Analytische Geometrie

Transkript

1 Alyihe Geomeie Leiko z Kl- d Aioeeig Eo Pojek de Mhe LK /: Fi Fedde Koie Kleiheiz Simo Ldeg Le Mo J Oeek Khi Shellh Fiedeike Th Chiohe Wehl

2 Alyihe Geomeie Ihl Seie Seie Them ---/--- Ihl Gdegiffe Gdegiffe Dellge o Teiläme de R Wikeleehge Wikeleehge/ Adeehge Adeehge Lgeeziehg zwihe Gede d Eee Lgeeziehg zwihe Gede d Eee Lgeeziehge zwihe Eee Lgeeziehge zwihe Eee Gegeeiige Lge o Gede Gegeeiige Lge o Gede

3 Alyihe Geomeie Gdegiffe Seie Ei Rehyem i ei Syem dei ämlihe Vekoe, die o eiem eizige Ug gehe. Afgd de liee Uhägigkei diee eeide ilde ie ei Syem, i dem ih ämlih eweg wede k. WT V y z W T Ei Veko i i llgemeie Fom ei Eleme eie Vekom, lo ei Ojek, d mi eiegleihe ddie wede k d mi Zhle (Elemee de zgde liegede Köe) mlilizie wede k. I de Geomeie i ei Veko ff l eie Kle o Pfeile gleihe Läge (Beg), gleihe Rihg d gleihe Oieieg. Vekoe he omleweie keie fie Aggk. Ei Veko k dhe l die Mege lle "Pfeile", die kollie (d.h. llel id, lo die gleihe Rihg eize), gleih lg d gleih oieie id, geehe wede. Sie diee im Allgemeie dz, eie Rihg zzeige. Im Uehied dz he gedee Vekoe eie Ug (Aggk). Sie köe zm Beiiel, l o gee Oekoe, die Poiio eie Pke im Rm gee. Ei Veko mi gleihem Beg, gleihe Rihg e egegegeeze Oieieg eie dee Veko i dee Gegeeko. y O z P Ei Oeko P i ei gedee Veko, dh de die Poiio (Lge, O) eie Pke P im Rm fegeleg wid. Um eie Oeko gee z köe, m ei eideige Bezgk defiie ei, de de Ug O eie Koodieyem feleg. E gil P OP. V V D Sklodk ode jeweil zwei Vekoe A d B Im R³ egi ih dem Sklodk eie eelle Zhl z. A A de Beg de Veko A. Zwei Vekoe ehe ge d ekeh feide, we ih Sklodk Nll i; zeige ie higege i dieele Rihg, o i d Sklodk d (gewöhlihe) Podk ihe Läge.

4 Alyihe Geomeie Gdegiffe Seie D Kezodk (h Vekoodk) zweie Vekoe i eiem deidimeiole Vekom i ei Veko, de ekeh f de o de eide Vekoe fgee Eee eh. Die Läge diee Veko eih de Flähe de Pllelogmm mi de Seie die dem Beg (dz iehe Eiheieko) de eide Vekoe eih. E gi zwei olhe Vekoe, die i egegegeeze Rihg weie. Do wid eie gewähl, od die Vekoe mi dem Veko ihe Kezodk ei Rehyem ilde. V V V I de liee Alge i ei Eiheieko ei Veko mi de Läge Ei. M k jede Veko z eiem Eiheieko mhe, idem m ih omie, d heiß lle Koodie dh de Beg ( Sklodk de Veko mi ih el) de Veko eil. Ei Vekom i eie mhemihe Sk d ell d fdmele Koze de Liee Alge d. Vekoäme wede i f lle Zweige de Mhemik ewede. Ei Vekom eeh eizele Vekoe, die ddie ode mi eie kle Zhl mlilizie wede köe, o d d Egei jeweil wiede ei Veko deele Vekom i (iehe Sklodk). D die kle Zhle, mi dee m eie Veko mliliziee k, eiem Köe emme, i ei Vekom imme ei Vekom üe eiem eimme Köe. M ih eiielweie o eiem Vekom üe de eelle Zhle. Pkomlefom eie Eee: HNF deele Eee: Ad Ug-Eee: d Die Heehe Nomlfom (HNF) (h Oo Hee) i i de lyihe Geomeie eie Gleihg, die eie Eee im R ode eie Gede im R ehei: We i eiem gegeee Koodieyem de Oeko eie Pke P de Eee E i (kz: E P ), d gil d Dei i de omiee Nomleeko (iehe Eiheieko) o E d d > de Ad de Eee om Ug de Koodieyem. Die ih hie egeede Gleihg d i die Heehe Nomlefom.

