Kapitel 6 Bindungen in Mehrkörpersystemen

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1 Kapitel 6 Bindungen in Mehrkörpersystemen Die Bindungen in Mehrkörpersystemen gehen auf die Gelenke zurück, welche die Körper miteinander verbinden. In diesem Kapitel werden die Bindungen für allgemeine Gelenke und für typische spezielle Gelenktypen formuliert. Hierzu werden zunächst in Abschnitt 6.1 häufig verwendete Gelenktypen beschrieben. Die Kopplungen der Körper durch Gelenke legen gemäß Abschnitt 6.2 den topologischen Aufbau als offenes System mit Baumstruktur oder als geschlossenes System mit kinematischen Schleifen fest. Die Gesamtheit aller Bindungen der Gelenke definiert gemäß Abschnitt 6.3 die kinematische und statische Bestimmtheit eines Mehrkörpersystems. In den Abschnitten 6.4 und 6.5 werden die Bindungen der Gelenke sowohl in impliziter als auch in expliziter Form aufgestellt. Die sich daraus ergebenden Orthogonalitätsbeziehungen zwischen den freien und gesperrten Raumrichtungen führen in Abschnitt 6.1 auf die dazu gehörenden impliziten und expliziten Reaktionsbedingungen. Die erweiterten Formulierungen für Gelenke mit nichtholonomen Bindungen werden in Abschnitt 6.7 gezeigt. Abschließend gibt Abschnitt 6.8 eine Übersicht über die Verwendung der impliziten und expliziten Gelenkbindungen und Reaktionsbedingungen in den verschiedenen Formulierungen der Bewegungsgleichungen von Mehrkörpersystemen. 6.1 Gelenke in Mehrkörpersystemen Ein Gelenk verbindet jeweils zwei Körper eines Mehrkörpersystems so, dass sie in dauernder gegenseitiger Berührung gehalten werden und dabei relativ zueinander beweglich sind. Damit stellt ein Gelenk zweiseitige Bindungen zwischen den Körpern her. Die geometrische Form der Berührelemente des Gelenks definiert die freien und gesperrten Richtungen der relativen Bewegung der Körper. Im Folgenden werden Gelenke betrachtet, welche durch holonome oder nichtholonome, zweiseitige Bindungen modelliert werden können. Zusätzlich können Gelenkbindungen skleronom oder rheonom sein. C. Woernle, Mehrkörpersysteme, DOI / _6, Springer-Verlag Berlin Heidelberg

2 192 6 Bindungen in Mehrkörpersystemen Gelenke mit holonomen skleronomen Bindungen Skleronome Gelenkbindungen werden durch die zeitlich nicht veränderlichen geometrischen Formen der Berührelemente des Gelenks definiert. Ein Gelenk mit bt holonomen, skleronomen Bindungen lässt relative Bewegungen der beiden Körper mit dem Freiheitsgrad f=6-b mit (6.1) zu, die durch f Lagekoordinaten, die relativen Gelenkkoordinaten, beschrieben werden können. Grenzfälle sind die starre Verbindung mit b = 6 bzw. f = 0 und die freie Relativbewegung mit b = 0 bzw. f = 6. Ein Gelenk mit dem Freiheitsgrad f = 1 ist das in Tabelle 6.1 gezeigte Schraubgelenk (Helical joint). Wird der relative Drehwinkel ß als Gelenkkoordinate definiert, so ergibt sich bei einer konstanten Schraubensteigung h die relative Verschiebung s = h ß. Sonderfälle des Schraubgelenks sind das Drehgelenk (Revolute joint) mit der Steigung h = 0 und das Schubgelenk (Prismatic joint) mit der Steigung h = 00. Tabelle 6.1 Gelenke mit dem Freiheitsgrad f = 1 Schraubgelenk (Helical joint) Drehgelenk (Revolute joint) Schubgelenk (Prismatic joint) s = hß (Steigung h) Steigung h = 0 Steigung h = 00 Zahlreiche Gelenke mit dem Freiheitsgrad f > 1 lassen sich aus Anordnungen hintereinandergeschalteter Dreh- und Schubgelenke aufbauen. Tabelle 6.2 zeigt exemplarisch das Dreh-Schubgelenk (Cylindrical joint), das Kardangelenk (Universal Joint, HOOKE 1 joint), das Kugelgelenk (Spherical joint) und das ebene Gelenk (Eben). Die Ersatzanordnungen gelten aber u.u. nicht im gesamten Bewegungsbereich des Gelenks. Beispielsweise entsprechen drei Drehgelenke mit sich gemeinsam in einem Punkt schneidenden Achsen nur dann einem Kugelgelenk, wenn die Achsen nicht in einer Ebene liegen. Als eine weitere Klassifizierung werden nach REULEAUX 2 entsprechend der Art der Körperberührung niedrige Elementenpaare (Standardgelenke, lower pairs) und höhere Elementenpaare (higher pairs) unterschieden. 1 ROBERT HOOKE, *1635 auf Isle of Wright, t1703 in London 2 FRANZ REULEAUX, *1829 in Eschweiler, tl905 in Berlin

