1. Aufgabe (18,5 Punkte)

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN LEHRSTUHL FÜR THERMODYNAMIK Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer Prof. W. Polifke, Ph.D. Diplomvorprüfung Thermodynamik I Wintersemester 2008/ März 2009 Teil II: Wärmetransportphänomene (Bearbeitungszeit: 90 Minuten) 1. Aufgabe (18,5 Punkte) Die Umgebungsluft kann als ideales Gas der Temperatur T L = 15,0 C betrachtet werden. Sie hat die Wärmeleitfähigkeit λ L = 0,025 W/(m K), die kinematische Viskosität ν L = 1, m 2 /s und die Prandtl-Zahl Pr L = 0,70. Sie dürfen näherungsweise von einer konstanten Temperatur T Al = 49,0 C der Alufolie ausgehen. Wärmeabgabe an die Umgebung geschieht durch freie Konvektion und durch thermische Strahlung. Die Temperatur T W der Wände des sehr großen Raumes ist noch unbekannt. 1. [2 P.] Zeichnen Sie das Blockschaltbild für den Wärmeaustausch zwischen Heißluft, Umgebungsluft und Raumwand. 2. [2 P.] Berechnen Sie den Wärmedurchgangskoeffizienten U zwischen Heißluft und Alufolie, bezogen auf die Fläche der Alufolie. Notfallwert: U = 6,00 W/(m 2 K) 3. [3,5 P.] Wie groß ist der Wärmestrom Q H von der Heißluft an die Alufolie, wenn die Austrittstemperatur T a eingehalten werden soll? Welcher Massenstrom an Heißluft ṁ H kann folglich durch das Rohr transportiert werden? Notfallwerte: Q H = 408 W, ṁ H = 19,5 g/s 4. [5 P.] Wie groß ist der Wärmestrom Q FK, den das Rohr durch freie Konvektion an die Umgebung abgibt? Notfallwert: Q FK = 329 W Ein waagrechtes Rohr der Länge L = 6,0 m transportiert Heißluft (ideales Gas, spezifische Wärmekapazität c p,h = 1010 J/(kg K)) durch einen Raum. In der Heißluft liegen keine Temperaturgradienten quer zur Strömungsrichtung vor und der Wärmeübergang zur Rohrinnenwand ist ideal. Die Heißluft tritt mit der Temperatur T i = 91,5 C in das Rohr ein und soll mit der Temperatur T a = 70,0 C wieder austreten. Das Rohr hat den Innenradius r 1 = 20 mm und die Wandstärke s R = 10 mm. Die Wärmeleitfähigkeit des Rohrmaterials beträgt λ R = 15 W/(m K). Das Rohr ist außen mit einer Isolierung (Wärmeleitfähigkeit λ I = 0,25 W/(m K)) der Stärke s I = 30 mm verkleidet. Die Isolierung ist mit einer Alufolie vernachlässigbarer Stärke ummantelt. Die Alufolie kann als diffus-grauer Strahler mit dem Reflexionskoeffizienten ρ Al = 0,85 betrachtet werden. Der thermische Kontakt zwischen Rohr und Isolierung sowie zwischen Isolierung und Alufolie ist ideal. 5. [1 P.] Welcher Wärmestrom Q Str wird folglich durch Strahlung abgegeben? Notfallwert: Q Str = 75 W 6. [2 P.] Bestimmen Sie aus den vorangehenden Ergebnissen die Wandtemperatur T W des Raumes. 7. [3 P.] Skizzieren Sie qualitativ den Temperaturverlauf von der Rohrachse bis zur Umgebungsluft über der Radialkoordinate.

