Günter Baars E-Lern- und Lehrmedium: Quantenchemie und Chemie farbiger Stoffe Modul: Quantenchemie und chemische Bindung Übungen mit Lösungen

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2 Günter Baars E-Lern- und Lehrmedium: Quantenchemie und Chemie farbiger Stoffe Modul: Quantenchemie und chemische Bindung Übungen mit Lösungen Korrektorat: Dina Baars, Bern Illustrationen: Christoph Frei, Bern 1. Auflage 1 Alle Rechte vorbehalten Copyright Pädagogische Hochschule PHBern

3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Übungen 4 Lösungen zu den Übungen 1

4 1 Übungen 1 Übungen 1. Gegeben ist der Grundzustand des Wasserstoff-Atoms. Skizzieren Sie den Verlauf der Amplitude der Elektronenwelle, der Aufenthaltswahrscheinlichkeit und der radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeit..a Welche Beziehung besteht zwischen den beiden gegebenen Abbildungen?.b Zeichnen Sie den Verlauf der radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeit (ψ s4πr dr) für diesen Schwingungszustand..a Interpretieren Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Wasserstoff- Atom (Grundzustand)..b Skizzieren Sie die Wolkendarstellung der Elektronendichte. 4. Die grafische Abbildung gibt Ihnen den Verlauf der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms. Interpretieren Sie den Verlauf der Kurve. Weshalb lässt sich der Kurvenverlauf nicht ohne das Modell einer stehenden Materiewelle verstehen? 4

5 1 Übungen 5. Nehmen Sie zu folgender Aussage Stellung: Das Elektron im Wasserstoff-Atom hält sich im ersten angeregten Zustand in der zweiten Elektronenschale, der L-Schale, auf. Was bedeutet in diesem Zusammenhang der Begriff Elektronenschale"? 6. Geben Sie die Verteilung der Elektronen eines Chlor-Atoms auf die verschiedenen Wellenfunktionen an. 7. Was versteht man unter der Wolkendarstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte? 8.a Welche Informationen lassen sich aus der grafischen Darstellung der Wellenfunktion ψs des Wasserstoff-Atoms gewinnen? 8.b Skizzieren Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des s-zustands. 9. Skizzieren Sie die Wolkendarstellung der Wahrscheinlichkeitsdichten für den 1s- und den s-zustand des Elektrons im Wasserstoff-Atom. Welche Unterschiede lassen sich zwischen den beiden Energiezuständen erkennen? 1. Worin liegt der Unterschied zwischen den beiden für das Wasserstoff-Atom verwendeten Elektronendichten? 11. Das Elektron im Wasserstoff-Atom kann in den verschiedenen Schwingungszuständen u.a. mit s- bzw. mit p-wellenfunktionen beschrieben werden. Worin unterscheiden sich diese beiden Funktionsarten? Welche Unterschiede weisen die s- bzw. p-funktionen in den verschiedenen Schwingungszuständen auf? 1. Interpretieren Sie die gegebenen Abbildungen (Wolkendarstellung der Elektronendichten p): 5

6 1 Übungen 1.a 1. Interpretieren Sie die gegebenen Abbildungen (Wellenfunktion ψp z in unterschiedlichen Winkeln zur z-achse): 1.b 1.c 6

7 1 Übungen 14. Skizzieren Sie die Graphen für die s-wellenfunktion und die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit der s-wellenfunktion. Interpretieren Sie kurz die grafischen Darstellungen. 15. Interpretieren Sie folgende grafische Darstellung: 16. Interpretieren Sie folgende Abbildung: 17. Interpretieren Sie die folgenden Abbildungen: 7

8 1 Übungen Interpretieren Sie die gegebenen Abbildungen: 19. Gegeben sind die Wellenfunktionen p. Welche Winkel sind zu wählen, wenn man nur Funktionswerte entlang der Achsen betrachtet? a 1 e a a 1 cosφ sin θ 4π r x r ψp = a 1 e a a 1 sin φ sin θ 4π r y r ψp = a 1 e a a 1 cosθ 4π r z r ψp =. Beschriften Sie die Achsen des Koordinatensystems. Was bedeuten die gegebenen Graphen? Wie hängen diese Graphen zusammen?

