Kurven. In einem Übungsmaterial einer Fahrschule wird der Parkvorgang wie folgt beschrieben:

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1 Kurven 10. Februar 2012 Warum man besser rückwärts einparkt, o: Die Einparkformel 2.Wenden auf Straße. Für viele ist es eine große Herausforung: Rückwärts am Straßenrand einparken, womöglich noch mit einer Schlange entnervt warten Autofahrer im Nacken Auf Youtube gibt es eine Vielzahl von Videos zum Thema; folgenden drei kurzen Fil- me zeigen das Spektrum auf: In einem Übungsmaterial einer Fahrschule wird Parkvorgang wie folgt beschrieben: Rückwärtsfahren in eine Parklücke (Länge ca. 8 m) zwischen hintereinan stehenden Fahrzeugen. 3. In sem Modul wird das Problem Einparkens mathematisch untersucht. Das Ziel ist einerseits, den optimalen Einparkvorgang zu beschreiben, anerseits be- nötigte Länge einer Parklücke möglichst genau festzustellen. Nach kurzen Vorüberlegungen Versuche mit Bobby Cars durchgeführt, an- schließend können Ergebnisse mit Geogebra in eine Computersimulation umge- setzt/nachgestellt, schließlich wird Frage nach Mintlänge einer Parklücke mathematisch exakt beantwortet. 1 Grlagen Für folgenden Untersuchungen legen wir einige Variablen fest: B Breite L Länge l Abstand zwischen Hinterachse Front R Radius Wendekreises s Seitlicher Abstand zum benachbarten Auto bei Beginn Parkvorganges Dr. A. Bornhoff, Dr. A. Rolf, Dr. J. Rolf 2012 Die Einparkformel 1

2 Kurven 10. Februar 2012 P Mintlänge Parklücke α Drehwinkel im Wendekreis Benötigte Begriffe: Wendekreis: Befestigt man an vorsten linken Ecke Fahrzeugs einen Stab, auf dem Bo- den schleift fährt man dann den kleinstmöglichen Rechts Kreis bei voll eingeschla- genem Steuerrad, so beschreibt ser Stab einen Kreis, den Wendekreis Fahrzeugs. Sein Durchmesser D wird in den Wagenpapieren verzeichnet. Ortskurve: Eine Ortskurve o Spur ist (hier) Kurve, ein Punkt während einer Bewegung durchläuft. Für weitere Arbeit sollten Sie folgende Punkte erledigen: Ermitteln Sie Größen B, L, l R für ein Bobby Car. Für nachfolgenden Simulationen in Geogebra ist es wichtig, den Mittelpunkt Wendekreises zu konstruieren. Untersuchen Sie dazu, wie Sie den Mittelpunkt aus- gehend vom Bobby Car finden können. Zeichnen Sie den Wendekreis Bobby Cars, indem Sie Ortskurve vors- ten linken Ecke aufzeichnen. Zeichnen Sie weitere Ortskurven exponierter Punkte Bobby Cars. Zeichnen Sie auch Ortskurve Mitte Hinterachse auf. Dazu müssen Sie eine Haltevor- richtung für einen Stift o. ä. erfinden. 2 Praktische Versuche Untersuchen Sie das Problem Einparkens, indem Sie z. B. vorwärts am Straßenrand einparken, rückwärts am Straßenrand einparken, beim Einparken Ortskurven verschiedener exponierter Punkte Bobby Cars aufzeichnen, versuchen, mit einer möglichst kleinen Parklücke (messen!) auszukommen, den Einparkvorgang von oben filmen usw. Machen Sie zu Ihren Experimenten Aufzeichnungen, damit Sie Ergebnisse anschlie- ßend für Simulation in Geogebra verwenden können. Dr. A. Bornhoff, Dr. A. Rolf, Dr. J. Rolf 2012 Die Einparkformel 2

