R. Scheithauer Signale und Systeme

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1 R. Scheithauer Signale und Systeme

2 Leitfaden der Elektrotechnik Begründet von Professor Dr.-Ing. Franz Moeller Herausgegeben von Professor Dr.-Ing. Hans Fricke, Braunschweig Professor Dr.-Ing. Heinrich Frohne, Hannover Professor Dr.-Ing. Karl-Heinz Löcherer, Hannover Professor Dr.-Ing. Jürgen Meins, Braunschweig Professor Dr.-Ing. Rainer Scheithauer, Furtwangen B. G. Teubner Stuttgart

3 Signale und Systeme Von Professor Dr.-Ing. Rainer Scheithauer Fachhochschule Furtwangen Mit 317 Bildern, 12 Tabellen und 56 Beispielen m B. G. Teubuer Stuttgart 1998

4 ISBN ISBN (ebook) DOI / Die Dcutsche Bibliothek - CIP Einheitsaufnahme Scheithauer, Rainer: Signale und Systemc : mit 56 Beispicicn / von Rainer Scheithauer Stuttgart : Teubner (Leitfaden der Elektrotechnik) Das Werk einschlieblich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschlitzl Jede Verwcrtung aubcrhalb der engen Grcnzcn des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzuliissig und strafbar. Das gilt besonders fiir Ver vielfăltigungcn, Obcrsetzungcn. Mikrovcrfilmungen und die Einspeichcrung und Vcrarbeitung in e1ektronischen Systemcn.!f) B. G. Teubner Stuttgart 1998 Solkover reprint ofthe hardcover Ist edition 1998 Umschlaggestaltung: Petcr Pfitz. Stuttgart

5 Vorwort Wer die Studieninhalte der elektrotechnischen Studiengänge über die letzten Jahre hinweg beobachtet hat, wird mir sicherlich zustimmen, daß klassische Lehrgebiete aus dem Maschinenbau wie Mechanik, Thermodynamik oder auch Konstruktionslehre sowie aus der Elektrotechnik wie Theoretische Elektrotechnik, Netzwerktheorie u.a. zugunsten neuerer Felder zurückgenommen wurden. Die Gewinner dieser Reformen sind zum einen die softwareorientierten Fächer wie Programmiersprachen, Softwareengineering usw.; zum anderen sind dies die algorithmenorientierten Fächer wie die Systemtheorie als Grundlagenfach und darauf aufbauend die Gebiete der Nachrichten- und Kommunikationstechnik sowie der Regelungs- und Automatisierungstechnik. Diese Änderungen sind sicherlich zeitgemäß und entsprechen den neuen Anforderungen an Elektroingenieure. War vor 20 Jahren in den technischen Abteilungen ein Verhältnis zwischen hard- und softwareorientierten Ingenieuren von vielleicht 70% zu 30% anzutreffen, so hat sich in der Zwischenzeit das Verhältnis umgekehrt. So gesehen entspricht das Arbeitsgebiet des Elektroingenieurs heutzutage mehr dem eines technischen Informatikers. Auch wenn zahlreiche Softwarepakete den Ingenieuren die Arbeit erleichtern oder sogar abnehmen, so ist es doch unsere Aufgabe als Hochschullehrer, gerade im Grundlagenstudium mit den Studierenden eine Basis zu erarbeiten, die erst das effektive Arbeiten mit den Programmen ermöglicht. Sonst kann es passieren, daß mit PSPICE eine Schaltung simuliert oder mit MA TLAB ein FIR-Filter entworfen wird, die Ergebnisse aber kritiklos akzeptiert werden, auch wenn sie aufgrund fehlerhafter Eingaben völlig unsinnig sind. Glücklicherweise verstehen die meisten unserer Studierenden diese Situation und arbeiten selbst in der sicherlich etwas "trockenen" Systemtheorie begeistert mit; ein Lob, das ich unseren Studenten an dieser Stelle ausdrücklich machen möchte, es ist nicht übertrieben. Nach meiner Auffassung ist die Systemtheorie ein interdisziplinäres Fach. Die Verfahren der Meß- und Regelungstechnik bauen vor allem auf den Zeitbereichsbeschreibungen auf wie den Differentialgleichungen, der Sprung- und der Impulsantwort sowie der Laplace-Transformation, die aber häufig auch als eine indirekte Zeitbereichsmethode verwendet wird. In der Nachrichten- und Kommunikationstechnik werden dagegen vor allem die Frequenzbereichsmethoden benötigt, allen voran die Fourier-Transformation. Es ist wichtig zu erkennen, daß es sich dabei nur um verschiedene Aspekte derselben

