Übersicht über die Lernbereiche und jeweils ungefährer Zeitbedarf

Transkript

1 Übersicht über die Lernbereiche und jeweils ungefährer Zeitbedarf Zeitbedarf Schuljahrgänge 5/6 Zeitbedarf Schuljahrgänge 7/8 Zeitbedarf Schuljahrgänge 9/10 6 Wochen Umgang mit natürlichen Zahlen 5 Wochen Umgang mit negativen Zahlen 8 Wochen Körper und Figuren 4 Wochen Wahrscheinlichkeit 6 Wochen Rückwärtsschlüsse in der Stochastik 1 Wochen Umgang mit Brüchen 5 Wochen Proportionale und antiproportionale Zusammenhänge 8 Wochen Entdeckungen an rechtwinkligen Dreiecken und Ähnlichkeit 4 Wochen Planung und Durchführung statistischer Erhebungen 6 Wochen Längen, Flächen- und Rauminhalte und deren Terme 8 Wochen Quadratische Zusammenhänge 8 Wochen Umgang mit Dezimalzahlen 8 Wochen Elementare Termumformungen 6 Wochen Kreis- und Körperberechnungen mit Weg zu Pi 4 Wochen Symmetrien 8 Wochen Entdeckungen an Dreiecken Konstruktionen und besondere Linien 8 Wochen Exponentielle Zusammenhänge 6 Wochen Maßzahlen statistischer Erhebungen 5 Wochen Ein- und mehrstufige Zufallsversuche 6 Wochen Periodische Zusammenhänge 8 Wochen Lineare Zusammenhänge 4 Wochen Näherungsverfahren als Grenzprozesse - Zahlbereichserweiterungen 46 Wochen 49 Wochen 46 Wochen Die genannten Zeitbedarfe können nur grobe Anhaltspunkte für die zeitliche Gewichtung der Lernbereiche liefern.

2 OM: Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) (vgl. auch das online-material Zum Umgang mit Termen, Funktionen, Variablen und Parametern und Elementare Termumformungen ) Der Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge ist kein Selbstzweck, er hat vielmehr dienende Funktion. Er folgt stets der Leitfrage: Wie kann mit dem Einsatz das Lernen unterstützt werden? In diesem Sinne ist der Einsatz immer ein möglicher Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge. Die von Josef Leisen geprägte Kurzformel Kompetenz = Wissen + Können + Handeln stellt eine eindeutige Verbindung des Handelns mit dem Wissen her. Insofern ist der Kompetenzbegriff ernst zu nehmen und ggf. um den des Wissens mathematischer Inhalte zu präzisieren, welches Schülerinnen und Schüler jederzeit parat haben müssen. Damit Schülerinnen und Schüler nachhaltig lernen, müssen ausgewählte inhalts- und prozessbezogene Kompetenzen kontinuierlich wach gehalten werden. Deshalb ist bei der Weiterentwicklung des Kerncurriculums der Schuljahrgänge 5 bis 10 der Sicherung dieser Kompetenzen eine prominente Rolle eingeräumt worden. Im Sinne einer Förderung der Selbständigkeit der Schülerinnen und Schüler erfolgt der Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge zielgerichtet und situationsabhängig als Werkzeug zur Unterstützung des Lernens, des Lösens und des Kontrollierens. Auch weil die technische Entwicklung rasant und in kaum vorhersagbarer Weise verläuft, muss der Umgang mit diesen Werkzeugen Eingang in den Unterricht finden. Digitale Werkzeuge spielen in den mathematisch gestützten Wissenschaften zunehmend eine bedeutsame Rolle. Entscheidender für den Mathematikunterricht sind aber die Möglichkeiten dieser Werkzeuge, Inhalte varianten- und aspektreicher im Unterricht zu behandeln, durch Entlastung von syntaktischem Arbeiten Grundvorstellungen und Verstehensprozesse zu fördern und zu festigen, Realsituationen authentischer mathematisieren zu können. Damit werden digitale Mathematikwerkzeuge zu Unterrichtsmedien, die individuelle Erkundungen ebenso fördern wie größere Rücksichtnahme auf unterschiedliche Lerntypen und Berücksichtigung stärker individualisierter Lernformen. Digitale Mathematikwerkzeuge sind hilfreich, wenn es um das Variieren, Dynamisieren und Darstellen geht. Lernen wird dann damit nicht nur gestützt, sondern auch gefördert. Einsichten können durch Dynamisierung entstehen. Das ist auch im Sinne von Binnendifferenzierung der Fall. Damit besteht z. B. die Möglichkeit, eher funktional denkenden Schülern Zugänge zu ermöglichen, z.b. GrenzPROZESSE, VARIABILITÄT beim Zufall durch Simulation, ParameterVARIATION mit Schiebereglern etc. sichtbar zu machen. Ein verständiger, produktiver und reflektierter Umgang mit einem Computer Algebra System (CAS) setzt ein grundlegendes Verständnis der benutzten Begriffe und Verfahren voraus. Ein solches Verständnis bedarf im Allgemeinen nicht der Technologie. Im Gegenteil, die beschleunigenden Effekte beim Arbeiten mit einem CAS müssen durch entschleunigende, verstehens-orientierte Erstbegegnungen kompensiert werden. Aus diesem Grund sollte ein CAS zwar verwendet, gleichzeitig die grundlegenden Begriffe und Verfahren jedoch auch technologiefrei erarbeitet werden (Term-Tabelle-Graph; geometrische Konstruktionen; erste Algebraisierungen und Termumformungen). Beim Arbeiten mit einem CAS ist stets auf eine angemessene Balance zwischen Verwendung des CAS und hilfsmittelfreiem Arbeiten zu achten. Dieses gilt auch und gerade für den solve-befehl. In diesem Sinne sind digitale Mathematikwerkzeuge im Mathematikunterricht ab dem 5. Schuljahrgang in altersangemessener Weise und sachadäquatem Umfang zu verwenden.

3 OM: Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) Wenn also digitale Mathematikwerkzeuge zum Erkunden und Erforschen, zur Bestätigung, zur Selbstkontrolle oder als Tutor eingesetzt werden, so dienen sie stets dazu, Verständnis zu sichern. Schülerinnen und Schüler dürfen sich nicht nur auf das Werkzeug verlassen. Sie müssen sich auch von ihm lösen können. Dabei wird die Termumformungskompetenz durch die Termstrukturerkennungskompetenz gefördert. Eine modulare Betrachtungsweise von Termen, bei der Teilterme identifiziert werden, deren Umformung sicher gelingt, ist eine auch für spätere Klassenstufen tragfähige Strategie. Diese Strategie kann durch digitale Mathematikwerkzeuge unterstützt werden. Schülerinnen und Schüler müssen lineare Gleichungen mit der Struktur a x b c mit einfachen Koeffizienten im Kopf oder schriftlich lösen können. Auch so wird die Termübersicht gefördert und Grundverständnis gesichert. Werden die Koeffizienten unhandlich (weil die Sachsituation es erfordert), kann ein digitales Mathematikwerkzeug als Hilfsmittel eingesetzt werden. Mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge können Parametervariationen dynamisiert werden. Mittels Schiebereglern können ihre Wirkungen beobachtet werden. Eine anschließende Beschreibung und vor allem Deutung und Erklärung sowie Vertiefung sind unerlässlich. Die Beobachtungen zum Steigungsfaktor und zum y-achsenabschnitt bei linearen Funktionen, zu Nullstellen und Parametern in der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen, bei Potenzund Exponentialfunktionen sowie bei der Sinusfunktion bedürfen der Analyse und der Unterstützung durch Termkompetenzen im oben genannten doppelten Sinne. Bei manchen Funktionen benötigt man nur zwei Zahlenpaare, um die gesamte Information über die Funktion zu gewinnen. Damit sind sowohl deren Gleichung als auch deren Graph zu rekonstruieren. Es können also wesentliche Einsichten auch ohne den Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge erreicht werden. Deren Einsatz erfolgt jeweils funktional, zielgerichtet und in der Regel reflektiert. Die Graphikfähigkeit digitaler Mathematikwerkzeuge kann vorteilhaft sein, wenn man mit Graphen argumentieren will. Dabei spricht man auch über Kriterien zu Einstellungen des Grafik-Fensters. Gleichzeitig kann ein schlecht gewähltes Grafik-Fenster ein Motiv für eine theoretische Untersuchung der Graphen liefern. Dieses betrifft einerseits die Frage nach dem globalen Verlauf des Graphen und andererseits die Frage nach möglichen Extrempunkten. Mit digitalen Mathematikwerkzeugen können gut funktionale Abhängigkeiten untersucht werden. Bei Funktionen mit mehreren Variablen muss aber in dem vorausgehenden Unterricht die Bedeutung der entsprechenden Schreibweisen geklärt werden. Durch die funktionale Syntax wird beim Umgang mit digitalen Mathematikwerkzeugen funktionales Denken geschult. Das muss natürlich auch stets reflektiert werden (Abhängige vs. freie Argumente, Variable vs. Parameter etc., was ändert sich, wenn ) ein vertieftes Verständnis für Variabilität und funktionale Abhängigkeiten geht mit dem Umgang einher. Dabei muss auch darüber nachgedacht werden, was das Konstanthalten der übrigen Parameter bedeutet. Ist das geklärt, kann die funktionale Abhängigkeit verständlich werden.

4 OM: Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) Beispiele: 1 1 Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet: A Grundseite Höhe g h Im Rechner soll die Formel adreieck heißen. Das Bild unten links zeigt, wie sie eingegeben wird. Im Bild rechts sind verschiedene Ausdrücke eingegeben und jeweils die Rechnerausgabe dargestellt. Hieran kann die Bedeutung der Eingaben diskutiert werden. Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes kann ganz ähnlich vorgegangen werden. Wieder wird nach der Bedeutung gefragt. Im Rahmen des Unterrichts zur Stochastik kann der Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge in vielfältiger Weise erfolgen. Mit ihnen können Daten übersichtlich geordnet und dargestellt werden. Mit ihnen lassen sich auch statistische Kenngrößen einfach berechnen. Darstellungswechsel sind einfach und vielfältig möglich. Simulationen dienen dem Erkenntnisgewinn. Durch Simulation kann die Variabilität von Zufall erfahren werden. Die Tabellenkalkulation kann im Unterricht in vielen Inhaltsbereichen eingesetzt werden. Neben den Möglichkeiten zur Darstellung sind vielfältige Anwendungen im Rahmen von Simulationen und zur Modellbildung, für Berechnungen und zum Erkunden und Entdecken gegeben. Der Einsatz des Regressionsmoduls digitaler Mathematikwerkzeuge erfolgt im Wesentlichen als Black Box im Sinne bestmögliche Kurve. Der mathematische Hintergrund der Regression wird nicht behandelt. Jedoch sollte die mit dem Regressionsmodul jeweils erzeugte Funktion auf ihre Tauglichkeit im Sachzusammenhang überprüft werden Der Einsatz des Regressionsmoduls erfolgt, wenn in Modellierungszusammenhängen Wirkzusammenhänge vermutet und untersucht werden. Die gewonnenen Regressionsfunktionen können dann zur Extra- und Interpolation verwendet werden. Das Finden von z. B. Ausgleichsgeraden ist eine wichtige Tätigkeit im Mathematikunterricht. Hierbei müssen die Schülerinnen und Schüler die Erfahrung machen, dass es nicht die eine und einzige Lösung gibt, wenn man mit Daten umgeht. Es gibt viele Lösungen und man muss abwägen, welche Lösung wohl die Beste ist. Die Schülerinnen und Schüler müssen zunächst mit den eingeführten Werkzeugen Ausgleichgeraden finden (zwei ausgewählte Punkte, mittendurch nach Augenmaß, Anzahl Punkte oberhalb und unterhalb der Ausgleichsgerade gleich...). Sie finden verschiedene Ausgleichsgeraden mit unterschiedlichen Methoden und erfahren, dass beim Modellieren unterschiedliche Lösungen richtig sein kön-

5 OM: Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) nen. Und die Beurteilung, welche Gerade die Beste ist wird dann im Modellzusammenhang geklärt. In diesem Prozess spielt das Regressionsmodul nur eine untergeordnete Rolle. Der Einsatz des Regressionsmoduls sollte reflektiert erfolgen, insbesondere bei periodischen Zusammenhängen. In dem Bild unten links ist der Datenplot eines periodischen Vorgangs und der Graph der zugehörigen Regressionsfunktion dargestellt. Im Bild rechts fehlen aus dem Datenmaterial einige Werte. Der Graph der jetzt gefundenen Regressionsfunktion sieht ganz anders aus. Die Bilder unten zeigen in beiden Fällen den gleichen Datenplot. Im linken Bild ist der Graph einer periodischen Funktion mit angepasster Periodenlänge und rechts einer mit nicht angepasster Periodenlänge dargestellt.

6 Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) AUSZÜGE AUS DEM KERNCURRICULUM.4 Zum Einsatz von Medien Im Mathematikunterricht werden ab dem 5. Schuljahrgang in altersangemessener Weise und sachadäquatem Umfang zunehmend digitale Mathematikwerkzeuge wie Programme zur graphischen Darstellung, Tabellenkalkulationsprogramme, Dynamische Geometriesoftware (DGS), Computer-Algebra-Systeme (CAS) und gegebenenfalls weitere Software sowie das Internet genutzt. Die digitalen Mathematikwerkzeuge unterstützen den Aufbau von Kompetenzen, indem sie gezieltes Experimentieren und Entdecken neuer Sachverhalte ermöglichen, zu Fragen anregen und die Selbstständigkeit und Kreativität der Schülerinnen und Schüler fördern. Sie dienen sowohl der Überprüfung eigener Lösungen als auch dem Erkenntnisgewinn, zum Beispiel durch Explorieren, Experimentieren und Simulieren. Der Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge erweitert einerseits die Erfahrungsbasis und ermöglicht andererseits unterschiedliche Lösungswege durch die Anwendung von graphischen, tabellarischen, numerischen und symbolischen Methoden. Um Kompetenzen langfristig aufzubauen, ist eine angemessene Balance zwischen hilfsmittelfreiem Arbeiten und der Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge erforderlich. Nach wie vor werden für grundlegende Verfahren wie zum Beispiel Termumformungen und Gleichungslösen hilfsmittelfreie Routinen entwickelt und durch regelmäßige Übungs- und Wiederholungsphasen gesichert. Chancen und Grenzen digitaler Mathematikwerkzeuge bedürfen somit einer kritischen Reflexion. Art und Leistungsumfang der digitalen Mathematikwerkzeuge, die den Schülerinnen und Schüler sowohl im Unterricht als auch bei Hausaufgaben und bei Leistungsüberprüfungen zur Verfügung stehen sollen, werden in einem gesonderten Erlass geregelt. 3 Erwartete Kompetenzen Es wird nur dann explizit sowohl auf den Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge als auch auf hilfsmittelfrei zu erwerbenden Kompetenzen hingewiesen, wenn Abgrenzungen deutlich werden sollen. Fehlen diese Hinweise ist der hilfsmittelfreie Erwerb der Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten intendiert.

7 Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) 3.1 Prozessbezogene Kompetenzbereiche Mathematische Darstellungen verwenden am Ende von Schuljahrgang 6 zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 8 zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 10 Die Schülerinnen und Schüler lesen aus Säulen- und Kreisdiagrammen Daten ab. stellen Zuordnungen und funktionale Zusammenhänge durch Tabellen, Graphen oder Terme dar, auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge, interpretieren und nutzen solche Darstellungen Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen am Ende von Schuljahrgang 6 zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 8 zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 10 Die Schülerinnen und Schüler berechnen die Werte einfacher Terme. nutzen die Umkehrung der Grundrechenarten zum Lösen einfacher Gleichungen. nutzen Lineal, Geodreieck und Zirkel zur Konstruktion und Messung geometrischer Figuren. formen überschaubare Terme mit Variablen hilfsmittelfrei um. formen Terme mit einem CAS um. nutzen tabellarische, graphische und algebraische Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen sowie linearer Gleichungssysteme. nutzen DGS, Tabellenkalkulation und CAS zur Darstellung und Erkundung mathematischer Zusammenhänge sowie zur Bestimmung von Ergebnissen. wählen geeignete Verfahren zum Lösen von Gleichungen.