5 Alyihe Geomeie Dellg o Teiläme de R Seie Alyihe Geomeie Wikeleehge Seie Ei Pk im R wid dh die X-,Y- d Z-Koodie ehiee. P(X/Y/Z) Ei Gede wid dh im R zwei Pke A d B ehiee. g: I eiem R wid eie Gede dh ihe Seigg d dem Shik de Y- Ahe ehiee y m ode dh eie ekehe Veko Eie Eee wid i eiem R dh dei Pke (A, B, C) ode zwei Gede ode eie Gede d eiem Pk ode eiem ekehe Veko ehiee. E: E: ²) ² ² ( ²) ² ² ( ) ( g D Volme eie Se wid im R dh V ( X ) Emiel, woei d die Vekoe de Gdflähe id d die Höhe i.

6 Wikel zwihe Vekoe De Wikel α zwihe zwei Vekoe wid üe de Koiz eehe. A ( ) oα folg: oα. Beiiel: oα. α. Shiwikel zweie Eee De Shiwikel zweie Eee i gleih dem Wikel zwihe de eide Nomleekoe de Eee. Ah hie ewede m de mgeelle E E Koiz, de wie folg le: oα, d id hieei die Nomleekoe de Eee. Hie i e wihig wie die Vekoe oieie id, dehl ehe m mi Begihe im Zähle, m z emeide, d m de flhe (d.h. de gößee) Shiwikel eehe. Beiiel: E E oα, α, α α -α Wikel zwihe zwei Gede: Sheide ih zwei Gede g d h, o eehe ie Wikel, je zwei de Göße α d zwei de Göße - α. Ue dem Shiwikel eeh m de, de kleie ode gleih i, lo α. A de Rihgekoe d de Gede g d h egi ih fü de Shiwikel: o α D de Shiwikel zwihe de Gede h de gößee ei k, m e de kleiee eehe möhe, ez m d Sklodk i Begihe, ddh wid de kleiee eehe. Beiielfge: Beehe de Shiwikel de zwei Gede: g : h : oα α, (Ohe Begihe häe m de Wikel -,, eehe.)

7 Alyihe Geomeie Wikeleehge/ Adeehg Seie Seie XXX Alyihe Geomeie Adeehge Seie Seie XXX Wikel zwihe eie Gede d eie Eee: Sheide ih die Gede g d die Eee E, e ih im ehe Wikel, o gi e ge eie Eee F, die ekeh z Eee E i d g ehäl. Die Gede g ilde d mi dem Nomleeko o E, de i F ehle i, de Wikel - α, woei α de gehe Shiwikel zwihe g d E i. Co( - α ) o( - α )iα α i Beiielfge: Beehe de Shiwikel zwihe de Gede g d de Eee E: : g E: yz Ei Nomleeko o E i: i α, α Shik P: ()()- P(//-). Eee Eee Voezge: E E ; E d E i HNF Liege eide Eee f de ele Seie de Ug (Vozeihe de mkiee Teme gleih) de Beg de Diffeez, o de Beg de Smme diee Teme (de Aäde zm Ug) ilde. Beiiel: E E d d. Eee Gede Voezge: E g ; E i HNF, g i Pmeefom Mi dem Süzeko de Gede g d dem Nomleeko de Eee E eie Eee Eg, die g ehäl d llel z E i, ilde. D fofhe wie i. Beiiel: : E : g Eg i Nomlefom: Eg i HNF: : E g : E g Weie wie oe.

