Eine elementare Methode für Unmöglichkeitsbeweise bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

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1 Eine elementare Methode für Unmöglihkeitsbeweise bei Konstruktionen mit Zirkel Lineal Autor(en): Objekttyp: Laugwitz, Detlef Artile Zeitshrift: Elemente der Mathematik Band (Jahr): 17 (1962) Heft 3 PDF erstellt am: Persistenter Link: Nutzungsbedingungen Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitshriften. Sie besitzt keine Urheberrehte an den Inhalten der Zeitshriften. Die Rehte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die auf der Plattform e-periodia veröffentlihten Dokumente stehen für niht-kommerzielle Zweke in Lehre Forshung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdruke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen den korrekten Herkunftsbezeihnungen weitergegeben werden. Das Veröffentlihen von Bildern in Print- Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rehteinhaber erlaubt. Die systematishe Speiherung von Teilen des elektronishen Angebots auf anderen Servern bedarf ebenfalls des shriftlihen Einverständnisses der Rehteinhaber. Haftungsausshluss Alle Angaben erfolgen ohne Gewähr für Vollständigkeit oder Rihtigkeit. Es wird keine Haftung übernommen für Shäden durh die Verwendung von Informationen aus diesem Online-Angebot oder durh das Fehlen von Informationen. Dies gilt auh für Inhalte Dritter, die über dieses Angebot zugänglih sind. Ein Dienst der ETH-Bibliothek ETH Zürih, Rämistrasse 11, 892 Zürih, Shweiz,

2 D. Laugwitz: Eine elementare Methode für Unmöglihkeitsbeweise 54 Als ansprehende, wenig umfangreihe Einführungen sind die beiden folgenden Publikationen zu empfehlen, die auh weitere Literaturangaben enthalten: 1) R. H. Bing: Elementary Point Set Topology. The Amerian Mathematiai Monthly, Volume 67, Number 7, Part II, ) E.M. Patterson: Topology. Oliver and Boyd, Edinburgh and London, Johannes M. Ebersold Eine elementare Methode für Unmöglihkeitsbeweise bei Konstruktionen mit Zirkel Lineal Bei dem Versuh, für Anfangssemester in Vorlesungen über «Shulmathematik vom höheren Standpunkt» die Konstruktionen mit Zirkel Lineal möglihst ele mentar darzustellen, habe ih in der Literatur nur wenig Hilfe finden können. Eine elementare Methode für Unmöglihkeitsbeweise, die ih mir zurehtgelegt habe, mag deshalb auh für andere von Interesse sein, zumal sie durhaus auh Shülern zu gänglih ist. Die Methode brauht nur einfahste Sätze über Polynome vermeidet alle Mittel der Körpertheorie; sie sheint einheitlih viele alte neue Unmöglih keitsbeweise bei Konstruktionen mit Zirkel Lineal zu erfassen, soweit sie niht ihrer Natur nah transzendente Mittel erfordern (Kreisquadratur) oder Gleihungen höheren als 4. Grades (Kreisteilung). In der Literatur werden meist nur die klassishen Unmöglihkeitsbeweise behandelt: Winkeldrittelung, Würfelverdoppelung, reguläre n-eke [1], [2], [3], [5], [6], [1], [11]. Die Beweise setzen meist auh noh mehr Vorkenntnisse aus der Algebra voraus, als