8 Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) 3..1 Zahlen und Operationen am Ende von Schuljahrgang 6 zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 8 zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 10 Die Schülerinnen und Schüler rechnen schriftlich mit nicht-negativen rationalen Zahlen in alltagsrelevanten Zahlenräumen. nutzen Zusammenhänge zwischen den Grundrechenarten auch bei Sachproblemen. führen Rechnungen, auch mit d M W, aus und bewerten die Ergebnisse. lösen Grundaufgaben bei proportionalen und antiproportionalen Zusammenhängen, der Prozent- und Zinsrechnung mit Dreisatz. lösen lineare Gleichungen, lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen sowie Verhältnisgleichungen in einfachen Fällen hilfsmittelfrei. lösen lineare Gleichungen numerisch, grafisch und unter Verwendung eines CAS. lösen lineare Gleichungssysteme numerisch mit Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren, grafisch und unter Verwendung eines CAS. lösen quadratische Gleichungen vom Typ x p x 0 und x q 0 hilfsmittelfrei. lösen quadratische Gleichungen vom Typ x p x q 0, a x b x 0, a x c 0 und a (x d) e 0 in einfachen Fällen hilfsmittelfrei. lösen Gleichungen numerisch, grafisch und unter Verwendung eines CAS.

9 Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) 3..3 Raum und Form am Ende von Schuljahrgang 6 zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 8 zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 10 Die Schülerinnen und Schüler zeichnen Winkel, Strecken und Kreise, um ebene geometrische Figuren zu erstellen oder zu reproduzieren. beschreiben Kreise als Ortslinien. konstruieren mit Zirkel, Geodreieck und dynamischer Geometriesoftware, um ebene geometrische Figuren zu erstellen oder zu reproduzieren. beschreiben und erzeugen Parallelen, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden als Ortslinien und nutzen deren Eigenschaften. beschreiben und erzeugen Parabeln als Ortslinien.

10 Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) 3..4 Funktionaler Zusammenhang am Ende von Schuljahrgang 6 zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 8 zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 10 Die Schülerinnen und Schüler nutzen proportionale und antiproportionale Zuordnungen sowie lineare Funktionen zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge, auch unter Verwendung d M W. beschreiben den Zusammenhang zwischen der Lage von Graphen und der Lösbarkeit der zugehörigen linearen Gleichungen und Gleichungssysteme. lösen Probleme und modellieren Sachsituationen mit proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen bzw. linearen Funktionen auch unter Verwendung d M W. beschreiben und begründen Auswirkungen von Parametervariationen bei linearen Funktionen, auch unter Verwendung d M W. nutzen quadratische Funktionen, Exponentialfunktionen, Sinus- und Kosinusfunktionen zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge, auch unter Verwendung d M W. beschreiben den Zusammenhang zwischen möglichen Nullstellen und dem Scheitelpunkt der Graphen quadratischer Funktionen einerseits und der Lösung quadratischer Gleichungen andererseits. wechseln bei quadratischen Funktionstermen in einfachen Fällen hilfsmittelfrei zwischen allgemeiner und faktorisierter Form sowie Scheitelpunktform. lösen Probleme und modellieren Sachsituationen mit Funktionen auch unter Verwendung d M W. modellieren lineares, exponentielles und begrenztes Wachstum explizit und iterativ auch unter d M W. beschreiben und begründen Auswirkungen von Parametervariationen bei quadratischen Funktionen, Exponentialfunktionen, Sinusund Kosinusfunktionen, auch unter Verwendung d M W. beschreiben und begründen die Auswirkungen der Parameter auf den Graphen für Funktionen mit y a f b (x c) d.

11 Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) 3..5 Daten und Zufall am Ende von Schuljahrgang 6 zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 8 zusätzlich am Ende von Schuljahrgang 10 Die Schülerinnen und Schüler beschreiben und interpretieren Daten mithilfe von absoluten und relativen Häufigkeiten, arithmetischem Mittelwert, Wert mit der größten Häufigkeit und Spannweite. simulieren Zufallsexperimente, auch mithilfe d M W.

12 Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) Lernbereich: Maßzahlen statistischer Erhebungen Intentionen Kern Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge Tabellenkalkulation zur Darstellung und Berechnung Lernbereich: Wahrscheinlichkeit Intentionen Simulationen werden mit realen Objekten sowie mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge durchgeführt. Das Erleben der Variabilität fördert ein Verständnis für den Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit sowie für das Gesetz der großen Zahlen. Kern... eine Versuchsreihe mit vollsymmetrischen Objekten durchführen und simulieren Laplace-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit gegen relative Häufigkeit abgrenzen Gesetz der großen Zahlen Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge Einsatz zur Simulation Lernbereich: Proportionale und antiproportionale Zusammenhänge Intentionen Kern Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge Einsatz zur Darstellung und Berechnung

13 Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) Lernbereich: Längen, Flächen- und Rauminhalte und deren Terme Intentionen Bei der Bestimmung von Längen, Flächen- und Rauminhalten von Figuren wird das Zusammenspiel von Geometrie und Arithmetik deutlich. Die Flächen- und Rauminhalte einfacher Figuren werden durch Terme beschrieben und unter Berücksichtigung passender Einheiten berechnet. Werden dabei jeweils unterschiedliche Terme aufgestellt, wird deren Gleichheit begründet. Kern Umfang und Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm, Trapez ermitteln Oberflächen- und Rauminhalt von geradem Prisma ermitteln Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge DGS zur Exploration und zur Bestätigung; CAS als Tutor Lernbereich: Elementare Termumformungen Intentionen Grundsätzliche Strategien beim rechnerfreien Umformen von Termen werden an einfachen Beispielen verdeutlicht, dann verallgemeinert und verankert. Kern einfache Termumformungen durchführen Summen multiplizieren einfache lineare Gleichungen lösen einfache Verhältnisgleichungen lösen Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge CAS zur Kontrolle, zur Exploration oder als Tutor

14 Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) Lernbereich: Entdeckungen an Dreiecken Konstruktionen und besondere Linien Intentionen Kern Dreiecke konstruieren Transversalen erkunden Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge DGS zur Exploration Lernbereich: Ein- und mehrstufige Zufallsversuche Intentionen Es wird darauf geachtet, dass das Bewusstsein für die Variabilität bei Zufallsversuchen erhalten bleibt: Die Schülerinnen und Schüler erfahren durch Simulationen, dass die vorhergesagten Häufigkeiten nicht punktgenau eintreffen. Simulationen werden mit realen Objekten sowie mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge durchgeführt. Das Erleben der Variabilität fördert ein Verständnis für den Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit sowie für das Gesetz der großen Zahlen. Kern einstufige Zufallsexperimente mit bekannten Pfad-Wahrscheinlichkeiten prognostizieren, durchführen und simulieren zwei- und mehrstufige Zufallsexperimente mit bekannten Pfad-Wahrscheinlichkeiten prognostizieren, durchführen und simulieren Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge Einsatz zur Simulation

15 Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) Lernbereich: Lineare Zusammenhänge Intentionen Die Schülerinnen und Schüler zeichnen Graphen linearer Funktionen auch hilfsmittelfrei. Digitale Mathematikwerkzeuge werden angemessen zur Visualisierung, zur numerischen Lösung sowie zur linearen Regression eingesetzt. Einfache lineare Gleichungen und Gleichungssysteme lösen die Schülerinnen und Schüler - auch mit Parametern - von Hand, wobei das Einsetzungsverfahren fächerübergreifend als universelle Lösungsstrategie betrachtet wird. Kern lineare Zusammenhänge identifizieren und darstellen lineare Funktionen und lineare Gleichungen analysieren und vergleichen lineare Gleichungen lösen lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen aufstellen und lösen Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge CAS zum Lösen von Gleichungen und LGS; Regressionsmodul Lernbereich: Entdeckungen an rechtwinkligen Dreiecken und Ähnlichkeit Intentionen Mithilfe des Satzes des Pythagoras und der trigonometrischen Beziehungen an rechtwinkligen Dreiecken werden unbekannte Streckenlängen und Winkelgrößen sowohl bei innermathematischen Problemen als auch bei Sachproblemen bestimmt. Das Wurzelziehen wird als Umkehroperation des Quadrierens eingeführt. Kern Ähnlichkeit beschreiben und nutzen mit Wurzeln umgehen trigonometrische Beziehungen identifizieren und nutzen Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge CAS zur Lösung von Gleichungen; DGS zur Exploration

16 Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) Lernbereich: Quadratische Zusammenhänge Intentionen Durch Parametervariation werden die Auswirkungen der Parameter auf das Aussehen des Graphen untersucht. Das Wissen um diese Zusammenhänge erleichtert es, in einfachen Fällen ohne Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge zwischen faktorisierter Form und Scheitelpunktform sowie allgemeiner Form zu wechseln und quadratische Gleichungen zu lösen. Für die Lösung quadratischer Gleichungen in nicht-einfachen Fällen stehen digitale Mathematikwerkzeuge zur Verfügung. Die Nutzung des Regressionsmoduls ermöglicht es, durch Daten dargestellte Zusammenhänge zu modellieren. Die Parabel wird als Ortslinie betrachtet, um so neben der funktionalen eine weitere Deutung zu ermöglichen. Kern Quadratische Funktionen untersuchen - Parametervariation Quadratische Gleichungen quadratische Zusammenhänge modellieren Parabel als Ort aller Punkte, die zu einem Punkt und zu einer Geraden gleichen Abstand haben Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge: CAS zum Lösen quadratischer Gleichungen; Regressionsmodul Lernbereich: Kreis- und Körperberechnungen Intentionen Der Umfang oder der Flächeninhalt des Kreises werden durch ein geeignetes Näherungsverfahren bestimmt. Die Formeln für das Volumen und den Oberflächeninhalt von Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel werden zu Berechnungen verwendet, Kern Flächeninhalt und Umfang des Kreises ermitteln Maßzahlen ausgewählter Körper schätzen und berechnen Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge: abhängig vom gewählten Näherungsverfahren; CAS zur Lösung von Gleichungen

17 Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) Lernbereich: Kreis- und Körperberechnungen Intentionen Ausgehend von trigonometrischen Beziehungen kann die Annäherung durch regelmäßige n- Ecke einfach und zeitökonomisch gestaltet werden. Kern Flächeninhalt und Umfang des Kreises ermitteln Maßzahlen ausgewählter Körper schätzen und berechnen Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge abhängig vom gewählten Näherungsverfahren; CAS zur Lösung von Gleichungen Lernbereich: Exponentielle Zusammenhänge Intentionen Die iterativ beschriebene Überlagerung aus exponentiellem und linearem Wachstum in der Form b(n) b(n 1) w b(n 1) d mit w 1 bzw. b(n) k b(n 1) d mit k 0 führt auf vier Fälle, die in Abhängigkeit des Anfangswertes sowie der Parameter d und w bzw. k untersucht und mit Sachsituationen verknüpft werden. Beim Einsatz von CAS zur Lösung komplexerer Gleichungen ist das Verständnis der Rechnerausgabe sicherzustellen. Kern exponentielle Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren Exponentialfunktionen untersuchen - Parametervariation mit Potenzen rechnen. Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge Tabellenkalkulation; CAS zum Lösen von Gleichungen; Regressionsmodul

18 Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (d M W) Lernbereich: Periodische Zusammenhänge Intentionen Das Lösen der auftretenden Gleichungen erfolgt mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge, wobei insbesondere auf eine angemessene Darstellung der Lösung im Hinblick auf die Periodizität der Funktion und auf die sachangemessene Wahl des Arguments geachtet wird. Kern Sinus- und Kosinusfunktion als periodische Funktion Sinusfunktion untersuchen - Parametervariation Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge DGS zur Visualisierung; Regressionsmodul Lernbereich: Näherungsverfahren als Grenzprozesse Zahlbereichserweiterungen Intentionen Kern Gemeinsamkeiten und Unterschiede ausgewählter Grenzprozesse beschreiben Zahlbereichserweiterungen erläutern Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge abhängig vom gewählten Näherungsverfahren Literaturhinweise: Mathematik lehren 10 (Oktober 003) Mathematik lehren 137 (August 006) Mathematik lehren 146 (Februar 008) CALiMERO-Materialien Leuders, Timo: Mathematik Didaktik, Praxishandbuch für die Sekundarstufe I und II, Berlin (Cornelsen Scriptor), 003

19 Elementare Termumformungen Im Kerncurriculum wird nur dann explizit sowohl auf den Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge als auch auf hilfsmittelfrei zu erwerbenden Kompetenzen hingewiesen, wenn Abgrenzungen deutlich werden sollen. Fehlen diese Hinweise, ist der hilfsmittelfreie Erwerb der Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten intendiert. 1 Im Folgenden wird an Beispielen die maximale Komplexität beschrieben, die jeder Schüler im Kopf bzw. zu Fuß (also durch Notation von Zwischenschritten) ohne CAS können sollte. Die Beispiele im Kopf bilden ein Repertoire von sicher beherrschten Techniken, die bei den Beispielen zu Fuß dann sicher abgerufen werden können. Die Grenzen sind fließend. Die Fertigkeit, Terme und Gleichungen mit der angegebenen maximalen Komplexität umzuformen bzw. zu lösen, sollte am Ende der jeweiligen Unterrichtseinheit erreicht sein. Im folgenden Unterricht werden dann Lerninhalte durch geeignete Wiederholungen und Übungen aus dem Kontext der Erstbegegnung gelöst und an geeigneten Stellen des gesamten Mathematikunterrichts geübt. Regelmäßige Kopfübungen sind ein bewährter, sinnvoller Weg. Übungsund Wiederholungsphasen sollten über den aktuellen Lernbereich hinaus vernetzend sein. Es kann sinnvoll sein, in Übungen auch über die hier beispielhaft benannte Komplexität hinauszugehen. Für die Übersichtlichkeit wurde als Variable x bzw. a und b als Parameter verwendet. Im Unterricht sollte darauf geachtet werden, dass bei kontextgebundenen Gleichungen die Variable sachlogisch bezeichnet sind. 1 s. Kerncurriculum für das Gymnasium Schuljahrgänge , Kapitel 3 Erwartete Kompetenzen s. KC, Kapitel. Kompetenzentwicklung 1

20 Thema im Kopf zu Fuß Grundrechenarten Bruchterme : : : 6 11 Grundrechenarten Zahlterme 3 1 3, 13,8 3 1,5 4 Terme zusammenfassen 8a b a 4a b Distributivgesetz Ausklammern 3,1 13, ,5 4, 1 : 3 40 :15 a a 5 a 3 a 4 3 a 5 b 3 x 5 y x 5 x 16 x 1 x 50,4 : 1 a,5 a b 5 a b 5 a 6 b 0,5 a b Summen multiplizieren 3 a b 4 b a Binomische Formeln als Spezialfall Faktorisieren a b x 8 x x x 0 4 Lineare Gleichungen 3x x 3 x x x 5 x x 4 x 7 10 x x 1 x 3 a

21 Thema im Kopf zu Fuß Verhältnisgleichungen x 1 3 x 4 5 Lineare Gleichungssysteme x y 1 quadratische Gleichungen y x 5 x 5 x 0 3 x 1 x =0 x x 7 Gleichungen der Form a c b d nach allen Parametern auflösen. 3 x 8 y 4 x y 9 x 5 0 x 6 x 0 3 x 18 0 x 81 0 x x 5 0 Wechsel zwischen den Darstellungsformen bei quadratischen Funktionen x 8 0 f(x) x 8 x wechseln zu f(x) x x 8 und umgekehrt f(x) x 5 x 1 wechseln zu f(x) x,5 5,5 und umgekehrt 3 f(x) x x 4 wechseln zu 3 f(x) x x 4 und umgekehrt f(x) x 5 x 1 wechseln zu f(x) x 4 x 5 und umgekehrt f(x) x 5 wechseln zu f(x) x 5 x 5 und umgekehrt 3

22 Thema im Kopf zu Fuß Potenzgesetze 3 a a a a 4 4 b 3 6 a 3, a : a 3 3 a : b 5 3 a : a 4 a 5 n 3 Terme, die nicht über die Komplexität kontextgebundener Terme hinausgehen Exponentialgleichungen x 1 64 Wurzelgesetze x Teilweises Radizieren

