (8) Uo-2 + ß + ± (vt+m5-!) 9) *-{Jl)-U=BL, i B Am 9«o (2) Po (h 2 B (i-ß)2/m Für den Spezialfall ß das Fünfeckprofil. DasU-Profil d-ß)3 Am \b] 24m2 erhält man Das U-Profil ist ein zusammengesetztes Profil. Für Füllungsgrade h/d < Vi ver weisen wir auf das Kreisprofil. Mit Durchmesser D als Referenzlänge folgt: (22) F- (23) P Das Kreisprofil '"D") + f~ >/ 8 2 ' h 2 \D 2 8 \ D 2 2 _3fi dhq Als Referenzlänge wählen wir den Kreisdurchmesser D. Die Profil-Kenngrössen können nicht unmittelbar durch die Wassertiefe h, sondern nur über den halben Zentriwinkel a/2 an gegeben werden: < (24) h -=r(l cosa) (25) Uo a (26) fi el sin a cos a 9fi dho sin a 323

4 Hydraulik Schweizer Ingenieur und A rchitekt 7/84 sin3 Ol Tabelle. Zuordnung der Diagramme (27) Po -ö- (sin a = a cos a) Bild Profil Normalabfiuss Kritischer Abfluss Konjugierte Tiefen Auswertung der Resultate Das Hauptziel dieser Untersuchung stellt die Auswertung der gefundenen Resultate dar. Tabelle erleichtert das Auffinden eines Diagramms. 3 Trapez X X 4 volles Trapez X 5 volles Trapez X 6 U X X 7 Kreis X X 8 Trapez X 9 volles Trapez X U Kreis X X 2 Kreis X thn/b 2.5. noihjb Uhk/b. Ah. o 2 _ D kvjsb«,' ab* Bild 3. Normalabflusstiefen (links) und kritische Tiefen (rechts) im Trapezprofil Bild4. Normalabflusstiefen im vollen Trapezprofil:Q Q/(KvTsBs/i) Bild 5. Kritische Tiefen im vollen Trapezprofil: Q Q/(*lgBs).2 hn/b IH/B hk/b b/b o b/b b/b Q; g=l5 ö ai g=3 <==ra 3 C D.2 n3 //// r b/e 7// D la=4s"l ml h I : H Q 4 6 g=6 Q ÜB ÜB» \i. b/b b/b 45 a 6 fieii». > -«H 324

5 Hydraulik Schweizer Ingenieur und Architekt 7/84.2.» H./D F/D Qk/VgD5 QM/fKjfD83 h/d Bild 6 (oben). Normalabfiusstiew$jgfafmche Tiefe, Fläche und Energiehöhe in Abhängigkeit der Teilfüllung im U-Profil Bild 7 (rechts). Normalabflusstiefe (links im Bild) und kritische Tiefe, Fläche (rechts im Bild) im mmsprofil.32.8 QN KJ^D83 y WBmk / / / // / / V7 w ' / / ' ' y E:/r»2 QN(hN/D) // ' / riu // // // / // Vn >-F(h/D) ^Qk(hk/C))^ $ D5 " h/d i a h,/b a 2 45 l \"t b t m 5 h^^k /t, _,i /V, B H 2 3 s 5 ( /Vibs 2.5 ^ " 4 yb 7 ^ h,/b a hi=ho=h rii2-ii), 7 -"F O/Vgl* Bild 8. Konjugierte AbflusstiefenfürBöschungswinkel von 45 und 6 im Trapezprofil Bild 9. Konjugierte Abflusstiefen im vollen Trapezprofil mit b 2 h/b 4 / =5 ] ^3 Hü -^^4 2 /Vgßs bI.4 h,/b 3 2. ö/vgb VB EU m i m ymb O/Vg B»' '^/3.5 ^lüjb H 2'ul.C.H OA-.6- i ^ A/B 2 _.. " 2.5 t=6 o d. g/vg w SR /"4 ^b 325

6 Hydraulik SchweizerIngenieur undarchitekt 7/84 ho/d h,/d Bild. Konjugierte Abflusstiefen im U-Profll.2. ti =h.9.7 gd h,/d i"2'u..3 D Bild. Konjugierte Abflusstiefen im Kreisprofil, kleine Füttungsgrade f-t / / \ I vsm y y - y h,= h TTTTl // o.i Js= mm go ho/d Bild 2. Konjugierte Abflusstiefen im Kreisprofil, grosse Füllungsgrade und Abfluss unter Druck im Unter wasser D un.75 -M2 S9 &=? Q It m. Verdankungen Die kritische Durchsicht des Manuskripts verdanke ich mei nem Bruder Kurt Hager, Bauing. HTL. Die vorliegende Un tersuchung entstand aus einer internen Forschungsarbeit des Ingenieurbüros Küster und Ha ger AG, Zürich. Adresse des Verfassers: Dr. W. H. Hager, dipl. Ing. ETH, Chaire de Constructions Hydrauliques (CCH), Genie Civil (BGC), EPH, 3 Lausanne. 326