Ein Gelenkmechanismus zur Teilung des Winkels.

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1 Ein Gelenkmechanismus zur Teilung des Winkels. Von A. KEMPE aus Rotterdam. Der vorhegende Gelenkmechanismus bezweckt die Teilung des Winkels in behebig viele gleiche Teile, nämlich so, daß, wenn mit ihm gewisse Kurven gezogen sind, es nur einer Transversale bedarf, um den Winkel in alle möglichen Teile geteilt zu haben (Fig. 1). Das Hauptsächliche an diesem Instrumente sind die zwei oder drei Fig. 2. Rauten (Fig. 2), die derartig gestellt sind, daß die rechte Seite der zweiten mit der Diagonale der ersten zusammenfällt, die rechte Seite der dritten mit der Diagonale der zweiten usw. Der Motor des Ganzen ist eine untere Raute H i MAG 19 deren Seite AM in M und 0 zwei feste Punkte hat. Alles andere kann sich gelenkmäßig bewegen. Wenn nun der Mechanismus in eine beliebige Stellung gebracht wird, so ist ersichtlich, daß alle verlängerten Diagonalen der Rauten die ver-

2 C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Kempe. 493 längerte untere Seite der motorischen Raute in Punkten A l9 B 19 C t usw. (Fig. 2) so schneiden, daß eine Reihe gleichschenkliger Dreiecke entsteht, die für unsere zu zeichnenden Kurven von der höchsten Wichtigkeit ist; denn wenn der Schnittpunkt der verlängerten K t M und G ± 0 Punkt A 1 also einen Kreis beschreibt, beschreibt gleichzeitig der Schnittpunkt B x (Schnittpunkt von I ± M und G- l 0B t ) die Kurve B 19 der Schnittpunkt C t (Schnittpunkt von I 2 M und G t OC ± ) die Kurve C t usw., welche Kurven einen willkürlichen Winkel (i respektive in 3, 5, 9 usw. 2" + 1 gleiche Teile teilen. Es ist dies in Fig. 3 für 5 = dargestellt; Fig. 4 stellt die Kurven von Fig. 2 im ganzen Umriß dar. Ich habe die Kreisbewegung von A t (Fig. 2) erleichtert mittels zweier Zahnräder, mit K X M und G t A fest verbunden, deren Umfange zueinander // \ M i ^p ]B h fy / / 0 Fig. 8. Fig. 4. sich verhalten wie 1:2 und die respektive in M und 0 ihre Mittelpunkte haben. Immer doch ist i KMA 1 = 2iMAA t. Werden also diese Zahnräder in Bewegung gesetzt, mittels eines dritten Zahnrades, zwischen beiden angebracht, so geht A t den Kreisumfang entlang, B ± beschreibt die Kurve B 1 und C ± die Kurve C x. Es bewegt sich also der ganze Mechanismus und der Kreis, die Kurve B x (3-Teiler), die Kurve C x (5-Teiler) etc. entstehen gleichzeitig. Ein Schreibstiftchen, richtig angebracht, zieht ihre Spuren kontinuierlich. Ich habe sie Schleifenkurven genannt, der eigentümlichen Schleifen wegen, die jeder in verschiedener, aber ganz regelmäßiger Zahl angehören. Die Kurve B x ist der Limaçon von Pascal, das ganze System also

3 494 H. Teil: Wissenschaftliche Vorträge. eine Erweiterung der Lehre dieser Kurve, und wie dieser den Winkel in 3 gleiche Teile teilt, so teilen die Kurven C t usw. diesen in 5, 9,17, 2 n + 1 gleiche Teile (Fig. 4 und Fig. 1 rechte Hälfte). Wenn nun dieser Gelenkmechanismus 180 um OMK gedreht wird (Fig. 5), so bekommt man eine Reihe Kurven L 19 N t usw., die auf ähnliche Weise entstehen wie die vorhergehenden und durch die aufeinanderfolgenden, gleichschenkligen Dreiecke denselben Winkel ji in 3,7,15, 2 W 1 gleiche Teile teilen, wie es Fig. 6 und Fig. 1 (linke Hälfte) in den Kurven G, H usw. zeigen: es ist in Fig. 6 der Fall veranschaulicht, wo [i in 7 (2 3 1) gleiche Teile geteilt ist. Auch hier gilt: während der Schnittpunkt F x (Fig. 5) der verlängerten K X M und G x 0 den Kreis OM beschreibt, beschreibt der Schnittpunkt L ± der verlängerten Diagonale I X M und G t O eine Kurve L t als geometrischen N Fig. 5. Fig. 6. Ort aller L x so, daß F 1 M=F 1 L 1 ist, und gleichzeitig beschreibt JV^ eine solche so, daß ^Jf Z^JVi ist usw. Nur ist hier zu bemerken, daß der erzeugende Kreis, dem alle nachfolgenden Kurven ihre Entstehung verdanken, nicht seinen Mittelpunkt in M, sondern in 0 hat, und die Zahnräder zur Kreisbewegung, wovon oben die Rede war, umgelegt werden müssen. Die 2 n 1 Teiler in ihrem ganzen Umriß gezogen werden in Fig. 7 dargestellt: es ist die Kurve G x g x mit zwei Schleifen der 3-Teiler, die Kurve ü^ftj mit sechs Schleifen, der 7-Teiler. Alles zusammen genommen haben wir also: der Gelenkmechanismus links gelegt beschreibt die 2 n + 1 Teiler; derselbe rechts gelegt beschreibt die 2 W 1 Teiler. In Fig. 1 sind alle diese Kurven gezogen und es erhellt augenblicklich, daß man nur /_ a in Jf zu legen braucht und seinen Schenkel MH X durch M hindurch zu verlängern, um mittels der Transversale S 1 C 1 die behebige Teilung in gleiche Teile vollbracht zu haben. Denn es