23 AUSZÜGE AUS DEM KERNCURRICULUM. Kompetenzentwicklung Grundlage für einen erfolgreichen Auf- und Ausbau des Kompetenznetzes sind Fertigkeiten im flüssigen und flexiblen Umgehen u.a. mit Zahlen, Größen und geometrischen Objekten. Nach wie vor ist der sichere Umgang mit Termen und Termumformungen mit und ohne Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge von grundlegender Bedeutung..4 Zum Einsatz von Medien Um Kompetenzen langfristig aufzubauen, ist eine angemessene Balance zwischen hilfsmittelfreiem Arbeiten und der Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge erforderlich. Nach wie vor werden für grundlegende Verfahren wie zum Beispiel Termumformungen und Gleichungslösen hilfsmittelfreie Routinen entwickelt und durch regelmäßige Übungs- und Wiederholungsphasen gesichert. Chancen und Grenzen digitaler Mathematikwerkzeuge bedürfen somit einer kritischen Reflexion. 3 Erwartete Kompetenzen Es wird nur dann explizit sowohl auf den Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge als auch auf hilfsmittelfrei zu erwerbenden Kompetenzen hingewiesen, wenn Abgrenzungen deutlich werden sollen. Fehlen diese Hinweise, ist der hilfsmittelfreie Erwerb der Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten intendiert. 3.1 Prozessbezogene Kompetenzbereiche 3.1. Probleme mathematisch lösen wenden elementare mathematische Regeln und Verfahren wie Messen, Rechnen und einfaches logisches Schlussfolgern zur Lösung von Problemen an. wenden algebraische, numerische, grafische Verfahren oder geometrische Konstruktionen zur Problemlösung an Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen formen überschaubare Terme mit Variablen hilfsmittelfrei um. nutzen die Umkehrung der Grundrechenarten. nutzen tabellarische, grafische und algebraische Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen sowie linearer Gleichungssysteme. wählen geeignete Verfahren zum Lösen von Gleichungen. 5

24 3. Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche 3..1 Zahlen und Operationen deuten Brüche als Anteile und Verhältnisse. nutzen das Grundprinzip des Kürzens und Erweiterns von einfachen Brüchen als Vergröbern bzw. Verfeinern der Einteilung. deuten Dezimalzahlen als Darstellungsform für Brüche und führen Umwandlungen durch. lösen einfache Rechenaufgaben mit nichtnegativen rationalen Zahlen im Kopf. rechnen schriftlich mit nichtnegativen rationalen Zahlen in alltagsrelevanten Zahlenräumen. nutzen Rechenregeln zum vorteilhaften Rechnen. nutzen Zusammenhänge zwischen den Grundrechenarten auch bei Sachproblemen. deuten Prozentangaben als Darstellungsform für Brüche und führen Umwandlungen durch. lösen einfache Rechenaufgaben mit rationalen Zahlen im Kopf. führen Rechnungen, auch mit digitalen Mathematikwerkzeugen, aus und bewerten die Ergebnisse. formen Terme mithilfe des Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetzes um und nutzen die binomischen Formeln zur Vereinfachung von Termen. lösen Grundaufgaben bei proportionalen und antiproportionalen Zusammenhängen, der Prozent- und Zinsrechnung mit Dreisatz. lösen lineare Gleichungen, lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen sowie Verhältnisgleichungen in einfachen Fällen hilfsmittelfrei. ziehen in einfachen Fällen Wurzeln aus nicht-negativen rationalen Zahlen im Kopf. begründen exemplarisch Rechengesetze für Quadratwurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten und wenden diese an. lösen quadratische Gleichungen vom Typ x p x 0 und x q 0 hilfsmittelfrei. lösen quadratische Gleichungen vom Typ x p x q 0, a x b x 0, und a x c 0 a (x d) e 0 in einfachen Fällen hilfsmittelfrei. 6

25 3..4 Funktionaler Zusammenhang wechseln bei quadratischen Funktionstermen in einfachen Fällen hilfsmittelfrei zwischen allgemeiner und faktorisierter Form sowie Scheitelpunktform. 7

26 Zum Umgang mit Termen, Funktionen, Variablen und Parametern (vgl. auch das online-material Zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge und Elementare Termumformungen ) LERNEN DER FORMELSPRACHE Das Lernen der Formelsprache und damit ein verständiger Gebrauch von Termen, Variablen und Parametern erfolgt nach Vollrath/Weigand (vgl. [1], S. 101ff.) sinnvollerweise in sechs Phasen, von denen sich fünf auch im Kerncurriculum wiederfinden Phase: Intuitiver Gebrauch von Variablen und Termen Die Schüler lernen zunächst den Gebrauch von Variablen und Termen aus Aufgabenstellungen, die sich unmittelbar aus dem Kontext des Unterrichts ergeben. Das bedeutet zunächst die Verankerung dieser Sprache im Umgang mit Zahlen und Größen. In dieser Phase wird nicht über die Sprachelemente geredet, sondern sie werden nur verwendet. Dabei kommt es darauf an, sie als Ausdrucksmittel zur Beschreibung von Problemsituationen zu nutzen. (1) Verwendung von Variablen als Platzhalter für Zahlen, Bezeichnung durch Marken oder auch Buchstaben () Verwendung von Variablen als Zeichen, für die man z.b. in Tabellen nacheinander verschiedene Zahlen einsetzen kann (3) Aufstellen von Termen; zweckmäßig ist es dabei, von Beginn an Buchstaben zu verwenden, die an die betrachteten Objekte erinnert. Phase: Reflexionsphase Einführung der Begriffe Variable und Term (1) Einführung der Begriffe Variable (um die betrachteten Phänomene angemessen auszudrücken) und Term (als Rechenschema): Soll immer die gleiche Rechnung nach einem bestimmten Schema ausgeführt werden, so kann man das Schema als Term mit Variablen und Zahlen schreiben. () Termstruktur Analysieren und Klassifizieren von Termen (3) Gleichheit von Termen Unterschiedliche Strategien beim Aufstellen von Termen, die z.b. Punktmuster, Flächeninhalte oder Umfänge beschreiben, führen zu unterschiedlichen Termen. Beispiel 1: Termstruktur und Gegenstandsstruktur Wie viele Plättchen hat das 4., das 5., das 6., das 10., das 40. Muster? n= 4 n= 5 Um die Fragen nach großen n zu beantworten, müssen die Lernenden die Plättchenmuster systematisch abzählen. Das kann auf unterschiedliche Art geschehen: Man kann die oberen Seiten n + n. Man kann auch und dann die beiden senkrechten Seiten zählen und kommt zu ( ) 1 Die Erweiterung um neue Formelsprachen (z.b. Widerstands- oder Schaltalgebra) als sechste Phase gehört nicht zum Kern und findet deshalb keine Berücksichtigung.

27 die 4 Eckpunkte separat erfassen und die vier Restseiten betrachten und gelangt zu 4+ 4 ( n ). Auch andere Möglichkeiten werden ggf. genannt. Um das Vertrauen in den Term zu stärken, ist es zunächst wichtig, die genannten Terme auch für kleine n zu konkretisieren. Die verschiedenen Ergebnisse für die Terme haben einen willkommenen Nebeneffekt: Wer hat denn nun Recht? Dies bietet einen guten Anlass für sinnstiftende Termumformungen. Die Termäquivalenz stellt sich als Beschreibungsäquivalenz dar und ist daher semantisch stark angebunden. Die Termumformung wird für das Argumentieren genutzt. Zwei Terme sind dabei gleich, wenn man einen Term gemäß einer Regel in einen anderen umformen kann. Beispiel : Handlungsvorschriften als Terme Bei Zahlenmauern ist jeder Eintrag die Summe der beiden darunter stehenden Einträge. Unvollständige Zahlenmauern bieten Gelegenheit, um über Terme zu sprechen: Hier gibt es wiederum unterschiedliche Strategien, zur Lösung zu gelangen. Füllt man etwa unten in der Mitte ein x ein, so ergibt sich in der mittleren Zeile links 5+ x; auch dieser Wert lässt sich nicht ausrechnen, wohl aber kann man mit ihm rechnen. Problematisch für die Schülerinnen und Schüler ist hier: Man kennt x nicht, also kennt man auch 5+ x nicht. Was soll das also? Man kann 5+ x ja gar nicht ausrechnen! Man muss mit den Lernenden explizit darüber reden, dass 5+ x keine Aufforderung zu einer Handlung ist. Stattdessen wird das Operationszeichen (+) zu einem Bestandteil eines Zahlnamens. Dass Handlungsvorschriften mathematische Objekte werden können, dass man mit Handlungsvorschriften rechnen kann, ist für Schülerinnen und Schüler alles andere als selbstverständlich, führt aber andererseits in der Algebra zu Erfolgen. Das Phänomen ist zudem aus der Bruchrechnung bekannt: 1/3 gleichzeitig eine Handlungsvorschrift als auch das Ergebnis, und man kann das Rechnen mit Zwischenergebnissen auch auffassen als Rechnen mit Handlungsvorschriften. 3. Phase: Erkundungsphase Erarbeitung der Termumformungstypen 1. Schritt: Ordnen. Schritt: Zusammenfassen 3. Schritt: Klammern auflösen, Binomische Formeln als Spezialfall 4. Phase: Nutzung der Formelsprache Formelsprache wird immer wieder verwendet, z.b. um die Gleichwertigkeit zweier Rechenschemata zu zeigen; um bei quadratischen Zusammenhängen in einfachen Fällen (und im allgemeinen Fall) zwischen faktorisierter Form und Scheitelpunktform sowie Scheitelpunktform zu wechseln; um algebraische Beweise durchzuführen (z.b. Pythagoras) 5. Phase: Erweiterung der Formelsprache z.b. Wurzelterme, Potenzen (1) Terme mit Wurzeln () Potenzrechnung

28 ASPEKTE VON VARIABLEN Für Schülerinnen und Schüler bedeuten Variable keineswegs immer dasselbe: Es können Platzhalter sein oder Unbekannte oder auch wie bei Funktionstermen Werte, in die man alles einsetzen darf, was im Definitionsbereich liegt. Es hat sich als sinnvoll erwiesen, mit Malle (vgl. [], S. 45ff.) die folgenden drei Aspekte des Variablenbegriffs zu unterscheiden. Am Beispiel des Lösens von Gleichungen wie ( x+ 1) = 8 wird dieses deutlich: (1) Variable können den Gegenstandsaspekt haben; sie werden als unbekannte oder nicht näher bestimmte Zahl angesehen. Dies hat Konsequenzen für das Lösen einfacher Gleichungen: Für die gesuchte Zahl x muss gelten: ( x+ 1) = 8 Da das Doppelte der Zahl x+ 1 gleich 8 ist, ist x+ 1= 4 Die Zahl x um 1 vermehrt ergibt 4. Somit ist x = 3. Die Strategie ist erkennbar: Es handelt sich um Rückwärtsarbeiten. () Variable können den Einsetzungsaspekt haben; sie werden als Platzhalter angesehen, in die man Zahlen einsetzen darf. Damit löst man die obige Gleichung wie folgt: Die gesuchte Zahl muss ( x+ 1) = 8 durch Einsetzung in eine wahre Aussage überführen. Bei x = 3 ist das der Fall. Die Strategie besteht nunmehr in sinnvollem Ausprobieren. (3) Variable können unter dem Kalkülaspekt gesehen werden und aufgefasst werden als bedeutungsloses Zeichen, mit dem nach bestimmten Regeln operiert werden darf. Für die obige Gleichung bedeutet dies: Ich forme die Gleichung ( x+ 1) = 8 durch Anwendung von Regeln um. Zunächst wende ich die Regel an: Man darf beide Seiten einer Gleichung durch dieselbe von Null verschiedene Zahl dividieren und erhalte x+ 1= 4. Nun wende ich die Regel an: Man darf auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Zahl subtrahieren und erhalte x = 3. Die Strategie heißt hier: Äquivalenzumformung. Diese letztgenannte Strategie ist die abstrakteste, da nicht das interessierende x in den Blick genommen wird, sondern die Gleichung. Es ist daher nicht sinnvoll, mit ihr zu beginnen. Stattdessen sollten im Kopf Gleichungen der Art x+ a = b bzw. a x = b bzw. a x+ b = c mit überschaubaren Koeffizienten gelöst werden, ohne dass die Lernenden angeben müssen, wie sie auf die Lösung gekommen sind. Erst danach werden kompliziertere Gleichungen behandelt, bei denen man mit Rückwärtsarbeiten oder sinnvollem Einsetzen nicht weiter kommt und man daher ein hinreichendes Motiv für das abstraktere Verfahren Äquivalenzumformung hat. Ein willkommener Nebeneffekt dabei ist, dass man eine kompliziertere Gleichung auf eine lineare Gleichung und damit auf eine bekannte Gleichungsform reduziert hat. Damit sollten die Lernenden das Gefühl haben, sich nun auf vertrautem Terrain zu befinden. Der Variablenbegriff darf nicht auf einen der genannten Aspekte reduziert werden. Es ist für das Betreiben von Mathematik charakteristisch, dass man diese Aspekte beständig wechseln muss und unter Umständen mehrere Aspekte gleichzeitig im Auge behalten muss (vgl. [], S ). ASPEKTE VON FUNKTIONEN Auch Funktionen haben mehrere Aspekte: Funktion als punktweise Zuordnung: f :x f(x). Jedem x wird genau ein f(x) zugeordnet. Funktion als Zuordnung von Änderungen: Jeder Änderung von x entspricht eine Änderung von f(x) (Kovariation). Funktion als Objekt (dessen Term ich in andere Terme einsetzen darf)

29 Um Abhängigkeiten in Formeln zu erkennen, genügt es nicht, Formeln bloß statisch zu lesen. Man braucht auch dynamische Vorstellungen, die sich etwa in Sprechweisen der folgenden Art äußern: Wenn x wächst, dann fällt y, wenn x verdoppelt wird, wird y vervierfacht usw.. ([], S. 79) Eine Funktion ähnelt einer Medaille mit zwei Seiten. Nur wer beide Seiten kennt, kann Funktionen sinnvoll untersuchen. (...) Jede Funktion f :x f(x) weist zwei fundamentale Aspekte auf: Zuordnung: Jedem x wird genau ein f(x) zugeordnet. Kovariation: Wird x verändert, so ändert sich f(x) und umgekehrt. Der Ausdruck Kovariation (...) drückt (...) in recht einprägsamer Weise aus, worum es geht, nämlich um ein Ko-Variieren (...) der beiden Variablen. In der deutschen Literatur entspricht dieser Begriff in etwa dem Begriff Funktionales Denken. (...) Beim Zuordnungsaspekt wird die Funktion jeweils nur lokal betrachtet, beim Kovariationsaspekt ist eine globalere Sichtweise der Funktion notwendig. ([3], S. 8-11) Ob bei einem etwa aus einer mathematischen Modellierung gewonnenen Term der relational-statische oder funktional-dynamische Aspekt betont wird, hängt zunächst von der konkreten Problemstellung ab. Es ist wichtig, die Schülerinnen und Schüler möglichst früh dafür zu sensibilisieren, dass die Übergänge zwischen Relation im Sinne von Zuordnung und funktionalem Zusammenhang im Sinne von Kovariation fließend sind. Es ist bemerkenswert, dass in der üblichen Definition einer Funktion nur der Zuordnungsaspekt hervorgehoben wird. Man definiert ja: Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element x einer Menge A ein Element f(x) einer Menge B zuordnet. Von Kovariation ist hier nicht die Rede. Für einen formalen Aufbau der Mathematik reicht dies aus. Für das praktische Arbeiten mit Funktionen ist der Kovariationsaspekt jedoch unentbehrlich. Wer diesen Aspekt nicht kennt und nur das weiß, was die Definition einer Funktion ausdrückt, kann in der Praxis mit Funktionen so gut wie nichts anfangen (vgl.[], S. 86 oder [3], S. 8). Die Behandlung des Kovariationsaspekts geht mit einer Begründung und einem tieferen Verständnis der Begriffe Variable und Parameter einher. Variablen werden von den Schülerinnen und Schülern wirklich ihrem Sinn nach als Veränderliche erfahren und nicht nur als Platzhalter für Zahlen. Die Schülerinnen und Schüler müssen mit Formel und Funktion, mit statischen wie dynamischen Denkweisen gleichermaßen bekannt gemacht werden. Dieses kann nicht gelingen, wenn zunächst statisch herangegangen und auch die Funktion nur statisch interpretiert wird, sondern nur, indem beide Facetten möglichst zeitgleich und wertfrei nebeneinander stehen und indem auch Übersetzungsmöglichkeiten zwischen statischer und dynamischer Interpretation eines Problems thematisiert werden.

