21 Grundlagen für Zahnräder und Getriebe

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1 ahnräder 21 Grundlagen für ahnräder und Getriebe ahnräder übertragen die Drehbewegung von einer Welle auf eine zweite durch Formschluss der im Eingriff befindlichen ähne. Bei verschieden großen ahnrädern wirken sie auch als Drehmomentwandler. Durch den Formschluss können sie gegenüber Riementrieben erheblich höhere Kräfte übertragen, arbeiten jedoch nicht elastisch, kommen dafür aber mit wesentlich kleineren Achsabständen aus. Dieses Kapitel gibt einen Ûberblick über die Begriffe zur Beschreibung von ahnrädern und Getrieben, das Verzahnungsgesetz und die üblichen Verzahnungsarten Rad- und Getriebearten Es arbeiten immer ein treibendes ahnrad und ein getriebenes ahnrad zusammen, die ein Radpaar bilden. Je nachdem, wie die Achsen der beiden Räder zueinander liegen, ergeben sich folgende Radgrundformen: 1. Stirnräder (ylinderräder) bei parallel liegenden Radachsen, und zwar Außenradpaare nach Bild 21.1a (Geradverzahnung) und b (Schrä gverzahnung) und Innenradpaare nach Bild 21.1c. Beim Innenradpaar heißt das innenverzahnte Rad Hohlrad. 2. ahnstangen als unendlich groß gedachte Stirnräder zur Umwandlung einer Drehbewegung mittels eines Außenrades in eine hin- und hergehende geradlinige Bewegung nach Bild 21.1d. 3. Kegelräder bei sich schneidenden Radachsen nach Bild 21.1e (Geradverzahnung) und f (Schrägverzahnung). 4. Schraubenräder bei sich kreuzenden Radachsen, und zwar nach Bild 21.1g in einem Stirnrad-Schraubräderpaar, nach Bild 21.1h in einem Schneckenradsatz und nach Bild 21.1i in einem Kegelrad-Schraubräderpaar. Der Verlauf der ähne wird nach dem Verlauf ihrer Flankenlinien gekennzeichnet. Unter einer Flankenlinie versteht man die Schnittlinie der ahnflanke mit einem ylinder beim Stirnrad bzw. Kegel beim Kegelrad, dessen Achse mit der Radachse zusammenfällt. So kennt man: 1. Gerad-, Stufen-, Schräg-, Doppelschräg- und Kreisbogenzahn-Stirnräder (Bild 21.2) 2. Gerad-, Schräg-, Spiral-, Evolventen- und Kreisbogenzahn-Kegelräder (Bild 21.3) Nach DIN 868 (Allgemeine Begriffe und Bestimmungsgrößen) werden bezeichnet: 1. Ein beliebiges der beiden Räder eines Radpaares als Rad, das mit ihm gepaarte Rad als Gegenrad. 2. Das kleinere der beiden Räder eines Radpaares als Ritzel oder Kleinrad, das größere als Großrad. Das Ritzel erhält den Index 1, das Großrad den Index Das treibende Rad mit dem Index a, das getriebene Rad mit dem Index b. Diese Unterscheidung ist in der Regel nur bei treibendem Großrad erforderlich. 4. Als Getriebezug eine Kombination von zwei oder mehr Radpaaren, die miteinander in Wirkverbindung stehen (Bild 21.4). 5. Als Getriebe eine Baugruppe aus einem oder mehreren Radpaaren und dem die Radpaare umschließenden Gehäuse oder Gestell, das die Lagerungen für die ortsfesten Radachsen trägt. In einem Getriebe können Größe und/oder Richtung von Drehbewegung und Dreh-

