Otto-Von-Guericke-Universität Magdeburg. Fuzzy Logik unscharfer Fortschritt

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1 Otto-Von-Guericke-Universität Magdeburg Fuzzy Logik unscharfer Fortschritt 31. Januar 2008 Fakultät: Institut: Verfasser: Betreuer: Fakultät für Informatik Institut für Simulation und Grafik (ISG) Sebastian Schiller Sebastian Straube Dipl. Ing. Benjamin Rauch-Gebbensleben Dipl. Ing. Kristina Dammasch

2 Abstract Was ist Fuzzy Logik? Das Wort fuzzy bedeuted soviel wie fransig oder unscharf. In dieser Seminararbeit werden die Grundlagen der Fuzzy Logik verdeutlicht. Dabei wird geklärt, wo sich die Fuzzy Logik eingliedert und welche Grundlagen benötigt werden um den Modellierungsprozess zu verstehen. An einem Beispiel wird dann gezeigt, wie man aus der realen Welt zu einem modellierten System kommt. Dabei geht es immer um ein Problem, wie kriegt man die realen(analogen) Probleme, in ein digitales System. Wobei man immer unter der Prämisse steht, wie komplex muss das System sein damit es unter realen Voraussetzungen überhaupt funktioniert. 1

3 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 4 2 Grundlagen klassische Mengen Fuzzy Mengen Normalisierung Konvexität Zugehörigkeitsfunktion Fuzzy Sets Minimum Operator Maximum Operator Komplementbildung linguistische Mittel Prozess der Fuzzy Logik Fuzzifizierung Inferenzschema Defuzzifizierung Spezielles Anwendungsgebiet Regelungstechnik Fazit 17 6 Literaturverzeichnis 18 2

4 Abbildungsverzeichnis 1 Grauwertbildung Gemälde von Wassily Kandinsky Grauwertbildung anhand des Gemäldes von Wassily Kandinsky Operationen klassischer Mengen Konvexe / nicht konvexe Menge Standard Zugehörigkeitsfunktionen Durchschnitt Fuzzy Menge Vereinigung Fuzzy Menge Komplement Fuzzy Menge linguistische Modifikatoren (Quelle: Hamid R.Tizhoosh, Fuzzy-Bildverarbeitung) Fuzzifizierung Inferenzdiagramm Inferenzdiagramm Schwerpunkt Zusammenhang Größe/Luftmenge/Innendruck Fuzzifizierung Luftmenge/Luftdruck Fuzzifizierungsprozess fuzziges Ausgangssignal mit Schwerpunkt aus Druck und Luftmenge Verhältnis von Systemkomplexität und Modellgenauigkeit (Quelle: Hamid R.Tizhoosh, Fuzzy- Bildverarbeitung)

5 1 Motivation Wie gebe ich in einem diskretem System die Werte fast, ähnlich oder schnell ein? Mit der Fuzzy Logik wird das möglich. Nehmen wir als Beispiel die Bildverarbeitung. Man nehme ein Bild was aus 256 Graustufen besteht. Jetzt möchte man genau diese Informationen aus dem Bild holen, die die Werte dunkelgrau annehmen. Ohne die Fuzzy Logik würde man wahrscheinlich einen intuitiven Algorithmus benutzen. Erstmal müsste man festlegen was dunkelgrau bedeuted. Nehme man daher an dunkelgrau entspricht dem Grauwert für einen Pixel der dem Wert kleiner gleich 57 ist [siehe Abbildung 1(a)]. Diesen Grauwert wird 0 bzw. schwarz zugeordnet. Nun nehmen wir die Grauwerte eines Pixelbereichs, der für die Grauwerte von 0 bis 57 ebenfalls den Grauwert 0 zuordnet und dem Bereich von 57 bis 107 nicht einschränkt [siehe Abbildung 1(b)]. Nehmen wir ein Bild von Wassily Kandinsky 1. (a) Grauwerte bei 57 (b) Grauwerte zwischen 57 und 107 Abbildung 1: Grauwertbildung Nun sucht man alle dunkelgrauen Werte heraus (siehe Abbildung 3(a)). Man sieht, dass sehr viele Informationen Abbildung 2: Gemälde von Wassily Kandinsky des Bildes verloren gehen. Die Fuzzy Logik nimmt jetzt nicht nur einen Wert für dunkelgrau, sondern ein Set von Grauwerten. Damit lassen sich mehr Informationen aus dem Bild herausholen [siehe Abbildung 3(b)]. Die Abbildung 3(c) zeigt den Informationsgewinn durch die angewandte Fuzzy Logik. Sicherlich lässt sich das Problem auch (a) Grauwerte bei 57 (b) Grauwerte zwischen 57 und 107 (c) negativ von (b) Abbildung 3: Grauwertbildung anhand des Gemäldes von Wassily Kandinsky ohne Fuzzy Logik lösen. Das Problem was dabei entsteht, ist die Komplexität des zu modellierenden Systems. Bei einem Bild ist die Komplexität wahrscheinlich noch überschaubar, wenn man aber in die Anwendungsgebiete der Fuzzylogik schaut (z.b. in der Automobilindustrie) wird man schnell erkennen, dass die Komplexität der Systeme sehr hoch ist. Mit mathematischen Modellen stößt man sehr schnell an die Leistungsgrenzen. Die Fuzzy Logik ist auch ein mathematisches Modell, das ein anderes System benutzt um die gesuchte Funktion zu diskretisieren, dazu wird die gesuchte Funktion approximiert. Im nächsten Kapitel werden Sie näheres über die Grundlagen erfahren. 1 Russicher Maler,Graphiker,Kunsttheoretiker:

