Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Zur Berechnung der Ableitung. Das komplette Material finden Sie hier:

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1 Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Zur Berechnung der Ableitung Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de

2 S 1 Üben, üben, üben zur Berechnung der Ableitung Christian Rühenbeck, Bovenden Voraussetzung: Das Tangentenproblem (I/C Reihe 47 auf CD-ROM 59) Können Sie auf Anhieb sagen, auf welche Weise man die (einzige) gemeinsame Tangente der beiden Kurvenäste bestimmen kann? Nach einigen Vorübungen sind Ihre Schüler in der Lage, diese Aufgabe zu lösen (siehe Aufgabe 20). Klasse: 11/12 Dauer: Inhalt: Stunden Einführung des Ableitungsbegriffs und erster Ableitungsregeln; Übungen zur Ableitung; Bestimmung lokaler Extrema; Ermittlung von Tangentengleichungen; Polynomdivision Ihr Plus: Ein Spiel (Spielplan auf CD-ROM 59) Mit einer alternativen Methode und ohne Nutzung des Grenzwertbegriffs wird der Begriff der Ableitung bei bekannten Funktionen auf eine Weise eingeführt, die schnell zu praktischen Ergebnissen führt wie z. B. der Bestimmung lokaler Extrema. So nebenbei lernen Ihre Schüler das Verfahren der Polynomdivision kennen.

3 S 2 Didaktisch-methodische Hinweise Möglicherweise runzeln Sie die Stirn: Schon wieder geht es um die Einführung des Ableitungsbegriffs und Übungen zu diesem Thema. Dazu ist doch nun wirklich schon alles gesagt! In der reinen Mathematik ist das sicher so. Aber auch in der Schule? Wo nur bedingt reine Mathematik betrieben werden kann, wo aber der Ableitungsbegriff in der Oberstufe dringend benötigt wird? Man kann die Nutzung des Begriffs der Ableitung in der Schule rechtfertigen, ohne sie durch Methoden der reinen Mathematik genauer zu begründen. Dazu ein Ausschnitt aus dem Vorwort der Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung von Richard Courant aus dem Jahr 1927: Es ist mein Bestreben, dem Leser eine deutliche Einsicht in die enge Verbundenheit der Analysis mit den Anwendungen zu vermitteln und bei aller Wahrung mathematischer Strenge und Präzision der Anschauung als dem Urquell mathematischer Weisheiten volle Gerechtigkeit widerfahren zu lassen. Gewiss, die Darstellung der Wissenschaft als geschlossenes System in sich ruhender Wahrheiten ohne eine Erinnerung an Herkunft und Ziel hat einen ästhetischen Reiz und bedeutet die Erfüllung eines tiefen philosophischen Erkenntnisdrangs. Aber als ausschließliche grundsätzliche Einstellung oder als didaktisches Prinzip gegenüber Anfängern ist der Standpunkt der abstrakt logischen in sich gekehrten Wissenschaft eine große Gefahr. Das Tangentenproblem als Motivation Im Beitrag Üben, üben, üben das Tangentenproblem (I/C Reihe 47 auf CD-ROM 59) ist gezeigt worden, wie man innerhalb einer überschaubar kurzen Unterrichtssequenz bei einfachen Potenzfunktionen ohne Kenntnis des Ableitungsbegriffs zu präzisen Tangenten an allen Stellen ihrer Graphen kommen kann. In diesem Beitrag ist Ausgangspunkt für die Einführung des Ableitungsbegriff folgende Frage: Wie findet man ohne Nutzung des Grenzwertbegriffs die Ableitungen der Potenzfunktion y= x,p Q (Lösung in diesem Beitrag!) 1, der Exponential- und der Logarith- p musfunktion oder der Winkelfunktionen? Nach wie vor ist der Einstieg in die Analysis durch die Sekanten-Tangenten-Methode und damit verbunden durch den Grenzwertbegriff geprägt. Im vorliegenden Beitrag geht es dagegen um die Darstellung einer alternativen Methode, den Begriff der Ableitung bei Potenzfunktionen und daraus ableitbarer weiterer Funktionen wie ganzrationalen, gebrochen rationalen und Wurzelfunktionen einzuführen. Ziel ist es, zunächst ohne viel mathematische Theorie möglichst schnell zu Ergebnissen, zu praktikablen Verfahrensweisen und damit zu einem Grundverständnis zu gelangen. Dazu dienen zahlreiche eingestreute Übungen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades, mit deren Hilfe Sie einen Unterrichtsgang dieser Art durchführen können. Praktische Übungsaufgaben sind wesentlich für jegliche Lernprozesse. Sie sind Inhalt des Spiels. Hinweise zu den zugehörigen Lösungen wie auch für den Unterricht zwischen den Übungsphasen sind als Tipps im Anschluss daran bzw. auf CD-ROM 59 zu finden. Als technische Hilfsmittel können graphikfähige Taschenrechner (GTR) mit Computer- Algebra-System (CAS) bzw. Mathematikprogramme (wie DERIVE) sehr hilfreich sein. Natürlich muss vernünftige Funktionen vorausgesetzt die eindeutige Bestimmung lokaler Ex trema im Anschluss an diese Unterrichtssequenz durch die Beurteilung der zweiten oder einer höheren geradzahligen Ableitung am Ort des lokalen Extremums erfolgen. Gleiches gilt für die Bestimmung von Wende- und Sattelstellen. 1 Normalerweise gilt: p r, allerdings reichen für unsere Zwecke rationale Exponenten. Nur diese betrachten wir.