2 558 ahnrä der Bild 21.1 Grundformen von ahnrädern in Radpaaren je nach Lage der Radachsen zueinander a) Stirnradpaar, geradverzahnt, b) Stirnradpaar, schrägverzahnt, c) Innenradpaar, d) ahnstangenradpaar, e) Kegelradpaar, geradverzahnt, f) Kegelradpaar, schrä gverzahnt, g) Stirnrad-Schraubräderpaar, h) Schneckenradsatz, i) Kegel-Schraubrä derpaar Bild 21.2 ahnverlauf an Stirnrädern (auf dem abgewickelten ylindermantel) a) Geradzähne, b) Stufenzähne, c) Schrägzähne, d) Pfeilzähne (Doppelschrägzähne), e) Kreisbogenzähne

3 21 Grundlagen für ahnräder und Getriebe 559 Bild 21.3 ahnverlauf an Kegelrädern (auf dem abgewickelten Kegelmantel) a) Geradzähne, b) Schrä gzä hne, c) Spiralzähne, d) Evolventenzähne, e) Kreisbogenzähne moment in einer oder mehreren Getriebestufen umgewandelt werden. Man kennt einstufige und mehrstufige Getriebe, in denen jedes Radpaar eine Stufe darstellt. 6. Als Standgetriebe ein Getriebe, bei dem alle Radachsen lagenunveränderlich drehbar gelagert sind. 7. Als Umlauf- oder Planetengetriebe ein Getriebe nach Bild 21.5 mit mindestens drei in Wirkrichtung hintereinander angeordneten ahnrädern, bei denen die Radachsen zweier Räder koaxial angeordnet sind und das dritte Rad als wischenrad (Umlaufrad, Planetenrad) in einem um die koaxialen Radachsen drehbaren Steg (Planetenradträger) gelagert ist und mit dem Steg umläuft. In Sonderfällen kann anstelle des Hohlrades ein Außenrad verwendet werden. In diesem Fall trägt die umlaufende Achse des Steges zwei fest miteinander verbundene außenverzahnte wischenräder. Der Umlaufgetriebezug besteht dann aus zwei in Wirkrichtung hintereinander angeordneten Außenradpaaren, von denen die beiden nicht miteinander verbundenen Außenräder koaxial sind. Bild 21.4 weistufiger Getriebezug (aus DIN 3998) Bild 21.5 Planetengetriebe (aus DIN 868) asonnenrad, bplanetenrad, cumlaufender Steg, dhohlrad, egehäuse Die Ûbersetzung i eines Radpaares ist das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeit w a oder der Drehzahl n a des treibenden Rades zur Winkelgeschwindigkeit w b oder Drehzahl n b des getriebenen Rades: Übersetzung i ¼ w a w b ¼ n a n b ð21:1þ Bei einem Außenradpaar haben die beiden Räder entgegengesetzten Drehsinn. Deshalb ist ihre Ûbersetzung negativ. Beim Innenradpaar haben beide Räder gleichen Drehsinn, ihre Ûbersetzung ist positiv. Bei jij > 1 spricht man von einer Ûbersetzung ins Langsame, bei jij < 1 von einer Ûbersetzung ins Schnelle. Das Verhältnis der ähnezahl z 2 des Großrades zur ähnezahl z 1 des Kleinrades ist das ähnezahlverhältnis u ¼ z 2 z 1 ð21:2þ

4 560 ahnrä der Bei Hohlrädern ist z 2 negativ, sodass Innenradpaare ein negatives ähnezahlverhältnis u haben. Es ist stets juj1. Begriffe und Bestimmungsgrößen sind genormt (DIN 3960, DIN 3971, DIN 3998) Verzahnungsgesetz Bild 21.6 zeigt ein im Eingriff befindliches ahnradpaar. Man stellt sich die Stirnräder zunächst wie bei einem Reibradpaar als glatte ylinder vor, von denen der treibende ylinder den getriebenen ohne Gleiten mitnimmt, sodass sich beide ohne Schlupf aufeinander abwälzen. An diesen ylindern denkt man sich die Verzahnung teils erhöht, teils vertieft angebracht. Allgemein heißen die gedachten Flächen, die sich ohne Schlupf abwälzen, Wälzflächen, in Stirnrädern Wälzzylinder. Inder