Maturaarbeit Oktober Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier

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1 Maturaarbeit Oktober 2017 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Name, Vorname, Klasse: Egger Mike, S4d Betreuende Lehrperson: Jürg Neuenschwander

2 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 2 Inhaltsverzeichnis 1. Vorwort Abstract Einleitung Geschichtlicher Hintergrund (Optionenhandel in der Schweiz) Optionen Unterschied zwischen amerikanischen und europäischen Optionen In-the-money, at-the-money und out-of-the-money Wahl der Ausübungsperiode Kauf einer Call-Option Kauf einer Put-Option Absichern eines Aktiendepots Volatilität Implizite Volatilität im Vergleich zum S&P-500-Index Implizite Volatilität im Vergleich zur realisierten Volatilität Black-Scholes-Modell Unterschied zwischen Marktpreis und errechnetem Preis Optionspreis Optionspreis in Abhängigkeit der Restlaufzeit Mathematische Erklärung Berechneter Optionspreis gegen Ende Laufzeit mit realem Beispiel vergleicht Optionspreis in Abhängigkeit der impliziten Volatilität Mathematische Erklärung Optionspreis in Abhängigkeit des Underlyings Mathematische Erklärung Konklusion... 34

3 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite Verzeichnisse Quellenverzeichnis Abbildungsverzeichnis Anhang Standardnormalverteilungs-Tabelle Daten der Abbildung Daten der Abbildung Daten der Abbildung Daten der Abbildung

4 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 4 1. Vorwort Die Börse hat mich schon immer interessiert und aus diesem Grund habe ich für meine Maturaarbeit das Thema Optionen gewählt. Das Interesse an der Börse kommt vor allem daher, weil ich meinen Grossvater in meiner Kindheit öfters über Aktien sprechen hörte. Als ich älter wurde, verstand ich mehr oder weniger wie Aktien funktionieren und wie es möglich ist, viel Geld damit zu erwirtschaften. Ich begann mit kostenlosen Brokern, die es ermöglichten, mit einem Demokonto ohne echtes Geld Aktien zu kaufen. Auf diese Art konnte ich verfolgen, wie sich damit ein Gewinn erzielen lässt. Dies tat ich für mehr als ein Jahr. Als dann die Themenwahl für die Maturaarbeit anstand, sah ich dies als perfekte Gelegenheit, mich mehr mit diesem Thema zu befassen und dann auch ein echtes Tradingkonto zu eröffnen. Mir wurde schnell klar, dass mein Kapital viel zu klein für Aktien ist. Nach Absprache mit Herrn Neuenschwander, der mich während der Maturaarbeit betreute, änderte ich das Thema: Statt mit Aktien befasste ich mich mit Optionen. Optionen ermöglichen es, auch mit kleinem Kapital einen grösseren Gewinn zu erzielen. Da Optionen ein grosses Gebiet sind, habe ich mich auf die Absicherung und den mathematischen Hintergrund der Optionen konzentriert, da mir Mathematik sehr gefällt und ich somit beides Börse und Mathematik unter einen Hut bringen konnte. An dieser Stelle möchte ich mich bei meiner Betreuungsperson Herrn Neuenschwander bedanken. Er half mir bei der Themenfindung und vor allem bei der Einschränkung des breiten Themengebiets Optionen. Er nahm sich auch immer Zeit für mich, um meine Gedankengänge anzuhören und mit mir darüber zu diskutieren. Bedanken möchte ich mich auch bei Herrn David Zimmermann vom Vermögenszentrum Zürich. Herr Zimmermann stand mir bei all meinen Fragen zur Seite und liess mir Daten von Bloomberg für Vergleiche zukommen. Ein grosses Dankeschön auch an Herrn Daniel Kukan von der Zürcher Kantonalbank, der mir ebenfalls Daten für meine Maturaarbeit lieferte. Für das Korrekturlesen möchte ich Frau Irene Portmann danken, welche sich Zeit genommen hat, die Arbeit zu korrigieren. Natürlich möchte ich auch noch meiner Familie und meinen Freunden danken, welche mich motiviert und unterstützt haben.