8 Alyihe Geomeie Lgeeziehg zwihe Gede d Eee Seie Seie XXX. Eee Pk Voezge: E i HNF Mi dem Oeko de Pke P d dem Nomleeko de Eee E eie Eee E ilde, die P ehäl d llel z i. D wie i die Nomlefom d die HNF ilde d fofhe wie i ode P i die eeifhe Fomel eieze: E i HNF (iehe.); P (//) d. Gede Gede Voezge: g d g i Pmeefom, g g Mi de Rihgekoe o g d g eie Nomleeko o g d g fide. Mi de Süzekoe d dem ee Nomleeko zwei llele Eee Eg d Eg ilde, die g zw. g ehle. D fofhe wie i. Beiiel: : g : g Nomleeko mi dem Kezodk emiel. Fofhe wie i d.. Gede Pk Voezg g F i Pmeefom Fü de kleie Ad gehe wi do, d PF d dmi d Sklodk Nll i. Dhe lä ih de Veko OF eehe: : g P(//); PF OF d PF. Pk Pk Die Pke P(//) d Q(//) he de Ad, de ih dem Beg de Diffeez ihe eide Oekoe eehe lä. Beiiel: PQ OP OQ d PQ

9 Alyihe Geomeie Lgeeziehge zwihe Gede d Eee Seie Seie XXX Die Gede g : i llel z de Eee w E : d lieg ih i de Eee, we die Gleihg w keie Lög h:;. Bedigg: De Rihgeko m lie hägig z de Rihgekoe d w ei. Bedigg: Die Diffeez de eide Süzekoe m lie hägig o dee de eide Rihgekoe de Eee d w ei Beiiel ): Beimmg eie Gede die llel z Eee i d dh eie Pk geh: Die Eee i dh die Pke A (//), B (//) d C (//) fegeleg. Die Gede geh dh de Pk P (//). D egi ih : E De Rihgeko d de Gede g d die Sekoe müe lie hägig ei. Al Rihgeko k m eie de Sekoe ehme, z.b. Die Gede : g i llel z Eee Beiiel ): ; : g : E ; Püfe de eide Bedige?: ; lie hägig; lie hägig; D LGS h keie Lög - -- Die Gede g : lieg i de Eee E: w, we die Gleihg w edlih iele Löge h:. Bedigg: De Rihgeko m lie hägig z de Rihgekoe d w ei. Bedigg: Die Diffeez de eide Süzekoe m lie hägig o dee de eide Rihgekoe de Eee d w ei Beiiel: ; : g ; : E Püfe de eide Bedige: lie hägig ; lie hägig D LGS h edlih iele Löge

10 Alyihe Geomeie Lgeeziehge zwihe Eee Seie Seie XXX Eee - Gede: Dhoßk: Pmeefom: E: d g: w Die gede g heide die Eee E im Pk P. Um diee Shik z emiel m m die Gedegleihg i die Eeegleihg eieze d ehäl eie Vile. Diee egi i die jeweilige Gleihg eigeez de Veko zm Pk P: E : d g: Gleihezg im LGS: I. - ègleihg III. mi mlilizie d hie o II. - Gleihg I. III. II - - è III hie o II. III è- è -, eigeez: - ; - eigeez i g egi: P / / Eee-Gede: Dhoßk: Koodiegleihg: g: w E: - Z Beimmg de Dhoßke m die Gedegleihg i Koodiefom geh wede: g: è ; ; - eigeez i Koodiegleihg: ()()-(-) è, lo eigeez i g egi Dhoßk P(//) Eee-Gede: Nomlegleihg: E : ( ) d g: w Die Gedegleihg wid i die Eeegleihg eigeez d omi emiel. ( ) w E: d g: è - - è -/ eigeez i g egi Dhoßk P / /