30 UMSETZUNG IM KERNCURRICULUM Das Kerncurriculum führt die Lernenden Schritt für Schritt an den Umgang mit Variablen als Veränderliche heran. Zunächst wird der Einsetzungsaspekt betont. In den Jahrgängen 5/6 werden Termumformungen ohne Termumformungskalkül durchgeführt. Die Betonung liegt auf dem intuitiven Gebrauch von Zahltermen. Der systematischen Aufarbeitung und Reflexion des bisherigen Kompetenzerwerbs ist in 7/8 explizit ein Lernbereich Elementare Termumformungen gewidmet. Dabei geht es darum, nicht nur eine Termumformungskompetenz, sondern eine Termanalysekompetenz zu entwickeln. Dieses Vorgehen ist auch bei der Behandlung funktionaler Zusammenhänge in den Jahrgängen 8 bis 10 ein durchgängiges Prinzip: die Kenntnis der Zusammenhänge zwischen (Funktions-)gleichung und graphischen Eigenschaften ermöglicht ein vertieftes Verständnis. Das Lösen von Gleichungen wird graphisch als Schnittpunkt- oder Nullstellensuche verankert. Hier gehen statische und funktionale Sichtweisen fließend ineinander über. Das Kerncurriculum fordert, neben der kontextgebundenen und kontextfreien Betrachtung von Termen, neben der Behandlung statischer und globaler Eigenschaften von Funktionen insbesondere auch die Thematisierung dynamischer Aspekte u.a. findet sich die Parametervariation gleichsam als roter Faden. Das Denken in Veränderungen wird angemessen früh angelegt und bereitet den Umgang mit Grenzprozessen und die Differenzialrechnung vor. Ein sinnvoller und sinnstiftender Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge unterstützt dabei den Erwerb der Kompetenzen. Der Einsatz von Schiebereglern ermöglicht es beispielsweise, den Kovariationsaspekt oder den Einfluss von Parametern sichtbar zu machen. Der verständige Umgang mit CAS-Notationen als mehrstellige Funktionen wie etwa quad(x,a,b,c) : = a x + b x + c kann den Ausbau von Termkompetenz unterstützen. AUSZÜGE AUS DEM KERNCURRICULUM.1. Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche ( ) Die Schülerinnen und Schüler entwickeln ein grundlegendes Verständnis von Zahlen, Variablen, Rechenoperationen, Umkehrungen, Termen und Formeln. ( ). Kompetenzentwicklung Funktionen sind zentral zur mathematischen Erfassung quantitativer Zusammenhänge. Mit Funktionen lassen sich Phänomene der Abhängigkeit und der Veränderung von Größen erfassen und analysieren. Funktionen eignen sich zur Modellierung in einer Vielzahl von Alltagssituationen. Für ein vertieftes Verständnis des Funktionsbegriffs sind die Behandlung der Vielfalt der Darstellungsformen und insbesondere der Wechsel zwischen ihnen bedeutsam. Dabei braucht die Abstraktionsleistung der Schülerinnen und Schüler beim Übergang von sprachlichen oder bildlichen Beschreibungen zur Funktionsgleichung besondere Beachtung und Unterstützung. Die abstrakten Darstellungsformen sind an den verständigen Gebrauch der Variablen gebunden. Schülerinnen und Schüler in den Schuljahrgängen 5 und 6 haben ein statisches Variablenverständnis und betrachten funktionale Zusammenhänge lokal. Sie sehen Variable in Termen und Gleichungen als Platzhalter für konkrete Zahlen an und argumentieren mithilfe von passenden Einsetzungen. Der Übergang zu einem dynamischen Variablenverständnis ist nicht trivial und für die Schülerinnen und Schüler mit kognitiver Anstrengung verbunden. Er wird deshalb besonders gesichert und vielfältig geübt. Variable sollen auch mit sachlogischen Wörtern und Buchstaben bezeichnet werden. Erst in späteren Schuljahrgängen erfassen die Schülerinnen und Schüler den Kovariationsaspekt und betrachten funktionale Zusammenhänge global. Dann werden die Betrachtung der funktionalen Aspekte und Repräsentationen und das Lösen von Gleichungen stets verzahnt.

31 3.1 Prozessbezogene Kompetenzbereiche 3.1. Probleme mathematisch lösen nutzen Parametervariationen Mathematisch modellieren verwenden geometrische Objekte, Diagramme, Tabellen, Terme oder Häufigkeiten zur Ermittlung von Lösungen im mathematischen Modell. verwenden Terme mit Variablen, Gleichungen, Funktionen oder Wahrscheinlichkeiten zur Ermittlung von Lösungen im mathematischen Modell Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen stellen einfache mathematische Beziehungen durch Terme, auch mit Platzhaltern, dar und interpretieren diese. erstellen Diagramme und lesen aus ihnen Daten ab. berechnen die Werte einfacher Terme. erfassen und beschreiben Zuordnungen mit Variablen und Termen. nutzen den Dreisatz. nutzen Tabellen, Graphen und Gleichungen zur Bearbeitung linearer Zusammenhänge. Formen überschaubare Terme mit Variablen hilfsmittelfrei um. nutzen Tabellen, Graphen und Gleichungen zur Bearbeitung funktionaler Zusammenhänge.

32 3. Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche 3..1 Zahlen und Operationen beschreiben die Struktur von Zahltermen. verwenden Platzhalter zum Aufschreiben von Formeln. nutzen Rechenregeln zum vorteilhaften Rechnen. vergleichen die Struktur von Termen. verwenden Variablen zum Aufschreiben von Formeln und Rechengesetzen. formen Terme mithilfe des Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetzes um und nutzen die binomischen Formeln zur Vereinfachung von Termen. lösen Grundaufgaben bei proportionalen und antiproportionalen Zusammenhängen, der Prozent- und Zinsrechnung mit Dreisatz. lösen lineare Gleichungen, lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen sowie Verhältnisgleichungen in einfachen Fällen hilfsmittelfrei. begründen exemplarisch Rechengesetze für Quadratwurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten und wenden diese an. nennen a als nichtnegative Lösung von x = a für a 0. nennen n a als nichtnegative Lösung von x = a für a 0. n nennen log b(a) als Lösung von x b = a für a > 0 und b > 0. lösen quadratische Gleichungen vom Typ x + p x = 0 und x + q = 0 hilfsmittelfrei. lösen quadratische Gleichungen vom Typ x + p x+ q = 0, a x + b x = 0, a x + c = 0 und a (x d) + e = 0 in einfachen Fällen hilfsmittelfrei Funktionaler Zusammenhang beschreiben und begründen beschreiben und begründen Auswirkungen von Auswirkungen von Parametervariationen bei linearen Funktionen, auch unter tionen, Exponentialfunktionen, Sinus- und Ko- Parametervariationen bei quadratischen Funk- Verwendung digitaler Mathematikwerkzeugetaler Mathematikwerkzeuge. sinusfunktionen, auch unter Verwendung digi- beschreiben und begründen die Auswirkungen der Parameter auf den Graphen für Funktionen y = a f b (x c) + d. mit ( )

33 3.3 Vorwort zu den Lernbereichen Die Algebra ist das grundlegende Teilgebiet der Mathematik, das die Kompetenzbereiche Zahlen und Operationen sowie Funktionaler Zusammenhang verfolgt. Sie umfasst die Rechenregeln der natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen, den Umgang mit Ausdrücken, die Variablen enthalten, und Wege zur Lösung einfacher algebraischer Gleichungen. Im Unterricht beginnt sie somit bei den Zahlen und Zahltermen, mit denen die Rechenregeln erkundet werden, und findet ihre Fortsetzung bei elementaren Termumformungen. Eine Klassifizierung der Terme nach ihrer Struktur ist hierbei für die Schülerinnen und Schüler hilfreich. 3.3 Lernbereiche 3.3. Lernbereich Elementare Termumformungen ( ) Die Variablen sind im Sinne von Platzhaltern verankert. Der Variablenbegriff und der Zusammenhang zwischen Termen und Funktionen sowie der Darstellungswechsel zwischen Term, Graph und Tabelle werden hier vorbereitet und in späteren Lernbereichen ausgeschärft. ( ) 3.3. Lernbereich Lineare Zusammenhänge Die Vorkenntnisse der Schülerinnen und Schüler über Zuordnungen und Terme und deren verschiedene Darstellungsformen werden aufgegriffen, um den Funktionsbegriff vorzubereiten, der erst in den folgenden Jahren ausgeschärft werden kann. Lineare funktionale Zusammenhänge werden erkundet und lineare Funktionen und Gleichungen als mathematische Modelle für bestimmte Zusammenhänge identifiziert. Dabei erfahren die Schülerinnen und Schüler den Übergang von statischen zu dynamischen Variablen und entwickeln ein grundlegendes Verständnis für das funktionale Denken. Ein vertieftes Verständnis wird durch den Darstellungswechsel Gleichung Graph Tabelle gefördert. Die Schülerinnen und Schüler zeichnen Graphen linearer Funktionen auch hilfsmittelfrei. Die Steigung wird als konstante Änderungsrate identifiziert. Digitale Mathematikwerkzeuge werden angemessen zur Visualisierung, zur numerischen Lösung sowie zur linearen Regression eingesetzt. Einfache lineare Gleichungen und Gleichungssysteme lösen die Schülerinnen und Schüler - auch mit Parametern - von Hand, wobei das Einsetzungsverfahren fächerübergreifend als universelle Lösungsstrategie betrachtet wird. Lineare Funktionen und lineare Gleichungen analysieren und vergleichen ( ) Parametervariationen in Funktionsgleichung und Funktionsgraph ( ) Ausgleichsgeraden mithilfe des Regressionsmoduls oder Parametervariation bestimmen Lineare Gleichungen lösen Lösen durch Probieren und Rückwärtsarbeiten Lösen einfacher linearer Gleichungen hilfsmittelfrei Lösen komplexer linearer Gleichungen mit digitalen Mathematikwerkzeugen Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen aufstellen und lösen Sachprobleme modellieren Bezug LGS und Graph, auch im Hinblick auf die Lösbarkeit Lösen einfacher LGS graphisch und mit Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren Lösen komplexer LGS mit digitalen Mathematikwerkzeugen

34 3.3.3 Quadratische Zusammenhänge ( ) Durch Parametervariation werden die Auswirkungen der Parameter auf das Aussehen des Graphen untersucht. ( ) Quadratische Funktionen untersuchen Parametervariation Zusammenhang von Funktionsgleichung und -graph für f(x) = a x + b x + c Zusammenhang von Funktionsgleichung und -graph für f(x) = a (x m) (x n) Zusammenhang von Funktionsgleichung und -graph für f(x) = a (x d) + e hilfsmittelfreies Zeichnen von Parabeln quadratische Zusammenhänge modellieren ( ) Ausgleichsparabeln mithilfe des Regressionsmoduls oder Parametervariation bestimmen ( ) Exponentielle Zusammenhänge ( ) Die leitenden Fragestellungen bei der Untersuchung der Auswirkungen von Parametervariationen auf Funktionsgraphen und Funktionsgleichungen, die den Schülerinnen und Schülern von den linearen und quadratischen Funktionen bekannt sind, werden hier auf exponentielle Zusammenhänge übertragen. ( ) Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung der Parameter erläutern und insbesondere die x Graphen der durch f mit f(x) =a b für positive b definierten Funktionen skizzieren können. Exponentialfunktionen untersuchen - Parametervariation Zusammenhang von Funktionsgleichung und -graph für x f(x) = a b + c ( ) Exponentielle Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren ( ) Ausgleichsfunktionen mithilfe des Regressionsmoduls oder Parametervariation bestimmen ( ) Periodische Zusammenhänge ( ) Die an den linearen und quadratischen sowie Exponentialfunktionen gewonnenen Erkenntnisse über Parametervariationen werden hier übertragen und um die Streckung bzw. Stauchung entlang der Rechtsachse ergänzt. ( ) Literatur: [1] H.-J. VOLLRATH, H.-G. WEIGAND: Algebra in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 009. [] G. MALLE: Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Vieweg, Braunschweig [3] G. MALLE: Zwei Aspekte von Funktionen: Zuordnung und Kovariation. In: mathematik lehren, Heft 103, S. 8-11, 001.

35 Zum Begründen und Beweisen Das müssen wir erst beweisen! Warum eigentlich? Ist das aus Sicht der Schülerinnen und Schüler ein unverständliches Ritual, das die Mathematiker nun einmal immer durchführen? Welche Funktion hat eigentlich ein Beweis in der Mathematik bzw. im Mathematikunterricht? Da ist zum einen die wahrheitssichernde Funktion: Man ist sich einer Tatsache nicht ganz sicher oder eine Tatsache wird von anderen Leuten bestritten: Mit einem Beweis ist man auf der sicheren Seite! Diese wahrheitssichernde Funktion ist in der Hochschul-Mathematik notwendig. Für den Mathematikunterricht spielt sie allerdings fast gar keine Rolle. Keine Schülerin und kein Schüler wird die Richtigkeit etwa des Satzes von Pythagoras anzweifeln; schließlich gehört er seit zweieinhalb Jahrtausenden zum Kulturerbe der Menschheit, und wenn er falsch wäre, dann hätte es wohl längst jemand gemerkt. Nun haben auch in der Hochschul-Mathematik Beweise auch die Funktion, neue Beziehungen zwischen dem zu Beweisenden und dem schon Bekannten herzustellen und so ein neues Licht auf das zu Beweisende zu werfen (sonst würde man nicht altbekannte Sätze immer wieder neu beweisen wollen). Diese einsichtsfördernde und vernetzende Funktion von Beweisen ist im Mathematikunterricht die wesentliche. Die leitende Frage im Unterricht zu Pythagoras ist somit: Wie lässt sich die Aussage mit anderen Aussagen verknüpfen oder vernetzen? Beispiel: Pythagoras I Eine Beweis- oder Verknüpfungsbedürftigkeit ist nur gegeben, wenn der Sachverhalt (für die Schülerinnen und Schüler) überraschend ist und nicht auf die Schnelle geklärt werden kann. Beispiel: Thales Beispiel: Mittelsenkrechten Man wird ein In-Beziehung-setzen zwischen verschiedenen Fakten und damit Teile einer deduktiven Schlusskette ansteuern. Beweisen erwächst aus Argumentationen ( Hätten wir uns das nicht gleich denken können? ), mitunter auch aus Verallgemeinerungen. Dabei verschaffen nicht die kürzesten Wege am meisten Einsicht; viel wichtiger ist die Dichte des Beziehungsgeflechts. Dabei ist es mitunter sinnvoll, Sachverhalte von mehreren Seiten zu betrachten. Beispiel: Pythagoras II Erfahrungsgemäß vertrauen nicht alle Schüler mehrschrittigen logischen Schlussfolgerungen. Dass man einer logischen Schlussfolgerung nicht über den Weg traut, ging auch bedeutenden Mathematikern schon so. Daher sollte, wann immer es möglich ist, die Anschaulichkeit beim Beweisen im Mathematikunterricht eine große Rolle spielen und zumindest die Argumentation unterstützen. Auf diese Weise wird eine Einsicht in die Notwendigkeit allgemeingültiger Begründungen von Vermutungen allmählich aufgebaut.