6 2 Grundlagen 2.1 klassische Mengen Klassische Mengen sind all diejenigen Mengen, die auch in der Mathematik verwendet werden. Sie werden dazu genutzt, reale Objekte in ein mathematisches System unterzubringen. Die klassischen Mengen haben gewisse Operationen, die auch in der Fuzzy Logik gelten. Ob ein Element in der Menge liegt, kann mit einer Zugehörigkeitsfunktion beschrieben werden. { 1 für f alls x A f A (x) = 0 für f alls x / A Beispiel 2 für eine klassische Menge, aus einer Grundmenge X = {1,2,...,7}. Wobei die Elemente x die Nachbarn von 4 sein sollen. Daraus ergibt sich folgende Menge: A klassisch = {3,4,5}. Das heisst die Menge besteht aus den Nachbarn 3, 5 und sich selbst. Angenommen die Mengen A und B liegen in X, dann gibt es folgende Operatoren: Vereinigung A B := {x x A x B} Durchschnitt A B := {x x A x B} Komplement A := {x x / A, x X} Diese Operationen kann man auch auf aussagenlogische Ausdrücke zurückführen. Deshalb möchte ich an dieser (a) Vereinigung (b) Durchschnitt (c) Komplement Abbildung 4: Operationen klassischer Mengen Stelle auf die Operatoren eingehen, die uns die Logik bietet. Die Logik wird getrennt in binäre Logik, mehrwertige Logik, dynamische Logik und die temporale Logik. Ich möchte betonen das wir in der Fuzzy Logik Mengen verwenden, die auch in der binären logk verwendet werden. In der binären Logik gibt es drei Grundoperatoren, das sind UND( ), ODER( ) und NEGATION( ). Folgendes Beispiel soll verdeutlichen, wie die Operatoren anzuwenden sind. C D C D C D C Aus diesem Zusammenhang ergeben die Operationen von Mengen folgende Beziehungen: Vereinigung C D := C D Durchschnitt C D := C D Komplement C := C Das heisst, man hat eine Menge, die man mit einem logischen Operator verknüpft. Wenn Sie sich damit intensiver auseinandersetzen wollen, empfehle ich das Buch Logik für Informatiker. B.G. Teubner, Stuttgart, 2005 von Professor Dr. Jürgen Dassow 2 Quelle: Hamid R.Tizhoosh, Fuzzy-Bildverarbeitung 5

