5.Tutorium Generalisierte Regression

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1 5.Tutorium Generalisierte Regression - Multinomiales/Kummulatives Logit-Modell - Cynthia Huber: und Michael Hanselmann: Institut für Statistik, LMU München 1 / 16

2 Gliederung 1 Multinomialverteilung 2 Multinomiales Logit-Modell 3 Kummulatives Logit-Modell 4 Mehrkategoriale Modelle mit R 2 / 16

3 Multinomialverteilung Gliederung 1 Multinomialverteilung 2 Multinomiales Logit-Modell 3 Kummulatives Logit-Modell 4 Mehrkategoriale Modelle mit R 3 / 16

4 Multinomialverteilung Multinomialverteilung mit Redundanzen: s = 1,..., k: i = 1,..., n: m s : π s : Y M(n, π T = (π 1,..., π k )) P(y T = (m 1,..., m k )) = n! m 1!... m k! πm π m k k Index für Kategorien Index für Beobachtungen Anzahl der Beobachtungen in Kategorie s Wahrscheinlichkeit für Kategorie s 4 / 16

5 Multinomialverteilung Multinomialverteilung ohne Redundanzen Sei Kategorie k Referenzkategorie: k π s = 1 π k = 1 π 1... π k 1=q s=1 k m s = n m k = n m 1... m k 1=q s=1 s : 0 π s 1 m s {1,..., n} P(y T n! = (m 1,..., m k )) = m 1!... (n m 1... m q )! π m (1 π 1... π q ) (n m 1... m q) 5 / 16

6 Multinomiales Logit-Modell Gliederung 1 Multinomialverteilung 2 Multinomiales Logit-Modell 3 Kummulatives Logit-Modell 4 Mehrkategoriale Modelle mit R 6 / 16

7 Multinomiales Logit-Modell Multinomiale Zielgrößen bisher: Betrachtung des Logit-Modells für binäre Zielgrößen: ( ) P(yi = 1 x i ) log = x T i β P(y i = k = 2 x i ) jetzt: Betrachtung des Logit-Modells für multinomialverteilte Zielgrößen, d.h. y i {1,..., k} 7 / 16

8 Multinomiales Logit-Modell Link-und Responsefunktion {}}{ Multinomiales Logit-Modell für r = 1,..., k 1: log ( ) P(yi = r x i ) = x T i β P(y i = k x i ) r q bzw. P(y i = r x) = exp{x T i β r } 1 + k 1 s=1 exp{xt i β s } 8 / 16

9 Multinomiales Logit-Modell Link-und Responsefunktion Außerdem gilt: x T i β k = log ( ) P(yi = k x i ) = log(1) = 0 P(y i = k x i ) und somit P(y i = k x i ) = 0 {}}{ exp{ x T i β k } 1 + k 1 s=1 exp{xt i β s } = k 1 s=1 exp{xt i β s } 9 / 16

10 Multinomiales Logit-Modell Interpretation Beachte: Kategorie k ist Referenzkategorie! Interpretation über die logarithimierten Chancen wie beim binären Logit-Modell, jedoch jetzt immer im Bezug auf die Referenzkategorie k. Betrachte: log ( P(y=r xi ) P(y=k x i ) ) = log ( πr π k ) = x T i β r Steigt x j um eine Einheit, so ändert sich die logarithmierte Chance von Y=r zu Y=k um β rj (Effekt von der j-ten Einflussgröße aus der r-ten Kategorie). Steigt x j um eine Einheit, so ändert sich die Chance von Y=r zu Y=k um exp(β rj ) 10 / 16

11 Kummulatives Logit-Modell Gliederung 1 Multinomialverteilung 2 Multinomiales Logit-Modell 3 Kummulatives Logit-Modell 4 Mehrkategoriale Modelle mit R 11 / 16

12 Kummulatives Logit-Modell Problemstellung Betrachte wieder eine Zielgröße Y {1,..., k}, jedoch nun ist Y ordinalskaliert, d.h. die Kategorien lassen sich ordnen. Bisheriges multinomiales Modell ist anwendbar, nutzt jedoch die ordinale Struktur der Daten nicht aus kummulatives Modell! Allgemeine Modellformulierung: P(Y r x i ) = F (γ 0r + x T i γ) 12 / 16

13 Kummulatives Logit-Modell Logistische Verteilungsfunktion Nimmt man für F die logistische Verteilungsfunktion an, so erhält man folgendes Modell: P(y r x i ) = exp{γ 0r + x T i γ} 1 + exp{γ 0r + x T i γ} bzw. ( ) P(y r xi ) log = γ 0r + x T i γ P(y > r x i ) }{{} kummulierte Logits 13 / 16

14 Kummulatives Logit-Modell Besonderheit des Modells Betrachtet man zwei Populationen x 1 und x 2 (z.b. jung und alt), so gilt: P(Y r x 1 )/P(Y > r x 1 ) P(Y r x 2 )/P(Y > r x 2 ) = exp(γ 0r + x T 1 γ) exp(γ 0r + x T 2 γ) = exp((xt 1 x T 2 )γ) das Odds-Ratio ist unabhängig von Kategorie r Proportional Odds Model Interpretation: Die Chancenverhältnisse sind unabhängig von der betrachteten Schwelle r und nur proportional zum Unterschied von x 1 und x 2 14 / 16

15 Mehrkategoriale Modelle mit R Gliederung 1 Multinomialverteilung 2 Multinomiales Logit-Modell 3 Kummulatives Logit-Modell 4 Mehrkategoriale Modelle mit R 15 / 16

16 Mehrkategoriale Modelle mit R Nützliche R-Funktionen multinom() aus Paket "nnet" multinomiales Logit-Modell mit beobachtungsspezifischem Prädiktor η ir = x T i β r polr() aus Library "MASS" proportional odds logistic regression Fit ordinaler Logit-Modelle (per Default) Fit ordinaler Probit-Modelle bei Angabe des Arguments method = "probit" 16 / 16