Ebene erscheinen die Wälzflächen als Linien, in Stirnrädern als Wälzkreise w 1 und w 2 (Bild 21.6). wei Wälzkreise berühren sich im Wälzpunkt C, der auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte der kämmenden Räder liegt. Die Umfangsgeschwindigkeit der Wälzkreise an beiden Rädern ist dann dem Betrag nach gleich: Bild 21.6 Wälzkreise und deren Umfangsgeschwindigkeit, Punktberührung der Flanken in der Eingriffsebene Umfangsgeschwindigkeit der Wälzkreise v w in m/s Umfangsgeschwindigkeit der Wälzkreise, d w1 in m Wä lzkreisdurchmesser des Kleinrades (Ritzels), d w2 in m Wä lzkreisdurchmesser des Großrades, n 1 in s 1 Drehzahl des Kleinrades, n 2 in s 1 Drehzahl des Großrades. jv w j ¼ d w1 p n 1 ¼ d w2 p n 2 ð21:3þ Daraus folgt für ein Radpaar mit treibendem Kleinrad der Betrag der Übersetzung jj¼ i n a ¼ n 1 ¼ d w2 ¼ r w2 ¼ w 1 ¼ z 2 ¼ u, n b n 2 d w1 r w1 w 2 z 1 ð21:4þ weil die ähnezahlen z 1 und z 2 den Wälzkreisdurchmessern d w1 und d w2 direkt proportional sind. Bei treibendem Großrad ist jij¼z 1 /z 2 ¼ 1/u. Die ahnflanken F 1 und F 2 (Bild 21.6) müssen so geformt sein, dass sie einen kontinuierlichen Bewegungsablauf gewährleisten, d. h. sie müssen bestimmten kinematischen Gesetzen gehorchen. In Bild 21.7 ist hierzu ein Flankenpaar in drei verschiedenen Bewegungsphasen gezeigt. Das in Pfeilrichtung bewegte Rad 1 nimmt das Rad 2 mit, sodass zwangsläufig die beiden gekrümmten Flanken in Kontakt bleiben. Es berühren sich jeweils die Flankenpunkte B 1 und B 2.Der Punkt B 1 besitzt die Absolutgeschwindigkeit v 1,der Punkt B 2 die Absolutgeschwindigkeit v 2.Die Vektoren von v 1 und v 2 stehen jeweils senkrecht auf den Radien R 1 und R 2.Durch den Berührpunkt der beiden Flanken sind eine Tangente Tund eine Normale N(senkrecht zu T) gezogen. erlegt man nun die Absolutgeschwindigkeiten v 1 und v 2 in Tangential- und Normalgeschwindigkeiten v t1 und v n1 bzw. v t2 und v n2,sozeigt sich nach

5 21 Grundlagen für ahnräder und Getriebe 561 Bild 21.7 Geschwindigkeiten der Berührpunkte B 1 und B 2 zweier Radflanken Bild 21.8 Geschwindigkeitsverhältnisse bei Berührung willkürlich geformter Flanken den Gesetzen der Kinematik, dass die Normalgeschwindigkeiten v n1 und v n2 in jeder Bewegungsphase gleichgroß sind! Bei willkürlich geformten Flanken wird aber das Rad 2 trotz gleichförmiger Drehbewegung des Rades 1ungleichför- mig bewegt. Das darf selbstverständlich bei ahnrädern nicht geschehen. Außer der Berührbedingung, dass die Normalgeschwindigkeiten v n1 und v n2 in jeder Bewegungsphase gleich groß sein müssen, muss auch i ¼ w 1 /w 2 konstant bleiben. In Bild 21.8 sind die willkürlich geformten ähne eines Radpaares im Eingriff dargestellt. Sie berühren sich momentan mit den beiden Flankenpunkten B 1 und B 2. Das Rad 1 dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit w 1,das Rad 2mit w 2.Der Punkt B 1 bewegt sich somit momentan mit der Umfangsgeschwindigkeit (Absolutgeschwindigkeit) v 1 ¼ w 1 R 1,der Punkt B 2 mit v 2 ¼ w 2 R 2.Beide stehen als Vektoren jeweils senkrecht auf den zugehörigen Radialstrahlen R 1 und R 2.um Prüfen der Berührbedingung wird durch den Berü hrpunkt eine Tangente T gelegt und zu dieser eine Normale Nerrichtet. Die erlegung in Tangential- und Normalgeschwin-