5 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 5 2. Abstract Das schnelle Geld zu machen ohne viel Arbeit zu leisten, ist meiner Meinung nach ein Wunsch vieler Menschen, wie auch meiner. Ich kam zum Schluss, dass dies durch die Börse womöglich machbar sein könnte. Da man im Alter von achtzehn Jahren nicht viel Eigenkapital zur Verfügung hat, braucht man Finanzinstrumente, welche eine Hebelwirkung haben und welche es erlauben, mehr zu kaufen, mit wenig Geld. Dies ist aber leider auch mit mehr Risiken verbunden. Optionen haben diese Hebelwirkung und ausserdem ist von Anfang an klar, wie hoch der maximale Verlust sein wird. In diesem Bereich habe ich den Optionspreis gegen Laufzeitende untersucht, und zwar mit Hilfe des Black-Scholes-Modells. Ausserdem habe ich die implizite Volatilität mit der realisierten Volatilität der letzten zehn Jahre verglichen und den Zusammenhang der impliziten Volatilität und der Index-Kursentwicklung gegenübergestellt. Diese Gegenüberstellungen waren möglich, weil mir ein Experte dabei behilflich war: Er konnte die Daten aus Bloomberg ziehen, so dass ich nicht alles einzeln rausschreiben musste. Die Auswertung dieser Daten ergab, dass eine tiefe implizite Volatilität eine steigende Kursentwicklung zur Folge hat und man somit davon ausgehen kann, dass bei tiefer impliziter Volatilität der Kurs steigen wird. Jedoch kann man nicht immer auf das gehen, das wichtigste beim Kauf einer Option ist die eigene Zukunftserwartung. Ausserdem habe ich mit Hilfe von Put-Optionen ein Aktiendepot absichern können, um den Wert der Aktien nicht zu verlieren.

6 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 6 3. Einleitung Dass man mit Aktien extrem reich werden kann dafür gibt es einige Beispiele im Internet. Es heisst sogar, dass dies manchmal innerhalb von einer Woche machbar ist. Natürlich ist dies sehr unrealistisch. Doch es gibt trotzdem Menschen, die zumindest über einen längeren Zeitraum einen hohen Gewinn erwirtschaften konnten. Viele kennen zwar den Begriff Börse, jedoch ist nicht klar, wie dieser genutzt wird und welche verschiedenen Finanzinstrumente es gibt. Auch wissen die Wenigsten, wie eine Wertschrift genau funktioniert und wie es möglich ist, durch diese Wertschrift Geld zu verdienen. Da dieses Gebiet extrem vielfältig ist, habe ich meinen Fokus auf das Finanzinstrument Aktienoption gelegt. Diese Art des Handels ist vorteilhaft, wenn man nicht viel Eigenkapital hat oder nicht zu viel Eigenkapital investieren möchte, um grosse Verluste zu vermeiden. Trotzdem ist es möglich, mit kleineren Investitionen hohe Gewinne zu realisieren. In meiner Maturaarbeit möchte ich erläutern, wie diese Aktienoptionen genau funktionieren und wieso trotz geringem Investment hohe Gewinne erzeugt werden können. Die Problematik meiner Arbeit ist, dass man den Kursverlauf des Underlyings 1 nicht wirklich voraussagen kann und man somit nicht weiss, ob ein Kurs steigen oder sinken wird, denn es gibt viele Einflüsse, die in der Zukunft passieren, die aber nicht vorhersehbar sind. Trotzdem gibt es Möglichkeiten, gewisse Tendenzen vorherzusagen. Zu diesem Zweck habe ich die implizite Volatilität mit einer Index-Kursentwicklung verglichen und auch die implizite Volatilität mit der realisierten Volatilität. Um herauszufinden, ob die von den Börsen bereitgestellten Optionspreise gerechtfertigt sind, habe ich diese mit dem Black-Scholes-Modell verglichen. Ausserdem möchte ich mit dem Black-Scholes-Modell zeigen, warum gegen Ende der Optionslaufzeit der Zeitwert sinkt. 1 Underlying auch Basiswert genannt, ist das Finanzinstrument, das einem Derivat wie einer Optionen zugrunde liegt (Quelle: In diesem Fall ist der Basiswert die Aktie.

