Nachwort. Kannst Du die Form einer Trommel hören?

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1 Nachwort Unsere Reise durch den Kosmos der Quintenzirkel, seinen Wölfen, Kommas und Epsilons ist nun zu Ende. Wir haben aber eigentlich nur an den Hauptbahnhöfen gehalten. Die Erfahrung lehrt jedoch, dass es oft hingegen gerade die Nebenrouten sind, die zum Verweilen und Erleben einladen. Solche Nebenrouten finden wir, wenn wir an einem unserer Hauptbahnhöfe ob in Zenthausen oder Pythagolingen, in Eulerburg oder Primweiler, in Mitteltonstadt oder Egalingen - umsteigen und neue, unbekannte Gegenden erkunden. Dabei hilft uns zum einen die Lektüre historischer Episoden als Leitfaden und lohnenswerte Reiselektüre, die wir zum Beispiel in dem Büchlein von Dupont ([4]) (wie aber auch in dem Kompendium von Assayag ([1]) sehen könnten. Zum anderen allerdings überrascht uns umgekehrt auch die Mathematik gemeint ist hier die unsrige heutige mit ihrem Angebot, manche ihrer Erkenntnisse mit musikalischer Brille lesen zu können: Kannst Du die Form einer Trommel hören? diese vor ein paar Jahrzehnten gestellte Frage lenkte den Zug einiger Neugieriger in die Spektralsphären des Laplace-Operators und dessen Familie, die sich vornehmlich in nicht wirklich sichtbaren Mannigfaltigkeiten wohlfühlt da nicht so häufig durch Besucher gestört. Auch hat es die Allmacht der Computer mittlerweile geschafft, Bach oder Mozart als Perpetuum mobile - den Originalen beinahe ebenbürtig ungestraft zu plagiatieren. Sie wollen einen Vormittag lang neue, zuvor von niemandem jemals gehörte Mozartsche Klaviermusik non stop hören? Kein Problem! Und was steckt da hinter allem? Sicher ein Gebräu aus Statistik, Symmetrie-Algebra, Mustern, Algorithmen und anderen geheimen mathematischen Zutaten. Gute Mathematik Böse Mathematik? Gottlob können wir uns die Bahnhöfe, an denen wir umsteigen möchten, selbst aussuchen. Die Auswahl ist groß. Aber das ist eine andere Geschichte. K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI / , Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

2 Bilderverzeichnis Bild 1.1: Grundform einer periodischen Schwingung 2 Bild 1.2: Grundschwingung mit 440 periodischen Schwingungen pro Sekunde 4 Bild 1.3: Teilung einer gespannten Saite 5 Bild 1.4: Schwingung und Schwebung 7 Bild 1.5: Frequenzmaß und Frequenzbereiche physikalischer Intervalle 9 Bild 1.6: Strahlensatz Viertönesatz 11 Bild 1.7: Grundmodell der chromatischen Tonleiter 17 Bild 1.8: Arithmetische und harmonische Teilung musikalischer Intervalle 26 Bild 1.9: Skizze zur harmonischen Teilung 29 Bild 1.10: Helmhotzsche Konsonanzfunktion 33 Bild 1.11: Standard-12-Quintenkreis-Modell 38 Bild 1.12: Tonspirale, expandierend 38 Bild 1.13: Tonspirale, kontrahierend 39 Bild 2.1: Standard-Modell des geschlossenen Quintenkreises 46 Bild 2.2: Quint-Quart Teilung der Oktave 48 Bild 2.3: Tonos Limma Apotome 50 Bild 2.4: Wolfsquinte und Quintenkreis 54 Bild 2.5: Wolfsquinte und Quintenkreis 55 Bild 2.6: Halbtonstruktur der Wolfsquinte 57 Bild 2.7: Wolfsquinte und Quintenkreis 58 Bild 2.8: Beispiel einer Typ-8-Skala 58 Bild 2.9: Beispiel einer Typ-9-Skala 59 Bild 2.10: Beispiel einer Typ-6-Skala 60 Bild 2.11: Typ-k-Skala als Quintenkreis 60 Bild 2.12: Gleichheitsbereiche verschiedener Skalentypen 61 Bild 2.13: Diatonischer Bereich des Standard-Quintenkreises 64 Bild 2.14: Heptatonische Halbkreise von 66 Bild 2.15: Centfunktionen der Elementar-Intervalle 71 Bild 3.1: Diatonische pythagoräische Skala 74 Bild 3.2: Chromatische pythagoräische Skala (Modell Typ ) 75 Bild 3.3: Chromatische pythagoräische Skala (Centzahlen) 76 Bild 3.4: Pythagoräische Quintenspirale 84 Bild 3.5: Pythagoräische Quintenspirale 86 Bild 4.1: Konstruktionsprinzip der reinen diatonischen Skala 93 Bild 4.2: Konstruktionsprinzip der reinen chromatischen Skala 95 Bild 4.3: Die reine chromatische Skala R Bild 4.4: Tastatur einer 19-stufigen enharmonischen Skala 98 K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI / , Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