7 2.2 Fuzzy Mengen Im Gegensatz zu klassischen Mengen, wird die Zugehörigkeitsfunktion in der Fuzzy Logik mit µ A bezeichnet. Wobei jedem Element x in der Grundmenge X eine reelle Zahl im abgeschlossenen Intervall [ 0, 1] zugeordnet wird. A = {( x,µ A ( x)) x X} Wenn man von oben das Nachbarmengenbeispiel aufgreifen, dann ist die Notation der Fuzzy Menge folgendermaßen: A klassisch = {3,4,5} { 0,6 A Fuzzy = 1, 0,9 2, 1,0 3, 1,0 4, 1,0 5, 0,9 6, 0,6 } 7 Daraus kann man ablesen, dass die Nachbarn in der Umgebung von 4 eine unscharfe Menge bilden. Man kann die Nachbarn eindeutig identifizieren, weil µ A = 1 bzw. 100% ist. Wie man sieht, gehören die restlichen Werte nicht mehr zu 100% in unseren Ergebnisraum. Aus dem gesamten Mengenbereich gehören {2,3} zu 90% und {1,7} zu 60% zur Zielmenge. Was kann man daraus für die Fuzzy Mengen ableiten? Zum Einen sieht man anhand des Beispiels eine gewisse Unschärfe der Zielmenge. Die Zugehörigkeitsfunktionen dieser Zielmenge kann von einem Experten festgelegt werden. Später zeige ich Ihnen auch, wie diese Zugehörigkeitsfunktionen aussehen können. Eine Anforderung an die Zugehörigkeitsfunktionen ist, dass die Funktion normalisiert werden muss und gleichzeitig Konvexität erfüllt Normalisierung Jede Fuzzy Menge kann alle Werte im Intervall von [0 bis 1] annehmen, d.h. die Funktionen müssen beschränkt werden bzw. das Maximum der Zugehörigkeitsfunktionen µ(x) = 1 muss gesetzt werden. Daraus folgt, dass die Funktionen auf µ(x) = 1 skaliert werden müssen Konvexität Die Konvexitätseigenschaft ist eine sehr wichtige geometrische Eigenschaft. Ohne diese Eigenschaft wäre es nicht möglich sinnvolle Ergebnisse zu erzielen. Man kann sagen, dass eine Menge Konvex ist, wenn man beliebige Ecken der Menge miteinander verbindet und die daraus resultierenden Vektoren innerhalb der Menge liegen. Diese (a) Konvexe Menge (b) nicht Konvexe Menge Abbildung 5: Konvexe / nicht konvexe Menge Eigenschaften sind Vorraussetzung der Zugehörigkeitsfunktion Zugehörigkeitsfunktion Die Zugehörigkeitsfunktion kann als Gütemittel zwischen unserer realen Welt und der mathematischen Welt betrachtet werden. Um so mehr Zustände diese Funktion annehmen kann, desto besser können die Funktionen approximiert werden. In Abbildung 6 sehen Sie verschiedene Formen von Zugehörigkeitsfunktionen. Das Dreieck stellt in der Linguistik die Aussage fast/genau wieder. Wobei das Trapez die Aussage etwa/zwischen wiederspiegelt. Die Glockenkurve ist noch etwas allgemeiner und spiegelt in unserem Wortschatz ungefähr dar. Dabei muss beachtet werden, dass jede konkave Funktion quasikonkav ist, jedoch ist die Gaußsche Glockenkurve nur quasikonkav, aber nicht konkav und damit ein Spezialfall. Die Z-Form hingegen ist relativ allgemein und man könnte es linguistisch mit vielleicht ganz gut beschreiben. Da die Z-Form ein teil der Glockenkurve ist, ist sie auch eine Ausnahme. Die Wahl der Zugehörigkeitsfunktion hat bereits etwas mit der Güte des Ergebnisraumes zu tun. Durch 6

8 Erfahrungen und Expertenwissen kann der Mensch intuitiv einschätzen, welche Kurve für welches Problem am besten geeignet ist. (Quelle: Hamid R.Tizhoosh, Fuzzy-Bildverarbeitung) (a) Dreick (b) Trapez (c) Glockenkurve (d) Z-Form Abbildung 6: Standard Zugehörigkeitsfunktionen 2.3 Fuzzy Sets Fuzzy Sets sind Zugehörigkeitsfunktionen, die Operationen der Mengenlehre auf die Fuzzy Mengen erweitert. Wie auch in der Mengenlehre gibt es die Operationen Vereinigung, Durchschnitt und Komplement. Mit dem Unterschied, dass die Menge durch eine oder mehrere Zugehörigkeitsfunktion beschrieben wird. Als nächstes werden die neuen Operationen im Detail angeguckt. Als Grundlage benutze ich die zwei Fuzzy Mengen A und B auf der Grundmenge X Minimum Operator Der Minimum Operator ist gleichzusetzen mit der Schnittmenge von der klassischen Menge. Die Zugehörigkeitsfunktionen sind µ A und µ B. µ A B (x) = min(µ A (x), µ B (x)) für x X Abbildung 7: Durchschnitt Fuzzy Menge Maximum Operator Der Maximum Operator ist die Vereinigung der Fuzzy Menge. Die Zugehörigkeitsfunktionen sind ebenfalls µ A und µ B. µ A B (x) = max(µ A (x), µ B (x)) für x X Komplementbildung Die Zugehörigkeitsfunktionen sind µ A und µ A. Wobei µ A das Komplement zu µ A darstellt. µ A (x) = 1 µ A (x) für x X Zum Abschluss der Einführung in die Grundlagen der Fuzzy Logik, möchte ich noch zeigen, wie sich diese Operatoren wertmäßig auf bestimmte Zugehörigkeitsfunktionen auswirken. 7