nötig wären. Zur Theorie der Dreiekskon struktionen finden sih in den zugänglihen Bühern nur wenige Beiträge, so in [7]1). Da andererseits noh in neuerer Zeit Originalabhandlungen über spezielle Unmög lihkeitsbeweise bei Dreieken ershienen sind (Dreiek aus den drei Winkelhalbie renden [8]; andere Sätze in [4] [9]), mag es gerehtfertigt sein, eine Methode hier darzustellen, deren einzelne Teile zwar längst bekannt sind- die aber einfahere Beweise auh für shon bekannte Sätze erlaubt. Konstruktionen dritten vierten Grades Vorausgesetzt wird der leiht zu beweisende Satz (z. B. [3], [5], [6], [1]), dass bei vorgegebenen Strekenlängen oder Punktkoordinaten genau diejenigen Punkte (Streken) mit Zirkel Lineal konstruierbar sind, deren Koordinaten (Massgrössen) aus den gegebenen Grössen durh endlihe Anwendung der rationalen Operationen der Operation des Quadrat Wurzelziehens hervorgehen. Vorausgesetzt wird ferner der Begriff des Körpers (aber kein Satz der Körpertheorie). Mit K wird der Körper der rationalen Zahlen bezeihnet, mit Kx ein Körper, der aus allen rationalen Aus drüken in einer festen Quadratwurzel \/dx mit rationalen Koeffizienten besteht (ix rational, aber kein Quadrat). Allgemein besteht der Körper Kn aus allen ratio nalen Ausdrüken (oder, was offenbar auf dasselbe hinausläuft, allen gebrohen linearen Ausdrüken) in ^dn mit Koeffizienten aus Kn lt wo dn-lf aber niht ^in-x aus Kn_v Offenbar liegt jede Zahl, die aus der Zahl 1 mit Zirkel Lineal konstru1. *) kreis. Auh in den IMUK-Bänden [1], [2] finden sih keine elementaren Beiträge zu unserem Aufgaben

3 D. Laugwitz: Eine elementare Methode fur Unmöglihkeitsbeweise 55 ierbar ist, in einem Körper Kn, es gibt zu einer festen konstruierbaren Zahl ein minimales n. Für eine Zahl x, über deren Konstruierbarkeit aus vorgegebenen rationalen Zahlen zu entsheiden sei, bestehe eine kubishe Gleihung mit rationalen Koeffizienten ak as x3 a2 x2 ax x a (1) Es besteht nun der wihtige Satz: Satz 1. Es gibt ein Verfahren, das in endlih vielen Shritten die Entsheidung er mögliht, ob (1) konstruierbare Wurzeln hat oder niht. Der Beweis ergibt sih aus zwei Hilfssätzen. Hilfssatz 1. Die Gleihung (1) hat dann nur dann eine konstruierbare Wurzel, wenn sie eine rationale hat. Der Beweis findet sih in einshlägigen Bühern (z. B. [5], [6]), sei aber wegen seiner Kürze hier angedeutet. Wenn (1) eine rationale Wurzel hat, so ist diese kon struierbar. Hat (1) umgekehrt eine konstruierbare Wurzel, so sei xx diejenige kon struierbare Wurzel, die in Kn mit minimalem n liegt. Behauptung: n. Wäre n >, so hätten wir xx a byi yd niht aus Kn_x, a,b, d, aus Kn_x, b 4= Einsetzen in (1) zeigt, dass auh b]jd eine Wurzel ist, die von xx vershieden ist. Nah ai Xo Xn Vieta gilt für ^ a2 a die dritte Wurzel an, die also in Kn_1 läge, im Gegensatz zur Minimaleigenshaft von Kn. Also bleibt nur n, wie behauptet. Es ist also nur erforderlih, auf rationale Wurzeln zu prüfen. Dies leistet ein ein faher Satz von Gauss (z. B. [1]). Zunähst multipliziere man (1) mit dem