3 230 Bildverzeichnis Bild 4.5: Diatonik, Chromatik und Enharmonik im Eulergitter 99 Bild 4.6: Zur Konstruktion von Mersenne 100 Bild 4.7: Die 31-stufige Skala R 31 von Mersenne 100 Bild 4.8: Oktavskala der reinen diatonischen Skala 109 Bild 4.9: Eulersches Tongitter 111 Bild 4.10: Iteration mit reinen Großterzen 117 Bild 4.11: Skalen der Großterz-Iteration 119 Bild 4.12: Mikrointervalle im abstrakten Eulergitter 124 Bild 5.1: Diatonische Mitteltonskala M Bild 5.2: chromatische Mitteltonskala 133 Bild 5.3: Chromatische Mitteltonskala M Bild 5.4: Mitteltönige Moll-Terz-Skala 138 Bild 5.5: Diatonische mitteltönige Moll-Terz-Skala 138 Bild 5.6: Zur Ganztonteilung der mitteltönigen Moll-Terz-Skala 138 Bild 5.7: Konstruktion der Wurzel Bild 5.8: Pythagoräischer Fünfstern 140 Bild 5.9: Zum Goldenen Schnitt 141 Bild 5.10: Mitteltönige Tonspirale 143 Bild 6.1: Arnault-Stimmung 150 Bild 6.2: Arnold Schlick-Temperatur 151 Bild 6.3: Schema der Schlick schen Stimmung der diatonischen Skala 152 Bild 6.4: Aron-Stimmung der diatonischen mitteltönigen Skala 153 Bild 6.5: Auswahltemperierungen von Euler und Kepler 153 Bild 6.6: Euler-Temperatur 153 Bild 6.7: Kepler-Temperatur 154 Bild 6.8: Schema der Kirnberger schen Auswahl 155 Bild 6.9: Kirnberger Temperatur 155 Bild 6.10: 12-gliedrige Quintenkette reiner Quinten 157 Bild 6.11: Tabelle der Werckmeister II-Temperatur 157 Bild 6.12: Tabelle der Werckmeister I - Temperatur 158 Bild 6.13: Tabelle der Werckmeister III-Temperatur 158 Bild 6.14: Tabelle der Werckmeister IV-Temperatur 158 Bild 6.15: Ausgleichsprinzip von Zarlino 160 Bild 6.16: Tabelle der Zarlino-Temperatur 161 Bild 6.17: Einordnung der Zarlino - Quinte in die Mitteltönigkeit 162 Bild 6.18: Ausgleichsschema der Zarlino-Temperatur 163 Bild 6.19: Quintenkette aus reinen Quinten Q r 163 Bild 6.20: Silbermann I-Stimmung 164 Bild 6.21: Vergleich der 12-Quinteniteration: Silbermann pythagoräisch 166 Bild 6.22: Tonspiralen: Pythagoras und Silbermann 167 Bild 7.1: Gleichstufigkeit und musikalische Prinzipien 171