9 Abbildung 8: Vereinigung Fuzzy Menge Abbildung 9: Komplement Fuzzy Menge Element µ A µ B Durchschnitt Vereinigung Komplement 1 0,0 1,0 0,0 1,0 1,0 2 0,3 0,9 0,3 0,9 0,7 3 0,5 0,7 0,5 0,7 0,5 4 0,8 0,4 0,4 0,8 0,2 5 1,0 0,0 0,0 1,0 0,0 Im nächsten Schritt wird ein grobes Konzept betrachtet. Nun ist die Frage zu klären, wie man von der sprachlichen Ebene zur mathematischen Ebene gelangt. 2.4 linguistische Mittel Welche Wörter benutzt man in der deutschen Sprache, um bestimmte Vorgänge näher zu beschreiben? Es sind die Adjektive, welche auch als Eigenschaftswort bezeichnet werden. Früher in der Schule sagte man auch Wiewort. Wie kommt man von diesem Eigenschaftswort zu einem komplexen System? Erstens muss man für diese Adjektive einen bestimmten Wertebereich festlegen. Das Menschliche daran ist, dass jeder diese Adjektive auf seine Art interpretiert. Man weiß was gemeint ist, wenn man etwas mit Adjektiven beschreiben möchte, kann aber nicht genau festlegen, um welchen Wert es sich handelt. Diese Interpretation der Werte hängt von unserer Erfahrung ab und ist subjektiv. Es gibt Tabellen wo man nachlesen kann, welches Adjektiv welchen Wert annehmen kann. Je nachdem wer und wie diese Tabellen erfasst wurden, unterscheiden sich die Ergebnisse. Jedoch sind sie ein guter Startpunkt, um unsere Adjektive durch Zahlen darzustellen. Anhand einer Abbildung lässt sich der Prozess der Quantifizierung ganz gut erläutern. 8

10 Abbildung 10: linguistische Modifikatoren (Quelle: Hamid R.Tizhoosh, Fuzzy-Bildverarbeitung) Die linguistischen Variablen werden durch syntaktische Regeln in Terme zusammengefasst. Diese können anhand einer Übersetzungstabelle und treffender Zugehörigkeitsfunktion in Zahlenwerte umgewandelt werden. Anhand der kennengelernten Grundlagen ist man nun in der Lage, zu dem eigentlichen Prozess der Fuzzy Logik zu kommen. 9