7 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 7 4. Geschichtlicher Hintergrund (Optionenhandel in der Schweiz) Optionen sind ein wichtiges Finanzinstrument in der modernen Wirtschaftsökonomie. Die Entstehung der Optionen ist nach Martin Egli (2001: p. 12) durch das Hedgingbedürfnis 2 der Individuen zu erklären, denn die stark volatilen Preise der Agrarprodukte, die früher stark im Mittelpunkt standen, konnten zum Ruin gewisser Bauern führen. Und um dieses Risiko eindämmen zu können, begann man zum Beispiel mit frühzeitigem Ernteverkauf eines Weizenfarmers an seine Händler, um sich gegen fallende Weizenpreise abzusichern (Egli, 2001: p. 12). Dem Hedging folgend kam dann auch das Trading 3 ins Spiel, da man mit den Termingeschäften durch die Kauf- und Verkaufsmöglichkeiten Gewinn erwirtschaften kann. (vgl. Egli, 2001: p. 12) In den Achtziger- und Neunzigerjahren war nach Moritz Adelmeyer (2000: p. 3) das Handeln mit Optionen in der Schweiz in grossem Umfang möglich und im Jahr 1988 war das Handeln von Optionen an einer Schweizer Optionenbörse möglich, wobei zu dieser Zeit Optionen nicht wirklich als essentielle Finanzinstrumente galten (vgl. Adelmeyer, 2000: p. 3) Am 27. Februar 1995 änderte sich jedoch das Desinteresse an Optionen, als ein Mann namens Nick Leeson aus England es schaffte, die Privatbank Barings im Alleingang in den Bankrott (Adelmeyer, 2000: p. 3) zu treiben. Leeson arbeitete damals für Barings und verkaufte in grossen Mengen Put-Optionen auf die zukünftige Entwicklung des Nikkei-Index 4 (Adelmeyer, 2000: p. 3). Leeson rechnete mit einer Stabilität des Nikkei-Indexes oder einem Anstieg, damit er die Prämie kassieren konnte. Das Problem war aber, dass der Nikkei-Index sank und Barings eine Milliarde verlor; das wiederum führte die Privatbank in den Ruin. Der wesentliche Fehler war folgender: Barings kontrollierte die Händler nicht und liess diese ohne Einschränkungen frei Geschäfte tätigen, was einen Gewinn jedoch auch einen Verlust ins Unermessliche gehen lassen kann. (vgl. Adelmeyer, 2000: p. 3) 2 Beim Hedging geht es um das Absichern von risikoreichen Finanzgeschäften. 3 Im Gegensatz zum Hedging geht es beim Trading um den Handel mit überwiegend spekulativen Motiven (Egli, 2001: p. 12). 4 Der Nikkei-Index ist der japanische Börsenindex.

8 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 8 5. Optionen Eine Option ist ein zweiseitiger Vertrag, welcher an der Börse gehandelt wird. Die zwei verwickelten Vertragspartner werden bei einem Optionsvertrag Stillhalter 5 und Optionär genannt. Der Stillhalter ist der Verkäufer einer Option und der Optionär ist folglich der Käufer. Die Optionen sind bedingte Termingeschäfte, welche an der Börse gehandelt werden. (vgl. Egli, 2001: p. 40) Sie heissen Termingeschäfte, weil sie ein Ablaufdatum haben, an dem man die Option entweder ausübt oder ablaufen lässt. Dieses Recht hat jedoch nur der Optionär, der Stillhalter muss warten bis sich der Optionär entscheidet die Option auszuüben oder sie ablaufen lässt. Diese asymmetrische Vertragskonstruktion muss sich der Optionär mit der Optionsprämie erkaufen (Egli, 2001: p. 40). Interessant ist der Erwerb von Aktienoptionen vor allem deshalb, weil man mit wenig Kapital viel Gewinn erwirtschaften kann. Es muss nur der Optionspreis bezahlt werden, welcher zum Vergleich zu einer Aktie viel niedriger ist, um am Steigen einer Aktie Profit zu machen. Damit ein Optionsgeschäft getätigt werden kann, müssen folgende Punkte gewährleistet sein, - Bestimmung des Basisgutes - Bestimmung des Zeitraumes - Bestimmung der Menge des zugrundeliegenden Basiswertes (Underlyings) - Festgelegter Strikepreis - Festgelegter Optionspreis - Call oder Put Kauf - Besitz bei Vertragsabschluss des Basisgutes ist nicht notwendig, erst wenn es gefordert wird (vgl. Egli, 2001: p. 41). Optionen werden aus zwei Gründen genutzt, einerseits zu Spekulationszwecken (Call-Option), andererseits zu Versicherungszwecken, auch Hedging genannt (Put-Option). Diese beiden Komponenten von Optionen werden im Kapitel 5.4 und 5.5 weiter erläutert. Die Kauf Option Call gibt dem Optionär das Recht, ein Underlying zu einem vorher abgemachten Preis, über einen bestimmten Zeitraum zu kaufen. Bei der Verkauf Option Put hat der Optionär das Recht, den Underlying zu einem vorher abgemachten Preis über einen bestimmten Zeitraum zu verkaufen. Der im Vorhinein abgemachte Preis wird Strikepreis oder auch Ausübungspreis genannt. (vgl. Hull, 2015: p. 32) 5 Der Stillhalter kann auch Optionsschreiber genannt werden.