3 Kurven 10. Februar Grafische Auswertung mit Geogebra Nach den praktischen Versuchen können Sie nun den optimalen Parkvorgang in Geogeb- ra simulieren. Als Vorübung stellen Sie den Wendekreis mit Hilfe von Geogebra dar. Da Wendekreis kleinstmögliche Drehbewegung ist, kommt ihm bei opti- malen Einparken natürlich eine zentrale Rolle zu. Unter finden Sie eine gr- legende Einführung zu Geogebra. Wenn Sie zuerst noch etwas spielen wollen, können Sie das Einparken auch anhand fol- gen Internetseiten üben o mit einem Applet spielen: spiel_7_x/ruckwarts- einparken_1.html labor.org/simulation/neue_homepage/einparken/sites/seite_3_01.html roth.de/dynageo/einparken/index.html Sollten Sie mit Geogebra gar nicht zurecht kommen, können Sie auch fertige Datei unter herunterladen analysieren. Anschließend können Sie se Datei veränn anpassen. 3.1 Wendekreis Anhand Konstruktion Wendekreises eines machen wir uns mit gr- legenden Benung von Geogebra vertraut. Die Konstruktion besteht aus folgenden Schritten: Konstruktion (= Rechteck) Konstruktion Hinterachse (auf Mittelpunkt Wendekreises liegt) Konstruktion Mittelpunktes Zeichnung Wendekreises Animation Drehung im Wendekreis Zuerst muss das Rechteck gezeichnet, das das Auto symbolisiert. Dazu geben Sie A=(3,0) ENTER in Eingabezeile ein, gefolgt von B=(8,0), C=(8,2), D=(3,2). ( 1) Mit dem Vieleck- Werkzeug Punkte dann Reihe nach ausgewählt dadurch zu einem Rechteck (= Vieleck1) verben. Dieses Rechteck kann später sepa- rat ausgewählt, gedreht usw.. ( 2) Dr. A. Bornhoff, Dr. A. Rolf, Dr. J. Rolf 2012 Die Einparkformel 3

4 Kurven 10. Februar Da Mittelpunkt Wendekreises auf Verlängerung Hinterachse liegt, muss se nun konstruiert. In unserem Beispiel soll das Heck 1 m über das insgesamt 5 m lange Auto hinausragen. Deshalb wählen Sie das Werkzeug Kreis mit Mittelpunkt Radius schlagen um A D jeweils einen Kreis mit dem Radius 1. Der Schnittpunkt Kreises mit jeweiligen Kante Rechteckes (Werkzeug Schneide zwei Objekte auswählen) ergibt Punkte E F, durch mit Hilfe Werkzeuges Strahl durch zwei Punkte Hinterachse ihre Verlängerung konstruiert wird. ( 3) Nun schlagen Sie um den Punkt B ( vorste rechte Ecke Fahrzeuges) ein Kreis mit dem Radius Wendekreises; in unserem Beispiel soll ser 6 m betragen. Der Schnittpunkt Kreises mit dem Strahl durch E F ist Mittelpunkt G Wen- dekreises. ( 4) 3 4 Damit das Rechteck ( Auto ) im Wendekreis animiert kann benötigen Sie einen Schieberegler für den Wendekreis. Tippen Sie dazu w=45 in Eingabezeile öff- nen Sie dann das Eigenschaftsfenster für w (rechter Mausklick). Klicken Sie hier erst auf Objekt anzeigen dann auf den Karteireiter Schieberegler. Sinnvoll sind hier z. B. Werte min =0, max=360 Breite = 360. Wählen Sie dann das Werkzeug Drehe Objekt um Punkt mit Drehwinkel, klicken Sie auf das Rechteck ABCD, anschließend auf den Mittelpunkt G geben Sie dann in das sich öffnende Fenster als Drehwinkel w ein. Bewegen Sie dann den Schieberegler für w. ( 5) Dr. A. Bornhoff, Dr. A. Rolf, Dr. J. Rolf 2012 Die Einparkformel 4