3 6.1 Gelenke in Mehrkörpersyst.emen 193 Tabelle 6.2 Aus Dreh- und Schubgelenken zusammenset.zbare Gelenke Gelenk J Darst.ellung Ersat.zanordnungen ~~ l2 ~ß2 '. ~ I{llgel- gelenk 3 (Spherical) ~ß3 ßt9er Q} Drehschubgelenk 2 ' Y'-.J (Cylindric) ß.- I{ardangelenk 2 (Universal) Ebenes M;~. \ ß2 <;;::... 6ß ~ 81 '. t~ <I... ;«' ~ Gelenk 3 <:... (Eben) ;,;:? ~ Niedrige Elementenpaare Die Körper berühren sich entlang von Flächen. Es werden die in Tabelle 6.3 aufgeführten sechs niedrigen Elementenpaare unterschieden. Tabelle 6.3 Niedrige Element.enpaare Gelenk Sch rau bgelen k Drehgelenk Schllbgclenk Dreh-Schubgelenk I< ugelgelenk Ebenes Gelenk Symbol 1 1 R P C S E; Berührfläche Schraubenflächc Rot.ationsfläche rvtanlelfläche eines Prismas Zylindermant.el Kugeloberlläche Ebene

4 194 6 Bindungen in Mehrkörpersystemen Höhere Elementenpaare Die Körper berühren sich entlang von Linien oder Punkten. Beispiele sind in Tabelle 6.4 dargestellt. Tabelle 6.4 Beispiele höherer Elementenpaare Kurvengetriebe (eben) Stirnradverzahnung (eben) Kegelradverzahnung (sphärisch) Schneckenverzahnung (räumlich) Gelenke mit holonomen rheonomen Bindungen Bei der Modellbildung besteht häufig die Aufgabenstellung, dass die zeitlichen Verläufe einzelner Gelenkkoordinaten ß(t) vorgegebenen Funktionen folgen sollen. Die Zeitfunktionen können dann durch eine rheonome Bindung vorgegeben werden. Ein Gelenk mit b holonomen Bindungen, bestehend aus bt skleronomen und bl h rheonomen Bindungen, besitzt den Freiheitsgrad f=6-b mit (6.2) Ein solches Gelenk hat f freie und bl h rheonom geführte Gelenkkoordinaten Gelenke mit nichtholonomen Bindungen Ein Gelenk mit holonomen und nichtholonomen Bindungen weist i.allg. b L geometrische (holonome) Bindungen und b > b L kinematische Bindungen auf. Das Gelenk besitzt dann den Lage-Freiheitsgrad und den (Geschwindigkeits-)Freiheitsgrad (6.3) f=6-b <ho (6.4)