6 VI Vorwort Signale und Systeme handelt. Es war mein besonderes Anliegen, diese Verbindungen deutlich herauszuarbeiten und darzustellen. Die verwendeten Formelzeichen sind deshalb auch weder die nachrichten- noch die regelungstechnischen, sondern neutrale, in der Systemtheorie übliche. Auch der rote Faden ist ein klassisch systemtheoretischer: Nach einem kurzen einruhrenden I. Kapitel werden im 2. Kapitel die grundlegenden Eigenschaften der Signale und Systeme erläutert. Der Stoff beschränkt sich dabei auf die linearen zeitinvarianten Systeme. Zwar sind reale Systeme (genau genommen alle) nichtlinear; es ist aber sehr hilfreich, wenn man versteht, wie die Reaktionen linearer Systeme berechnet werden können. Glücklicherweise sind die meisten Filter und Regler - zumindest theoretisch - linear. Im 3. Kapitel werden die Zeitbereichsbeschreibungen entwickelt und diskutiert, im 4. Kapitel folgen die Fourier-Analyse und die Fourier-Transformation; im 5. Kapitel wird die Laplace-Transformation behandelt. Das 6. Kapitel hätte auch die Überschrift "Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung" tragen können, denn es handelt von den zeitdiskreten Signalen und Systemen. Das 7. Kapitel über stochastische Signale und die Reaktionen linearer zeitinvarianter Systeme ergänzt den Stoff auf diesem wichtigen Gebiet. Im 8. Kapitel werden wesentliche Ergebnisse bzgl. kontinuierlicher und diskreter Signale und Systeme gegenübergestellt und kurz kommentiert. Dieses Buch soll ein Lehrbuch sein. Die Herleitungen und Darstellungen sind ausfiihr Iich kommentiert; wo es möglich ist, werden Bilder eingesetzt. Jedes wichtige Zwischenergebnis wird durch eine oder mehrere Übungsaufgaben vertieft. Abschließend werden die wichtigsten Gleichungen und Erkenntnisse zusammengefaßt und eingekästelt. Sollte Ihnen, liebe Leserin, lieber Leser, irgend etwas ein- oder auffallen (ein Hinweis, ein Kommentar, möglicherweise sogar ein Rechenfehler o.ä.), so wäre ich Ihnen über eine Rückmeldung sehr dankbar; in einer neuen Auflage könnten diese berücksichtigt werden. Schreiben Sie Ihre Kommentare dem Verlag oder einfach mir per (rsh@fh-furtwangen.de). Vielen Dank im voraus rur Ihre Mühe. Dieses Buch wäre ohne Unterstützung und Mithilfe nicht möglich gewesen. Die beiden Studenten des Fachbereichs Informationssysteme der Fachhochschule Furtwangen, die Herren Jörg Wintermantel und Markus Striegel, haben viele der Bilder gezeichnet; hierrur mein besonderer Dank. Ebenfalls danken möchte ich meiner Familie sowie meinen Rektoratskollegen, daß sie es mir sooft ermöglichten, mich an meinen Rechner "hinwegzustehlen". Ein ganz besonderer Dank gebührt auch meinem ehemaligen Lehrer und jetzigen Kollegen als Herausgeber der Reihe Herrn Prof. DrAng. K.-H. Löcherer. Er hat mit großer Kompetenz und Geduld das Buch gelesen und kommentiert und sein Entstehen begleitet. Ebenfalls danken möchte ich abschließend dem Teubner-Verlag, hierbei insbesondere Herrn Dr. J. Schlembach, rur die gute Zusammenarbeit und stets wohlwollende Unterstützung. Furtwangen, im Januar 1998 Rainer Scheithauer

7 Inhalt 1 Einleitung 1 2 Grundlegende Eigenschaften von Signalen und Systemen Der Übergang zu normierten Signalen Wesentliche Merkmale von Signalen Elementarsignale Die Sprungfunktion Die Rampenfunktion Die Deltafunktion Die Exponentialfunktion und die komplexe Exponentialschwingung Lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme) Kausalität und Stabilität 49 3 Die Behandlung kontinuierlicher LTI-Systeme im Zeitbereich Das Verhalten statischer und dynamischer Systeme Die Reaktion auf die Sprung-, Impuls- und Rampenfunktion Die Reaktion auf eine zusammengesetzte Erregung Die Faltung Die Grundgleichungen Faltungsalgebra Klassifizierung von LTI-Systemen Proportionale Systeme Integrale Systeme Differenzierende Systeme Kombinierte Systeme Tot- bzw. Laufzeitsysteme Das allgemeine L TI -System n-ter Ordnung 102