9 1 Übungen 1. Wie muss die Beschriftung der y-achse in der folgenden Abbildung lauten? (Zutreffendes ankreuzen) 9

10 1 Übungen o Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Grundzustand des Wasserstoff- Atoms; ψ 1sdV o Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Grundzustand des Wasserstoff-Atoms; ψ 1s4πr dr o Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms; ψ sdv o Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms; ψ s4πr dr. Gegeben ist folgende Abbildung:.a Wie viele Knotenflächen hat die der Abbildung zugrunde liegende Funktion?.b Zu welchem Energiezustand gehört die Funktion?. Gesucht ist eine Erklärung für das Zustandekommen einer Atombindung (kovalente Bindung) mit dem Wellenmodell. Welche der folgenden Aussagen treffen zu? Zwei Elektronenwellenfunktionen überlagern sich konstruktiv. Die Elektronendichte zwischen zwei Atomrümpfen wird erhöht. Zwei Elektronen halten sich immer zwischen den Atomrümpfen auf. Ein Elektron geht von einem Atom auf ein anderes über. trifft zu trifft nicht zu weiss nicht 1

11 1 Übungen 4. Was geschieht, wenn einem Wasserstoff-Molekül so viel Energie zugeführt wird, dass ein Elektron in ein anderes Orbital übergehen kann? Ein Elektron geht von einem antibindenden Orbital in ein bindendes Orbital über. Ein Elektron geht von einem bindenden Orbital in ein antibindendes Orbital über. Die Bindungsordnung verändert sich. Das Molekül fällt auseinander. 5. Gegeben sind zwei Molekülorbitale A und B. trifft zu trifft nicht zu weiss nicht A B 5.a Aus welchen Atomorbitalen sind die beiden entstanden? (Zutreffendes ankreuzen) p x + p x p y + p y s + p x 5.b Welches ist das energiereichere Molekülorbital? (Zutreffendes ankreuzen) o A o B 5.c Warum ist eines der Molekülorbitale energiereicher? 11

12 1 Übungen 6.a Füllen Sie das folgende Orbitalenergiediagramm für Sauerstoff aus. 6.b Welche Bindungsordnung hat das Sauerstoff-Molekül? 6.c Zeichnen Sie die Lewis-Formel eines Sauerstoff-Moleküls. 6.d Vergleichen Sie die Aussagen der Lewis-Formel mit den Aussagen des Orbitalenergiediagramms 1

13 Lösungen zu den Übungen Lösungen zu den Übungen 1. Amplitude Aufenthaltswahrscheinlichkeit radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit.a Die Funktion ψs besitzt einen Wert für ψ, der fünfmal (±) vorkommt (nahe bei null). Damit existieren fünf Kugeloberflächen mit dem Funktionswert ±ψ, drei mit positivem (rote Farbe) und zwei mit negativem (blaue Farbe) Vorzeichen..b.a Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einem Raumvolumen dv anzutreffen, ist in der Nähe des Atomkerns gross, wird rasch kleiner und geht im Unendlichen gegen null..b 1

14 Lösungen zu den Übungen 4. Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einem Raumvolumen dv anzutreffen, ist in der Nähe des Atomkerns gross, geht dann zurück auf null, steigt anschliessend auf ein kleines Maximum an, wird wieder kleiner und geht im Unendlichen gegen null. Würde man das Elektron als Teilchen betrachten, dann wäre es nicht verständlich, wie es aus der Nähe des Atomkerns zu dem kleinen Maximum gelangen könnte, weil dazwischen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit null ist. In diesem Fall muss die Vorstellung einer stehenden Materiewelle herangezogen werden, die eine Nullfläche (eine Knotenfläche) besitzt. 5. Die Elektronenschale L entspricht in der Quantenchemie einer Kugelschale, in der die Wahrscheinlichkeit, das Elektron anzutreffen, ein Maximum ist Cl: 1s s p 6 s p x p 1 y p z 7. Die Visualisierung der Elektronendichte erfolgt oft durch die sogenannte Wolkendarstellung. Dabei betrachtet man das Elektron als Teilchen (Teilchenmodell), von dem viele Momentaufnahmen übereinander projiziert wurden. Je grösser die Anzahl der Punkte pro Flächeneinheit, desto grösser ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron dort anzutreffen. 8.a Die Werte (die Amplituden) der Funktion ψs (. Energiezustand) sind in der Nähe des Atomkerns hoch, sinken dann auf null ab, werden negativ, erreichen ein Minimum, steigen dann wieder an und gehen im Unendlichen gegen null. 8.b 9. Aufenthaltswahrscheinlichkeit radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit Elektronendichte ψ 1sdV Elektronendichte ψ sdv 14