5 Kurven 10. Februar Abschließend können Sie noch Ortskurve verschiedener Punkte aufzeichnen. Öffnen Sie dazu z. B. das Eigenschaften- Fenster Punktes B klicken Sie dort auf Spur anzeigen. Bewegen Sie den Schieberegler erneut. ( 6) Außerdem können Sie nun Konstruktion übersichtlicher gestalten, indem Sie An- zeige Hilfsobjekte ausblenden; s geschieht jeweils im Eigenschaften- Fenster. 3.2 Rückwärts einparken Für Simulation rückwärts Einparkens mit Geogebra müssen Sie im Gre nur zwei Bewegungen im Wendekreis miteinan kombinieren: einmal in eine Rich- tung, anschließend in ane. Die zweite Drehbewegung können Sie dadurch erhal- ten, dass Sie vom Rechteck A B C D ausgehen, für ses ebenfalls einen Wendekreis konstruieren. Um Ihnen den Start zu erleichtern, steht unter Geogebra- Datei Einparken Start.ggb zum Download bereit, von aus Sie mit Arbeit beginnen können. ( 7) Ebenfalls dort finden Sie Datei Einparken.ggb, den Vorgang Einparkens (eines 5 m langen 2 m breiten in eine 7 m lange Parklücke) beschreibt. Benutzen Sie se Datei, wenn Sie mit Geogebra nicht gut zu- recht kommen. ( 8) 7 8 Dr. A. Bornhoff, Dr. A. Rolf, Dr. J. Rolf 2012 Die Einparkformel 5

6 nd Tatsache, dass mit dem Bobby-Car aufgezeichneten Ortslinien von einigen SchülerJürgen zunächst Roth: Experimentelle Geometrie Projektarbeit am Beispiel Einparken. Reinhard Oldenburg, n Schülern für Sinuskurven gehalten wurden 7), In: Matthias Ludwig (Hrsg.): Experimentelle Geometrie. Franzbecker, Hilheim, Berlin, 2007 Projektarbeit am Beispiel Einparken. In: Reinhard Oldenburg, ich Franzbecker, bei Modellierung Einparkvorgangs auftreten aus Perspektive ometrie. Hilheim, Berlin, 2007 egenden Ergebnisse gar nicht mehr erkennbar sind. Alsweit ganz entscheidend beifahren Erarbeitung parken: Beim Vorwärtseinparken muss man entwe über den Gehsteig o wird 8 ich heuristische Strategie Idealisierung Die Reduzierung auf entwe weit über den Gehsteig fahren o wird Hauswänden ähnlichem gebremst. 10. Februar 2012 n Punkt hat bei Erkenntnis geholfen, dass es wohl nur einen Punkt gibt, bei dem sich nd dass mit dem Bobby-Car aufgezeichneten von einigen Schülerinie austatsache, zwei Kreisbogenstücken zusammensetzt, denselbenortslinien Radius besitzen. Die Reduzie aufgezeichneten Ortslinien von einigen SchülernCar Schülern zunächst für Sinuskurven gehalten 7), später aufnatürlich Hinterachse einer wurden Kreisbewegung eines Lineals Vakönnen S(Beobachtung ie Ihr Geogebra- Programm anschließend noch verbessern: Z. B. w äre ehalten wurden 7), P rojektarbeit am Beispiel Einparken. In: Reinhard Oldenburg, es Modellierung schön, Rechtecke sehen, auch Eingabe genauer Maße ich Längenausdehnung bei Einparkvorgangs auftreten aus Perspektive on statt in zu Simulation) hat für Einometrie. Franzbecker, Hilheim, Berlin, 2007 Breite, Länge den Wendekreis wäre eine tolle Sache. Versuchen Sie, Hinterachse ein möglichst organgs auftreten ausmehr Perspektive immer egenden Ergebnisse gar nicht erkennbar sind. Als ganz bei Erarbeitung ermöglicht, dass Mittelpunkt Wendekreise auf entscheidend Verlängerung optimales Ergebnis zu erzielen. bar sind. AlsWeise ganz wurde entscheidend beiidealisierung Erarbeitung heuristische Die ReduzierungPunkt auf Auf se Mittelpunkt als ausgezeichneter