5 6.1 Gelenke in Mehrkörpersyst.emen Zur ModelIierung von Gelenken Die Art und Weise, wie eine gelenkige Verbindung zweier Körper eines Mehrkörpersystems modelliert wird, hängt von den getroffenen Annahmen ab, beeinflußt aber auch den Aufwand bei der ModelIierung und für die numerische Simulation. Dies wird an zwei Beispielen erläutert. Zur Modellierung von skleronomen Gelenken Als ein Beispiel wird in Tabelle 6.5 ein drehbar gelagerter Stab in der Ebene betrachtet. Wird die Lagerung durch ein ideales Drehgelenk modelliert, so ist die Lage des Stabendpunktes P durch zwei skleronome Bindungen geometrisch exakt festgelegt. Der Stab hat damit den Freiheitsgrad f = 1. Als Schnittkräfte treten die Reaktionskräfte f~ und f~ auf. Tabelle 6.5 Modelle der drehbaren AuOlängung eines St.abes in der Ebene Lagerung durch ein Drehgelenk: -+ Punkt P skle1'onom gebunden I: -=--o;p Viskoelast.ische AuOlängung: -+ P.unkt P nicht gebunden Freiheitsgrad 1=1 Reaktionskräfte j;,jj Freiheitsgrad 1=3 Eingeprägte Kräfte fi I fyc Alternativ kann die Lage des Punktes P durch zwei viskoelastische Kraftelemente (Federsteifigkeit c, Dämpfungskonstante d) gefesselt werden. Die Lage des Stabes ist dann geometrisch nicht beschränkt, und er hat in der Ebene den Freiheitsgrad f = 3. Die Schnittkräfte sind nun die eingeprägten Federkräfte r; und f:. Der Vorteil dieses Modells gegenüber dem Bindungsmodell ist die Möglichkeit, Steifigkeiten der Lagerung abzubilden. Durch Vergrößerung der Federsteifigkeit, also c , wird der Übergang in das Bindungsmodell erreicht. Große Federsteifigkeiten und Dämpfungskonstanten führen allerdings zu steifen Differentialgleichungen, die numerisch weniger günstig sind, vgl. Abschnitt Sofern der Einfluss von Gelenksteifigkeiten vernachlässigt werden kann, ist daher das Bindungsmodell zu bevorzugen. Zur Modellierung von rheonomen Gelenken Als ein Beispiel wird in Tabelle 6.6 ein in einem Drehgelenk gelagerter Stab betrachtet, dessen Drehwinkel ß(t) durch einen geregelten Antriebsmotor dem gegebenen zeitlichen Verlauf ßson(t) nachgeführt wird. Der Regler berechnet aus der Differenz

6 196 6 Bindungen in Mchrkörpcrsyst.emen Tabelle 6.6 Modelle eines Drehantriebs Ideal Ingegeregelter l\lotor erzeugt gewünschte Bewegung ß(t) = ßwll (t) : -- Winkel ß(t) 1"Iwonom gebunden l'vlomentgeregellel' i'vlotor erzeugt gewünschtes Moment Te(t): ~ Winkel ß(t) nicht gebunden!\iotor fi ~r' Motor Freiheitsgrad 1=0 Reaktionsmoment r' Freiheitsgrad 1=1 Eingeprägtes Moment r' der Ist- und Sollgrößen und gegebenenfalls weiterer Systeminformationen das hierzu erforderliche Motormoment r(t). Unter der Annahme einer ideal genauen Regelung kann eine rheouome Bindung für den Drehwinkel ß modelliert werden, g(ß, t) ; ß - ß&>II(t) = o. (6.5) Diese Bindung legt zusammen mit den beiden skleronomen Bindungen des Drehgelenks die Lage des Stabes zu jedem Zeitpunkt t vollständig fest. Der Freiheitsgrad des Systems ist daher 1 = o. Das durch den idealen Regler berechnete Motormoment ist das zu der Bindung (6.5) gehörende Reaktionsmoment T r. Ein Sonderfall ist der Antrieb einer i\iiaschine mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Dies wird häufig bereits ohne zusätzliche Regelung näherungsweise dadurch erreicht, dass das Trägheitsmoment des Antriebsmotors groß ist gegenüber den auf die Antriebswelle reduzierten, ungleichförmig bewegten Massen. Soll dagegen das dynamische Verhalten des geregelten Antriebs modelliert werden, so muss der Gelenkwinkel ß als eine freie Koordinate definiert werden. Der Stab hat dann den Freiheitsgrad f = 1. Das Antriebsmoment ist ein eingeprägtes Moment TC, das durch den Regler aus den gemessenen Lageund Geschwindigkeitsgrößen des Systems berechnet wird. Der Verlauf des Gelenkwinkels ß(t) ergibt sich unter den Wirkungen des Antriebsmoments und der weiteren am System wirkenden Kräfte und :Momente. Soll mit diesem Moden eine gegebene Bewegung ß,oll(t) des Systems simuliert werden, so muss ein Regler entworfen und parametriert werden, selbst wenn das Verhalten der Regelung nicht interessiert. Das rheonome Bindungsmodell hat damit den Vorteil, dass das Verhalten des Systems bei einer vorgegebenen Bewegung ohne Reglerentwurf unmittelbar simuliert werden kann.