4 S 3 Voraussetzungen Die beste Voraussetzung für den hier beschriebenen Unterrichtsgang ist eine Kenntnis des Beitrages Üben, üben, üben das Tangentenproblem (I/C Reihe 47 auf CD-ROM 59). Ist dazu keine Gelegenheit gegeben, sollten folgende Vorkenntnisse vorhanden sein: Kenntnis der Geradengleichung y = mx + n und der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und n (y-achsenabschnitt); Kenntnis elementarer Potenzfunktionen wie y = x, y =, y = x x sowie daraus ableitbarer Funktionen bzw. Relationen 2 a y = (ax b) + c; y = ; y c = ax b ; bx c Lösungsmethode für quadratische Gleichungen und Bedeutung der Diskriminanten für die Anzahl von Lösungen (wird in M 1 aufgefrischt); 2 1 Anschauung zur Geraden als Sekante, Tangente, Passante. Die Motivationsaufgabe (M 1) besprechen Sie gemeinsam mit Ihren Schülern. Sie behandelt die Grundaufgabe in diesem Beitrag, die Geradengleichung einer Tangente an einem Graphen ohne Bildung der Ableitung zu ermitteln. Später im Spiel (M 2, Aufgabe 23) lösen die Schüler eigenständig die Motivationsaufgabe mithilfe der Ableitung. Das Spiel (M 2) Vorbereitung: Schneiden Sie die Kärtchen mit den Aufgaben entlang der gestrichelten Linien aus und laminieren Sie diese. Jedes Kärtchen beinhaltet eine Aufgabe mit einem Schwierigkeitsgrad Level 1, Level 2 oder Level 3, wobei sich die Aufgaben des Levels 3 als am schwierigsten erweisen. Lassen Sie Ihre Schüler per Zufallsprinzip ein Kärtchen ziehen und die darauf gestellte Aufgabe lösen. Diese Lösung wird anschließend von einem anderen Schüler kontrolliert. Alternativ können Sie je nach Schwierigkeitsgrad drei Stapel bilden und die Schüler selbst den Schwierigkeitsgrad wählen lassen. Auf diese Weise schätzen die Lernenden ihre eigenen Kompetenzen ein. Sie als Lehrkraft legen fest, wie oft gezogen werden soll. Jede richtige Lösung liefert so viele Punkte wie die Höhe des Levels, mit denen das Kärtchen versehen ist. Ansonsten gibt es null Punkte. Charakteristisch für den Lösungsweg der Aufgaben in Level 1 sind kurze und leichte Rechnungen, insbesondere geeignet für leistungsschwache Schüler. Dagegen beinhalten Level 2 und Level 3 Aufgaben, bei denen das Geschick im Umgang mit Termumformungen unter Beweis gestellt wird. Zusätzlich wird in den Aufgaben des Levels 3 das graphische Verständnis gefordert. Es bietet sich an, die Einstiegsaufgabe (M 2, Aufgabe 1) gemeinsam in der Klasse zu y1 y0 x1y xy1 diskutieren. Denn hier werden die Relationen m = sowie y0 = eingeführt x1 x1 x beziehungsweise wiederholt. Dabei berührt die Tangente im Punkt (x 1 y 1) die Kurve, und y 0 sei der y-achsenabschnitt.

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