Höhere Experimentalphysik 1

Transkript

1 Institut für Angewandte Physik GoetheUniversität Frankfurt am Main 1. Vorlesung

2 Gitter / Metrik / Topologie Hermann Minkowski Spektrum der Wissenschaft Sterne und Weltraum 12/2011

3 Naturkonstanten PhysikalischTechnische Bundesanstalt c G e 0 k b ħ = Lichtgeschwindigkeit = Gravitationskonstante = Elektrische Feldkonstante = BoltzmannKonstante = reduziertes plancksches Wirkungsquantum Masse und Ladung Eigenschaft der Materie, aber.?

4 Archiv der MaxPlanckGesellschaft Höhere Experimentalphysik 1 Diskretisierungsgrößen PlanckMasse PlanckLadung 2, kg 1, C PlanckLänge PlanckZeit 1, m 5, s PlanckTemperatur 1, K ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als natürliche Maaßeinheiten bezeichnet werden können Max Planck

5 Experimente Heute Energie BoseEinstein Kondensat CERN Dichte XHV extremes Vakuum Schwerionenkollisionen

6 Messung der Kräfte Cavendishe Drehwaage Coulombsche HEMS Darmstadt

7 Vergleich gravitative und elektrostatische Kraft Newtonsches Gesetz Kraft entlang Verbindungslinie 1/r 2 Abhängigkeit Masse als Quelle anziehend Coulombsches Gesetz Kraft entlang Verbindungslinie 1/r 2 Abhängigkeit Ladung als Quelle anziehend und abstoßend Kraftgesetz F G = γ m 1m 2 r 2 e r Kraftgesetz F C = k q 1q 2 r 2 e r Proportionalitätskonstante g= Nm 2 /kg 2 Proportionalitätskonstante k= Nm 2 /C 2 Vergleich: F C F G = k γ q e q p m e m p =

8 Entdeckung der Ladung Kelvin Generator oder Kelvin Water Dropper

9 i. Elektrische Ladung Alle Erscheinungen, die im Rahmen der Elektrodynamik besprochen werden, beruhen darauf, dass die Materie vorwiegend aus geladenen Teilchen (z.b. Elektronen und Protonen) aufgebaut ist. Eine Ladung ist notwendig, um ein elektromagnetisches Feld zu erzeugen und nachzuweisen. Aber was ist eigentlich die elektrische Ladung?

10 i. Elektrische Ladung Positive und negative Ladung Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab Ladungserhaltung: Die Summe der positiven und negativen Ladungen in einem abgeschlossenen System ändert sich nie. Ladungsinvarianz: Die Ladung von Elementarteilchen ist relativistisch invariant und ändert sich also nicht mit der Geschwindigkeit des Teilchens. Die Kraft zwischen zwei Ladungen ist proportional zu r 2 Ladung ist gequantelt Woher weiß man das?

11 i. Elektrische Ladung Messung der Elementarladung MillikanVersuch Im Jahre 1910 machte Millikan die wichtige Entdeckung, dass die Ladung nur stückweise vorkommt, d.h. sie ist quantisiert. Zum Nachweis des Elementarquantums benutzte Millikan folgende Versuchsanordnung: NobelPreis, 1923

12 i. Elektrische Ladung Messung der Elementarladung MillikanVersuch Im Jahre 1910 machte Millikan die wichtige Entdeckung, dass die Ladung nur stückweise vorkommt, d.h. sie ist quantisiert. Zum Nachweis des Elementarquantums benutzte Millikan folgende Versuchsanordnung:

13 i. Elektrische Ladung Messung der Elementarladung MillikanVersuch Herleitung siehe Übung Ladung der Öltröpfchen unabhängig von ihrer Größe Nur Vielfache von Ladung ist quantisiert und die kleinstmögliche Ladung ist e

14 i. Elektrische Ladung Messung der Elementarladung QuantenHallEffekt Nobelpreis K. von Klitzig D Elektronengas (MOSFET) Bei hohen magnetischen Feldern und tiefe Temperaturen ist der HallWiderstand: R H wobei n=1,2, Die Existenz der Stufen im QuantenHallEffekt und vor allem ihre hohe Reproduzierbarkeit ist bis heute nicht vollständig verstanden,..., Welt der Physik, 2011 Mögliche Erklärung: Quantenphasenübergang

15 i. Elektrische Ladung Messung der Elementarladung Wert Standardunsicherheit x C x C Relative Standardunsicherheit 2.2 x , CODATA, recommended values

16 ii. Elektrostatik Das CoulombGesetz Die elektrostatischen Kräfte sind Zentralkräfte Es gilt das Superpositionsprinzip: Die elektrostatischen Kräfte, die auf eine Probeladung q von mehreren anderen Ladungen q 1, q 2,. ausgeübt werden, überlagern sich ungestört C. De Coulomb, 1785 Kraftwirkung vieler Ladungen auf ein Teilchen am Punkt 1.