7 6.2 I<lassifizierungen von Mehrkörpersystemen Klassifizierungen von Mehrkörpersystemen Ein System von Körpern, die durch Gelenke miteinander verbunden sind, wird als kinematisch zusammenhängendes Mehrkörpersystem bezeichnet. Ein kinematisch nicht zusammenhängendes :Mehrkörpersystem kann durch Einführung von Gelenken mit dem Freiheitsgrad f = 6 formal in ein kinematisch zusammenhängendes System überführt werden (Abb. 6.1). Solche Gelenke können z.b. durch Hintereinanderschaltung von drei senkrecht aufeinander stehenden Schubgelenken (3P) und einem Kugelgelenk (S) aufgebaut werden. S } Gelenk mit 31 Freiheitsgrad f = 6 a Q b Abb. 6.1 Mehrkörpersysteme. a I<inematisch nicht zusammenhängend. b Übergang auf ein kinematisch zusammenhängendes System durch ein Gelenk mit. dem F'reiheitsgrad f =6 Im Folgenden werden zwei für die Modellbildung wichtige Klassifizierungen von Mehrkörpersystemen betrachtet Topologische Klassifizierung Betrachtet wird ein mit dem raumfesten Bezugssystem Ko kinematisch zusammenhängendes :Mehrkörpersystem mit nc Gelenken und nj( starren Körpern, wobei das raumfeste Bezugssystem nicht als Körper gezählt wird. Es werden zwei topologische Grundprinzipien unterschieden (Tabelle 6.7). Offene Mehrkörpersysteme Bei einem offenen Mehrkörpersystem ist der Weg von jedem Körper zu jedem beliebigen anderen Körper eindeutig bestimmt. Insbesondere besteht damit ein eindeutiger Weg vom raumfesten Bezugssystem, der im Folgenden so genannten Baumwurzel, hin zu jedem Körper des Systems. Bei einem Schnitt an einem Gelenk zerfällt ein offenes Mehrkörpersystem in zwei Teile. Die Anzahl der Gelenke stimmt mit der Anzahl der Körper überein, nc = 11.J(. (6.6)

8 198 6 Bindungen in Mchrkörpersyst.emen Offene i\1[ehrkörpersysteme können eine Kettenstruktur oder eine Baumstruktur aufweisen. Tabelle 6.7 Topologische Klassifizierung von Mehrkörpers)'stemen Offene ~lehrkörpersysteme nl( Körper l1c =nl( Gelenke Prinzip Kettenstruktur Beispiel Knickarm-Roboter Baulllstruktur ~Iehrnrm-Roboter Geschlossene Mehrkörpersystell1e Körper Gelenke 11g =l1c -nk Schleifen teilweise geschlossenes System ScherelUum-l\lnnipulntor vollständig geschlossenes System HexnJXXI-Plattfonn