4 Bildverzeichnis 231 Bild 7.2: Gleichstufigkeit und Exponentialfunktion 174 Bild 7.3: Notenbeispiel: Bartòk, 4. Streichquartett 180 Bild 7.4: Zum Saitenteilungsmodell der Gitarre 181 Bild 7.5: Zur Konstruktion von Daniel Strähle 183 Bild 7.6: Graph der normierten Saitenlängenfunktion 184 Bild 7.7: Strähle-Funktion 184 Bild 8.1: Tonspiralen: Expandierend, kontrahierend 196 Bild 8.2: Eulergitter der reinen Quinten und Terzen 197 Bild 8.3: Iterationsmodelle im Frequenz- und im Centmaß 199 Bild 8.4: Abstraktes 2-dimensionales Eulergitter 202 Bild 8.5: Illustration zum Stufenaufbau periodischer Skalen 205 Bild 8.6: Hauptkommata im Eulergitter 208 Bild 8.7: Pythagoräischer Quintenkreis mit Wolfsquinte 211 Bild 8.8: Die logarithmische Centfunktion 214 Bild 8.9: Winkelmaß und Bogenmaß 215 Bild 8.10: Die Bogenmaß-Funktion 215 Bild 8.11: Cent-Tonwinkel-Funktion für Intervalle 217 Bild 8.12: Illustration Töne und Winkel 218 Bild 8.13: Skizze zum Tonverteilungssatz 220 Bild 8.14: Skizze zum Tonverteilungssatz 221 Bild 8.15: Skizze zur Formel von Moivre 223 Bild 8.16: Skizze zum Tonverteilungssatz 224 Bild 8.17: Skizze zum Tonverteilungssatz 225

5 Tabellenverzeichnis Tab. 1.1: Aufzählung der Quintfolgen in Intervallabständen zum Start (Tonika-C) 17 Tab. 1.2: Tabelle der gebräuchlichsten reinen Intervalle 25 Tab. 2.1: Gebräuchliche Quint-Temperierungen 72 Tab. 3.1: Antike Tetrachorde 79 Tab. 4.1: Terzen in der chromatischen Skala 96 Tab. 4.2: Die reine enharmonische Skala R Tab. 6.1: Stufung (Tonarten Charakteristik) einiger Kimberger-Skalen 156 Tab. 6.2: Vergleich der Basisintervalle: Silbermann gleichstufig pythagoräisch 165 Tab. 6.3 (Teil 1): Liste einiger Temperierungen in ct, gerundet 167 Tab. 6.4 (Teil 2): Liste einiger Temperierungen in ct, gerundet 168 Tab. 7.1: Cent-Tabelle des 2. Iterationstableaus des Algorithmus von Schröter 187 K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI / , Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

6 Literaturverzeichnis Zum Thema Mathematik und Musik in der Temperierungstheorie [1] Assayag, G. (edit.): Mathematics and music. Springer, Berlin (2002) [2] Billeter, B.: Anweisung zum Stimmen von Tasteninstrumenten in verschiedenen Temperaturen. Merseburger, Kassel (1989) [3] Billeter, B.: Zur Wohltemperierten Stimmung von Johann Sebastian Bach. Internationale Zeitschrift für das Orgelwesen Ars Organi 56/2, Mettlach (2008) [4] Dupont, W.: Geschichte der musikalischen Temperatur. Orgelbau Fachverlag Rensch, Lauffen/Neckar (1986) [5] Fauvel, J. (edit.): Music and Mathematics. Oxford UP, New York (2003) [6] Götze, H., Wille, R.: Musik und Mathematik. Springer, Berlin (1985) [7] Kelletat, H.: Zur musikalischen Temperatur I. Merseburger, Kassel (1981) [8] Kelletat, H.: Zur musikalischen Temperatur II. Merseburger, Kassel (1982) [9] Lange, H.: Ein Beitrag zur musikalischen Temperatur der Musikinstrumente vom Mittelalter bis zur Gegenwart. In: Die Musikforschung p , (1968) [10] Lange, H.: Tonlogarithmen. Heinrichshoven, Wilhelmshaven (1978) [11] Neuwirth, E.: Musikalische Stimmungen. Springer Wien (1997) [12] Nix, J.: Lehrgang der Stimmkunst. Verlag Erwin Bochinsky, Frankfurt (1988) [13] Reckziegel, W.: Theorien zur Formalanalyse mehrstimmiger Musik. in: Forschungsberichte des Landes NRW Nr. 1768, Westdeutscher Verlag, Köln und Opladen (1966) [14] Reimer, M.: Der Klang als Formel. Oldenbourg, München (2010) [15] Schröder, E.: Mathematik im Reich der Töne. BSB Teubner, Leipzig (1990) [16] Schugk, H. J.: Praxis barocker Stimmungen und ihre theoretischen Grundlagen. Verlag Rolf Drescher (Selbstverlag) (1983) [17] Taschner, R.: Der Zahlen gigantische Schatten. Vieweg, Wiesbaden (2004) [18] Vogel, M.: Die Lehre von den Tonbeziehungen. In: Systematische Musikwissenschaft, Düsseldorf (1975) K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI / , Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