Haupt nenner der Koeffizienten, so dass sih eine Gleihung mit ganzen Koeffizienten ergibt g3x* g2x2 g1x Multiplikation mit g32 Substitution gzx yz g. (2) y gibt eine Gleihung h2y2 hxx h, (3) die zugleih mit (2) rationale Wurzeln besitzt. Hier besteht, weil der Koeffizient der höhsten Potenz 1 ist, der Gaußshe Hilfssatz 2. Alle rationalen Wurzeln der Gleihung (3) sind ganze Zahlen Teiler von h. Dieser Satz (der für Polynome beliebig hohen Grades gilt) ist so einfah zu bewei sen, dass der Leser dies selbst tun möge (vgl. auh [1]). Man brauht also nur zu prüfen, ob einer der endlih vielen Teiler von h (negative Teiler niht vergessen!) Wurzel von (3) ist, um zu entsheiden, ob (1) eine konstruierbare Wurzel hat. Besteht statt (1) eine biquadratishe Gleihung mit rationalen Koeffizienten, so lässt sih die Aufgabe stets auf ein kubishes Problem zurükführen. Sei die biqua dratishe Gleihung (4) ax x* as xz a2 x2 ax x a -^ gegeben, so gilt:

4 56 D. Laugwitz: Eine elementare Methode fur Unmoghhkeitsbeweise Satz 2. Die Gleihung (4) hat dann nur dann eine konstruierbare Wurzel, wenn die «kubishe Resolvente» ihrer reduzierten Gleihung eine solhe besitzt. (Die reduzierte Gleihung y* b2y* biy b= (5) entsteht aus (4) nah Division durh <z4 Substitution x y a3/4 a4; sie hat zugleih mit (4) rationale Koeffizienten. Ihre kubishe Resolvente ist z* 2b2z2 z [b2-4b) - b2 ) (6) Einen einfahen Beweis dieses Satzes findet man zum Beispiel in [1], S. 25 ff. Damit sind die Aufgaben, die auf biquadratishe Gleihungen führen, mit der vorher gehenden Methode zu behandeln. 2. Die klassishen Probleme a) Würfelverdoppelung. Die Kantenlange x des Wurfeis vom Volumen 2 genügt der Gleihung xz 2. Wäre x aus 1 mit Zirkel Lineal konstruierbar, so musste diese Gleihung eine 2 sind 1, ganzzahlige Wurzel haben, die Teiler von ( 2) zu sein hätte; aber ± keine Wurzeln. b) Winkeldrittelung. Für die Drittelung des Winkels p besteht xz 3 x 2 speziell für p nß mit x 2 os (p/3) die ± Gleihung os«?? also xz-3x-, 1 da mit dem Winkel pj3 auh x konstruierbar sein musste, musste diese Gleihung eine rationale Wurzel haben, für die nur ± 1 in Frage kämen, die beide keine Wurzeln sind. Der Winkel 2 damit das reguläre Neunek sind niht mit Zirkel Lineal konstruierbar. 3. Dreiekskonsiruktionen, bei denen unter anderem Winkelhalbierende vorgegeben sind a) Dreiek aus den drei Winkelhalbierenden (wa, Wß, wy), zwei Winkelhalbierenden (wa, Wß) der dritten Höhe (h), zwei Winkelhalbierenden (wa, Wß) der dritten Seitenhalbierenden (s). Alle drei Aufgaben werden simultan dadurh erledigt, dass die Konstruktion eines gleihshenkligen Dreieks (a b, Figur 1) aus wa Wß= w, h h unmöglih den beiden ist. Aus Beziehungen folgt für x sina 3 w sin - nt sina 2h osa sin a/2: 4 w x3 4 hx2 Eine geometrish möglihe Wahl ist w 2x y die Gleihung 3wx 2, h p yn_py2 $y 2^ 2h= Primzahl, > 2; hier hat man für