11 3 Prozess der Fuzzy Logik 3.1 Fuzzifizierung Um Fuzzifizierung zu erläutern, braucht man die Grundlagen. In diesem Moment sollten Sie wissen, was eine Fuzzy Menge ist und welche Eigenschaften sie hat. Zusätzlich wird der Begriff Fuzzy Sets benötigt. Durch Abbildung 10 ist bereits grob dargestellt, dass ein linguistischer Term etwas mit unseren Zugehörigkeitsfunktionen zu tun hat. Wie sieht es nun genau aus? Die Zugehörigkeitsfunktionen wird benutzt, um unsere Zielmenge zu quantisieren. Siehe Abbildung 11. Die Zugehörigkeitsfunktion µ(x) bildet unsere Eingänge (Inputs) auf unscharfe Mengen ab. Abbildung 11: Fuzzifizierung Einfach gesagt wandeln sich unsere reellen Werte aus dem echten Leben in unscharf formulierte Werte um. Im abgebildeten Diagramm kann man die in den Grundlagen beschriebenen Funktionsformen erkennen. In diesem Fall die Dreieckfunktionen, die sich überschneiden. Diese Fuzzifizierung ist recht einfach zu verstehen. Da nun die realen Werte in der gewünschten Form sind, kann das Inferenzschema durchlaufen werden. 3.2 Inferenzschema Im Inferenzschema werden nun die fuzzifizierten Werte in Regeln verarbeitet. Dabei besteht die Inferenz aus Regeln, einem aktuellen Ereignis und einer Schlußfolgerung. Die Inferenz ersetzt das aktuelle Ereignis unter Berücksichtigung der Regeln durch ein neues Ereignis. Regeln setzen sich aus [WENN - DANN] Beziehungen zusammen, wobei die Bedingungen mit einem logischen UND verknüpft werden und die Regeln mit einem logischen ODER. Das gesamte Schema wird als Regelbasis bezeichnet. Beispiel für eine Regelbasis: Regel 1: WENN(Temperatur hoch ) DANN(Heizungsventil fast zu) Regel 2: WENN(Temperatur niedrig ) DANN(Heizungsventil weit auf) Regel 2(Symbol Notation): (Temperatur niedrig ) (Heizungsventil weit auf) Die Festlegung der Regeln basieren auf Erfahrungen und Expertenwissen. In dem Kapitel spezielle Anwendungsgebiete werde ich an einem Beispiel zeigen, wie man diese Regeln einsetzen kann. Unser System kann nun nichts mit den Ereignissen aus dem Inferenzschema anfangen. Es gibt zwei unterschiedliche Verfahren, um die Schlussfolgerungen aus dem Inferenzschema herauszuholen. Das Eine ist das Produktverfahren und das Andere das Minimumverfahren. Ich werde mich ausschließlich mit dem Minimumverfahren beschäftigen. Für jede Regel(WENN-DANN-Beziehung) wird ein seperates Diagramm erzeugt. In Abbildung 12(a) habe ich die einzelnen Diagramme bereits zusammengefasst. Der Zugehörigkeitswert der WENN-Bedingung wird auf die Schlußfolgerung(DANN) abgebildet [Abbildung: 12(b)], dabei ist µ(x) in beiden Diagrammen gleich. Jetzt bestimme ich in unserem Schlußfolgerungsdiagramm genau den Bereich, der von 0 bis zum Zugehörigkeitsgrad µ(x) reicht. Anders gesagt, ich bilde das Minimum der DANN-Inferenz. Das Diagramm nimmt jetzt eine Trapezform an [Abbildung: 10

12 13(a und b)]. Ist dieser Prozess erstmal durch alle Regeln gelaufen, kann ich die entstandenen Trapezflächen miteinander verknüpfen. Hier hilft mir die bekannte ODER-Verknüpfung. Das Resultat sollte dann in etwa so aussehen wie in [Abbildung: 13(c)]. (a) WENN-Bedingung Temperatur (b) Inferenz Heizungsventil Abbildung 12: Inferenzdiagramm (a) Fuzzymenge mit Zugehörigkeit 0,4 (b) Fuzzymenge mit Zugehörigkeit 0,6 (c) Schlussfolgerung der gesamten Regeln Abbildung 13: Inferenzdiagramm Jetzt muss man diese unscharfen Werte wieder in reale Werte konvertieren. Diesen Abschnitt des Prozesses nennt man Defuzzifizierung. 3.3 Defuzzifizierung In der Defuzzifizierung muss man es nun schaffen, die Fuzzifizierung umgekehrt ablaufen zu lassen. Dazu braucht man alle Ereignisse die aus dem Inferenzschema entstehen und bildet diese wieder in einem Singleton- Diagramm ab. Vorher muss man jedoch den Schwerpunkt der Gesamtschlussfolgerung unserer Regelbasis finden. Dies entspricht dem Mittelwert der Gesamtfläche in Abbildung 13(c). Der Schwerpunkt einer Fläche lässt sich durch folgende Formel berechnen. Mathematisch: x s = 1 xda A A 11

13 (a) Schwerpunkt von A (b) Singleton Diagramm von (a) Abbildung 14: Schwerpunkt Die Berechnung des Schwerpunktes bringt mich zum Ende des Fuzzy Prozesses. Der Schwerpunkt beschreibt den realen Wert, den gesuchten Ausgang(Output). Diesen Wert kann man jetzt an eine Steuerung übergeben. Diese kann dann die Maschine oder den Prozess nach den gewünschten Regeln einstellen. Natürlich wird diese Theorie täglich in der Praxis umgesetzt. Das können alltägliche Dinge sein, wo man die Fuzzy Logik gar nicht vermutet. Deswegen gebe ich noch einen umfangreichen Ausblick auf ein spezielles Anwendungsgebiet. 12