36 Zum Begründen und Beweisen Beispiel: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem einzigen Punkt Dass die drei Mittelsenkrechten durch einen Punkt gehen, ist für Schülerinnen und Schüler häufig nicht überraschend. Einen Überraschungseffekt und daher einen Anlass zum Reden und zum Argumentieren bekommt man etwa mit folgender Vorgehensweise: Man konstruiere ein Dreieck ABC und zwei Mittelsenkrechten, etwa ma und mb. Dass diese beiden Mittelsenkrechten sich schneiden, muss nicht problematisiert werden. Der Schnittpunkt sei M. Nun kommt das Entscheidende: Man bewegt C mit der Maus und beobachtet, wie sich der Punkt M verhält. Dies Verhalten ist in der Tat überraschend: Obwohl C zweidimensional bewegt wird, bewegt sich M nur eindimensional! Wie kann man sich so etwas erklären? Nun ist man im Zentrum des klassischen Beweises: Was wissen wir über M? M liegt auf mb, also hat M denselben Abstand zu A und zu C. M liegt auch auf ma, also hat M denselben Abstand zu B und zu C. Dann hat M auch denselben Abstand zu A und zu B. Daher liegt M auf der Mittelsenkrechten mc. Anders formuliert: Also geht auch mc durch M. Eine Übertragung dieser Vorgehensweise auf (Innen-)Winkelhalbierende ist ebenfalls möglich: Bei den Mittelsenkrechten war c konstant; bei den Winkelhalbierenden muss entsprechend der Winkel konstant sein. Man beginne also mit zwei von C ausgehenden Halbgeraden, die den Winkel einschließen und wähle A und B jeweils auf einer der Halbgeraden. Die beiden so konstruierbaren Winkelhalbierenden w und w schneiden sich in W. Bewegt man A und B auf den Halbgeraden, so bewegt sich W auf einer Geraden. Nun kann man analog zu den Mittelsenkrechten argumentieren; es muss nur Abstand von Punkt zu Punkt durch Abstand von Punkt zu Gerade ersetzt werden.

37 Beispiel: Satz des Pythagoras I Zum Begründen und Beweisen Der Sachverhalt ist bekannt: Das weiße Quadrat ist so groß wie das grüne und rote zusammen. Wie kann man das vernetzen mit anderen Sachverhalten? Zunächst sollte man die Quadrate weglassen und die Figur durch Ergänzungen symmetrischer machen: Nun kann man den Flächeninhalt des großen Quadrats auf zweierlei Weisen berechnen: Einerseits hat der Flächeninhalt den Wert a b, andererseits setzt sich das große Quadrat aus dem kleinen innen liegenden und vier Dreiecken zusammen, so dass man insgesamt den Flächeninhalt 1 c 4 a b bekommt. Daher ist und nach der ersten binomischen Formel 1 a b c 4 a b a b c.

38 Zum Begründen und Beweisen Beispiel: Satz des Pythagoras II Was bedeutet der Satz des Thales in Koordinaten? Wir haben einen Kreis vom Radius u und einen Punkt darauf mit den Koordinaten a und b: Die beiden zugehörigen grünen Schenkel sind zueinander orthogonal (Satz des Thales): b Der linke grüne Schenkel hat die Steigung a u, der rechte grüne Schenkel hat die Steigung b u a ; da beide aufeinander senkrecht stehen, gilt und damit b b 1 a u u a u a b. Dies ist der Satz des Pythagoras für das graue Dreieck: Die Orthogonalität von Geraden ist einfach zu haben: Dreht man ein Steigungsdreieck ( 1 nach rechts, m nach oben ) um 90, bekommt man ein neues Steigungsdreieck, bei dem man nun m nach links 1 und 1 nach oben gehen muss, also die Steigung erhält: m

39 Zum Begründen und Beweisen Beispiel: Hinführung zur Umkehrung des Satzes von Thales Beginnt man mit der Umkehrung des Satzes von Thales, liefert der Überraschungseffekt einen Anlass zum Reden, zum Argumentieren und zum Verknüpfen des Sachverhalts mit schon bekannten Sachverhalten. Käpt n Ulf hat sich bei starkem Nebel auf dem Steinhuder Meer verfahren. Er kann nur die Spitzen zweier Türme erkennen. Er hat eine genaue Karte des Sees, auf der auch die beiden Türme eingezeichnet sind, und natürlich seinen Winkelmesser dabei. Er misst zwischen den Türmen einen Winkel von 90. Wo befindet er sich? Hier ist Gruppenarbeit sinnvoll. Man teilt eine Kopie der Seekarte aus und lässt die Schülerinnen und Schüler auf Folie den Punkt einzeichnen, der Ulfs Position beschreibt. Dieser Punkt wird durch Probieren gefunden. Anschließend werden die Folien so übereinandergelegt, dass die beiden Türme stets übereinander liegen. Das zu beobachtete Phänomen überrascht: Es gibt viele Punkte, an denen Ulf sein könnte. Und außerdem: Diese Punkte scheinen auf einem Kreis zu liegen: Der vermutete Kreis überrascht. Wie lässt er sich erklären? Nun kann man wie üblich argumentieren. So könnte man etwa begründen lassen, warum die Punkte auf dem Halbkreis zu einem rechten Winkel führen und die Punkte außerhalb des Halbreises zu einem kleineren Winkel als 90 und die Punkte innerhalb des Halbkreises zu einem größeren Winkel als 90 führen.

40 Dr. J. Meyer, Hameln Stochastik in der Sek I In der Stochastik werden Datensätze modelliert: Sie werden übersichtlich dargestellt oder beschrieben (das ist mit Informationsverlust verbunden), oder in ihnen wird eine Struktur erkannt (was zum Begriff der Wahrscheinlichkeit führen kann). In beiden Fällen bilden Daten die Grundlage. Aus diesem Grunde ist es sinnvoll, auch den schulischen Stochastik-Unterricht auf Daten aufzubauen. Im Doppeljahrgang 5/6 werden daher Daten erhoben, und es werden Daten dargestellt. Erst dann wird im Doppeljahrgang 7/8 der Begriff der Wahrscheinlichkeit eingeführt und anschließend zu Prognosen fruchtbar gemacht. Im Doppeljahrgang 9/10 werden dann Rückwärtsschlüsse in der Stochastik behandelt. Klasse 5: Planung und Durchführung statistischer Erhebungen Der Umgang mit Daten ist grundlegend für den Stochastik-Unterricht. Woher kommen die Daten? Am besten ist es, eigene Daten zu verwenden! Daher steht im Zentrum des Stochastik-Unterrichts in Klasse 5, eine Befragung oder eine Beobachtung zu planen und durchzuführen. Die Art und Weise der Aufbereitung von Daten wird bewusst erst in der folgenden Klasse 6 thematisiert, um in Klasse 5 die Zeit zur Erhebung statistischer Daten zu haben. Beispiele sind: In welcher Jahreszeit haben die Schülerinnen und Schüler Geburtstag? Hier kann man ggf. darüber sich verständigen, wie man mit Zwillingen umgeht: Zählen sie einzeln oder doppelt? Ist die Vorab-Hypothese der Gleichverteilung (einigermaßen) zutreffend? Was wäre, wenn man alle Schülerinnen und Schüler der Schule befragte? Anzahl der Geschwister Haarfarbe Hier muss man über die Klassifikation reden! Verkehrszählung Was will man alles zählen? Fahräder auch? Länge der Wörter im Vorwort des Mathematikbuches Was ist ein Wort? Anzahl der Stunden im Internet pro Woche Hier wird die Schätzproblematik tatsächlich erfahren! Stets muss man die zu ermittelnden Merkmale identifizieren und die ggf. vorliegende Nichteindeutigkeit der Merkmale diskutieren! Die fast zwangsläufig sich ergebenden Schwierigkeiten sollten nicht als Probleme, sondern als Chancen zur Erfahrung verstanden werden. Man soll auch ein Experiment planen und durchführen. Hier kann nur ein absolutes Merkmal gezählt werden, also noch keine funktionale Abhängigkeit eines Merkmals von einem anderen. Beispiele: Wie schnell können die Schülerinnen und Schüler ihre Schuhe zubinden? Wie schnell können die Schülerinnen und Schüler drei kleine Aufgaben fehlerfrei lösen? Können Mädchen schneller rechnen? Wie muss ein Experiment gestaltet werden, das diese Frage beantwortet? Bringt das Üben (etwa in Bruchrechnung) etwas? Wie muss ein Experiment gestaltet werden, das diese Frage beantwortet? Klasse 6: Maßzahlen statistischer Erhebungen In dieser Jahrgangsstufe steht die Aufbereitung und Darstellung von Daten im Vordergrund. Beispiel: Entfernungen vom Schulort (man wird mit allen 30 Schülerinnen und Schüler anfangen): Gesa 1 km Jannes km Sina km Marc km Meike 8 km

41 Dr. J. Meyer: Stochastik in der Sek I Man hat verschiedene Darstellungsmöglichkeiten: Man kann auf der Rechtsachse Entfernungen und auf der Hochachse die Häufigkeiten auftragen (links). Oder: Man kann auf der Rechtsachse die Namen und auf der Hochachse die Entfernungen auftragen (rechts). Das arithmetische Mittel ist 3. Wie kann man das veranschaulichen? Dies geht bei der rechten Darstellung wesentlich einfacher: Die Anzahl der Überschüssigen oben ist so groß wie die Anzahl der Unterschüssigen unten. Gleichwohl: Analog zu Strichlisten wird man sich oft dafür entscheiden, auf der Rechtsachse die Entfernungen und auf der Hochachse die Häufigkeiten anzutragen. Balkendiagramm bekommt man in GeoGebra mit dem Befehl Balkendiagramm. Je nach Breite der Balken lassen sich unterschiedliche Schlüsse ziehen: Links hat man eine zweigipflige Verteilung; in der Entfernung von ca. 10 km wohnt niemand. Hier ist eine monotone Abnahme zu erkennen, die man links nicht sieht. Der Modalwert ist der Wert mit der größten Häufigkeit. Er lässt sich inhaltlich bedeutend leichter als der Median vom arithmetischen Mittel abgrenzen. Aus diesem Grunde wird der Median erst im Sekundarbereich II behandelt. Im obigen Doppelbild links ist 3 der Modalwert, rechts 4. Auch die arithmetischen Mittel unterscheiden sich: links etwa 9,75 und rechts etwa 11,3.

42 Dr. J. Meyer: Stochastik in der Sek I 3 Arithmetisches Mittel und Modalwert können auch bei asymmetrischen Verteilungen zusammenfallen, wie man rechts sieht. Zur Problematik der unterschiedlichen Aussagekraft unterschiedlicher Parameter empfiehlt sich auch das folgende Beispiel: Schüler Cedric hat in den drei ersten Mathematikarbeiten die Noten 3, 6 und geschrieben. Bei Schülerin Lia waren es die Noten 4, 3 und 3. Wer ist besser? Cedric hat das arithmetische Mittel 3,7 und Lia hat das arithmetische Mittel 3,3. Also ist Lia besser. Aber: Meistens ist Cedric besser! Die Umfrage Wen halten Sie für besser, A oder B? ist verschieden von der Umfrage Benoten Sie A und B jeweils mit den Schulnoten 1 bis 6! und kann zu einem ganz anderen Ergebnis führen! Rückgabe einer Klassenarbeit: Die Durchschnittsnote war 3. Die häufigste Note war. Kann das sein? Kann die häufigste Note auch eine 1 sein? Die Aussagekraft von Modal- und Mittelwert kann diskutiert werden anhand folgender Fragen: In welcher Jahreszeit Geburtstag? Anzahl der Geschwister? Supermarkt fragt Kunden nach Postleitzahl Lebensalter der Schülerinnen und Schüler (auf s Jahr gerundet) Ausfall zweier aufeinander folgender Klassenarbeiten Ausfall zweier Tests: (etwa einer vor einem Gruppenturnier, einer danach) Als einfaches Streumaß bietet sich die Spannweite an. Die Streumaß-Berechnung simpel, daher sollte man die Problematik besser umdrehen: Erstelle fiktiven Datensatz mit vorgegebenen Werten für arithmetisches Mittel, Modalwert und Spannweite! Oder: Der Durchschnitt der Höchsttemperaturen in der letzten Woche war 8 C. Der Modalwert war C. Welche Höchsttemperaturen passen dazu? Klasse 7: Wahrscheinlichkeit Nun kommt endlich der Begriff der Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeiten modellieren relative Häufigkeiten. Der Unterschied zwischen realer Welt und Modell muss erfahrbar sein. Beginnt man mit asymmetrischen Objekten wie der Reißzwecke, so ist der begriffliche Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit kaum zu vermitteln. Beginnt man mit vollsymmetrischen Objekten, hat man für die Betrachtung relativer Häufigkeiten kaum einen Anlass (außer beim Gesetz der großen Zahlen). Daher haben sich zur Einführung teilsymmetrische Objekte (wie Riemer-Quader oder Legosteine) bewährt. Hier sind manche Seiten schon aus geometrischen Gründen gleichwahrscheinlich, führen aber i.a. nicht zu übereinstimmenden relativen Häufigkeiten. Der Unterschied zwischen den beobachteten relativen Häufigkeiten verringert sich bei zunehmender Wurfzahl. Gleichwohl handelt es sich nicht um analytische Konvergenz! Verschiedene Schüler schätzen die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Seitenflächen ähnlich, aber dennoch unterschiedlich, und es ergeben sich Diskussionen, wie sie für die Genese eines tragfähigen Wahrscheinlichkeitsbegriffs fruchtbarer nicht sein könnten. Durch Experimente werden die Schüler gezwungen, ursprüngliche Hypothesen zu verwerfen, wie z. B. die der Proportionalität der Wahrscheinlichkeiten zu den Seitenflächen.

43 Dr. J. Meyer: Stochastik in der Sek I 4 Es wird nicht einseitig der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff angesteuert (Wahrscheinlichkeit als Grenzwert relativer Häufigkeiten), sondern auch der subjektivistische (Wahrscheinlichkeiten haben mit zu revidierenden Hypothesen zu tun). Wenn man es nicht mit vollsymmetrischen Objekten zu tun hat, gilt: Wahrscheinlichkeiten sind Größen, denen man durch Messung näher kommt, sie aber auch durch Messung nie wird exakt bestimmen lassen. Die Welt der Daten setzt sich zusammen aus einem Muster plus einer Variabilität: Daten = Muster + Variabilität = signal + noise Nach Klärung des begrifflichen Unterschieds zwischen Wahrscheinlichkeit und relativen Häufigkeiten stellt sich die Frage: Wie steht es mit vollsymmetrischem Objekt wie einer Münze? Betrachtet man die relativen Häufigkeiten, hat man das nebenstehende Bild; die waagerechte Linie hat die Höhe 1/. Was ist mit den absoluten Häufigkeiten? Trägt man bei 100 Würfen deren jeweilige Unterschiede gegen n/ auf, ergibt sich ein ganz anderes Bild; von Konvergenz kann keinerlei Rede mehr sein! Klasse 8: Ein- und zweistufige Zufallsversuche In Kl. 7 ging es um den modellierenden Übergang von relativen Häufigkeiten zu Wahrscheinlichkeiten. Man fragt sich: Wozu nützt das Modell? Antwort: Das Modell wird zur Prognose relativer Häufigkeiten verwendet. Es geht daher in Klasse 8 um den modellverwendenden Übergang von Wahrscheinlichkeit zu relative Häufigkeiten. Insbesondere lassen sich so auch falsche Vorstellungen zu Wahrscheinlichkeiten anhand relativer Häufigkeiten falsifizieren. Eine Münze (Laplace-Objekt, damit die Wahrscheinlichkeit unstrittig ist) wird 100-mal geworfen. Wie häufig erscheint die nationale Seite? Die Schülerinnen und Schüler bekommen ein Gefühl dafür, wie viele Erfolge beim 100-maligen Werfen einer fairen Münze zu erwarten sind: Es können 40 oder 53 Erfolge sein, aber nur in ganz seltenen Fällen 10. Auch die 50 wird nicht häufig auftreten. Man bekommt auf diese Weise binomialverteilte Zufallszahlen (ohne sie so zu nennen). Das geht auch direkt mit GeoGebra [ZufallszahlBinomialverteilt[n, p]]. Der Zufallszahlengenerator wirkt dabei jeweils als Black Box, deren Ergebnisse im Großen und Ganzen den Erfahrungen mit Münzwürfen entsprechen (die Funktionsweise wird erst in der Sek II geklärt). Damit kann die Variablilität der Einträge (absolute Häufigkeiten!) in einem Baumdiagramm oder in einer Vierfeldertafel erfahren werden! Auch die Pfadregeln erschließen sich mithilfe fiktiver absoluter Häufigkeiten leicht auf diese Weise: Ich habe eine Urne mit 3 scharzen und weißen Kugeln und ziehe -mal OHNE Zurücklegen. Ich spiele dieses Experiment 00-mal: In etwa 10 Fällen ziehe ich beim 1. Mal schwarz. Von diesen etwa 10 Fällen ziehe ich etwa 60-mal beim. Mal schwarz. Wahrscheinlichkeit für s / s? In etwa 60 von 00 Fällen ziehe ich s / s Die Wahrscheinlichkeit für s/s ist somit Klasse 9: Rückwärtsschlüsse in der Stochastik Hier geht es um Zufallsexperimente mit zwei Merkmalen. Dabei sollte man mit den mitunter merkwürdigen Phänomenen beginnen: In der 9a tragen die meisten Mädchen eine Brille. In der 9a sind die meisten Brillenträger männlich. Folgt daraus, dass die meisten Mädchen männlich sind?