15 Lösungen zu den Übungen Die Elektronendichte 1s ist in der Nähe des Kerns gross und wird mit zunehmendem Abstand immer kleiner. Im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms ist die Elektronendichte in der Nähe des Kerns ebenfalls gross, sinkt aber dann rasch auf null ab. Anschliessend erreicht sie wieder einen grösseren Wert, der mit zunehmender Entfernung vom Kern immer kleiner wird. 1. Die Elektronendichte vergleicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in gleichen Volumenteilen dv, wenn diese verschiedene Abstände vom Atomkern auf- dw weisen: dv 1 = ψ 1s = πa e r ao Radiale Elektronendichte: Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons eines Wasserstoff-Atoms in einer Kugelschale mit dem Durchmesser dr in Bezug auf das Volumen einer Kugelschale V = 4πr dr in unterschiedlichen Abständen vom Atomkern: dw 1 = ψ 1s = 4πr dr πa e r a o 11. s-wellenfunktionen: Die Grössen der Amplituden der s-wellenfunktionen sind nur vom Abstand r zum Atomkern abhängig. Ab dem. Energiezustand weisen die Funktionen Nullstellen (Knotenflächen) und damit auch negative Werte auf. Gleiche Funktionswerte liegen auf Oberflächen von Kugeln (geometrische Örter) mit dem Atomkern als Zentrum. Jeder Energiezustand (jede Elektronenschale) besitzt eine s-wellenfunktion. p-wellenfunktionen: Neben den Abständen zum Atomkern ist die Grösse der Amplituden von p-wellenfunktionen auch durch die Winkel θ und ϕ bestimmt. Alle p- Funktionen haben positive und negative Werte sowie eine Nullstelle (Knotenfläche) durch den Atomkern, zu der weitere Nullstellen bei den höheren Hauptquantenzahlen hinzukommen. p-funktionen gibt es erst ab dem. Energiezustand. Der geometrische Ort aller Punkte mit dem gleichen Funktionswert ψ ist die Oberfläche von hantelförmigen Körpern, die sich symmetrisch um eine Koordinatenachse ausrichten. Ab dem zweiten Energiezustand gibt es jeweils drei p-funktionen pro Elektronenschale. W d 1. Wolkendarstellung der Elektronendichte = ψ p : Die Elektronendichte ist im dv Atomkern null (r = ), steigt mit zunehmendem Abstand vom Kern auf ein Maximum an und geht im Unendlichen gegen null. Mit zunehmenden Winkeln θ und ϕ werden die Werte kleiner, bis sie in den entsprechenden Koordinatenebenen null sind (Knotenflächen: xy-ebene für ψ p z ; yz-ebene für ψ p x ; xz-ebene für ψ p y ). 15

16 Lösungen zu den Übungen 1.a Verlauf der Funktionswerte ψp z auf der z-achse in Abhängigkeit von r und den Winkeln θ = und θ = 18 1.b Verlauf der Funktionswerte ψp z, bzw. 1 von der z-achse entfernt und damit in Abhängigkeit von r und den Winkeln θ = und θ = 1 1.c Verlauf der Funktionswerte ψp z, 6 bzw. 4 von der z-achse entfernt und damit in Abhängigkeit von r und den Winkeln θ = 6 und θ = Die Kurven zeigen den (gewohnten) Verlauf der ψp z -Wellenfunktion. Je grösser der Abstand von der z-achse, desto kleiner werden, entsprechend dem Kosinus, die Funktionswerte ψ. s-wellenfunktion radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit s-wellenfunktion: Die Amplitude ist in der Nähe des Atomkerns gross, geht zurück auf null, erhält ein negatives Vorzeichen, erreicht ein Minimum, wird null und geht nach einem kleinen Maximum im Unendlichen gegen null. Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in Kugelschalen der Dicke dr anzutreffen, ist im Atomkern null, geht auf ein kleines Maximum, wird wieder null, anschliessend erscheint ein grösseres Maximum und nach einem nochmaligen Wert null erreicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit das grösste Maximum (. Elektronenschale), bevor sie im Unendlichen gegen null geht. 15. Die Abbildung zeigt die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im. Energiezustand des Wasserstoff-Atoms (ausgehend von einer p-wellenfunktion). Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Kugelschalen der Dicke dr nimmt vom Atomkern ausgehend auf ein Maximum zu, wird anschliessend kleiner und geht im Unendlichen gegen null. 16. Es handelt sich um die Wolkendarstellung der Elektronendichte einer p-wellenfunktion. Mit zunehmendem Abstand auf bzw. von der Koordinatenachse weg nimmt die Elektronendichte ab. Die beiden darüber gelegten Kugelschalen deuten die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im. Energiezustand an. 16