5 D. Laugwitz: Eine elementare Methode fur Umnoghhkeitsbeweise 57 die eine rationale Wurzel haben musste, wenn das Problem allgemein mit Zirkel Lineal lösbar wäre. Die einzig möglihen Werte ± 1, ±2, db A il 2 p sind aber keine Wurzeln. b) Dreiek aus zwei Seiten (a, b) einer zugehörigen Winkelhalbierenden (w^), zwei Winkelhalbierenden (wa, wß) einer zugehörigen Seite (a). sr-<?<* _. 3* _? Figur 2 Figur 1 Figur 3 Beide Aufgaben werden dadurh erledigt, dass die Konstruktion eines gleih b, Figur 2) aus a b, wl shenkligen Dreieks (a wß-= w unmöglih ist. Man hat die beiden Beziehungen Dies ergibt für x sma w sin 3a sina a sin 2 a. sin2 a/2 die Gleihung 4a]/l-x (1-2x) =-w (3-4x). Nah Quadrieren substituiert man 4 x y setzt etwa a möglih ist. Dann besteht für y die Gleihung y3-7y2 14 w 1, was geometrish y- 7-, deren rationale Wurzeln sämtlih positiv sein müssen, so dass nur kämen, die beide keine Nullstellen sind. 1, 7 in Frage 4. Dreiekskonstruktionen, bei denen unter anderem der Inkreisradius q vorgegeben ist a) Dreiek aus zwei Seiten (a, Wir betrahten den Fall a b) dem Inkreisradius q. b (Figur 3). Hier ergeben sih die beiden Beziehungen 2Q-tgElimination des Winkels a 2a - osa gibt eine kubishe Gleihung für die dritte Seite : * - 2a2 4q2 8q2 a Da qja <^ j/3/6 für die Realisierbarkeit hinreiht, kann etwa a werden, so dass dann 2, q 1/2 gesetzt

6 D Laugwitz. Eine elementare Methode fur Unmoghhkeitsbeweise 58 Diese Gleihung besitzt keine rationalen Lösungen. b) Dreiek aus zwei Winkelhalbierenden (wa, Wß) dem Inkreisradius q. Wieder beim gleihshenkligen Dreiek, wa Wß w, haben wir die Beziehungen: 2q Elimination von x w sin j~. sin a sin a/2 ergibt die kubishe Gleihung 4wx3 Da w tg 4qx2 3wx 4q 4 q geometrish möglih ist, ergibt sih y3 in diesem Falle mit 4 x -y2-12 y 16 =- y. Diese Gleihung hat, wie man durh Einsetzen der Teiler von 16 in die linke Seite verifiziert, keine rationalen Lösungen. Dreiek aus q Fläheninhalt F. Mit den Bezeihnungen der vorstehenden Aufgaben hat man die Beziehungen ) Gleihshenkliges 2q tg ^ 2 tga 4 F Elimination von a gibt die kubishe Gleihung für : *F 6, g 1 F 2 4 Fq ist geometrish möglih, aber die Gleihung Detlef Laugwitz, hat keine rationale Lösung. Darmstadt LITERATURVERZEICHNIS [1] Behnke, Fladt, Süss. Grzuge der Mathematik, I. Algebra et. (Gottingen 1958). Geometrie (Got [2] Behnke, Bahmann, Fladt, Süss: Grzuge der Mathematik, tingen, 196). [3] Bieberbah, L.: Theorie der geometrishen Konstruktionen (Basel 1952). [4] Buhner, P.: Eine Aufgabe, die mit Zirkel Lineal niht losbar ist. Elemente d. Math. 2, (1947). [5] Courant, R., Robbins, H.: What is mathematis? (9. Aufl., New York 1958). [6] Herrmann, A.: Das Dehshe Problem (Leipzig-Berlin 1927). [7] Meshkowski, H.: Ungelöste unlösbare Probleme der Geometrie (Braunshweig 196). [8] Neiss, F.: Über die Unmöglihkeit der Konstruktion eines Dreieks aus seinen drei Winkelhalbierenden. J. reme angew. Math. 177, (1937). [9] Roth-Desmeules, E.: Noh eine Aufgabe, die niht mit Zirkel Lineal losbar ist. Elemente d. Math. 3, (1948). (Münhen 1956). [1] Strubeker, K.: Einfuhrung in die höhere Mathematik, (Berlm-Gottmgen-Heidelberg). [11] van der Waerden, B. L.: Algebra II. I I