44 Dr. J. Meyer: Stochastik in der Sek I 5 Die beiden Aussagen sind durchaus miteinander verträglich: M J Br Br 5 15 Man sieht: Es kommt gar nicht darauf an, wie viele Jungen keine Brille tragen. Finden Schülerinnen und Schüler analoge Beispiele? Bei einer Vorsorgeuntersuchung wird auf eine bestimmte Krankheit getestet. Der Prozentsatz der tatsächlich Kranken betrage 10 % (woher weiß man das?). Bei einer in Wahrheit kranken Person rekenne der Test mit Wahrscheinlichkeit 85 % auf krank ; bei einer in Wahrheit gesunden Person erkenne der Test mit Wahrscheinlichkeit 95 % auf gesund. Alle Zahlenangaben sind Schätzwerte. Man sollte also die Bayes-Aufgaben nicht zu quantitativ lösen. Der hier deutlich werdende Modellierungsaspekt ist wesentlich. Fachbegriffe wie Prävalenz, Sensitivität, Spezifizität tragen hier überhaupt nicht zur Klärung bei. Die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine als krank getestete Person in Wahrheit krank ist, wird viel weniger fehlerträchtig gelöst, wenn man fiktive absolute Häufigkeiten verwendet. Nehmen wir an, dass der Test bei n = 1000 Personen durchgeführt wird (repräsentative Stichprobe). Dann werden etwa 100 Personen tatsächlich krank sein. Allerdings sind das sicherlich nicht genau 100 Leute. In welchem Bereich diese Anzahl liegen wird: Das beantwortet der im Schuljahr davor kennen gelernte Zufallszahlengenerator. Das mit den fiktiven absoluten Zahlen verbundenene Gefühl für Variabilität sollte nicht verloren gehen. Von den etwa 100 kranken Personen werden etwa 85 als krank angesehen usw. Nun kann man p(k k ) als Quotient ermitteln. Man sieht: Dieser Wert ist eine Zufallsgröße. Er hängt ab von der 1000-er Stichprobe sowie vom Test. Verblüffender ist: Was passiert, wenn der Anteil der tatsächlich Kranken in der Bevölkerung auf 1 % sinkt? Der Unterricht sollte auf jeden Fall Vierfelder-Tafel und Baumdiagramm pflegen, um die Schülerinnen und Schüler nicht auf eine einzige Lösungsmöglichkeit zu trimmen. Im Unterricht zeigte sich nämlich immer wieder, dass manche Lernenden lieber mit dem einen Format arbeiten und andere mit dem anderen Format.

45 Natürliche Zahlen In diesem Lernbereich erweitern die Schülerinnen und Schüler ihre Kompetenzen im Umgang mit den natürlichen Zahlen. Dabei liegt ein Fokus auf dem Erkennen und Nutzen von Mustern innerhalb der natürlichen Zahlen. Die Grundrechenarten und ihre Umkehrungen werden in alltagsrelevanten Zahlenräumen sicher angewendet. Das Bestimmen von Teilern und Vielfachen bereitet den späteren Umgang mit Brüchen und Termen vor. Es geht nicht um eine abstrakte Behandlung und Darstellung der geltenden Regeln und Gesetze, die dann auswendig gelernt und formal angewendet werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen Eigenschaften der natürlichen Zahlen erkunden, ihre Erkenntnisse formulieren und anhand geeigneter Beispiele begründen können. Bildliche Darstellungen von natürlichen Zahlen fördern vielfach die Durchdringung der mathematischen Zusammenhänge. Gleichzeitig haben sie einen hohen Aufforderungscharakter, bieten spielerische und selbstdifferenzierende Zugänge und verstärken so das bei Schülerinnen und Schülern dieser Altersstufe oftmals ohnehin vorhandene Interesse an Zahlen. Im Folgenden wird an einem Beispiel gezeigt, wie Vielfache und Teiler von natürlichen Zahlen erarbeitet werden können. Figurierte Zahlen gibt es in unzähligen Variationen. Sie sind sehr geeignet, Eigenschaften natürlicher Zahlen zu untersuchen. Dabei werden auch Folgen und Reihen betrachtet, ohne diese jedoch zu formalisieren. Ein Beispiel sind die sogenannten Dreieckszahlen der ungeraden Zahlen in der nebenstehenden Abbildung. Sie ermöglichen zunächst einfache Fragen: Wie erhält man die jeweils folgende Dreieckszahl? Wie viele Plättchen (Kugeln, Kreise...) benötigt man, um die ersten 8 Dreieckszahlen zu legen? Welche Zahlen entstehen, wenn man mit zwei Plättchen beginnt oder jeweils drei Plättchen zufügt? Die Plättchen der Dreieckszahlen der ungeraden Zahlen lassen sich auch zu je einem Quadrat umsortieren und ermöglichen weiterführende Fragen: Wie viele Plättchen benötigt man für ein 6 6-Quadrat? Kann man jede Quadratzahl in dieser Form durch Dreieckszahlen darstellen? Lässt sich die Summe zweier Quadratzahlen wieder als Quadratzahl darstellen?

46 Die beiden letzten Fragen führen zu Rechteckzahlen als Darstellung von Vielfachen und Teilern von natürlichen Zahlen: Die Summe der beiden Quadratzahlen 16 und 4 ist keine Quadratzahl, sondern 0. Offensichtlich ist nicht jede Zahl als Quadratzahl darstellbar. Hier kann die Frage anknüpfen, in welcher Weise man Zahlen als Rechteckzahlen darstellen kann. Wie viele verschiedene Darstellungen gibt es beispielsweise für die Zahl 0? Die Zahl 0 lässt sich auf drei Arten als Produkt darstellen: Es gibt also folgende Rechteckdarstellungen: Die Zahl 0 hat die Teiler 1,, 4, 5, 10 und 0. Umgekehrt ist 0 ein Vielfaches der Zahlen 1,, 4, 5, 10 und 0. Die Schülerinnen und Schüler entdecken, dass sich Primzahlen nur auf eine Weise als Rechteckzahlen darstellen lassen. Fragen nach Teilern und Vielfachen vertiefen die Kompetenz im Umgang mit den natürlichen Zahlen: 4 ist ein Teiler von 0, denn 0 : ist ein Vielfaches von 4, denn Zur vollständigen Betrachtung gehören auch Gegenbeispiele der Art: Ist 6 ein Teiler von 0?. 6 ist kein Teiler von 0, denn 0 : 6 3 : 6 0 ist kein Vielfaches von 6, denn Hier werden Multiplikation und Division als Umkehroperationen verdeutlicht und weitere Einsichten in die Strukturen natürlicher Zahlen angelegt.

47 Prozessbezogene Kompetenzbereiche Mathematische Darstellungen verwenden nutzen unterschiedliche Darstellungsformen für positive rationale Zahlen Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen stellen einfache mathematische Beziehungen durch Terme, auch mit Platzhaltern, dar und interpretieren diese. berechnen die Werte einfacher Terme. übersetzen symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache und umgekehrt. verwenden die Relationszeichen ( =, <, >,, und ) sachgerecht. nutzen die Umkehrung der Grundrechenarten. Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche 3..1 Zahlen und Operationen untersuchen natürliche und nicht-negative rationale Zahlen. stellen nicht-negative rationale Zahlen auf verschiedene Weisen und situationsangemessen dar. ordnen und vergleichen nicht-negative rationale Zahlen. lösen einfache Rechenaufgaben mit nicht-negativen rationalen Zahlen im Kopf. beschreiben Sachverhalte durch Zahlterme. beschreiben die Struktur von Zahltermen.

48 Exponentielle Zusammenhänge Der Lernbereich bietet vielfältige Möglichkeiten der Vernetzung einerseits mit bereits behandelten Inhalten (z.b. lineare Zusammenhänge) und andererseits mit zukünftig zu behandelnden Feldern (z.b. Differentialrechnung, stetige Beschreibung von Wachstumsvorgängen). Bei der Überlagerung von linearem und exponentiellem Wachstum ergibt sich bei speziellen Konstellationen ein begrenztes Wachstum. Die Zusammenhänge sind anschaulich relativ einfach zugänglich, sodass sich vielfältige Gelegenheiten für die Vorbereitung eines propädeutischen Grenzwertbegriffs und damit Vernetzungen zum Lernbereich Näherungsverfahren als Grenzprozesse Zahlbereichserweiterungen ergeben. Dabei kann die iterative Beschreibung von Vorgängen als eine weittragende Idee der Mathematik in den Blick genommen, erläutert und gegenüber der expliziten Beschreibung abgegrenzt werden. Was heute ist, ist eine direkte Folge von dem, was gestern war, und das wiederum eine Folge von dem, was vorgestern war, ist eine letztlich vielleicht triviale, aber ebenso wichtige Erkenntnis für Schülerinnen und Schüler: Der Ist-Zustand setzt sich zusammen aus dem Vorgänger-Zustand und einer Änderung. Gelingt es, diese Änderung geeignet durch Einflussfaktoren zu modellieren, so kann der Verlauf iterativ beschrieben und untersucht werden. Viele Vorgänge lassen sich iterativ, aber nur schwierig oder gar nicht explizit beschreiben (z.b. Ratenzahlungsprobleme) oder aber explizit und nicht iterativ (z.b. Sinusfunktion). Digitale Mathematikwerkzeuge helfen zur Berechnung und zum Erstellen von Prognosen. Es bietet sich an, Tabellenkalkulation zur Berechnung und Visualisierung der Prozesse einzusetzen. Im gesamten Lernbereich ergeben sich vielfältige Anlässe zum Modellieren und Argumentieren, z.b. bei der diskreten iterativen oder expliziten Anpassung von Daten, der Klassifizierung der Überlagerung. Untersuchung exponentiellen Wachstums iterativ und explizit Exponentielle Wachstumsvorgänge können sinnvoll z.b. über ein Zinseszinsproblem, exponentielle Zerfallsvorgänge z.b. über ein Spiel zunächst iterativ beschrieben werden. Die explizite Darstellung ergibt sich dann in einfacher Weise. Beispielaufgabe: Spielerischer Einstieg. Statt Spielsteine können auch z.b. m&m s verwendet werden, um den Einstieg noch schmackhafter zu machen Bei dieser Aufgabenstellung ergeben sich Vernetzungen zur Stochastik. Spielregeln: Ihr erhaltet je Gruppe ca. 00 Spielsteine. Falls diese noch unmarkiert sind, markiert sie auf einer Seite mit einem Filzstift-Punkt. (1) Vier Spielsteine werden auf den Tisch gewürfelt. () Zu jedem Stein mit oben liegendem Punkt wird ein Stein dazugelegt. (3) Alle auf dem Tisch liegenden Steine zusammen werden wieder auf den Tisch gewürfelt. (4) Siehe ()! Schätzt, wie lange ein Spiel dauert, bis alle Spielsteine auf dem Tisch liegen. Spielt! Stellt die Daten graphisch dar. Schätzt zuerst und überlegt dann, wie man vielleicht Lösungen errechnen kann. Wie lange kann man mit 5000 Spielsteinen spielen? Wie viele Spielsteine braucht man, damit das Spiel 30 Würfe lang dauert? x Die Untersuchung der Funktion f mit f(x) = a b + c ermöglicht die Klassifizierung nach den Parametern a, b und c. Die Verschiebung in x-richtung kann binnendifferenzierend untersucht werden.

49 Tabellarische Zusammenfassung der Inhalte Zunahme- oder Abnahmeprozesse werden als Wachstumsvorgänge bezeichnet. Wachstumsvorgänge können iterativ oder explizit beschrieben werden. Die Darstellung gibt an, wie sich die wachsende Größe pro Zeiteinheit verändert. Durch die Darstellung ergibt sich eine Folge von Werten u(0), u(1), u(). u(0) ist der Startwert der Folge, u(1), u(), nennt man erstes, zweites, Folgenglied. Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum rekursive Darstellung: u(n) = u(n 1) + d; u(0) =... u(n) u(n 1) = d d: konstante Änderung u(0): Startwert rekursive Darstellung: u(n) = u(n 1) + w u(n 1) = k u(n 1); u(0) =... u(n) = k u(n 1) w: prozentuale Änderung bzw. k: Wachstumsfaktor; u(0): Startwert explizite Darstellung: u(n) = u(0) + d n explizite Darstellung: u(n) = u(0) k n Beispiel: u(n) = u(n 1) + 0,6 u(0) = 4 n u(n) 4 4,6 5, 5,8 Beispiel: u(n) = u(n 1) + 0,07 u(n 1) = 1,07 u(n 1) u(0) = 4 n u(n) 4 4,8 4,5796 4,900 d > 0: d < 0: Zunahmeprozess Abnahmeprozess k > 1: Zunahmeprozess 0 < k < 1: Abnahmeprozess

50 A: Eigenschaften von Exponentialfunktionen x Für jede Funktion f mit f(x) = b ; x IR und beliebiger positiver Basis b 1 gilt: Der Graph von f - steigt für b> 1; - sinkt für 0< b< 1. Der Graph von f liegt oberhalb der x-achse. Jede positive Zahl kommt als Funktionswert von f vor. Der Graph von f schmiegt sich - für b> 1 dem negativen Teil der x-achse an, - für 0< b< 1dem positiven Teil der x-achse an. Die x-achse ist Asymptote. Alle Graphen haben den Punkt P(0 1) und nur diesen Punkt gemeinsam. B: Verändern der Graphen von Exponentialfunktionen Streckung/Stauchung in y-richtung Multiplikation mit Faktor a Streckung/Stauchung in x-richtung Multiplikation des Exponenten mit Faktor k f(x) = a b a> 1: Streckung in y-richtung 0< a< 1: Stauchung in y-richtung Für negatives a zusätzlich Spiegelung des Graphen an der x-achse Verschiebung in y-richtung Addition einer Konstanten d x f(x) = b x + d Addition einer Konstanten d bewirkt eine Verschiebung des Graphen in y-richtung Spiegelung an der y-achse Multiplikation des Exponenten mit -1 f(x) = b x x x x x x f(x) = b = = = b b b Kehrwertbilden der Basis bewirkt Spiegelung des Graphen an der y-achse. f(x) = kx b ( ) x f(x) = b = b = r kx k x Ändern der Basis bewirkt Streckung/Stauchung des Graphen in x-richtung. Verschiebung in x-richtung (nicht im Kern) Subtraktion einer Konstanten c im Exponenten f(x) = x c b f(x) = b = b b = b b = a b x c x c c x x Verschiebung in x-richtung bewirkt gleichzeitig Streckung/Stauchung des Graphen in y-richtung. Spiegelung an x-achse Multiplikation des gesamten Terms mit -1 f(x) = x ( b ) Multiplikation des Terms mit -1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-achse

51 Überlagerung von linearem und exponentiellem Wachstum Exponentielles und lineares Wachstum können häufig in Überlagerung auftreten. iterative Darstellung: u(n) = u(n 1) + w u(n 1) + d u(n) = k u(n 1) + d Exponentiell Linear Theoretisch können dann vier verschiedene Möglichkeiten auftreten: (1) Exponentielle Zunahme und lineare Zunahme [ w > 0 bzw. k > 1 ; d > 0 ] () Exponentielle Zunahme und lineare Abnahme [ w > 0 bzw. k > 1 ; d < 0 ] (3) Exponentielle Abnahme und lineare Zunahme [ w < 0 bzw. k < 1 ; d > 0 ] (4) Exponentielle Abnahme und lineare Abnahme [ w < 0 bzw. k < 1 ; d < 0 ] Fall (1): Je nach Anfangswert u(0) lässt sich der Verlauf folgendermaßen klassifizieren: Für u(0)>0 lässt sich erschließen, dass die Werte gegen + streben: Das Guthaben wird verzinst, es kommen konstante Einzahlungen hinzu. Für u(0)<0 lässt sich erschließen, dass die Werte gegen + streben, wenn w u(0) < d gilt: Ich baue durch konstante Einzahlungen zunächst meine Schulden ab und danach Guthaben auf. Für u(0)<0 lässt sich erschließen, dass die Werte gegen streben, wenn w u(0) > d gilt: Die regelmäßigen Einzahlungen sind kleiner als die Zinsen. Die Verschuldung nimmt zu. Es lässt sich erschließen, dass die Werte konstant bleiben, wenn w u(0) = d gilt: Ich bin lediglich in der Lage meine Verschuldung konstant zu halten, weil ich nur die Schuldzinsen begleiche. Fall (): Je nach Anfangswert u(0) lässt sich der Verlauf folgendermaßen charakterisieren: Es lässt sich erschließen, dass die Werte gegen + streben, wenn w u(0) > Die Zinsen sind größer als die regelmäßigen Auszahlungen. d gilt: Es lässt sich erschließen, dass die Werte gegen streben, wenn w u(0) < d gilt: Die Zinsen sind kleiner als die regelmäßigen Auszahlungen. Ich lebe über meinen Verhältnissen. Es lässt sich erschließen, dass die Werte konstant bleiben, wenn w u(0) = Ich lasse mir lediglich die Zinsen regelmäßig auszahlen. d gilt: Fall (3): Begrenztes Wachstum: Unabhängig vom Anfangswert u(0) nähern sich die Werte einem Grenzwert G. Beispiel: konstante Zugabe eines Wirkstoffs, überlagert mit prozentualem Abbau. Fall (4): Begrenztes Wachstum: Unabhängig vom Anfangswert u(0) nähern sich die Werte einem Grenzwert G.