14 4 Spezielles Anwendungsgebiet Die Fuzzy Logik wird in den verschiedensten Anwendungsbereichen verwendet. Wie zum Beispiel in der Automatisierungstechnik Automobiltechnik Betriebswirtschaft Bildverararbeitung Konsumelektronik Künstliche Intelligenz Medizintechnik Neuronale Netze Regelungstechnik Sprachbeschreibung um nur einige zu nennen. Ich möchte mich hingegen auf das Anwendungsgebiet der Regelungstechnik beschränken. 4.1 Regelungstechnik Ich möchte ein relativ einfach scheinendes Beispiel aus der Regelungstechnik zeigen: Das Aufpusten eines Ballons mit einer Luftballon-Aufblasmaschine. Auf dem ersten Blick erscheinen die vorkommenden Ereignisse sehr trivial zu sein. Allerdings gibt es beim Aufblasen des Ballons eine kleine Schwierigkeit, die ein mathematisches Modell sehr komplex werden lässt.(quelle: Drösser, Christoph: Fuzzy-Logik Methodistische Einführung in krauses Denken, Rowohlt, Hamburg, 1994) Angenommen, ein mathematisches Modell würde einen Grenzwert für den Druck eines Ballons errechnen. Die Ballon-Aufblasmaschine soll aufhören zu pusten, wenn der Ballon diesen Druck erreicht hat. Die Problematik hierbei ist aber, das der Anfangsdruck den man zum Aufpusten eines Ballon benötigt, höher ist, als der Druck der den Ballon zum Platzen bringt. Abbildug 15 zeigt gut, wie das Verhältnis zwischen Druck und Luftmenge, bei Luftballons verschiedener Größe, zusammenspielt. A, B und C seien Luftballons. A ist ein kleiner Luftballon, B ist mittelgroß und C groß. Die Abbildung 15: Zusammenhang Größe/Luftmenge/Innendruck Funktionen der Luftballons beschreiben jeweils das Verhältnis zwischen Luftmenge und Luftdruck. Man erkennt mit einem Blick, dass dieses System nicht linear ist. Dadurch ist es ein sehr gutes Anwendungsbeispiel für die Fuzzy-Logik. Es verlangt nach Definition, also einer Fuzzifizierung der Eingänge. Doch was sind in diesem Beispiel eigentlich die realen Eingangswerte? Nach kurzem überlegen ist die Antwort gefunden. Die unscharf abzubildenen Werte sind zum Einen der Druck, der auf die Gummiwand der Ballons drückt und zum Anderen die Luftmenge die in den Ballons ist. 13