7 236 Literaturverzeichnis Ergänzende Literatur zum Thema (aus Mathematik, Akustik und Physik) [19] Adelung, W.: Einführung in den Orgelbau. Breitkopf & Härtel, Wiesbaden (1987) [20] Berg, R.E., Stork, D. G.: The Physics of Sound. Prentice Hall, New Jersey (1995) [21] Borucki, H.: Einführung in die Akustik. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim (1989) [22] Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart (2004) [23] Magnus, K., Popp, K.: Schwingungen. Teubner, Stuttgart (2005) [24] Meyer, E., Neumann, E.-G.: Physikalische und technische Akustik. Vieweg, Braunschweig (1967) [25] Roederer, J. G.: Physikalische und psychoakustische Grundlagen der Musik. Springer, Berlin (1977) [26] Rossing, T.D., Fletcher, N.H.: Principles of Vibration and Sound. Second edition. Springer, New York (2004) [27] Wood`s, A.: The Physics of Music. Chapman and Hall, London (1975)

8 Formeln Sätze Kernaussagen 1. Mittelwertsatz für musikalische Intervalle Mittelwertsatz für musikalische Intervalle Quintensatz der Mitteltönigkeit 132 Charakterisierungseigenschaft der Mitteltonskala der reinen Dur-Terz 135 Chromatische Oktavformel 49 Chromatischer Quintskalen 16 Diatonische Oktavformel 49 Diatonische, tetrachordische Skalen, Komma-Formel 15 Diatonischer, quintgenerierter Skalen 18 Diatonisches Prinzip 11 Eindeutigkeit und Unendlichkeit der pythagoräischen Quintenspirale 85 Eindeutigkeitssatz multipler geometrischer Tonfolgen 40 Elementar-Intervalle und Quintformeln 48 Endlichkeitssatz für geometrische Folgen 35 Eulersches Terz-Quint-Gitter 112 Gleichstufige Skalen 172 Harmonische Teilung des Monochords 30 Intervallanzahlen bei einfachen Iterationen 208 Intervallbasis der ETS-Skalen 179 Kommasatz der reinen Skala 107 Kommata 18 Konsonanzgrad 31 Konstruktion beliebiger ETS-Skalen 175 Mersenne sche Frequenzformel 6 Minimaleigenschaft der ETS-Skalen 175 Monochord-Formeln 5, 6 Multiple Iterationen mit gleichen Tönen 197 Multiplikationssatz 9 Periodizität einfacher Iterationen 204 Periodizität multipler Iterationen 206 K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI / , Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

9 238 Formeln Sätze Kernaussagen Prinzip der Erhaltung der Tonika 113 Pythagoräisches Komma 75 Quintenkreis-Formel 48 Quintgenerierte, chromatische Skalen 60 Quintgenerierte, diatonische Skalen 53 Quintiterationen 19 Reoktavierungsinvarianz der Eulerschen Centfunktion 216 Schnell-Formeln der Quint-Iteration 70 Semiton-Bedingung 50 Superpartikulare Intervalle 116 Terz Quint Oktav Formeln der Kommata 122 Tetrachord-Formeln 49 Theorem von Babbitt 178 Tonartencharakteristik 65 Tondichte pythagoräischer Tonfolgen 90 Tonverteilung Theorem von Levy 220 Tonverteilungssatz (Satz von Levy) 41 Tonverteilungssatz für die Mitteltönigkeit 143 Unmöglichkeit gleichstufiger reiner Skalen 114 Viertönesatz 9

10 Stichwortverzeichnis Adjunktion von Intervallen 14 Andreas Werckmeister - Ausgleichungstemperaturen 157 Apotome, chromatischer Halbton 48 Arithmetische Folge 193 Arithmetisches Mittel 24 Arnold Schlick - Mitteltönigkeit (nach dem Prinzip der reinen Dur-Terz) 135 Bosanquet - Harmonium 87 Centmaß für Intervalle 22 Cent-Winkel für Intervalle 216 Chromatische Mitteltonskala der reinen Dur-Terz 133 Chromatische Mitteltonskala der reinen Moll-Terz 138 Chromatische pythagoräische Skala 75 Chromatischer Ganzton 67 Diaschisma 104, 107 Diatonische Mitteltonskala der reinen Dur-Terz 133 Diatonische Mitteltonskala der reinen Moll-Terz 138 Diatonische pythagoräische Skala 74 Diatonische Skala 11 Diatonischer Ganzton 65 Die 31-stufige Skala von Mersenne 99, 100 Einfach superpartikulares Intervall 116 Einfache Iterationen 195 Enharmonisch - Chromatisch - Diatonisch 78 Eulersche Centfunktion 42, 213 Eulersche Konsonanz-Funkion Gradus suavitatis 32 Eulersches Tongitter (Terz-Quint-Gitter) 111 Frequenz 2 Frequenzfaktordarstellung 13 Frequenzmaß 9 Geometrische Folge 34, 35, 193 K. Schüffler, Pythagoras, der Quintenwolf und das Komma, DOI / , Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012