52 Beispiele (1) u(n) = u(n 1) + 0,05 u(n 1) + () u(n) = u(n 1) + 0,05 u(n 1) + d, u(0) = 0 (3) u(n) = u(n 1) 0,1 u(n 1) + 5 (4) u(n) = 0,95 u(n 1) 1 Begründung der Existenz und Berechnung des Grenzwertes G für begrenztes Wachstum Die Existenz eines Grenzwertes kann mit Hilfe der zugehörigen Graphen etwa wie unten dargestellt begründet werden. Es ergeben sich vielfältige Möglichkeiten für Argumentationen. Dabei reicht es, den für anschauliche Anwendungen ausreichenden Fall (3) zu betrachten. Wie komplex und ausführlich die Begründungen ausgeführt werden, hängt von der Lerngruppe ab. Binnendifferenzierend können die leistungsstärkeren Schülerinnen und Schüler auch Begründungen für den Fall (4) finden. Fall (3) [ w<0, d>0 ]: Zunächst Überlegungen für positive Startwerte: u(0)>0: Gilt w u(0) > d, so werden die Werte bei jedem Schritt kleiner, da die prozentuale Abnahme stets größer ist als die konstante Zunahme. Weil die Werte kleiner werden, werden wiederum die prozentualen Abnahmen von Schritt zu Schritt kleiner, bleiben aber größer als d. Die Summe aus prozentualer Abnahme und konstanter Zunahme ist stets negativ und geht gegen Null, das Wachstum gegen eine Grenze G>0. Gilt k u(0) < d, so werden die Werte bei jedem Schritt größer, da die prozentuale Abnahme stets kleiner ist als die konstante Zunahme. Weil die Werte größer werden, werden wiederum die prozentualen Abnahmen von Schritt zu Schritt größer, bleiben aber kleiner als d. Die Summe aus prozentualer Abnahme und konstanter Zunahme ist stets positiv und geht gegen Null, das Wachstum gegen eine Grenze G>0. Für negative Startwerte u(0)<0 überlagern sich die Zuwächse so lange gleichgerichtet, bis die Werte positiv sind und die obigen Überlegungen entsprechend greifen. Da die Beträge kleiner werden, wird auch hier der Zuwachs von Schritt zu Schritt stets kleiner.

53 Fall (4) [ w<0, d<0 ]: Zunächst Überlegungen für negative Startwerte u(0)<0: Gilt w u(0) > d, so werden die Werte bei jedem Schritt betragsmäßig kleiner, da die prozentuale Abnahme des Betrages stets größer ist als dessen konstante Zunahme. Weil die Werte betragsmäßig kleiner werden, werden wiederum die prozentualen Abnahmen der Beträge von Schritt zu Schritt kleiner, bleiben aber vom Betrag größer als d. Die Summe aus prozentualer Abnahme und konstanter Zunahme ist stets positiv und geht gegen Null, das Wachstum gegen eine Grenze G<0. Gilt k u(0) < d, so werden die Werte bei jedem Schritt betragsmäßig größer, da die prozentuale Abnahme des Betrages stets kleiner ist als seine konstante Zunahme. Weil die Werte betragsmäßig größer werden, werden wiederum die prozentualen Abnahmen der Beträge von Schritt zu Schritt größer, bleiben aber vom Betrag kleiner als d. Die Summe aus prozentualer Abnahme und konstanter Zunahme ist stets negativ und geht gegen Null, das Wachstum gegen eine Grenze G<0. Für positive Startwerte u(0)>0 überlagern sich die Zuwächse so lange gleichgerichtet, bis die Werte negativ sind und die obigen Überlegungen entsprechend greifen. Da die Beträge kleiner werden, wird auch hier die Abnahme von Schritt zu Schritt stets kleiner. Berechnung des existierenden Grenzwertes (Gleichwichtszustands) für begrenztes Wachstum Im Grenzfall müssen sich beide Änderungen aufheben, sodass die resultierende Änderung null ist: w G+ d= 0 d oder G = w (1 k) G = d d G = 1 k Zusammenhang zwischen iterativer und expliziter Beschreibung begrenzten Wachstums Die folgenden Überlegungen sind deutlich über den Kern hinausgehend. Binnendifferenzierend werden hier aber leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler sinnvoll gefördert. Die Graphen lassen vermuten, dass es sich um eine um die Grenze G in y-richtung verschobene Exponentialfunktion handelt. Der Ansatz, den Wachstumsfaktor k für die Exponentialfunktion anzunehmen, x d x ist dabei naheliegend. Wir machen also für f den Ansatz: f(x) = G+ k = + k. 1 k Der Ansatz kann durch Einsetzen bestätigt werden: d x 1 f(x 1) = + k 1 k f(x) = k f(x 1) + d d x 1 = k + k + d 1 k kd = + k x + d 1 k k d (1 k) d = + + k 1 k 1 k kd + d kd x = + k 1 k d x = + k 1 k x

54 Eine weitere Möglichkeit ist zu argumentieren, dass die Differenz aus Grenze und Funktionswerte eine fallende Exponentialfunktion ist: u(n) = k u(n 1) + d Man macht wiederum den Ansatz, dass sich für 0< k< 1 im Grenzfall der exponentielle und der lineare Anteil aufheben: d= G 1 k. ( ) Dann ergibt sich u(n) G = k ( u(n 1) G). Nun weiß man, dass un G exponentiell fällt. n n Daher gilt: u(n) G = k ( u(0) G) bzw. u(n) = ( u(0) G) k + G bzw. als explizite Formel. Der obige Ansatz ist auch möglich, wenn der Prozess nicht begrenzt ist und somit G keine Grenze darstellt. Das ist der Fall, wenn k 1 ist. In diesem Fall ist die Differenz aus Grenze und Funktionswerten keine fallende Exponentialfunktion. Logarithmen Sind y und b zwei positive Zahlen ( b 0), heißt die Zahl, mit der man b potenzieren muss, um y zu erhalten, der Logarithmus von y zur Basis b. Schreibweise: Beispiele: log b(y). Löse x 3 = 43 x= log ( y) und bedeutet: Bestimme die Zahl, mit der man 3 potenzieren muss, damit sich 43 ergibt. b x b = y. Bestimme log (3) bedeutet: Bestimme die Zahl, mit der man potenzieren muss, damit sich 3 ergibt. Dafür schreibt man Gesucht ist also eine Zahl x, so dass gilt: x = log 3(43). x = 3.

55 Hinweise zu hilfsmittelfreien Fertigkeiten und zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge Hilfsmittelfreie Fertigkeiten Die Schülerinnen und Schüler sollen: 1. für einfache lineare und exponentielle Wachstumsvorgänge iterative und explizite Darstellungen finden und weitere Werte berechnen können.. für begrenzte Wachstumsvorgänge die Iterationsformel aufstellen können. 3. Wachstumsvorgänge durch ihre Änderung charakterisieren und durch geeignete Modelle beschreiben (linear: konstanter Summand, exponentiell: konstanter Faktor). 4. zu einer gegebenen hinreichend einfachen Exponentialfunktion den zugehörigen Graphen skizzieren können und zu einem gegebenen Graphen den zugehörigen Term nennen. 5. Terme der Form a b cx+d zu Termen der Form a b x vereinfachen. 6. die Logarithmenschreibweise für die Lösung einer Exponentialgleichung verwenden und den Wert einfacher Logarithmen angeben. 7. Lösungen von Exponentialgleichungen in einfachen Fällen exakt angeben können (z.b. x 5 = 15 ). Fertigkeiten im Umgang mit digitalen Mathematikwerkzeugen Im Umgang mit digitalen Mathematikwerkzeugen sollen die Schülerinnen und Schüler im Lernbereich folgende Kompetenzen erwerben bzw. festigen: 1. Folgendefinitionen im in der Schule eingeführten Werkzeug eingeben und darstellen können.. Tabellen und Graphen zur Bestimmung von Lösungen nutzen können. 3. Untersuchungen von Funktionsgraphen mit Parametervariation durchführen können. 4. Tabellenkalkulationen zur iterativen Berechnung nutzen können.

56 AUSZÜGE AUS DEM KERNCURRICULUM 3..1 Zahlen und Operationen interpretieren exponentielle Abnahme und begrenztes Wachstum als Grenzprozesse Funktionaler Zusammenhang beschreiben quadratische, exponentielle und periodische Zusammenhänge zwischen Zahlen und zwischen Größen in Tabellen, Graphen, Diagrammen und Sachtexten, erläutern und beurteilen sie. nutzen quadratische Funktionen, Exponentialfunktionen, Sinus- und Kosinusfunktionen zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge, auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge. stellen Funktionen durch Gleichungen dar und wechseln zwischen den Darstellungen Gleichung, Tabelle, Graph. modellieren lineares, exponentielles und begrenztes Wachstum explizit und iterativ auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge. interpretieren den Wachstumsfaktor beim exponentiellem Wachstum als prozentuale Änderung und grenzen lineares und exponentielles Wachstum gegeneinander ab. beschreiben und begründen Auswirkungen von Parametervariationen bei quadratischen Funktionen, Exponentialfunktionen, Sinus- und Kosinusfunktionen, auch unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge. beschreiben und begründen die Auswirkungen der Parameter auf den Graphen für Funktionen mit y = a f b (x c) + d. ( )

57 3.3 Lernbereiche Lernbereich: Exponentielle Zusammenhänge Intentionen Ausgehend von der Idee des prozentualen positiven bzw. negativen Zuwachses wird exponentielles Wachstum iterativ eingeführt und auch explizit beschrieben sowie gegen lineares Wachstum abgegrenzt. Die iterativ beschriebene Überlagerung aus exponentiellem und linearem Wachstum in der Form b(n) = b(n 1) + w b(n 1) + d mit w 1 bzw. b(n) = k b(n 1) + d mit k 0 führt auf vier Fälle, die in Abhängigkeit des Anfangswertes sowie der Parameter d und w bzw. k untersucht und mit Sachsituationen verknüpft werden. Zusammenhänge zwischen iterativer und expliziter Beschreibung begrenzten Wachstums werden hergestellt. In den Fällen, in denen sich begrenztes Wachstum ergibt, kann die Grenze G bestimmt werden. Die Grenzprozesse bei exponentiellem Zerfall und begrenztem Wachstum werden im Lernbereich Näherungsverfahren als Grenzprozesse - Zahlbereichserweiterungen wieder aufgegriffen. Die leitenden Fragestellungen bei der Untersuchung der Auswirkungen von Parametervariationen auf Funktionsgraphen und Funktionsgleichungen, die den Schülerinnen und Schülern von den linearen und quadratischen Funktionen bekannt sind, werden hier auf exponentielle Zusammenhänge übertragen. Ein vertieftes Verständnis wird durch den Darstellungswechsel Gleichung Graph Tabelle gefördert. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Bedeutung der Parameter erläutern und insbesondere die x Graphen der durch f mit f(x) = a b für positive b definierten Funktionen skizzieren können. Die Rechengesetze für Potenzen werden genutzt, um Erkenntnisse über die Funktionen oder einen zugehörigen Sachzusammenhang zu gewinnen. x Der Logarithmus wird nur als Sprechweise für die Lösung der Gleichung b = a eingeführt und höhere Wurzeln werden als Sprechweise für die Lösung der Gleichung x = b genutzt. Beim Einsatz a von CAS zur Lösung komplexerer Gleichungen ist das Verständnis der Rechnerausgabe sicherzustellen. Dieser Lernbereich bietet vielfältige Möglichkeiten zur Modellierung. Kern exponentielle Wachstums- und Abnahmeprozesse modellieren Sachsituationen iterativ und explizit modellieren lineare und exponentielle Prozesse voneinander abgrenzen Überlagerung von linearem und exponentiellem Wachstum untersuchen Bestimmen der Grenze G beim begrenzten Wachstum Vergleich der expliziten und iterativen Darstellung Exponentialfunktionen untersuchen - Parametervariation x Zusammenhang von Funktionsgleichung und -graph für f(x) = a b + c x hilfsmittelfreies Skizzieren der Graphen f(x) = a b für b > 0 Funktionsgleichungen aus zwei Punkten bestimmen, in einfachen Fällen hilfsmittelfrei Ausgleichsfunktionen mithilfe des Regressionsmoduls oder Parametervariation bestimmen mit Potenzen rechnen Rechengesetze exemplarisch begründen Gleichungen umformen und lösen, in einfachen Fällen auch hilfsmittelfrei Fakultative Erweiterungen Spinnweb-Diagramme; iterative Modellierung des logistischen Wachstums Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Zahlen und Operationen; Funktionaler Zusammenhang Hinweise zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge Tabellenkalkulation; CAS zum Lösen von Gleichungen; Regressionsmodul