9 6.2 Klassifizierungen von Mehrkörpersystemen 199 Geschlossene Mehrkörpersysteme Werden in einem offenen Mehrkörpersystem weitere Gelenke eingefügt, so entsteht ein geschlossenes Mehrkörpersystem. Mit jedem weiteren Gelenk entsteht jeweils eine unabhängige kinematische Mehrkörperschleife. Ausgehend von (6.6) gilt damit für die Anzahl unabhängiger kinematischer Schleifen (6.7) Weiterhin lassen sich teilweise und vollständig geschlossene Mehrkörpersysteme unterscheiden. Ein teilweise geschlossenes Mehrkörpersystem besitzt offene Teilsysteme. Bei Schnitten an einem Gelenk der offenen Teilsysteme zerfällt das System in zwei Teile. Bei einem vollständig geschlossenen Mehrkörpersystem ist jeder Körper Teil einer Mehrkörperschleife. Es gibt kein Gelenk, an dem das System in zwei Teile geschnitten werden kann. Eine vollständig geschlossene kinematische Kette mit einem raumfesten Körper (Gestell) wird auch als Mechanismus bezeichnet Kinematische Klassifizierung Nach der Art der Bewegung der Körper gemäß Tabelle 3.1 lassen sich Mehrkörpersysteme in räumliche, ebene und sphärische Systeme einteilen. Diese Einteilung kann nicht aus der topologischen Struktur oder den Gelenkarten abgeleitet werden, sondern hängt von den Abmessungen der Körper und der Gelenke ab. Als ein Beispiel wird das in Tabelle 6.8 gezeigte Gelenkviereck betrachtet. Der Mechanismus besteht aus den zwei drehbar im Gestell 0 gelagerten Hebeln 1 und 2, deren Enden mit der Koppelstange 3 über ein Kardangelenk (U) und ein Kugelgelenk (S) verbunden sind. Mit nk = 3 Körpern, ng = 4 Gelenken und damit ns = ng - nk = 1 kinematischen Schleife hat das Gelenkviereck gemäß des im folgenden Abschnitt hergeleiteten GRÜBLER-KuTzBAcH Kriteriums (6.14) den Freiheitsgrad f = 1. Bei zueinander windschiefer Lage der beiden gestellfesten Drehachsen führt die Koppelstange eine räumliche Bewegung aus. Es liegt ein räumliches Mehrkörpersystem vor. Sind die beiden gestellfesten Drehachsen und eine Drehachse des Kardangelenks parallel, so bewegen sich alle Körperpunkte parallel zu einer Ebene E, die senkrecht auf den gestellfesten Drehachsen steht. Im Kugelgelenk tritt nur eine Drehung um die senkrecht zu E stehende Achse auf. Es liegt ein ebenes Mehrkörpersystem vor. Schneiden sich die beiden gestellfesten Drehachsen und eine Drehachse des Kardangelenks in einem Punkt Z, so bewegen sich alle Körperpunkte auf Kugeloberflächen um den Punkt Z bzw. alle Körper führen Drehungen um den Fixpunkt Z aus. Im Kugelgelenk tritt nur eine Drehung um die Achse durch Z auf. Es liegt ein sphärisches Mehrkörpersystem vor.

10 200 6 Bindungen in Mchrkörpersyst.emen Tabelle 6.8 I<incmat.ische I<lassifizicrung von Mehrkörpersyst.emcll rüumliches ~Iehrkörpersystem.l\'IcrkmNc räumliche Bewegungen der Körper Beispiel R riiumlicllcs Gclcnkvicrcck ebenes ~Iehrkörpcrsystcm alle Körperpunkte bewegen sich parnllel zu einer ßewegungsebene E nur Verschiebungen parallel zu E und Drehungen um Achsen senkrecht zu E ~ E sphärisches Mehrkörpersystem alle I(örperpunkte bewegen sich auf Kugeloberflüchen um den Fixpunkt Z nur Drehungen um Achsen dlll'chz ebenes Gelenk\"iereck i i i i i I./ O\~./ z '~:~ _.,f. sphärisches Gelenkviereck 6.3 Statische und kinematische Bestimmtheit Definitionen und Begriffe Für ein räumliches ~'.lehrkörpersystem n!( starren Körpern (ohne raumfestes Bezugssystem!Co), nc Gelenken mit jeweils dem Freiheitsgrad f; und damit b, = 6 - f; kinematischen Gelenkbindungen gemäß (6.4) wird in Abb. 6.2 die Anzahl der unbekannten Größen der Anzahl der verfügbaren Gleichungen gegenübergestellt. Die Impuls- und Drallsätze liefel'l1 für jeden Körper jeweils sechs Gleichungen und damit insgesamt mit Jrrci = 6111< (6.8)

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