1. Aufgabe (15 Punkte)

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN LEHRSTUHL FÜR THERMODYNAMIK Prof. Dr.-Ing. T. Sattelmayer Prof. W. Polifke, Ph.D. Diplomvorprüfung Thermodynamik I Sommersemester September 2009 Teil II: Wärmetransportphänomene (Bearbeitungszeit: 90 Minuten) 1. [5 P.] Welchen Wärmestrom Q K gibt das Glas durch freie Konvektion an die Umgebung ab? Notfallwert: Q K = 4,5 W 2. [2 P.] Welchen Wärmestrom Q S gibt das Glas durch thermische Strahlung an die Umgebung ab? Notfallwert: Q S = 3,5 W 3. [3 P.] Wie groß ist der Absorptionskoeffizient α Gi der Glasinnenwand für die von der Glühwendel kommende Strahlung, wenn Reflexion vernachlässigt werden kann? Stellen Sie eine Leistungsbilanz an der Glaskugel auf und berechnen Sie daraus die thermische Leistung P th, die von der Glühwendel abgegeben wird. 1. Aufgabe (15 Punkte) τ Gi ε Ga T Glas g 4. [1 P.] Die von der Glühwendel ausgehende Strahlung hat ihr Maximum bei der Wellenlänge λ m = 900 nm. Wie hoch ist folglich die Temperatur T GW der Glühwendel? Notfallwert: T GW = 3180 K 5. [4 P.] Welcher Anteil der von der Glühwendel ausgehenden Strahlung liegt im Infrarotbereich, also oberhalb der Wellenlänge λ IR = 780 nm? Gegebene Größen und Stoffwerte zur 1. Aufgabe: Bei Vernachlässigung des Einschraubgewindes kann man eine Glühbirne als eine Glaskugel mit Durchmesser D betrachten, in deren luftleerem Inneren sich eine heiße Glühwendel (schwarzer Strahler) befindet. Die Innenseite des Glases hat für die von der Glühwendel kommende Strahlung den Transmissionskoeffizienten τ Gi. Die Außenseite des Glases weist ein diffus-graues Strahlungsverhalten mit dem Emissionskoeffizienten ɛ Ga auf. Die Temperatur des Glases beträgt einheitlich T Glas. Sowohl die Umgebungsluft (ideales Gas) als auch die Wände der sehr großen Umgebung haben die einheitliche Temperatur T. Als näherungsweise konstante Stoffwerte der Luft sind bekannt: Wärmeleitfähigkeit λ, kinematische Viskosität ν und Prandtl-Zahl Pr. T Glühbirne: Durchmesser Glaskugel D = 6,0 cm Transmissionskoeffizient Innenseite τ Gi = 0,92 Emissionskoeffizient Außenseite ɛ Ga = 0,85 Glastemperatur T Glas = 71 C max. spektrale Intensität bei λ m = 900 nm Umgebung: Temperatur T = 19 C Wärmeleitfähigkeit λ = 0,026 W/(m K) kinematische Viskosität ν = 1, m 2 /s Prandtl-Zahl Pr = 0,71 Allgemeine Größen: Beginn Infrarotbereich bei λ IR = 780 nm Stefan-Boltzmann-Konstante σ S = 5, W/(m 2 K 4 ) Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s 2