15 Ein Regelungstechniker, der ohne Fuzzy-Logik diese Maschine modellieren wollte, würde wahrscheinlich die Gummiausdehnung mit einbeziehen. Welche sich auch berechnen lässt. Diese benötigen wir zur Modellierung in diesem Beispiel nicht. Man unterteilt stattdessen unseren Druck und die Luftmenge in Fuzzy Begriffe: hoher Druck, mittelhoher Druck, niedriger Druck, große Luftmenge, mittelgroße Luftmenge und kleine Luftmenge. Durch die beiden Diagramme (a) (b) Abbildung 16: Fuzzifizierung Luftmenge/Luftdruck wird schnell klar, dass man den Druck und die Luftmenge nun in fuzzifizierter Form dargestellt hat. Hierbei kann man, wie schon in dem Prozess der Fuzzy-Logik deutlich gemacht, eine Zugehörigkeitsfunktion zu den jeweiligen Fuzzy Mengen finden. Ab wann platzt denn nun ein Ballon und wann muss man das Pusten der Maschine stoppen? Auch diese Frage ist schnell geklärt. Man stellt sich vor, dass die Luftballon-Aufblasmaschine standardmäßig an ist und Luft in den Ballon pustet bis die Maschine den Stopp-Befehl bekommt. Denkt man an den Prozess der Fuzzy-Logik zurück, fällt in der chronologischen Reihenfolge der Begriff Inferenz ins Auge. Doch was sagt er gleich aus. Inferenz bedeutet Schlußfolgerung und diese kann man durch Regeln erhalten. Also muss man für das System eine Regelbasis aufstellen und anwenden. Würde man jetzt alle Regeln aufstellen, die die verschiedenen Zustände und ihre Schlußfolgerungen beschreiben, könnte man bis zu 18 Regeln aufschreiben. Ich möchte unsere Modellierung einfach halten, deshalb verwende ich weniger Regeln. Da man festgelegt habt, dass die Aufblasmaschine standardmäßig läuft muss man nur die Regeln betrachten, die die Maschine zum stoppen bringen. Anhand der Abbildung 15 kann man ein Kriterium finden, ab wann so ein Ballon eigentlich platzen würde. Ist die Luftmenge in den Ballons klein, soll die Maschine generell nicht stoppen, obwohl der Druck sehr stark ist. Diese entsteht durch den gewählten Anfangsdruck, der überwunden werden muss. Bei einer mittelgroßen Luftmenge und hohem Druck, was wieder fuzzige Werte sind, würden die kleinen und mittelgroßen Ballons anfangen zu platzen. Also muss man hier die erste Regel aufstellen. Regel 1: WENN die transportierte Luftmenge mittelgroß und der Innendruck hoch ist, DANN höre auf zu pusten! Also wendet man das gelernte Inferenzschema auf dieses Beispiel an. Doch was ist nun mit dem großen Ballon? Wenn die Luftmenge mittelgroß ist und der Innendruck hoch ist, wird er noch nicht platzen. Der große Ballon platzt erst bei einer großen Luftmenge, wobei der Druck nur mittelhoch ist. Also leitet man aus dieser Tatsache unsere zweite Regel ab. Regel 2: WENN die transpotierte Luftmenge groß und der Innendruck mittelhoch DANN höre auf zu pusten! 14

16 Dies sind auch schon alle unsere Regeln die benötigt werden, um die Luftballon-Aufblasmaschine zu stoppen. In allen anderen Fällen soll sie nicht aufhören den Ballon aufzupusten. Diese Regeln sind nun sehr stark vereinfacht, um deutlich zu machen, wie einfach ein System mit der Fuzzy- Logik zu beschreiben ist. Wenn dieses System genauer betrachtet wird, stellt man fest das der Ausgang entweder pusten oder nicht pusten ist. Außerdem müsste jede Ballongröße ihre eigenen Regeln besitzen. Angenommen, in dem neuen System werden alle Regeln berücksichtig, so kann man den Fuzzifizierungsprozess abarbeiten. Denn die Größen der Luftmengen und die des Innendrucks möchte man beibehalten. Um einen besseren Einblick zu erhalten, wird der kleine Luftballons ausgewählt. Diese platzen bei hohem Druck und fast mittelgroßer Luftmenge. Dies wird an mehreren Diagrammen veranschaulicht. In dieser Abbildung sieht man den Prozess der Fuzzifizie- Abbildung 17: Fuzzifizierungsprozess rung für das Anwendungsbeispiel. Im oberen Bildbereich ist die Zugehörigkeit der Luftmenge zu sehen. Diese wird benötigt, wenn zufällig ein Wert für Druck und Luftmenge eines kleinen Luftballons ausgewählt wird. Diese Zugehörigkeit bildet dann, wie es aus der Theorie bekannt ist, eine Fuzzymenge. Diese Fläche wird zusammen mit der Menge, die man aus dem unterem Teil des Bildes erhält, zusammen auf einem Mengenbereich abgebildet. In der Mitte der Grafik erkennt man diesen zusammengesetzten Mengenbereich. Von diesem Bereich wird der Schwerpunkt gebildet, damit man die fuzzigen Mengen wieder in reale Werter zurückwandeln kann. Nun nimmt man den Schwerpunkt, der sich aus den Fuzzy Mengen des Drucks und der Luftmenge ergibt, und stellt ihn in Relation zu dem Ausgangssignal dar. 15