beim Ein überstrategie nich entwe weit den Gehsteig fahren ohinterachse wird ung Die Reduzierung war auf Passen Sie Ihr Programm auch so an, dass es zu den Maßen eines Bobby Cars passt nvorgang Punkt hat bei Erkenntnis dass wohl nur gelegt, einen Punkt gibt, bei dem sich ermittelt 13).geholfen, Damit esgrlage um anhand von bekannten vergleichen Sie mgibt, it Ihren a us ddenselben en praktischen Versuchen. ass es nur einen beiergebnissen dem sich nie auswohl zweigrößen Kreisbogenstücken zusammensetzt, Radius besitzen. Die Reduziemessbaren Punkt 20), wie nsetzt, auf denselben Radius besitzen. Die ReduzieCar Ortslinien von einigen Schüler aufgezeichneten Hinterachse (Beobachtung einer Kreisbewegung eines Lineals später VaAnschließend können Sie mit Ihrem Programm das Einparken am Straßenrand simulie- Breite B gn einer Kreisbewegung eines Lineals später Va- möglichst klein zu Simulation) ehalten wurden 7), Längenausdehnung in hatsie Einren. Versuchen Sie, benötigte Parklücke halten, indem mit den Länge L Drehwinkeln Sie Ihre Eauf rgebnisse fest. Simulation) hathalten Einorgangs auftreten experimentieren. aus ermöglicht, dass Mittelpunkt Perspektive Wendekreise immer Verlängerung Hinterachse Abstand Hinterachse-Front l ekreise immer auf wurde Verlängerung bar AlsWeise ganz entscheidend bei Hinterachse Erarbeitung Aufsind. se Mittelpunkt Hinterachse als ausgezeichneter Punkt beim Ein Wendekreisradius R er Hinterachse alsie ausgezeichneter Punkt beim ung Reduzierung war auf vorgang ermittelt 13). Damit EinGrlage gelegt, um anhand von bekannten 4 D EDie inparkformel seitlicher Sicherheitsabstand s zu Beginn esgrlage um von bekannten ass wohl Größen nur einen gibt,wie bei dem sich gelegt, messbaren Punkt anhand 20), Einparkvorgangs 20: RelevanteBestimmung Größen Abschließend geht es in sem Modul um rechnerische kleinst- nsetzt, denselben Radius besitzen. Die ReduzieBreite B möglichen Parklücke dazugehörigen Drehwinkels. Am einfachsten ist es, wenn g einer Kreisbewegung eines Lineals später Vaden Einparkvorgang benötigte Kenngrößen z. 2B. m Breite, Wendekreisradius 6 m Abstand anhand fiktiven Maße 5 m wie Länge, Länge L Sie Simulation) hat Einolgenden zu bestimmen: Front- Hinterachse 4 m ( oben schon benutzt wurden) ein Beispiel berechnen, bevor Abstand Hinterachse-Front l ekreise immersie sich an allgemeinen Formeln setzen. Für Rechnungen reichen einfache Drei- auf Verlängerung Hinterachse Mintlänge P R Parklücke Satz Pythagoras binomischen Formeln. Sehr hilf- Wendekreisradius ecksberechnungen, er Hinterachse als ausgezeichneter Punkt beim Einreich sind folgenden vier Abbildungen, einem Aufsatz von Jürgen Roth zum The- Mittelpunktswinkel α seitlicher Sicherheitsabstand s zu Beginn r Grlage um anhand ma gelegt, entnommen wurden: von bekannten Abstand H zwischen dem Heck einparkenden Einparkvorgangs 20: Relevante Größen dem Heck vor Parklücke stehenden 21: Erarbeitungshilfe 1 20: Relevante Größen en Einparkvorgang benötigte Kenngrößen wie z. B. zu Beginn Einparkvorgangs nolgenden wie z. B. zu bestimmen: r Zuhilfenahme Satzes von Pythagoras grmintlänge P Parklücke