2 2. Aufgabe (16,5 Punkte) 1. [2 P.] Zeichnen Sie das thermische Ersatzschaltbild zwischen den Temperaturen T i (Innenraum), T L (Außenluft) und T U (Untergrund). 2. [2 P.] Berechnen Sie Dichte ρ L und die kinematische Viskosität ν L der Außenluft. Notfallwerte: ρ L = 1,00 kg/m 3, ν L = 1, m 2 /s 3. [2,5 P.] Berechnen Sie den Wärmeübergangskoeffizienten α a auf der Außenseite des Iglus. Den Einfluss des Eisbodens können Sie dabei vernachlässigen (nehmen Sie ihn als Symmetrieebene an). Geeignete Korrelationen für die Umströmung einer Kugel sind unten angegeben. Notfallwert: α a = 15 W/(m 2 K) 4. [3 P.] Berechnen Sie den thermischen Widerstand R W zwischen Innenraum und Außenluft. Notfallwert: R W = 0,032 K/W Für einen Event-Veranstalter sollen Sie ein Iglu auf der Zugspitze so auslegen, dass darin auch unter extremen Außenbedingungen eine erträgliche Temperatur herrscht. Das Iglu soll halbkugelförmig auf ebenem Untergrund stehen, mit einem Innenradius r i = 3,0 m und einer Wandstärke d = 0,4 m. Die Wärmeleitfähigkeit der Wand betrage λ W = 0,2 W/(m K), die des eisigen Untergrunds λ U = 2,0 W/(m K). Der Untergrund kann als halbunendlicher Körper, der weit entfernt die Temperatur T U = -15 C hat, angenommen werden. Parallel zum Boden weht mit der Geschwindigkeit u L = 5,0 m/s ein kalter Wind der Temperatur T L = -30 C. Die Lufttemperatur T i im Inneren des Iglus kann als örtlich konstant angesehen werden. Der Wärmeübergangskoeffizient zur Innenwand und zum Igluboden betrage α i = 5,0 W/(m 2 K). Von der Außenluft (ideales Gas) kennen Sie folgende konstante Stoffwerte: Wärmeleitfähigkeit λ L = 0,023 W/(m K), Luftdruck p L = 71 kpa, spezifische Wärmekapazität c p,l = 1004 J/(kg K), Gaskonstante R L = 288 J/(kg K), Prandtl-Zahl Pr L = 0,68. Die Insassen des Iglus geben Wärme mit der konstanten Rate Q I = 1000 W ab. Wärme wird sowohl über die Igluwand als auch über den Boden abgegeben. Wärmeübertragung zwischen Igluwand und Untergrund wird jedoch ausgeschlossen. Alle Einflüsse von thermischer Strahlung können in dieser Aufgabe vernachlässigt werden. 5. [2 P.] Berechnen Sie den thermischen Widerstand R U zwischen Innenraum und Untergrund der Temperatur T U. Tipp: Formfaktoren. Notfallwert: R U = 0,051 K/W 6. [3 P.] Welche Raumtemperatur T i herrscht unter diesen Bedingungen im Iglu? Da diese Temperatur wohl noch zu kalt ist, wird vorgeschlagen, die Igluwand außen zu verstärken. 7. [2 P.] Führt das wirklich zu einer Erhöhung der Innentemperatur? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie eine geeignete Kennzahl berechnen. Sie können näherungsweise annehmen, dass sich der Wärmeübergangskoeffizient auf der Außenseite des Iglus nicht ändert. Nußelt-Korrelationen für die Umströmung einer Kugel: 3,5 < Re < : Nu = 2 + ( 0,4 Re 0,5 + 0,06 Re 0,67) ( ) 0,25 η Pr 0,4 η W < Re < : Nu = 0,037 Re 0,8 Pr 1 + 2,44 Re 0,1 (Pr 0,67 1 )

3 DVP Thermo I - Wärmetransportphänomene Wintersemester 2008/2009 Gegebene Größen und Stoffwerte zur 1. Aufgabe: Rohrleitung: Länge L = 6,0 m Innenradius r 1 = 20 mm Wandstärke s R = 10 mm Wärmeleitfähigkeit Rohrmaterial λ R = 15 W/(m K) Wandstärke der Isolierung s I = 30 mm Wärmeleitfähigkeit Isolierung λ I = 0,25 W/(m K) Oberflächentemperatur Alufolie T Al = 49,0 C Reflexionskoeffizient Alufolie ρ Al = 0,85 Heißluft: Eintrittstemperatur T i = 91,5 C Austrittstemperatur T a = 70,0 C spezifische Wärmekapazität c p,h = 1010 J/(kg K) Umgebungsluft: Temperatur T L = 15,0 C Wärmeleitfähigkeit λ L = 0,025 W/(m K) kinematische Viskosität ν L = 1, m 2 /s Prandtl-Zahl Pr L = 0,70 Gegebene Größen und Stoffwerte zur 2. Aufgabe: Außenluft: Temperatur T L = -30 C Windgeschwindigkeit u L = 5,0 m/s Wärmeleitfähigkeit λ L = 0,023 W/(m K) Druck p L = 71 kpa spezifische Wärmekapazität c p,l = 1004 J/(kg K) Gaskonstante R L = 288 J/(kg K) Prandtl-Zahl Pr L = 0,68 Iglu: Innenradius r i = 3,0 m Wandstärke d = 0,4 m Wärmeleitfähigkeit der Wand λ W = 0,2 W/(m K) Wärmeübergangskoeffizient innen α i = 5,0 W/(m 2 K) Wärmeabgabe der Insassen Q I = 1000 W Untergrund: Temperatur T U = -15 C Wärmeleitfähigkeit λ U = 2,0 W/(m K) Allgemeine Größen: Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s 2 Stefan-Boltzmann-Konstante σ S = 5, W/(m 2 K 4 )