58 Lernbereich: Näherungsverfahren als Grenzprozesse INHALT 1. Grundsätzliche Bemerkungen zu diesem Lernbereich. Erläuterungen und Anregungen zu einzelnen Inhalten 3. Mögliche Einstiege in den Lernbereich 4. Erläuterungen und Anregungen zum Vergleich der Näherungsprozesse 5. Ein möglicher Unterrichtsgang und die Frage der Formalisierung 1. GRUNDSÄTZLICHE BEMERKUNGEN ZU DIESEM LERNBEREICH Am Ende von Jahrgang 10 sollen die Schülerinnen und Schüler über die folgenden inhaltsbezogenen Kompetenzen verfügen (vergl. KC für das Gymnasium Schuljahrgänge 5-10 Abschnitt 3..1 Zahlen und Operationen): Die Schülerinnen und Schüler grenzen rationale und irrationale Zahlen voneinander ab begründen die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterungen beschreiben und reflektieren Näherungsverfahren und wenden diese an identifizieren den Grenzwert als die eindeutige Zahl, der man sich bei einem Näherungsverfahren beliebig dicht annähert erläutern die Identität 0,9 1 als Ergebnis eines Grenzprozesses interpretieren exponentielle Abnahme und begrenztes Wachstum als Grenzprozess identifizieren als Ergebnis eines Grenzprozesses bestimmen die Formeln für den Umfang oder den Flächeninhalt des Kreises mit einem Näherungsverfahren. In früheren Lernbereichen haben die Schülerinnen und Schüler bereits mit periodischen Dezimalbrüchen, Wurzeln und Näherungswerten für gearbeitet. Theoretische Untersuchungen der jeweils neuen Zahlen waren für die Schülerinnen und Schüler der betreffenden Altersstufe jedoch meist zu abstrakt. Deshalb standen nicht die zugehörigen Grenzprozesse im Vordergrund sondern die (angenäherten) Ergebnisse, denn das Anliegen war in der Regel, einen Zahlenwert zum Rechnen zu haben. Diese Vorgehensweise scheint der bisherigen Unterrichtspraxis bei der Einführung von Wurzeln zu widersprechen, denn die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit Zahlen, die sie mathematisch noch nicht vollständig verstanden und von denen sie eher eine intuitive Vorstellung haben. Andererseits wird die Natur von Sinus- und Logarithmuswerten nicht thematisiert; man geht auch mit ihnen naiv um. Ebenfalls erfolgt die Einführung der negativen Zahlen so, dass Schülerinnen und Schüler diese zunächst noch nicht vollständig begrifflich verstehen. Die Geschichte der Mathematik zeigt, dass der Umgang mit den Objekten der begrifflichen Klärung häufig vorausging. Das Kennenlernen von neuen Zahlen ist ein langfristiger Prozess. Das Verständnis eines neuen Zahlbereichs erfolgt dabei auf unterschiedlichen Stufen, von denen jede für den Lernprozess der Schülerinnen und Schüler bedeutsam ist: Zunächst werden die Grenzen des bisherigen Zahlbereichs überschritten. Es öffnet sich ein neuer Bereich, bei dessen Erkundung neue Erkenntnisse gewonnen werden. Dabei haben die Schülerinnen und Schüler intuitive Vorstellungen über die jeweils neuen Zahlen und die zugehörigen Rechenregeln. Anschließend erkunden sie Eigenschaften dieser Zahlen und die Bedeutung der Regeln für das Rechnen. Rechenregeln werden nur exemplarisch begründet; im Zentrum stehen eine angemessene Sicherheit beim Rechnen und der Ausbau der passenden Grundvorstellungen. Erweitert wird dieses inhaltliche Verständnis der neuen Zahlen durch Vergleiche mit den Eigenschaften der alten Zahlen und Regeln. Dieser Schritt wird bei der Einführung der reellen Zahlen von einer Reflexion des gesamten Vorgehens begleitet. Dabei wird auch eine Rückschau der bisherigen Zahlbereichserweiterungen vorgenommen. Im Lernbereich Näherungsverfahren als Grenzprozesse werden nun die Grenzprozesse selbst betrachtet. Dazu werden einige der früher unterrichteten Inhalte reflektiert, vertieft und neu strukturiert. Ziel ist ein verständiger und nachhaltiger Umgang mit Grenzprozessen, der sich auf die Anschauung gründet. Daher sollten Grenzprozesse so lange wie möglich verbal beschrieben und möglichst graphisch veranschaulicht werden. Die Limes-Schreibweise sollte im Unterricht erst dann erfolgen, wenn deren Bedeutung für die Schülerinnen und Schüler offenkundig ist. 1

59 . ERLÄUTERUNGEN UND ANREGUNGEN ZU EINZELNEN INHALTEN a. Periodische Dezimalbrüche Die Identität 0,9 1 kann von Schülerinnen und Schülern ohne Betrachtung von Grenzprozessen begründet werden (siehe unten). Sie soll hier jedoch als Ergebnis eines Grenzprozesses begründet werden. 0,9 selbst ist das Ergebnis eines Grenzprozesses Anhängen immer weiterer Neunen. Näherungsprozesse sind den Schülerinnen und Schülern schon früher bei den periodischen Dezimalbrüchen begegnet, ohne dass diese als solche thematisiert wurden. Die Frage, wie groß 0,9 ist, ist für manche Schülerinnen und Schüler verwirrend: Ist wirklich 0,9 1? Dafür ist die Argumentation, dass man ausgehend von 0,9 immer mehr Neunen anhängt und damit immer näher an die 0,9 herankommt, ergiebig. Die Frage, wie nahe man an 1 herankommt, lenkt den Blick auf den Abstand. Der Abstand zu 1 wird immer kleiner und nähert sich an 0 an. 1 0,9 0,1 1 0,99 0,01 1 0,999 0, ,9 0 Aus der letzten Zeile folgt die Identität. Die Annahme, dass 0,9 1 ist, führt zum Widerspruch (vergl. [] S.8ff). Jede Zahl 0, mit endlich vielen Neunen hinter dem Komma liegt links von 0,9. Ist 0,9 1, so haben beide Zahlen einen Abstand d voneinander. Dann findet man für jeden Abstand d eine Zahl 0,999 9 mit noch mehr Neunen hinter dem Komma, die rechts von 0,9 liegt. Das kann aber nicht sein. Insgesamt werden also hier zwei Ziele deutlich: Einerseits wird die Identität 0,9 1 begründet und andererseits eine Vorstellung eines Grenzprozesses erzeugt. Die Identität kann auch ohne Verwendung von Grenzprozessen begründet werden. So kann argumentiert werden, dass 0,9 dreimal so groß wie 0,3 ist, also ist 0,9 auch dreimal so groß wie 1 3 und damit 1. Eine weitere Möglichkeit, die Identität 0,9 1 zu begründen, ist: ,1 0, 0,3... 0,

60 Die schriftliche Division 1 1: 9 ergibt den Zugang: 9 1,0 : 9 = 0, Beim Dividieren bleibt immer ein Rest, der jedoch von Stufe zu Stufe immer näher an null herangeht. Solche Argumentationen nehmen jedoch den Grenzprozess nicht explizit in den Blick. b. Quadratwurzeln Wird eine Quadratwurzel, z.b., mit einem Näherungsverfahren bestimmt, werden Grenzwertvorstellungen (weiter-) entwickelt. Beim Heron-Verfahren (vergl. eingeführte Schulbücher) wird einerseits numerisch der gesuchte Zahlenwert angenähert. Darüber hinaus können die Schülerinnen und Schüler anschaulich sehen, wie sich ein Rechteck mit dem Flächeninhalt an ein flächeninhaltsgleiches Quadrat annähert. Die rekursiv erzeugten Seitenlängen a1, a, a3, der Rechtecke nähern sich der Seitenlänge des Quadrates an in dem Maße, wie die Abstände der Seitenlängen der Rechtecke von der Quadratseitenlänge gegen null gehen. Es wird also nicht die Seite eines Quadrats mit dem Flächeninhalt berechnet, sondern es werden die Seitenlängen von Rechtecken berechnet. Dabei nähern sich die Rechtecke dem Quadrat immer mehr an. Auch das im 10. Iterationsschritt gewonnene Rechteck ist kein Quadrat, auch nicht das im ten Schritt gewonnene. Man kann nur sagen: Der Flächeninhalt des im ten Schritt gewonnene Rechtecks wird sich vom Flächeninhalt des Quadrat kaum noch unterscheiden und damit auch nicht die Seitenlängen des Rechtecks von der des Quadrats. Aber der Unterschied ist da, auch wenn er noch so klein ist. Man kann (durch Vergrößerung von n) den Unterschied noch weiter verkleinern, aber man kann nicht erreichen, dass der Unterschied so groß wie null ist. Das Heronverfahren kann auch auf Intervallschachtelungen führen. Diese können auf zwei Arten erfolgen: Einerseits kann man immer kleiner werdende Intervalle erzeugen, in denen die gesuchte Zahl liegt. Hier erfolgt die Annäherung an die gesuchte Wurzel also von beiden Seiten und die Länge der Intervalle, in denen die Wurzel liegt, geht gegen null. Es ist 1 <, da 1< <4 ist. Es ist 1,4 < < 1,5, da 1,96 < <,5 ist. Es ist 1,41 < <1,4, da 1,9881 < <,0164 ist. Es ist 1,414 < < 1,415, da 1, < <,005 ist.... Die Intervalllängen 1; 0,1; 0,01; 0,001;. gehen gegen null. Jedoch werden sie niemals null. Auch wenn man die Anzahl der Nachkommastellen beliebig vergrößert, erhält man nur einen Näherungswert der Quadratwurzel und nicht die Wurzel selbst. Man kann nur die Abweichung beliebig klein machen (vergl. eingeführte Lehrbücher). Alternativ kann die Annäherung an die gesuchte Wurzel auch nur von einer Seite erfolgen. c. Kreiszahl Im Lernbereich Kreis- und Körperberechnungen sind zwei Vorgehensweisen möglich: Es kann zunächst ganz praktisch ein Näherungswert für bestimmt werden, mit dem dann Berechnungen an Kreisen und Körpern durchgeführt werden. In dem Fall kann experimentell z.b. als Proportionalitätskonstante von Umfang oder Flächeninhalt und Radius verschiedener Kreise bestimmt werden oder stochastisch mit der Monte-Carlo-Methode oder geometrisch durch Zerlegen eines Kreises in Kreissegmente und Zusammenlegen dieser Segmente zu einem Rechteck oder durch Auslegen eines Kreises mit beliebig vielen ein- oder umbeschriebenen Dreiecken. Anregungen liefern die eingeführten 3

61 Schulbücher. In jedem Fall kann dabei zunächst ein Näherungswert für gewonnen werden, ohne auf den Näherungsprozess einzugehen. Dieses würde später erfolgen, wenn z.b. die Kreisfläche durch die Ausschöpfung mit Vielecken angenähert wird. Auch hier ist (ähnlich zum Vorgehen bei der Intervallschachtelung) die Annäherung mit ein- und umbeschriebenen Vielecken möglich oder nur die Annäherung mit ein- oder umbeschriebenen Vielecken. Beispiel: Flächeninhalt einbeschriebener Dreiecke Wurden zuvor trigonometrische Zusammenhänge bearbeitet, ist deren Anwendung bei der Berechnung der einbeschriebenen Vielecke auch für Schülerinnen und Schüler naheliegend. Das einbeschriebene Fünfeck kann in 5 Dreiecke (Innenwinkel 7 ) zerlegt werden mit der Höhe h und der Grundseite a und dem a h Flächeninhalt A 5 =. Mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen a h sin( ) und cos( ) folgt für den Einheitskreis r r (r=1) und 36 beim Fünfeck: sin(36 ) cos(36 ) A 5Eck = 5 A 5 = 5. 5sin(36 ) cos(36 ) =, Erhöht man die Zahl n der Ecken, nähert sich der Inhalt der Vielecksfläche A neck = n An n sin cos n n immer mehr an der Kreisfläche an. Das 5-Eck ist kein Kreis, und auch das Eck ist kein Kreis. Man kann nur sagen: Der Flächeninhalt des Ecks wird sich vom Flächeninhalt des Kreises kaum noch unterscheiden. Aber der Unterschied ist da, auch wenn er noch so klein ist. Man kann (durch Vergrößerung von n) den Unterschied noch weiter verkleinern, aber man kann nicht erreichen, dass der Unterschied null ist. Beim Einheitskreis wurde festgestellt: Der Flächeninhalt der n-ecke nähert sich an, wenn man n vergrößert. Kein n-eck hat den Flächeninhalt, der Unterschied ist immer größer als 0, aber so klein, wie wir möchten. Dieser Sachverhalt ist für Schülerinnen und Schüler oft schwer fassbar und mit Fehlvorstellungen behaftet wie: Der Kreis hat unendlich viele Ecken. Das würde bedeuten, dass dem Kreis unendlich viele kleine Dreiecke einbeschrieben wären, die jeweils den Flächeninhalt 0 hätten. Damit wäre der Flächeninhalt nicht bestimmbar. d. Asymptotisches Verhalten 1 Das Verhalten des Graphen zu fx für x x ist ein Grenzprozess. Mit wachsendem x geht der 4

62 Unterschied zwischen fx und null gegen null. Das ist eine komplizierte (aber angemessene) Ausdrucksweise für den anschaulich einsichtigen Sachverhalt, dass fx für wachsende x gegen null geht. Dass die Näherungswerte den Grenzwert nie erreichen, muss natürlich nicht richtig sein; man will ja nicht Phänomene wie die folgenden ausschließen: Eine konstante Funktion nimmt ihren Grenzwert immer an. Hier wird der Grenzwert 0 als Funktionswert in periodischen Abständen immer wieder angenommen. Dieses Beispiel bietet ebenso wie die anfangs betrachtete Funktion fx der Untersuchung des Verhaltens für x 0 einen divergenten Prozess zu betrachten. 1 auch die Möglichkeit, mit x 3. MÖGLICHE EINSTIEGE IN DEN LERNBEREICH Die Schülerinnen und Schüler haben die Inhalte dieses Lernbereichs zum großen Teil bereits früher kennen gelernt und damit gearbeitet. Mit Hilfe der jeweiligen Näherungswerte für Brüche, Quadratwurzeln oder die Kreiszahl konnten sie ebenso erfolgreich rechnen, Gleichungen lösen oder Terme umformen wie mit Sinus- oder Logarithmuswerten. Es scheint also sinnvoll, in diesen Lernbereich mit einem für die Schülerinnen und Schüler neuen Problem einzusteigen. a. Asymptotisches Verhalten Bei der Behandlung exponentieller Abnahmeprozesse machen die Schülerinnen und Schüler erste x Erfahrungen mit asymptotischem Verhalten, wenn sie Funktionen vom Typ f(x) b für 0<b<1 betrachten. Diese Überlegungen können aufgegriffen und bei der Untersuchung des Verhaltens von 1 f(x) für sehr große x erweitert werden. 1 wird numerisch betrachtet mit wachsendem x immer x x kleiner und nähert sich null. Dabei entsprechen die Einzelwerte von 1 jeweils ihrem Abstand vom x Grenzwert 0. Graphisch betrachtet nähert sich der Funktionsgraph der Asymptote an, berührt oder schneidet sie jedoch nicht. b. Zahlbereichserweiterungen (Art der Näherungswerte) 5

63 In bisherigen Lernbereichen wurde mit gerundeten Werten für periodische Dezimalbrüche, Quadratwurzeln und für die Kreiszahl gerechnet. Die Frage, um welche Art von Zahlen es sich dabei handelt und ob es wirklich rationale Zahlen sind, bietet Anlass zur genaueren Bestimmung von Quadratwurzeln und mit Hilfe eines Näherungsverfahrens. Für die periodischen Dezimalbrüche folgt die Untersuchung der Identität 0,9 =1. Die Frage nach der Art der Zahlen führt jedoch auch zur Untersuchung der verschiedenen Zahlmengen und der Zahlbereichserweiterungen. c. Kreiszahl Ein möglicher Übergang zur Untersuchung des Näherungsprozesses wurde im vorherigen Abschnitt gezeigt. d. Unendliche Summen (Dieser Zugang ermöglicht einen visualisierten Anlass über Grenzwerte nachzudenken. Er geht über die Intentionen des Lernbereiches hinaus. Es ist nicht die Absicht geometrische Reihen zu thematisieren.) Die Frage nach der Summe ist für die Schülerinnen und Schüler wahrscheinlich neu und gibt doppelten An lass, über die Annäherung an einen Grenzwert nachzudenken. Einerseits gehen die einzelnen Summanden gegen null. Andererseits wird die Summe immer größer, ohne jedoch 1 zu überschreiten. Zur Veranschaulichung können auch die Quadratseitenlängen in der nebenstehenden Abbildung dienen. Diese nähern sich aneinandergelegt immer mehr der 1 an, was entlang der Mittellinie oder entlang einer der Quadratseiten gut zu sehen ist. Augenfälliger ist vielleicht die Betrachtung der Quadratflächeninhalte, die auf die Summe führt Deren Grenzwert ist ersichtlich, da jedes Quadrat dreimal 3 vorkommt und davon einmal gezählt wird. 4. ERLÄUTERUNGEN UND ANREGUNGEN ZUM VERGLEICH DER NÄHERUNGSPROZESSE Vergleicht man die verschiedenen Grenzwertprozesse, stellt man als Gemeinsamkeit fest: - Annäherung an eine Zahl, also an einen Grenzwert - Abstände der jeweiligen Näherungswerte vom Grenzwert gehen gegen null - zu jedem Näherungswert kann ein weiterer (oder unendlich viele weitere) gefunden werden mit noch kleinerem Abstand - die Näherung kann beliebig nah an den Grenzwert herankommen - der Unterschied zwischen Näherungswert und Grenzwert kann beliebig klein werden - graphische Veranschaulichung möglich 6