11 240 Stichwortverzeichnis Geometrisches Mittel 25 Gioseffo Zarlino - Ausgleichungstemperatur 159 Gleichstufige Skala 174 Gleichstufige Temperierung 51 Gleichstufigkeitsalgorithmus von Christoph Gottlieb Schröter 186 Goldener Schnitt 141 Große Diesis 105 Großes Chroma 105 Grundschwingung, Tonhöhe 3 Harmonische Teilung 29 Harmonisches Mittel 25 Henri Arnault de Zwolle - pythagoräische Temperatur 150 Heptatonische Skala 11 Intervall 8 Intervallbasis eines ETS Systems 179 Johann Philipp Kirnberger - Auswahltemperatur 154 Johannes Kepler - Auswahltemperatur 153 Kleine Diesis 105 Kleines Chroma 105 Komma 47, 48 Leitereigene Halbtöne 49 Leonhard Euler - Auswahltemperatur 153 Limma, diatonischer Halbton 48 Mitteltönige Apotome (nach dem Prinzip der reinen Dur-Terz) 132 Mitteltönige Apotome (nach dem Prinzip der reinen Moll-Terz) 138 Mitteltönige Großterz-Temperierung 51 Mitteltönige Kleinterz-Temperierung 51 Mitteltönige Quinte (nach dem Prinzip der reinen Dur-Terz) 131 Mitteltönige Quinte (nach dem Prinzip der reinen Moll-Terz) 137 Mitteltönige Stimmung (nach dem Prinzip der reinen Dur-Terz) 132 Mitteltönige Tonspirale 142, 143 Mitteltöniger Ganzton (nach dem Prinzip der reinen Dur-Terz) 132

12 Stichwortverzeichnis 241 Mitteltöniger Ganzton (nach dem Prinzip der reinen Moll-Terz) 138 Mitteltöniger Halbton (nach dem Prinzip der reinen Dur-Terz) 132 Mitteltöniges Limma (nach dem Prinzip der reinen Dur-Terz) 132 Mitteltöniges Limma (nach dem Prinzip der reinen Moll-Terz) 138 Mitteltönigkeit nach dem Prinzip möglichst vieler reiner Großterzen 129 Monochord 5 Multiple Iterationen 297 Musikalischer Ton 3 Natürlich-Harmonisches System 92 Normierte Centfunktion 194 Oberschwingungen, Obertöne, Partialtöne 3 Oktave 4 Periodische eindimensionale Schwingung 2 Pythagoräische Quintenspirale, Pythagoräischer Quintenkreis 84 Pythagoräische Temperierung 50 Pythagoräischer chromatischer Halbton (Apotome) 74 Pythagoräischer diatonischer Halbton (Limma) 74 Pythagoräischer Ganzton (Tonos) 74 Pythagoräisches Komma 16, 75 Quinte 4 Reine chromatische Skala 95 Reine diatonische, heptatonische Skala 93 Reine enharmonische Skala 97 Reine Großterz-Skala 117 Reines Intervall 92 Reoktavierte Tonfolgen 198 Reoktavierung 35 Reoktavierungsoperator 200 Schisma 105 Schwebung 7, 8 Silbermann-Ganzton 165 Silbermann-Quinte 164

13 242 Stichwortverzeichnis Silbermann-Temperatur 163 Silbermann-Temperierung 51 Standard-Quintiteration 52 Strähle-Verfahren zur Gitarrenbund-Bestimmung 183 Subjunktion von Intervallen 14 Syntonisches (oder Didymisches) Komma 104 Temperierter Ganzton 172 Temperierter Halbton 172 Terz 4 Tetractys von Pythagoras 76 Tonartencharakteristik 68 Tonos, Ganzton 48 Wolfsquinte 54 Zarlino-Ganzton 161 Zarlino-Komma 161 Zarlino-Quinte 161 Zarlino-Temperierung 51