4 3. Aufgabe (13 Punkte) Weiter außen befindet sich eine zylindrische Heizung mit Innenradius r H,i = 0,15 m und Außenradius r H,a = 0,20 m. Sie steht in idealem thermischen Kontakt zu einer Isolierung, deren Außenradius r I,a noch zu bestimmen ist. Die Heizung hat näherungsweise eine homogene Temperatur T H = 810 K. Im Luftspalt zwischen Heizung und Vakuumgefäß wird Wärme durch Strahlung und durch Konvektion (Konvektionsleistung Q K = 418 W) übertragen. Alle Körper in dieser Aufgabe haben die Länge h = 2,0 m. In der gesamten Aufgabe treten keine Gradienten in Längs- oder Umfangsrichtung auf, sodass Zylindersymmetrie angenommen werden kann. Alle beteiligten Körper sind schwarze Strahler. 1. [1,5 P.] Berechnen Sie den Netto-Wärmestrom Q Str,H, der durch Strahlung zwischen der Heizung und dem Vakuumgefäß übertragen wird. Notfallwert: Q Str,H = 6,50 kw 2. [4,5 P.] Bestimmen Sie die Oberflächentemperatur des Heizgutes T HG. 3. [1,5 P.] Weisen Sie nach, dass dem Heizgut die erforderliche Mindestleistung pro Masse ẇ HG,min zugeführt wird. In einem zylindrischen Strahlungsofen soll ein stabförmiges Heizgut mit Radius r HG = 0,10 m und Dichte ρ HG = 2330 kg/m 3 bei einer konstanten Oberflächentemperatur T HG beheizt werden. Im Heizgut läuft eine endotherme chemische Reaktion ab, zu deren Aufrechterhaltung eine Mindestleistung pro Masse Heizgut ẇ HG,min = 40 W/kg erforderlich ist. Das Heizgut befindet sich in einem Vakuumgefäß mit Innenradius r V G,i = 0,12 m und Außenradius r V G,a = 0,13 m. Die Wärmeleitfähigkeit des Vakuumgefäßes beträgt λ V G = 1,5 W/(m K). Von der Innenseite des Gefäßes wird die Energie allein durch Wärmestrahlung zum Heizgut übertragen. Die Gefäßaußenseite weist die Temperatur T V G,a = 775 K auf. Der Strahlungsofen steht in einer Werkshalle (Luft- und Wandtemperatur T = 290 K). Um die gewünschte Wärmeabgabe zu erzielen, soll der Außenradius der Isolierung r I,a so festgelegt werden, dass die Isolierung auf der Außenseite die Temperatur T I,a = 313 K aufweist. Das Isolationsmaterial ist bereits ausgewählt worden (Wärmeleitfähigkeit λ I = 0,01 W/(m K)). Gegenüber der Umgebung ist sowohl der Strahlungsaustausch als auch die freie Konvektion zu berücksichtigen. Der Wärmestrom Q F K,I, der sich aufgrund freier Konvektion einstellt, hängt vom Außenradius r I,a ab. Der formelmäßige Zusammenhang lautet: Q F K,I = B 2 π h r I,a mit der Konstanten B = 73,4 W/m 2.

5 Berechnen Sie allgemein (nicht zahlenmäßig!) für den stationären Fall: 4. [1 P.] Welcher Wärmestrom Q λ,i wird in Abhängigkeit vom Radius r I,a von der Heizung durch die Isolierung an die Außenseite transportiert? Betrachten Sie hierzu die zylindrische Ummantelung näherungsweise als ebene Platte mit derselben Oberfläche wie die Heizung. 5. [1 P.] Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Radius r I,a den Netto-Wärmestrom Q Str,I, der durch thermische Strahlung an die Umgebung abgegeben wird. 6. [3,5 P.] Wie groß ist der Außenradius der Isolierung r I,a zu wählen, damit sich die geforderte Temperatur T I,a unter den gegebenen Randbedingunen einstellt? DVP Thermo I - Wärmetransportphänomene Wintersemester 2008/2009 Gegebene Größen und Stoffwerte zur 3. Aufgabe: Heizgut: Radius r HG = 0,10 m Dichte ρ HG = 2330 kg/m 3 Benötigte Leistung pro Masse ẇ HG,min = 40 W/kg Vakuumgefäß: Radius innen r V G,i = 0,12 m Radius außen r V G,a = 0,13 m Temperatur außen T V G,a = 775 K Wärmeleitfähigkeit λ V G = 1,5 W/(m K) Luftspalt: Wärmestrom, freie Spaltkonvektion Q K = 418 W Heizung: Radius innen r H,i = 0,15 m Radius außen r H,a = 0,20 m Temperatur T H = 810 K Isolierung: Temperatur, außen T I,a = 313 K Wärmeleitfähigkeit λ I = 0,01 W/(m K) Sonstige Größen: Umgebungstemperatur T = 290 K Länge aller beteiligter Körper h = 2,0 m Stefan-Boltzmann-Konstante σ s = 5, W/(m 2 K 4 )