n Kenntnisse über trigonometrische Funktionen lasmittelpunktswinkel α sich anhand 21, in Abstand H zwischen dem Heck einparkenden 24 dargestellten exemplarischen Ergebnisse Pro dem Heck vor Parklücke stehenden rkenden 20: Relevante Größen 9: Die verwendeten Abkürzungen (siehe auch 121: 0: BErarbeitungshilfe erechnungshilfe z1 um Drehwinkel α ruppe Formalisierung nachvollziehen. Kapitel 1 Grlagen) 22: Erarbeitungshilfe 2 zu Beginn Einparkvorgangs enden 21: Erarbeitungshilfe 1 n wie z. B. r Zuhilfenahme Satzes von Pythagoras grn Kenntnisse über trigonometrische Funktionen las grich anhand tionen las- 21, in exemplarischen Ergebnisse Pro.24 23dargestellten in rkenden ruppe nachvollziehen. e Formalisierung Proenden 22: Erarbeitungshilfe 2 21: Erarbeitungshilfe 1 Kurven 24: Exemplarische Ergebnisse Projektgruppe Erarbeitungshilfe 23: 12: B erechnungshilfe f3 ür d bzw. P 122: 1: r Erarbeitungshilfe lässt sich mit R, l u2 nd B Formalisierung berechnen gr- tionen las Dr. A. Bornhoff, Dr. A. Rolf, Dr. J. Rolf 2012 Die Einparkformel 6 liefert auchin eine Antwort auf Frage, warum bei Gabelstaplern statt Vorachse Hinterachse gelenkt wird.. 23 se Prowww.juergen-roth.de/einparken/ Seite 9 von 10

7 Kurven 10. Februar 2012 Der Winkel α last sich mit Hilfe von 10 einfach ausrechnen; Sie erhalten: B + s α = arccos 1 2r (1) Nun sollten Sie statt r besser gebräuchliche Größe R (also den Radius Wendekreises) verwenden. Dazu überlegt man mit Hilfe Satzes von Pythagoras 11, dass gilt: r = R2 l 2 (2) B 2 Setzen Sie (2) in (1) ein, so bekommen Sie einen Ausdruck für den im Wendekreis ab- zufahrenden Drehwinkel, nur von Fahrzeugbreite, dem anfänglichen Sicher- heitsabstand zum nebenstehenden Fahrzeug dem Abstand Front- Hinterachse (d. i. Größe l) abhängt. Für Gesamtlänge Parklücke gilt nach 12: P=d+L (3) L ist gegeben. d können Sie mit Hilfe Satzes von Pythagoras berechnen, da d + l Kante eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Nach einigen Rechnungen mit Ausdruck (2) erhalten Sie schließlich das Ergebnis P = l 2 + 2B R 2 l 2 B 2 l + L (4) Diese Formel sieht aufgr doppelten Wurzel zwar recht beeindruckend aus ist aber im Gre recht einfach, fußt sie doch wie Sie gesehen haben auf einfacher Mit- telstufenmathematik. 5 Literatur Der für ses Modul grlegende Artikel ist Jürgen Roth: Experimentelle Geometrie Projektarbeit am Beispiel Einparken. In: Reinhard Olden- burg, Matthias Ludwig (Hrsg.): Experimentelle Geometrie. Franzbecker, Hilheim, Berlin, 2007 ( roth.de/einparken/) Darüber hinaus wurden folgende Beiträge zur Kenntnis genommen: Norbert Herrmann, Ein mathematisches Modell zum Parallelparken, Inst. f. Angew. Mathematik, Univ. Hannover, 24. November 2003 ( hannover.de/~herrmann/parken.pdf) Norbert Herrmann, Mathematik ist überall, München 2007 B. Müller, J. Deutscher, Zweistufige Trajektorienplanung für das automatische Einparken ( Bernhard Müller, Joachim Deutscher Stefan Grodde, Trajectory Generation and Feedforward Control for Parking a Car ( erlangen.de/publikationen/pdf/mueller2006_164.pdf) Dr. A. Bornhoff, Dr. A. Rolf, Dr. J. Rolf 2012 Die Einparkformel 7