2 2. Aufgabe (17 Punkte) 1. [2 P.] Welche Strömungsform liegt in der Pipeline vor? Entscheiden Sie anhand einer geeigneten Kennzahl. 2. [3 P.] Berechnen Sie den Wärmeübergangskoeffizienten α a zwischen Umgebungsluft und Pipelineoberfläche. Notfallwert: α a = 6,00 W/(m 2 K) 3. [2,5 P.] Bestimmen Sie die auf die Innenfläche der Pipelinerohre bezogene Wärmedurchgangszahl U i zwischen Rohölstrom und Umgebungsluft. Notfallwert: U i = 3,50 W/(m 2 K) 4. [2,5 P.] Wie lange darf die Pipeline in der gegebenen Konfiguration sein, wenn die Temperatur des Rohölstroms am Pipelineende die Temperatur T Öl = 18 C nicht unterschreiten darf? Linke Skizze: Betrachtet wird eine Pipeline zur Rohölförderung durch subpolare Kälteregionen. Diese besteht aus einem inneren Stahlrohr (Innenradius r i, Wandstärke t w ), das von einer Isolierung (Wandstärke t is, Wärmeleitfähigkeit λ is ) umgeben ist. Auf der Außenseite ist die Isolierung mit Aluminiumblech vernachlässigbarer Dicke verschalt. Die Wärmeleitfähigkeiten von Stahlrohr und Aluminiumblech können im Vergleich zur Isolierung als beliebig hoch angenommen werden. Das Rohöl (Massenstrom ṁöl, kinematische Viskosität νöl, Dichte ρöl, spezifische Wärmekapazität cöl ) wird über eine Pumpstation mit der Temperatur TÖl = 63 C in die Pipeline eingespeist. Der Wärmeübergang zwischen dem Rohöl und der Innenseite der Rohrleitung kann als ideal angenommen werden. Im Rohöl existieren keine Temperaturgradienten quer zur Strömungsrichtung. Einflüsse von Wärmestrahlung können in der gesamten Aufgabe vernachlässigt werden. Es treten keine Kontaktwiderstände auf. Alle Stoffwerte sind konstant. Im Fall a wird die oberirdisch verlegte Pipeline entlang der Strecke L von Wind (Temperatur T L, kinematische Viskosität ν L, Wärmeleitfähigkeit λ L, Prandtl-Zahl Pr L ) mit der Geschwindigkeit u L quer angeströmt. Rechte Skizze: Wo Hindernisse im Weg sind, verläuft die Pipeline unterirdisch im Permafrostboden (Fall b ). Um ein Auftauen des Permafrostbodens zu vermeiden, wird die Pipeline aus Fall a mit einem ringförmigen Kühlkanal umgeben. Dieser wird von frostbeständigem Kühlmittel durchströmt. Das Kühlmittel tritt mit der Temperatur T K in den Kühlkanal ein, mit der Temperatur T K wieder aus und fließt in dieselbe Richtung wie das Öl. Der mittlere Temperaturgradient zwischen Außenseite der Kühlmittelleitung und Erdreich ist sehr klein, daher kann die Mantelfläche als adiabat betrachtet werden. Somit kann die Konfiguration als Wärmeüberträger zwischen Rohöl und Kühlmittel angesehen werden. Der auf die Innenseite des Stahlrohrs bezogene Wärmedurchgangskoeffizient U w zwischen Rohöl und Kühlmittel ist bekannt. 5. [5 P.] Berechnen Sie mit Hilfe der Betriebscharakteristik, wie lange die unterirdische Strecke maximal sein kann, wenn die gegebenen Temperaturgrenzen für das Kühlmittel eingehalten werden sollen. Nehmen Sie an, dass das Öl mit der bekannten Anfangstemperatur TÖl in die unterirdische Strecke eintritt. 6. [2 P.] Begründen Sie, warum es bei den hier gegebenen Bedingungen für die Wärmeübertragung fast keine Rolle spielt, ob Kühlmittel und Öl in dieselbe Richtung fließen oder einander entgegengesetzt.

3 Gegebene Größen und Stoffwerte zur 2. Aufgabe: Stahlrohr: Innenradius r i = 0,36 m Wandstärke t w = 0,01 m Isolierung Wandstärke t is = 0,08 m Wärmeleitfähigkeit des Isoliermaterials λ is = 0,45 W/(m K) Rohöl: Massenstrom ṁöl = 612 kg/s Dichte ρöl = 810 kg/m 3 spezifische Wärmekapazität cöl = 1950 J/(kg K) kinematische Viskosität νöl = 53, m 2 /s Einspeisetemperatur TÖl = 63 C minimale Austrittstemperatur T = 18 C Öl Umgebungsluft: Temperatur T L = 17 C kinematische Viskosität ν L = 1, m 2 /s Wärmeleitfähigkeit λ L = 0,023 W/(m K) Prandtl-Zahl Pr L = 0,70 Windgeschwindigkeit quer zur Pipeline u L = 2,2 m/s Kühlflüssigkeit: Massenstrom ṁ K = 30 kg/s Spezifische Wärmekapazität c K = 2990 J/(kg K) Eintrittstemperatur T K = 18 C Austrittstemperatur T K = 16 C Wärmeübertrager: Wärmedurchgangskoeffizient Öl/Kühlmittel U w = 6,0 W/(m 2 K)

