B-Spline-Kurve und -Basisfunktionen

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1 48 B-Spline-Kurve und -Basisfunktionen Eine B-Spline-Kurve der Ordnung k ist ein stückweise aus B-Splines (Basisfunktion) zusammengesetztes Polynom vom Grad (k 1), das an den Segmentübergängen im allgemeinen C k 2 stetig differenzierbar ist. Dabei seien B-Splines Stückweise Polynome, denen die folgenden geordneten Parameterwerte zugrundeliegen: wobei t = (t 0, t 1, t 2,..., t m, t m+1,..., t m+k ), m: wird von der Anzahl der zu interpolierenden Punkte bestimmt k: die festgelegte Ordnung der B-Spline-Kurve

2 Beispiele von B-Splines B-Splines der Ordnung 1, 2, 3 und 4: Innerhalb eines Parameterintervals gibt es k sich überlappende B-Splines. 49

3 Ein Beispiel der kubischen B-Splines 50

4 51 B-Splines der Ordnung k - I Das rekursive Definitionsverfahren einer B-Spline-Basisfunktion N i,k (t):

5 52 B-Splines der Ordnung k - II Aktuelle Segemente der B-Spline-Basisfunktionen der Ordnungen 2, 3 und 4 für t i t < t i+1 :

6 53 Uniforme B-Splines der Ordnung 1 bis 4 k=1 k=2 k=3 k=4

7 54 Nichtuniforme B-Splines Ordnung 3:

8 55 Eigenschaften der B-Splines Partition of unity: k i=0 N i,k(t) = 1. Positivity: N i,k (t) 0. Local support: N i,k (t) = 0 for t / [t i, t i+k ]. C k 2 continuity: If the knots {t i } are pairwise different from each other, then N i,k (t) C k 2, i.e. N i,k (t) is (k 2) times continuously differentiable.

9 56 Gewinnung einer B-Spline-Kurve Eine B-Spline-Kurve kann dadurch konstruiert werden, daß eine Menge von vorgegebenen Größen mit diesen B-Splines gemischt werden: m r(t) = v j N j,k (t) j=0 wobei v j Kontrollpunkte (de Boor-Punkte) genannt werden. Sei ein Parameter t gegeben, ist r(t) ein Punkt dieser B-Spline-Kurve. Wenn t von t k 1 bis zu t m+1 variiert, so stellt r(t) eine C k 2 stetig differenzierbare Kurve dar.

10 57 Berechnung von Kontrollpunkten aus Datenpunkten Die Punkte v j sind nur bei k = 2 identisch mit den Datenpunkten zur Interpolation, sonst nicht. Ein Kontrollpunktzug bildet eine konvexe Hülle für die Interpolationskurve. Zwei Verfahren zur Berechnung von Kontrollpunkten aus Datenpunkten:

11 58 1 Durch die Lösung des folgenden Gleichungssytems (Böhm84): q j (t) = m j=0 v j N j,k (t) wobei q j die Datenpunkte für die Interpolation sind, j = 0,, m. 2 Durch Lernen basierend auf dem Gradient-Abstieg (Zhang98).

12 Lattice - I 59

13 Lattice - II 60

14 Tensor-Produkt 2D-NURBS 61

15 62 Problematik in der realen Welt Modellierung: Lernen aus Beispielen, selbstoptimierende Gestaltung, Vorhersagen,... Regelung: Perzeption-Aktion-Zyklus, Zustandsregelung, Identifikation dynamischer Systeme,... Funktionsapproximation als Benchmark zur Wahl eines Modells

16 63 Funktionsapproximation - 1D Beispiel Eine Testfunktion f(x) = 8sin(10x 2 + 5x + 1) mit 1 < x < 1 und die richtig verteilten B-Splines:

17 Lattice Abbildung 1: The B-spline model a two-dimensional illustration. 64

18 65 Jedes n-dimensionale Viereck (n > 1) wird von dem j th multivariaten B-spline N j k (x) bedeckt. N j k (x) ist über den Tensorprodukt n univariate B-splines: N j k (x) = n j=1 N j i j,k j (x j ) (1)

19 66 (a) Tensor product of two, order 2 univariate B-splines. (b) Tensor product of one order 3 and one order 2 univariate B- splines. (c) Tensor product of two univariate B-splines of order 3. Abbildung 2: Bivariate B-splines formed by taking the tensor product of two univariate B-splines.

20 67 Allgemeine Anforderungen an einen Approximator Universalität: Approximation von beliebigen Funktionen Generalisierung: gute Approximation ohne Overfitting Adaptivität: selbsteinstellend anhand von neuen Daten Parallelität: Rechnen nach biologischen Vorbildern Interpretierbarkeit: mindestens als Grey-box anstatt Black-box

21 68 Bedeutung der Interpretierbarkeit eines Modells Richard P. Feynman: the way we have to describe nature is generally incomprehensible to us. Albert Einstein: it should be possible to explain the laws of physics to a barmaid.