9 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 9 Überblick der Geschäftsarten: Abbildung 1 Überblick der Geschäftsarten 5.1 Unterschied zwischen amerikanischen und europäischen Optionen Man unterscheidet zwischen amerikanischen und europäischen Optionen. Bei amerikanischen Optionen handelt es sich um Optionen, die während eines abgemachten Zeitraumes zu jeder Zeit ausgeübt werden können. Bei den europäischen Optionen handelt es sich dagegen um Optionen, welche nur an einem bestimmten Zeitpunkt ausgeübt werden können, was zu einem Nachteil gegenüber der amerikanischen Art führt. Aus diesem Grund werden heutzutage mehrheitlich Optionen vom amerikanischen Typ bevorzugt. Die Namensgebung hat aber keine geografische Bedeutung, man kann amerikanische Optionen auch in Europa kaufen und umgekehrt. (vgl. Daume, 2009: p. 38) 5.2 In-the-money, at-the-money und out-of-the-money Ob es profitabel ist eine Option auszuüben, wird mit den drei Begriffen in-the-money, at-themoney und out-of-the-money beschrieben. Diese Begriffe sagen nämlich aus, ob eine Option im Gewinnbereich, im neutralen Bereich oder im Verlustbereich ist. Optionen sind in-themoney, wenn die Option einen inneren Wert hat, dieser setzt sich aus der Differenz zwischen Underlying und Strikepreis zusammen. Von at-the-money spricht man, wenn der Strikepreis den gleichen Wert hat wie der Underlying, was bedeutet, dass kein Gewinn und kein Verlust

10 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 10 realisiert wurde. Bei at-the-money ist der innere Wert negativ und man bewegt sich im Verlustbereich. (vgl. Egli, 2001: pp. 44ff) 5.3 Wahl der Ausübungsperiode Um das richtige Verfallsdatum einer Option zu finden, ist es essentiell, den vergangenen Kurs des Basisgutes, welches man beabsichtigt mit einer Option zu kaufen zu observieren, denn mit dieser kann man die Volatilität des Basisgutes pauschal konstatieren. Bei hoher Volatilität ist eine kürzere Optionslaufzeit zu empfehlen, da in kürzerer Zeit viel passieren kann und man somit auch von einem günstigeren Optionspreis profitieren kann, wenn man eine kürzere Laufzeit hat. Bei hoher Volatilität eine lange Laufzeit zu wählen, könnte wegen der hohen Prämie unrentabel sein. Die hohe Prämie kommt aus der langen Laufzeit und hoher Volatilität zustande, welche für den Stillhalter ein grosses Risiko bedeutet. Daraus kann man schliessen, dass hohe Volatilitäten für kürzere Laufzeiten stehen und tiefe Volatilitäten für längere Laufzeiten, da es sonst schwer wäre nur schon in den Breakeven 6 Bereich zu gelangen. Am elementarsten aber sind die persönlichen Zukunftsaussichten des Kursverlaufes. Wenn man davon ausgeht, dass die Option schnell steigen wird, weil man zusätzliche Infos hat, welche nicht im Kursverlauf ablesbar sind, ist es gut möglich, dass die persönliche Zukunftsaussicht über der Volatilität steht und man somit trotz kleiner Volatilität eine kurze Ausübungsperiode wählen sollte. 5.4 Kauf einer Call-Option Optionen, die das Recht zum Kauf eines Gutes geben, heissen Call-Optionen (Adelmeyer, 2000: p. 7). Diese Art von Option wird angewendet, wenn man von einem Preisanstieg des Basiswertes ausgeht, deswegen werden Call-Optionen nur aus einem Grund gekauft, nämlich zum Spekulationszweck. Jede Option hat einen Preis, den Optionspreis, welchen man bezahlen muss wenn man eine Option erwerben möchte. Dieser Preis variiert je nach Rentabilität der Option. Der Vorteil einer Option gegenüber einer Aktie ist, dass der Optionspreis viel tiefer ist als die Aktie selbst, das heisst, wenn eine Aktie den Basiswert 100 CHF hat, muss man pro Aktie 100 CHF besitzen, jedoch wenn man eine Aktienoption kaufen möchte, muss man zum Beispiel nur 1 CHF besitzen, um an einem Aktienanstieg profitieren zu können. Auf diese Weise ist es möglich, mit kleinem Eigenkapital einen grossen Gewinn zu realisieren. 6 Die Gewinnschwelle, auch Nutzenschwelle genannt, ist erreicht, wenn der Erlös gleich hoch ist wie die Kosten. Man macht weder Gewinn noch Verlust.