11 Alyihe Geomeie Lgeeziehge zwihe Eee Seie Seie XXX Eee llel: Nomlegleihg: E : ( ) E : ( ) Bedigg: Die eide Nomleekoe id lie hägig: E : d E : Rehg: Eee Pllel: Pmeegleihg: E : E : Bedigg: Die Beide Rihgekoe o de Eee E id lie hägig o de Rihgekoe de Eee E : d E : E : Rehg: d Eee ideih: Pmeegleihge: E : E : Bedigg: Wde eei geüf, o die Eee llel id, o eeh oh die Möglihkei, d ie ideih id. Die üf m, idem m die eide Süzekoe oeide hie: Sid die Eee ideih, o m lie hägig o d ei: E : E : Rehg: d Eee ideih: Nomlegleihg: E : ( ) E : ( ) Bedigg: Wde eei geüf, o die Eee llel id, o eeh oh die Möglihkei, d ie ideih id. Geüf wid diee dh d Shiee de eide Süzekoe d de hließede Püfg, o de ee Veko ekeh zm Nomleeko i: d E : d E : Rehg: d

12 Alyihe Geomeie Gegeeiige Lge o Gede Seie Seie XXX Shigedeeimmg: Pmeegleihge: E : E : Sid die Eee ih llel zeide ode ez m die eide Eeegleihge gleih d ehäl edlih iele Löge, o egi ih eie Shigede i de ih die Eee heide: E : E : m k Emilg eie Shigede im LGS: I. - k - m è Gleihg I. mi mlilizie d II. - k m mi II. ddie III. k m II. -km - ègleihg II mi mlilizie d Gleihg III mi mli- III. -k -m lizie. Ahließed III-II geehe: III. k - m è k- - /m i E eigeez: g: m Diee Vie wede die eide folgede ogezoge!!!!!! Shigedeeimmg: Nomlegleihg Pmeegleihg: E : ( ) E : Die Pmeegleihg wid i die Nomlegleihg eigeez fü: ( ) E : E : eigeez: fü -, eigeez i E : g: Shiegedeeimmg: Koodiegleihg: E : d E : Im LGS eie We fü ei emiel d eieze. I Gleihg II mi mlilizie d mi I II. - - ddie: - - fü eigeez è / eigeez i II: - - : m g

13 Alyihe Geomeie Gegeeiige Lge o Gede Seie Seie XXX Die Gede g : d h : id ideih, we die Vekogleihg edlih iele Löge h. Bedigg: De Rihgeko m lie hägig z de Rihgeko ei. Bedigg: De Rihgeko m lie hägig z de Diffeez de eide Süzekoe ei Beiiel: : g ; : h ; Püfe de Bedigge:, ; lie hägig; -; lie hägig D LGS h edlih iele Löge Die Gede g : d h : id zeide llel, we die Vekogleihg keie Lög h ( Ahg: Ah ei Widhief). Bedigg: De Rihgeko m lie hägig z de Rihgeko ei. Bedigg: De Rihgeko m lie hägig z de Diffeez de eide Süzekoe ei Beiiel: : g ; : h ; Püfe de Bedigge:,; lie hägig keie Lög; lie hägig D LGS h keie Lög

14 Die Gede g : d h : heide ih i eiem Pk, we die Vekogleihg eie Löge h. Bedigg: De Rihgeko m lie hägig z dem Rihgeko ei. Bedigg: Die Diffeez de eide Süzekoe m lie hägig o dee de eide Rihgekoe de Eee d ei Beiiel: : g ; : h ; Püfe de Bedigg: keie Lög; lie hägig -;, lie hägig I. I-II egi II. eieze i I, II ode III egi III. -- ode i die jeweilige Vekogleihg eieze egi de Shik Die Gede g : d h : id zeide widhief, we die Vekogleihg keie Lög h ( Ahg: Ah ei Pllel). Bedigg: De Rihgeko m lie hägig z dem Rihgeko ei. Bedigg: Die Diffeez de eide Süzekoe m lie hägig o dee de eide Rihgekoe de Eee d ei Beiiel: : g ; : h ; Püfe de Bedigge: keie Lög; lie hägig keie Lög; zeide widhief D LGS h keie Lög