17 Lösungen zu den Übungen 17. In den drei Abbildungen ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (ψ p z dv) des Elektrons dargestellt. Je grösser der Abstand zur z-achse, desto kleiner werden die Werte für ψ. 18. Die drei Abbildungen zeigen den geometrischen Ort aller Punkte mit einem bestimmten Funktionswert ±ψ (rot: positiv, blau: negativ). 19. x-achse: Die x-achse liegt in der xy-ebene, also 9 von der z-achse entfernt; dies bedeutet: θ = 9, ϕ: bzw. 18. Damit vereinfacht sich die Winkelfunktion ψp x, da der Sinus von 9 +1 und der Kosinus von bzw. 18 ±1 beträgt. 1 1 r a ψpx = ()( 1 ± 1) e 4π a a y-achse: Die y-achse liegt ebenfalls in der xy-ebene. Der positive Achsenabschnitt bildet mit der positiven x-achse einen Winkel von 9, der negative Teil einen von 7 ; dies bedeutet: θ = 9, ϕ = 9 bzw. 7. Der Sinus dieser beiden Winkel beträgt ±1. Folglich gilt für die Winkelfunktion ψp y auf der y-achse: 1 1 r a ψp y = ()( 1 ± 1) e 4π a a z-achse: Für die z-achse ist nur der Winkel θ massgebend, der bzw. 18 beträgt. Folglich müssen für den Ausdruck sin bzw. sin 18 die Werte ±1 eingesetzt werden: 1 1 r a ψpz = ( ± 1) e 4π a a. Die drei Abbildungen zeigen die Wellenfunktion ψs, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ψ sdv sowie die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit ψ s4πr dr des Elektrons im. Energiezustand des Wasserstoff-Atoms. r r r Wellenfunktion s 17

18 Lösungen zu den Übungen Aufenthaltswahrscheinlichkeit s 1. radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit s o Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Grundzustand des Wasserstoff- Atoms: ψ 1sdV o Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Grundzustand des Wasserstoff-Atoms: ψ 1s4πr dr o Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms: ψ sdv x Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im ersten angeregten Zustand des Wasserstoff-Atoms: ψ s4πr dr.a Es sind zwei Knotenflächen erkennbar, da das Vorzeichen zweimal wechselt..b Es handelt sich um den dritten Energiezustand des Wasserstoff-Atoms, dargestellt durch die ψs-wellenfunktion. 18

19 Lösungen zu den Übungen. trifft zu Zwei Elektronenwellenfunktionen überlagern sich konstruktiv. x Die Elektronendichte zwischen zwei Atomrümpfen wird erhöht. x Zwei Elektronen halten sich immer zwischen den Atomrümpfen auf. Ein Elektron geht von einem Atom auf ein anderes über. trifft nicht zu x x weiss nicht 4. trifft zu Ein Elektron geht von einem antibindenden Orbital in ein bindendes Orbital über. Ein Elektron geht von einem bindenden Orbital in ein antibindendes Orbital über. x Die Bindungsordnung verändert sich. x Das Molekül fällt auseinander. x 5.a trifft nicht zu x weiss nicht p x + p x x p y + p y s + p x 5.b o A x B 5.c Das MO B weist drei Knotenflächen auf, im Gegensatz zu A, das nur zwei Knotenflächen besitzt. 19

20 Lösungen zu den Übungen 6.a) 6.b BO: 6.c O O 6.d Das Sauerstoff-Molekül ist ein Diradikal. Die Molekülorbitale ψπ*p y und ψπ*p z sind nur mit je einem Elektron besetzt. Experimentelle Untersuchungen haben ergeben, dass Sauerstoff eine spezielle Eigenschaft besitzt, den Paramagnetismus (Sauerstoff wird von einem inhomogenen magnetischen Feld angezogen), der auf diesen Radikalcharakter hinweist. Aus der Lewis-Formel des Sauerstoff-Moleküls, die ausschliesslich doppelt besetzte Wolken enthält, ist diese Stoffeigenschaft nicht erkennbar.