17 Abbildung 18: fuzziges Ausgangssignal mit Schwerpunkt aus Druck und Luftmenge Die Abbildung( 18 ) zeigt das Ausgangssignal in fuzzifizierter Form. Dadurch kann man den Zugehörigkeitsgrad der Dreieck- und Trapezfunktion mit Hilfe des gebildeten Schwerpunktes bestimmen. Wenn man jetzt eine Weile auf das Diagramm schaut, erkennt man automatisch welche Menge zu unserem Ausgangssignal gehört. Von dieser ist nun nur noch der Schwerpunkt zu berechnen und dann kann die Luftballon-Aufblasmaschine fleißig pusten. ABER Woher weiß man überhaupt, ob das System in der Realität funktionieren wird? Kann es nicht sein, dass ein paar der Luftballons zerplatzen? Diese Frage kann man eindeutig mit ja beantworten. Das hängt mit den definierten Fuzzy Sets und deren Zugehörigkeitsgrad zusammen. Allgemein hängt es auch mit dem Experten zusammen, der die Regeln des Systems erstellt. Wie in den Grundlagen schon festgestellt wird, hängt das mit der subjektiven Erfahrung und dem Expertenwissen unmittelbar zusammen. Daraus folgt, dass die Qualität des Modells stark vom Modellierer abhängt. Ob dieses Modell in der Realität funktioniert, kann man z.b. durch Simulationsumgebungen herausfinden. Leider bleibt zur Realisierung immer noch ein gewisses Restrisiko. Auch wenn die Fuzzy Logik zur mathematischen Logik relativ ungenau ist, kann man durch die fuzzifizierte Vereinfachung der Ausgangsregeln funktionierende komplexe Modelle beschreiben. 16

18 5 Fazit An meinem Beispiel der Luftballonaufblasmaschine sieht man, dass selbst einfachste Prozesse einen hohen Grad an Komplexität annehmen können. Durch dieses einfache Beispiel, sollte man gut erkennen können, wie die Fuzzy-Logik arbeitet. In der realen Welt sind die Anwendungen sehr viel komplexer, als es in dem Beispiel dargestellt wird. Der Nachteil von mathematischen Modellen ist die hohe Komplexität mit dem Vorteil der Genauigkeit. Abbildung 19 verdeutlicht den Zusammenhang zwischen der Systemkomplexität und der Modellgenauigkeit. Um so genauer die Anforderungen an ein System ist, desto schwieriger wird das Handling der Systemumgebung. Mit mathematischen Gleichungen kann man eine hohe Genauigkeit erzielen. Die Leistungsfähigkeit nimmt jedoch rapide ab. Mit modellfreien Methoden, wie neuronale Netze und Fuzzy Logik, kann das Wissen über Systemverhalten und Zusammenwirkungen die Komplexität reduzieren. Ist es nicht so, dass sich die Komplexität eines Systems reduziert, um so mehr man darüber weiß? Durch die statischen Inferenzregeln ist die Fuzzy-Logik im gewissen Abbildung 19: Verhältnis von Systemkomplexität und Modellgenauigkeit (Quelle: Hamid R.Tizhoosh, Fuzzy- Bildverarbeitung) Maße begrenzt. Hat man einmal ein Modell entwickelt, ist es schwer es an veränderte Bedingungen anzupassen. An der Stelle stößt die Fuzzy Logik schnell an ihre Grenzen. In dem Sinne, dass die einmal festgetzten Regeln nicht mehr der Realität entsprechen. Durch Neuronale Netze können Fuzzy Systeme lernen. Sie passen sich Ihrer Umgebung bis zu einem gewissen Grad an. Das wird beispielsweise in der Robotik genutzt. Auf diesem Gebiet der Wissenschaft versuchen Forscher intelligente Roboter zu programmieren. Dabei spielt die Fuzzy-Logik in Kombination mit Neuronalen Netzen eine sehr große Rolle. Diese Entwicklung stellt einen sehr großen Fortschritt für wirtschaftliche Anwendungen dar. Der unscharfe Fortschritt. 17

19 6 Literaturverzeichnis Dassow, J.: Logik für Informatiker. B.G. Teubner, Stuttgart, 2005 Drösser, Christoph: Fuzzy-Logik Methodistische Einführung in krauses Denken, Rowohlt, Hamburg, 1994 Schulte, Ulrich: Einführung in die Fuzzy-Logik Fortschritt durch Unschärfe, Franis, München, 1993 Tizhoosh, Hamid R.: Fuzzy-Bildverarbeitung Einführung in die Theorie und Praxis, Springer, Berlin, 1998 Traeger, Dirk H.: Einführung in die Fuzzy-Logik, Teubner, Stuttgart, 1993 Zimmermann, Hans-Jürgen u. Constantin v. Altrock: Bd.2 Anwendung, Ouldenbourg, München,