17 ii. Elektrostatik Das stationäre elektrische Feld Das elektrische Feld ist eine vektorielle Größe, die direkt proportional zu einer Kraft ist, die auf eine positive Testladung gerichtet ist. field of force Das elektrische Feld kann unabhängig vom magnetischen Feld betrachtet werden d.h. Elektrizität und Magnetismus sind zunächst getrennte Phänomene!

18 ii. Elektrostatik Das stationäre elektrische Feld Im statischen Fall bleiben alle Ladungen fest an einem Punkt im Raum oder wenn sie sich bewegen, dann nur als stationärer Strom. 1. Die Ladungen sind die Quelle des elektrischen Feldes. 2. Das Linienintegral des elektrostatischen Feldes über eine geschlossene Kurve ist null (oder auch das elektrische Feld ist wirbelfrei).

19 ii. Elektrostatik Das stationäre elektrische Feld Der Gaußsche Satz ist eine dem Coulombgesetz äquivalente Darstellung der Elektrostatik. Er gilt nicht nur für die elektrischen Felder ruhender Ladungen, sondern auch für bewegte Ladungen. Während man mit dem Coulombgesetz das elektrische Feld einer Ladung bestimmen kann, erlaubt uns der Gaußsche Satz, aus der Feldverteilung Auskunft über die Ladungsverteilung zu erhalten.

20 ii. Elektrostatik Das elektrische Potential Als elektrostatisches Potential j(r 0 ) am Ort r 0 wird der negative Wert der Arbeit bezeichnet, um eine positive Einheitsladung in einem elektrischen Feld vom Unendlichen bis nach r 0 heranzuführen Potentielle Energie einer Ladung: Potential einer Punktladung:

21 ii. Elektrostatik Energie des Feldes einer Punktladung Das elektrische Feld einer Punktladung ist gegeben durch: Die Energiedichte im Abstand r von der Ladung ist dann: Innerhalb einer Kugelschale mit der Dicke dr und der Fläche A=4pr 2 ist die Gesamtenergie: (1)

22 ii. Elektrostatik Energie des Feldes einer Punktladung Das elektrische Feld einer Punktladung ist gegeben durch: Die Energiedichte im Abstand r von der Ladung ist dann: Innerhalb einer Kugelschale mit der Dicke dr und der Fläche A=4pr 2 ist die Gesamtenergie: (1) Für eine Punktladung ist die untere Integrationsgrenze r=0 und dies ergibt ein unendliches Integral.

23 ii. Elektrostatik Energie des Feldes einer Punktladung Laut Gleichung (1) enthält das Feld einer Punktladung eine unendliche Menge an Energie, obwohl es eigentlich nur Energie zwischen Punktladungen gibt. Ein Ausweg aus dieser Situation würde darin bestehen, die Elementarladung nicht als Punkt sondern in Wirklichkeit als kleine Ladungsverteilung aufzufassen. Die Frage, ob die Energie im Feld lokalisiert ist, bleibt in der Elektrostatik dennoch unbeantwortet.

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25 ii. Elektrostatik Der klassische Elektronenradius Annahme: gespeicherte Energie darf die relativistische Ruhemasse E e = 511 kev nicht übersteigen Ergibt obere Grenze für den Radius eines Elektrons: r e,kugelschale = m r e,kugel = m r e,punktladung = m Nach heutigem Wissen ist das Elektron jedoch erheblich kleiner: r e < m Es gibt aber Effekte, die sich tatsächlich am klassischen Elektronenradius orientieren (bspw. Wirkungsquerschnitt bei Streuung von Röntgenstrahlen)

26 ii. Elektrostatik Influenz (elektrostatische Induktion) Wird ein beliebiges Stück Metall in das elektrische Feld eines Plattenkondensators gebracht, so werden unter dem Einfluss des Feldes Influenzladungen erzeugt. Sie liefern im Inneren des Metalls ein Feld, das dem ursprünglichen Feld entgegengerichtet und dieses im Inneren des Leiters genau zu null kompensiert.

27 Beispiel: VandeGraaffGenerator Die Feldfreiheit metallischer Hohlräume kann zur Erzeugung hoher Spannungen benutzt werden. Bringt man Ladungen in das Innere einer Hohlkugel, so wandert die Ladung sofort nach außen und der innere Hohlraum bleibt feldfrei, unabhängig wie viel Ladungen die Hohlkugel schon trägt. Dies wird beim VandeGraaffGenerator durch ein rotierendes isolierendes Band bewerkstelligt bis die Kugel ein höheres Potential als die Ladungsquelle hat.