6 562 ahnrä der digkeiten zeigt, dass die geforderte Bedingung v n1 ¼ v n2 nicht erfüllt ist. Die angenommenen ahnflanken sind falsch geformt! Die Normalgeschwindigkeiten v n1 und v n2 kann man als Umfangsgeschwindigkeiten an den Radien r b1 und r b2 auffassen, weil aus den geometrischen Verhältnissen v n1 ¼ r b1 w 1 und v n2 ¼ r b2 w 2 folgt. Bei v n1 ¼ v n2 muss r b1 w 1 ¼ r b2 w 2 sein. Mit i ¼ w 1 /w 2 wird auch jij¼r b2 /r b1 ¼ r 0 w2 /r0 w1.daaußerdem jij¼r w2/r w1 ist, muss r 0 w2 =r0 w1 ¼ r w2=r w1 sein. Daraus geht hervor, dass bei v n1 ¼ v n2 die Ûbersetzung i nur dann konstant bleibt, wenn sich der Punkt C 0 mit dem Wälzpunkt Cdeckt, also r 0 w1 ¼ r w1 und r 0 w2 ¼ r w2 sind. Diese kinematischen Voraussetzungen führen zum Verzahnungsgesetz: Die Normale im jeweiligen Berührungspunkt (Eingriffspunkt) zweier ahnflanken muss stets durch den Wälzpunkt C gehen. Dieses Gesetz stellt die Aufgabe, kinematisch richtig geformte ahnflanken zu finden. Bild 21.9a zeigt hierzu die Wälzkreise w 1 und w 2 eines Radpaares und eine willkürlich gestaltete Flanke F 1 am Rad 1, zu der die zugehörige Flanke F 2 am Rad 2gefunden werden soll. Voraussetzung fü rdie (willkürliche) Gestaltung von F 1 ist jedoch, dass sämtliche Normalen N zu der Flanke den Wälzkreis w 1 schneiden (Bild 21.9a), da sonst das Verzahnungsgesetz nicht erfüllt werden kann. Fest steht fernerhin, dass sich beide Flanken im Wälzpunkt berühren müssen, weil ober- oder unterhalb von C die Normale nicht mehr durch C gehen kann. Bild 21.9 Ermitteln der Gegenflanke F 2 zu einer gegebenen Flanke F 1 Ausder gegebenen Flanke sei ein beliebiger Punkt B 1 nach Bild 21.9b herausgegriffen, durch diesen eine Tangente T gelegt und eine Normale N errichtet. Die Normale N schneidet den Wälzkreis w 1 im Punkt W 1.udiesem wird der zugehörige Punkt W 2 am Wälzkreis w 2 markiert, sodass der Bogen CW 2 gleich dem Bogen CW 1 ist. Nun denkt man sich beide Räder in Pfeilrichtung so weit gedreht, bis sich die Punkte W 1 und W 2 im Wälzpunkt Ctreffen. In diesem Augenblick geht die Normale N bzw. Strecke n durch den Wälzpunkt C, und die gegebene Flanke befindet sich in der gestrichelt gezeichneten Position. Ihr Punkt B 1 ist nach B

7 21 Grundlagen für ahnräder und Getriebe 563 gewandert. An dieser Stelle muss sich der Punkt B 1 mit einem Punkt B 2 der Gegenflanke berühren (weil Ndurch Cgeht), d. h. in Bmuss sich der Punkt B 1 mit einem Punkt B 2 der Gegenflanke F 2 treffen. Wenn man sich beide Räder nach Bild 21.9c um den gleichen Betrag zurückgedreht denkt, dann bewegt sich der in Cbefindliche Punkt des Rades 1wieder nach W 1,der des Rades 2 nach W 2,die in Bbefindlichen nach B 1 und B 2.Der gesuchte Punkt B 2 an der Gegenflanke F 2 muss von W 2 den gleichen Abstand nhaben wie Bvon Cund wie B 1 von W 1,weil sich ja die drei Strecken ndecken, wenn sich B 1 und B 2 in Bberühren. Führt man diese Konstruktion mit vielen Punkten B 1 an der Fußflanke bzw. D 1 an