4 C. Vorträge in den Sektionssitzungen: Kempe. 495 ist infolge Formats Theorem die Primzahl p Teiler von 2P" 1-1 = (2~ä~- l) \2~*~ + l) - (2 n - 1) (2 n + 1). Es muß also p Teuer sein, entweder von 2 n 1 oder von 2*+l, und es sind eben unsere Kurven, die den oder den ten Teil eines Winkels finden lassen. 2 n W 1 Es ist hiermit das Problem der allgemeinen Winkelteilung völlig gelöst. Ich bemerke nebenbei, daß, wie Fig. 1 zeigt: 1. die Kurven nicht in ihrem ganzen Umriß gezogen zu sein brauchen, da ein Quadrant zur Teilung vollkommen hin- Fig. 7. reicht, weil man immer aus Winkeln > 90 durch Halbierung Winkel < 90 herleiten kann; es ist dies in technischer Hinsicht ein großer Vorteil; 2. daß, wenn sie gezogen sind, die Kurven lithographisch zu vervielfältigen sind und ein für allemal eine Teilungstafel darbieten. Es ist noch zu bemerken, daß der vorhegende Gelenkmechanismus sehr zu vereinfachen ist, indem man nur zwei Rauten IKMH und HMOG (Fig. 2 und Fig. 5) anwendet. Sie brauchen nur so benutzt zu werden, daß MO (Fig. 2) ist wieder eine feste Linie während

5 496 u. Teil: Wissenschaftliche Vorträge. der oben genannte Schnittpunkt A t den Kreisumfang beschreibt, der Schnittpunkt B x den 3-Teiler beschreibt; nachher: wenn man K ± M in den Stand I X M verlegt, so wird I X M den Stand I 2 M annehmen und folglich der Punkt A t in B x und B x in C ± übergehen; wird also A ± (B ± ) den 3-Teiler beschreiben, so beschreibt B 1 (C 1 ) den 5-Teiler usw., es wird also leicht jede folgende Kurve aus der vorhergehenden konstruiert. Das nämliche ist zu sagen von den 2 n 1 Teilern (Fig. 5), wo wieder der vereinfachte Mechanismus 180 um OMK gedreht werden muß. Dieser Mechanismus ist zwar bedeutend einfacher als der vorhergehende, allein den Umriß einer Kurve von einem Schnittpunkte zweier Geraden genau beschreiben zu lassen hat seine Schwierigkeiten in technischer Hinsicht. Indessen: auch diesen Schwierigkeiten ist mit Zahnrädern, deren Umfange sich zueinander verhalten wie 2:3; 4:5; 8:9 etc., abzuhelfen, nur muß dann die Vorrichtung so sein, daß die aufeinander wirkenden Räder leicht verwechselt werden können, und auch dies wird nicht unmöglich sein. Das weitere über die stetige Konstruktion dieser Kurven und deren Theorie ist zu finden in: Zeitschrift für Mathematik und Physik 49. Bd., 3. und 4 Heft Weiter in den Mémoires de la Société royale des Sciences de Liege, 2. série, tome XX, 1898, und in dem klassischen Werke: Über spezielle algebr. und transe. Kurven von Gino Loria (Deutsch übersetzt von Schütte, Leipzig, B. G. Teubner, 1902). (Nach dem Vortrage wurden beigegebene Figuren mittels eines Zeißschen trefflichen Reflektors auf einen Schirm projiziert.)