28 ii. Elektrostatik Gaußsches Gesetz Integralform Das Gaußsche Gesetz stellt die Beziehung zwischen räumlichen Verhalten des elektrischen Feldes und der Ladungsdichteverteilung her, die es hervorruft. Anzahl der Feldlinien durch eine geschlossene Fläche Anzahl der Ladungen, die in der Fläche enthalten sind dividiert durch die Permittivität Elektrische Ladungen produzieren ein elektrisches Feld und der Fluss dieses Feldes durch eine geschlossenen Oberfläche ist proportional zur Gesamtladung innerhalb der Oberfläche.

29 ii. Elektrostatik Gaußsches Gesetz differentielle Form Die differentielle Form Tendenz des Feldes von einem Punkt wegzufließen. Ladungsdichte dividiert durch die Permittivität wird bei der Lösung von Problemen genutzt, in denen die räumliche Änderung des elektrischen Feldes an bestimmten Stellen bekannt ist, um die Volumenladungsdichte an diesen Positionen zu bestimmen. Das elektrische Feld, das durch elektrische Ladungen produziert wird, divergiert von positiven Ladungen und konvergiert zu negativen Ladungen.

30 ii. Elektrostatik Gaußsches Gesetz Integralform vs. differentielle Form Es gibt einen fundamentalen Unterschied zwischen differentieller und integraler Form des Gaußschen Gesetzes: Die differentielle Form behandelt die Divergenz des elektrischen Feldes und die Ladungsdichte an individuellen Punkten im Raum, während die integrale Form das Integral der Normalkomponente des elektrischen Felder über einen Oberfläche beinhaltet.

31 ii. Elektrostatik Faraday scher Käfig Die freien Ladungen in einem Leiter bewegen sich immer so, das sie das ursprünglich Feld kompensieren und das Feld im Inneren des Leiters gerade null ist. Daher verschwindet auch der Fluss des Feldes durch eine Fläche, die den Hohlraum umschließt. E=0 Nach gilt Feldfreiheit im Hohlraum des Leiters. So erreicht man im Faradayschen Käfig eine vollständige Abschirmung gegen elektrische Felder.

32 ii. Elektrostatik Spiegelladung Fragestellung: Berechnung des elektrischen Feldes zwischen einer kleinen geladenen Kugel und einer ebenen metallischen Oberfläche Problemstellung: Unbekannte Ladungsverteilung auf einer Leiteroberfläche d.h. Gaußscher Satz findet keine Anwendung Trick: Annahme der Ladungsanordnung eines elektrischen Dipols (siehe Abb. a) wird eine ungeladenen Metallplatte zwischen die zwei Ladungen gebracht besitzt sie genau das Potential der Äquipotentialfläche A. Im Inneren des Metalls ist das elektrische Feld null wegen der induzierten Influenzladungen. Durch die Metallplatte ist der Feldverlauf im linken Halbraum unabhängig vom rechten Halbraum geworden. Aber: Die gespeicherte Feldenergie entspricht nicht Fall a) sondern beträgt nur die Hälfte

33 iii. Beispiele für elektrische Felder und Potentiale Plattenkondensator: Das elektrische Feld kommt durch Superposition der elektrischen Felder zweier entgegengesetzt geladener Platten gleicher Ladungsdichte. Die Felder im Außenraum kompensieren sich vollständig Das elektrische Feld des Plattenkondensators ist also unabhängig vom Plattenabstand d.

34 iii. Beispiele für elektrische Felder und Potentiale Plattenkondensator: Da die Platten entgegengesetzt geladen sind ziehen sie sich mit einer Kraft F an E d d F Um die Platten ein Stück auseinanderzubewegen muss von außen Arbeit geleistet werden Da das elektrische Feld unabhängig von d ist, muss sich die gespeicherte Energie im Feld entsprechend des Volumens ändern (ohne angeschlossene Spannungsquelle) Mit folgt für die Kraft zwischen den Platten

35 iii. Beispiele für elektrische Felder und Potentiale Kugel E=0 Flammensonde

36 iii. Beispiele für elektrische Felder und Potentiale Homogener Teilchenstrahl: & &

37 Zusammenfassung Wir leben in einer diskreten Umgebung Elektrostatik und Gravitation haben viele Gemeinsamkeiten Was ist Ladung? CoulombGesetz Gaußsches Gesetz Beispiele elektrischer Felder und Potentiale VandeGraaffGenerator Plattenkondensator Geladene Kugel Ionenstrahl PlanckMasse 2, kg PlanckLadung 1, C PlanckLänge PlanckZeit 1, m 5, s PlanckTemperatur 1, K