der Kopfflanke der gegebenen Flanke F 1 durch, so findet man eine Reihe von Punkten B 2 bzw. D 2, deren Verbindungslinie die gesuchte Flanke F 2 liefert, die in jeder Bewegungsphase mit der gegebenen Flanke F 1 das Verzahnungsgesetz erfüllt (Bild 21.9d). Wenn sämtliche Eingriffspunkte B und D, in denen sich jeweils die zugehörigen Flankenpunkte B 1 und B 2 bzw. D 1 und D 2 berühren, verbunden werden, so entsteht die Eingriffslinie g, räumlich gesehen die Eingriffsfläche oder das Eingriffsfeld. Die Eingriffslinie ist die absolute Bahn des Berührpunktes (Eingriffspunktes). Andererseits wandert der Berührpunkt auch auf jeder ahnflanke entlang: Die ahnflanken sind die relativen Bahnen des Berührpunktes. Aus den vorstehenden Darlegungen geht hervor, dass zu einer gegebenen ahnflanke eine ganz bestimmte Gegenflanke und eine bestimmte Eingriffslinie gehören. Umgekehrt gehört zu einer gegebenen Eingriffslinie ein bestimmtes ahnflankenpaar. Wegen der Einheitlichkeit und einer wirtschaftlichen Fertigung wird der Eingriffslinie eine regelmäßige Form gegeben. Bild ykloidenverzahnung a) Entstehung der KopfflankeamRad 2, b) Entstehung der Fußflanke amrad 1, c) Entstehung der Fußflanke amrad 2, d) Entstehungder Kopfflanke amrad 1

8 564 ahnrä der 21.3 ykloidenverzahnung Besteht die Eingriffslinie g aus zwei Kreisbögen, dann ergibt sich eine ykloidenverzahnung (Bild 21.10). Die Kreise, deren Bögen die Eingriffslinie bilden, sind die Rollkreise r 1 und r 2. Die Kopfflanke des Rades 2(Kopfflanke ¼ Flanke vom Wälzkreis w bis zum Kopfkreis a) entsteht, wenn man den Rollkreis r 1 auf dem Wälzkreis w 2 abrollt, d. h. w 2 als Grundkreis benutzt (Bild 21.10a). Die Bahn, die ein am Rollkreis befindlicher Punkt beschreibt, der sich mit dem Wälzpunkt C deckte, ist als Epizykloide die gesuchte Kopfflanke. Befindet sich der Rollkreis r 1 in der Position 1 0,dann ist momentan die Strecke B 2 W 2 ¼ r 2 der erzeugende Krümmungsradius der ykloide und als dieser gleichzeitig die Normale zum Punkt B 2. Der Bogen CW 2 ist gleich dem Bogen B 2 W 2.Wenn das Rad 2soweit in Pfeilrichtung gedreht wird, bis sich W 2 mit Cdeckt, dann läuft die Normale durch den Wälzpunkt C, und B 2 liegt auf der Eingriffslinie, d. h. befindet sich in B. Daraus folgt, dass der Bogen BC gleich dem Bogen B 2 W 2 ist. Durch Abrollen des Rollkreises r 1 auf dem Wälzkreis w 1 entsteht die Fußflanke des Rades 1 (Fußflanke ¼ Flanke vom Wälzkreis w bis zum Fußkreis f) als Hypozykloide (Bild 21.10b). Das Abrollen sei um den Bogen CW 1 mit dem Betrag des Bogens CW 2 auf dem Wälzkreis w 1 erfolgt, sodass die Strecken B 1 W 1 ¼ r 1 ¼ B 2 W 2 dem erzeugenden Krümmungsradius sind. Denkt man sich das Rad 1inPfeilrichtung so weit gedreht, bis sich W 1 mit Cdeckt, dann läuft die Normale durch den Wälzpunkt C, und B 1 ist nach Bgewandert. B 1 und B 2 kommen nach Drehen beider Räder um die Bögen CW 1 ¼ CW 2 in Bzur Berührung, wodie sich dort deckenden Normalen durch den Wälzpunkt C laufen. Damit ist die Richtigkeit der Konstruktion bewiesen. Die Entstehung der verschiedenen ykloiden siehe Bild Bild Entstehung der ykloiden (zyklische Kurven) a) Epizykloide, b) Hypozykloide, c) Orthozykloide Bild Doppelseitige ykloidenverzahnung (nach DIN 868) aepizykloiden, bhypozykloiden, c Orthozykloide, drollkreis, ewä lzkreis, f Wä lzgerade, gstirnrad, hahnstange