22 69 Wichtige Gründe für symbolische Interpretierbarkeit eines Approximators: Linguistische Modellierung bietet ein Mittel zur Fertigkeitsübertragung von einem Experten auf einen Computer oder Roboter. Automatisches Lernen eines transparenten Modells erleichtert die Analyse, Validierung und Überwachung bei der Entwicklung eines Modells bzw. eines Reglers. Transparente Modelle besitzen vielfältige Anwendungsmöglichkeiten in Decision-Support Systems.

23 70 Symbolumwandlung der Kernfunktionen Positiv definierte, konvexe Kernfunktionen können als Fuzzy-Mengen betrachtet werden. Z.B.: µ B (x) = ( x ) 2

24 B-Spline ANFIS Bei einem B-Spline ANFIS mit n Eingängen x 1, x 2,..., x n, werden Regeln der folgenden Form benutzt: {Regel(i 1, i 2,..., i n ): IF (x 1 IS N 1 i 1,k 1 ) AND (x 2 IS N 2 i 2,k 2 ) AND... AND (x n IS N n i n,k n ) THEN y IS Y i1 i 2...i n }, wobei x j : Eingangsgröße j (j = 1,..., n), k j : Ordnung der B-Spline-Basisfunktion für x j, 71

25 72 N j i j,k j : mit dem i-ten linguistischen Term für x j assoziierte B-Spline-Funktion, i j = 0,..., m j, Partitionierung von Eingang j, Y i1 i 2...i n : Kontrollpunkte der Regel(i 1, i 2,..., i n ). der AND -Operator: Produkt

26 73 Dann ist der Ausgang y eines MISO Regelungssystems: y = m 1... m n (Y i1,...,i n n N j i j,k j (x j )) i 1 =1 i n =1 j=1 Das ist ein allgemeines B-Spline-Modell, das die Hyperfläche NUBS (nonuniform B-spline) darstellt.

27 Architektur des B-Spline ANFIS 74

28 75 ZF-Formulierung - Tensorprodukt Tensor-Produkt 2D-Splines:

29 Die Aktivierung der ZF über den Eingang 76

30 77 B-Spline ANFIS: ein Besipiel Ein Beispiel mit zwei Eingangsvariablen (x und y) und einem Ausgang z. Die Parameter der DANN-Teile sind Z 1, Z 2, Z 3, Z 4.

31 Die linguistischen Terme der Eingänge (WENN-Teile): 78

32 Die Parameter der DANN-Teile: 79

33 80 Ein Beispiel-Regelbasis Die Beispiel-Regelbasis besteht aus vier Regeln: Regel 1) IF x is X 1 and y is Y 1 THEN z is Z 1 2) IF x is X 1 and y is Y 2 THEN z is Z 2 3) IF x is X 2 and y is Y 1 THEN z is Z 3 4) IF x is X 2 and y is Y 2 THEN z is Z 4

34 Illustrierung der Fuzzy-Inferenz 81

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40 87 Algorithm zum überwachten Lernen - I Angenommen sei {(X, y d )} eine Menge von Trainingsdaten, wobei X = (x 1, x 2,..., x n ) : der Vektor der Eingangsdaten, y d : der gewünschte Ausgang für X. Der LSE ist: E = 1 2 (y r y d ) 2, (2)

41 88 wobei y r der aktuelle reale Ausgangswert während des Tranings ist. Die zu findenen Parameter sind Y i1,i 2,...,i n, die den Fehler in (2) minimiert, d.h. E = 1 2 (y r y d ) 2 MIN. (3)

42 Algorithm zum überwachten Lernen - II Jeder Controlpunkt Y i1,...,i n kann über das folgende Gradientabstiegsverfahren verbessert werden: Y i1,...,i n E = ɛ Y i1,...,i n (4) n = ɛ(y r y d ) N j i j,k j (x j ) (5) j=1 wobei 0 < ɛ 1. 89

43 90 Das Gradientabstiegsverfahren gewährleistet, dass der Lernalgorithmus zum globalen Minimum der LSE-Funktion konvergiert, weil die 2. partielle Ableitung bezüglich zu Y i1,i 2,...,i n konstant ist: 2 E 2 Y i1,...,i n = ( n j=1 N j i j,k j (x j )) 2 0. (6) Dies bedeutet dass die LSE-Funktion (2) konvex im Raum Y i1,i 2,...,i n ist und deshalb nur einen (globalen) Minimum besitzt.

44 91 Funktionsapproximation - Demonstrationen sin(x 2 ) sin(x 2 y) Stop 1d-demo Stop 2d-demo