8 VIII Inhalt 3.7 Stabilitätsbetrachtungen Die Behandlung kontinuierlicher LTI-Systeme im Frequenzbereich Die Reaktion auf eine sinusförmige Erregung Logarithmierte Verhältnisgrößen Logarithmierte Verhältnisgrößen mit der Basis e Logarithmierte Verhältnisgrößen mit der Basis Beziehungen zwischen Np und db Zusammenschaltung von Systemen Berechnung elektrischer Netzwerke mit Hilfe der Übertragungsfunktionen Die Frequenzgänge der elementaren Systeme Statische Systeme und D-Systeme Terme 1. Ordnung Terme 2. Ordnung Tot- bzw. Laufzeitsysteme Zusammengeschaltete Systeme Periodische Erregungen: Die Fourier-Analyse Die Grundgleichungen Die Reaktion auf eine periodische Erregung Nicht-periodische Erregungen: Die Fourier-Transformation Die Grundgleichungen Existenz und Darstellung der Fourier-Transformierten Eigenschaften der Fourier-Transformation Rechenregeln und Theoreme Weitere Spektren und Anwendungen der Theoreme Zeitdauer und Bandbreite Die Reaktion auf eine nicht-periodische Erregung Ideale Übertragungssysteme Dämpfungs-, Phasen- und Laufzeitdefinitionen Das verzerrungsfreie System Der ideale Tiefpaß Der ideale Hochpaß Der ideale Bandpaß Die ideale Bandsperre Die Amplitudenmodulation 207

9 Inhalt IX 5 Die Behandlung kontinuierlicher Systeme im Bildbereich Grundlagen Defmition der Laplace-Transformation Der Konvergenzbereich Defmition der Rücktransformation Bildfunktionen elementarer Signale Eigenschaften der Laplace-Transformation Rationale Bildfunktionen Die Bildfunktion F(s) = -} Das Pol-Nullstellen-Diagramm Die Rücktransformation rationaler Bildfunktionen Berechnung der Reaktionen mit der Laplace-Transformation Energiefreie Systeme Nicht-energiefreie Systeme Blockschaltbildalgebra Der Zusammenhang zwischen der Fourier- und der Laplace-Transformation Zeitdiskrete Signale und Systeme Die Arbeitsweise der digitalen Signalverarbeitung Elementare Signalfolgen Die Spung- und Impulsantwort sowie die Faltungssumme Die zeitdiskrete Fourier-Transformation (ZDFT) Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) Die z-transformation Die Grundgleichungen Die Eigenschaften der z-transformation Rationale Bildfunktionen Differenzengleichungen, Übertragungsfunktionen und Strukturen diskreter LTI-Systeme Diskrete Modelle kontinuierlicher Systeme Entwurf auf vorgegebene Eingangssignale Treppenförmige Erregungen und die exakte z-übertragungsfunktion Die Rechteck- und die Trapeznäherung sowie die bilineare Transformation 349

10 X Inhalt 7 Stochastische Signale und die Reaktionen von L TI-Systemen Die Beschreibung stochastischer Signale Stationäre und ergodische stochastische Prozesse Korrelationsfunktionen Eigenschaften von Korrelationsfunktionen Die Messung von Korrelationsfunktionen Korrelationsfunktionen periodischer Signale Die Reaktionen von L TI -Systemen bei Erregung mit Zufallssignalen Die spektrale Leistungsdichte Die Grundgleichungen Eigenschaften der spektralen Leistungsdichten Weißes Rauschen Die Leistungsdichtespektren von Ausgangssignalen Zeitdiskrete Zufallssignale Einige Anwendungen Messung der Impulsantwort Die Erkennung periodischer Signale im Rauschen Optimale Suchfilter (matched filter) Gegenüberstellung zeitkontinuierlicher und -diskreter Signale und Systeme 405 Anhang Literaturverzeichnis Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Einige Beziehungen für komplexe Zahlen Korrespondenzen der Fourier-Transformation Korrespondenzen der Laplace-Transformation Korrespondenzen der zeitdiskreten Fourier-Transformation (ZDFT) Korrespondenzen der z-transformation Formelzeichen 428 Sachverzeichnis 430