9 21 Grundlagen für ahnräder und Getriebe 565 Mit dem Rollkreis r 2 ist sinngemäß zu verfahren (Bilder 21.10c und d). Es ergeben sich dann die Fußflanke des Rades 2und die Kopfflanke des Rades 1. Hervorgehoben sei, dass die Krümmungsradien der beiden Flanken einer ykloidenverzahnung im jeweiligen Berührpunkt gleich groß sind, d. h. jeweils r 1 ¼ r 2. Die Eingriffslinie wird durch die an den Kopfkreisen a 1 und a 2 der Räder liegenden Punkte A(Anfang) und E(Ende) begrenzt und heißt in dieser Länge Eingriffsstrecke. Außerhalb dieser beiden Kopfkreispunkte kann kein Eingriff mehr stattfinden. In DIN 868 heißt es: Bei der doppelseitigen ykloidenverzahnung liegen die beiden Rollkreise innerhalb der Wälzkreise eines Radpaares (Bild 21.12). Sie berühren sich im Wälzpunkt und bilden die Eingriffslinien. Bei einer ahnstange sind die Profile von Kopf- und Fußflanken Orthozykloiden (die Rollkreise rollen auf einer Geraden ab). Bei der einseitigen ykloidenverzahnung ist nur ein Rollkreis vorhanden. Die Verzahnung besteht bei einem der beiden Räder nur aus Kopfflanken, bei dem Gegenrad nur aus Fußflanken. Wegen der Bedingung, dass die Rollkreise durch den Wälzpunkt gehen müssen, sind ykloidenverzahnungen gegen Achsabstandsänderungen des Radpaares empfindlich. Die Punktverzahnung ist eine einseitige ykloidenverzahnung, bei der der Rollkreis mit einem Wälzkreis zusammenfällt. Die Kopfflanken des einen Rades sind Epizykloiden, die Fußflanken des Gegenrades schrumpfen zu Punkten zusammen. ur Realisierung dieser Verzahnungen werden die Punkte zu Kreisen erweitert, die durch Triebstöcke (zylindrische Bolzen, apfen, apfenrollen oder Nadeln) verwirklicht werden. Die Triebstöcke sind auf dem Wälzkreis ¼ Teilkreis des Triebstockrades (bzw. auf der Wälzgeraden ¼ Teilgeraden der Triebstock-ahnstange) angeordnet (Bild 21.13). Die Profile der Gegenflanken entstehen als Øquidistanten zu den Epizykloiden (als zu ihnen gleichwertige Kurven). Diese Verzahnungen heißen Triebstockverzahnungen. Wird aus dem die apfen tragenden Triebstockrad eine Triebstock-ahnstange, dann gehen die Epizykloiden des Gegenrades und ihre Øquidistanten in Evolventen über (Begriff der Evolvente siehe Abschnitt 21.4). Bild Triebstockverzahnung (nach DIN 868) aykloide, bevolventen, c Aquidistante zur ykloide, d Wälzkreis ¼ Teilkreis, e Wälzgerade ¼ Teilgerade, f Triebstockrad, gtriebstock-ahnstange, htriebstock-gegenrad, i Eingriffsstrecke Die ykloidenverzahnung hat für den Maschinenbau, mit Ausnahme der Triebstockverzahnung, keine Bedeutung. Deshalb wird sie nicht weiter behandelt. Die in den Krafteingriff gelangenden Flanken nennt man Arbeitsflanken oder aktive Flanken. Es kommt jeweils die Rechtsflanke eines ahnes mit der Linksflanke des Gegenzahnes zur Berührung. Allen Verzahnungen ist gemeinsam, dass niemals zwei Kopf- oder zwei Fußflanken zur Berührung kommen!