4 3. Aufgabe (16 Punkte) α T W xxxxxxxxxxxxxxxxxx λ U ω U λ Z xxxxxxxxxxxxxxxxxx D U D Z R K L T W xxxxxxx Q 0 V W xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx T 0, m 0 Linke Skizze: Die Brennstäbe in einem Kernreaktor sind zylindrische Stäbe aus Uranoxid (Wärmeleitfähigkeit λ U ) mit Durchmesser D U und Länge L. Sie sind umgeben von einer Hülle aus Zirkonium (Wärmeleitfähigkeit λ Z ), sodass sich ein Gesamtdurchmesser D Z ergibt. Aufgrund von Alterungsprozessen ist zwischen Uranoxid und Zirkonium ein Kontaktwiderstand R K zu berücksichtigen. Im Uranoxid erzeugt die nukleare Reaktion eine homogene Wärmequellendichte ω U, im Zirkonium findet keine Reaktion statt. Aus Sicherheitsgründen darf im Uranoxid die Temperatur T max nicht überschritten werden. Wir betrachten zunächst einen einzelnen Brennstab. Er wird von Kühlwasser (konstante Stoffwerte: Dichte ρ W, spezifische Wärmekapazität c W ) mit der Temperatur T W umströmt. Der mittlere Wärmeübergangskoeffizient α zwischen Brennstabhülle und Kühlwasser ist bekannt. 1. [1 P.] Messungen in längeren, ansonsten baugleichen Brennstäben haben ergeben, dass in einem Brennstab der Länge L ref = 4,0 m der Kontaktwiderstand zwischen Uranoxid und Zirkonium R K,ref = 1, K/W beträgt. Wie groß ist der Kontaktwiderstand R K in einem Brennstab der Länge L = 3,8 m? Notfallwert: R K = 1, K/W 2. [2,5 P.] Skizzieren Sie qualitativ das Temperaturprofil über der Radialkoordinate, vom Zentrum des Brennstabs bis zum Kühlwasser der Temperatur T W. 3. [2,5 P.] Berechnen Sie den Wärmedurchgangskoeffizienten U zwischen Außenfläche Uranoxid und Kühlwasser, bezogen auf die Außenfläche des Uranoxids. Notfallwert: U = 550 W/(m 2 K) 4. [2,5 P.] Welche homogene Wärmequellendichte ω U darf in den Brennstäben höchstens vorliegen, damit die Maximaltemperatur T max an keiner Stelle überschritten wird? Rechte Skizze: Wir betrachten nun den Reaktordruckbehälter, ein zylindrisches Gefäß, das neben den Brennstäben (deren Wärmekapazität vernachlässigbar ist) ein Volumen von V W Wasser fasst. Er kann als adiabat gegenüber der Umgebung angesehen werden. Der Reaktor soll jetzt aus dem Stand angefahren werden (Kaltstart). Dazu werden zunächst die Pumpen in Betrieb gesetzt, sodass der Kühlwassermassenstrom ṁ 0 mit der Temperatur T 0 durch den Behälter fließt, bis der gesamte Behälter diese Temperatur angenommen hat. Dann wird die nukleare Reaktion in Gang gesetzt, wodurch die Brennstäbe instantan die konstante thermische Leistung Q 0 abgeben. Berechnen Sie allgemein und zahlenmäßig für den instationären Fall: 5. [3 P.] Wie lange dauert es, bis die Austrittstemperatur des Wassers aus dem Druckbehälter den Wert T W erreicht hat? Sie können davon ausgehen, dass das Wasser im Reaktordruckbehälter ideal gerührt ist.

5 Anschließend werden Reaktorleistung und Kühlwassermassenstrom weiter erhöht. Es stellt sich ein stationärer Zustand ein. Der Massenstrom des Kühlwassers beträgt jetzt ṁ R. Es sollen Experimente zum Wärmeübergang im Reaktordruckbehälter gemacht werden. Dazu wird ein geometrisch ähnliches Modell mit elektrisch beheizbaren Brennstäben angefertigt, das um den Faktor f = 50 kleiner als der tatsächliche Reaktor ist. Da sowohl im Modell als auch im realen Reaktor Wasser als Kühlmittel verwendet wird, können Sie davon ausgehen, dass die Stoffwerte des Kühlmittels und auch seine Prandtl-Zahl in beiden Fällen identisch sind. 6. [2,5 P.] Welche Ähnlichkeitsbeziehung muss außerdem zwischen Modell und Reaktordruckbehälter erfüllt sein? Berechnen Sie daraus den Kühlmassenstrom ṁ M, der im Modell benötigt wird, wenn im Reaktor der Kühlmassenstrom ṁ R = kg/s benötigt wird. 7. [2 P.] Wie verhalten sich die Wärmeübergangskoeffizienten in Modell und Reaktor zueinander, wenn vollständige Ähnlichkeit gewährleistet ist? DVP Thermo I - Wärmetransportphänomene Sommersemester 2009 Gegebene Größen und Stoffwerte zur 3. Aufgabe: Brennstab: Länge L = 3,8 m Durchmesser Uranoxid D U = 7,0 mm Außendurchmesser D Z = 10,0 mm Wärmeleitfähigkeit Uranoxid λ U = 4,0 W/(m K) Wärmeleitfähigkeit Zirkonium λ Z = 20 W/(m K) Referenzlänge L ref = 4,0 m Kontaktwiderstand bei Referenzlänge R K,ref = 1, K/W maximal zulässige Temperatur T max = 2000 C Kühlwasser: Temperatur (Stationärbetrieb) T W = 290 C Dichte ρ W = 746 kg/m 3 spezifische Wärmekapazität c W = 5240 J/(kg K) Wärmeübergangskoeffizient Brennstab α = 6000 W/(m 2 K) Kaltstart: Eintrittstemperatur Kühlwasser T 0 = 20 C gewünschte Austrittstemperatur T W = 315 C Wasservolumen im Druckbehälter V W = 220 m 3 Massenstrom Kühlwasser ṁ 0 = 400 kg/s Gesamtleistung Brennstäbe Q 0 = 800 MW Modellversuch: Skalierungsfaktor f = 50 Massenstrom im Reaktor ṁ R = kg/s