11 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 11 Je höher der Strikepreis 7 ist, auch Ausübungspreis genannt, desto höher ist der Hebel, da ein höherer Strikepreis einen tieferen Optionspreis zur Folge hat und man somit mehr Optionen kaufen und so einen grösseren Profit realisieren kann. Der Gewinn setzt sich bei steigendem Marktpreis aus dem Underlying minus dem Strikepreis und abzüglich des Optionspreises zusammen. Dieser Bereich, bei dem man die Gewinnschwelle übertritt, wird auch Break-evenpoint genannt. Der maximale Verlust bei dieser Art von Optionsgeschäft ist der festgelegte Optionspreis. Durch den Erwerb einer Call-Option kommen automatisch Rechte und Pflichten mit, für die man sich verpflichtet. Einerseits hat man das Recht ein Kauf des Basiswertes zum Strikepreis zu erwerben, andererseits hat man die Pflicht, den Optionspreis, welche vom Stillhalter gewählt wurde, zu bezahlen. Pay-off-Diagramm Call-Option: Abbildung 2 Pay-off-Diagramm Call-Option In diesem Diagramm erkennt man, ab wo man in den Gewinnbereich gelangt. Der Gewinnbereich wird erreicht, wenn der Underlying den Strikepreis erreicht hat und der Optionspreis gedeckt ist. Ausserdem ist klar ersichtlich, dass bei einem Sinken des Underlyings der maximale Verlust durch den Optionspreis eingeschränkt wird. 7 Der Strikepreis ist der im Vorhinein abgemachte Preis, zu dem eine Option ausgeübt werden darf

12 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite Kauf einer Put-Option Im Gegensatz zu den Call-Optionen geht man bei Put-Optionen davon aus, dass die Kurse fallen werden. Das Gewinnmaximum wird erreicht, wenn die Aktie, auf der eine Option läuft, beim Verfallszeitpunkt wertlos ist. Der maximale Verlust beschränkt sich auf den Optionspreis, den man im Vorhinein kauft. Das ist der spekulative Aspekt von Put-Optionen. (vgl. Hull, 2015: pp. 277f) Ein anderer Grund Put-Optionen zu kaufen, ist zu Versicherungszwecken. Zum Beispiel, wenn man im Besitz einer Aktie ist, welche ununterbrochen sinkt und man keine Aussicht auf einen steigenden Kurs hat, ist eine Put-Option eine Möglichkeit, den Verlust einzuschränken. Um dieses Vorgehen zu verdeutlichen, folgt ein praktisches Beispiel einer Depotabsicherung in Kapitel 6. Pay-off-Diagramm Put-Option: Abbildung 3 Pay-off-Diagramm Put-Option In diesem Diagramm ist klar ersichtlich, dass bei einem Anstieg des Underlyings kein Gewinn zu erwarten ist, man verliert lediglich den Optionspreis. Bei einem Sinken den Underlyings kommt man in den Profitbereich, sobald der Underlying genügend fällt. Diese Eigenschaft von Put-Optionen ermöglicht es ein Aktiendepot abzusichern.

13 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite Absichern eines Aktiendepots Um ein Aktiendepot erfolgreich Absichern zu können, gibt es divergierende Finanzinstrumente. Eines der Finanzinstrumente, mit dem sich ein Aktiendepot vollumfänglich absichern lässt, ist das Kaufen von Put-Optionen derjenigen Aktie, bei welcher man eine schlechte Zukunftsaussicht hat. So sichert man sich gegen ein Fallen der Aktie ab. Ob man das ganze Aktiendepot absichern möchte oder nur einen Teil davon, hängt von der individuellen Abschätzung der Gefahr ab. Zuerst muss man sich fragen, für welchen Zeitraum man sein Aktiendepot absichern möchte. Dabei gilt es zu beachten, dass es umso teurer wird, je länger man das Aktiendepot absichern möchte. Diese teurere Versicherung durch eine längere Laufzeit kommt dadurch zustande, dass der Optionsschreiber ein grösseres Risiko eingeht, indem er länger auf das Ausüben der Option warten muss. Der Optionspreis wird nicht nur durch eine lange Laufzeit teurer, sondern auch durch eine erhöhte Volatilität was später in den Kapiteln 7 und 9.2 näher erläutert wird. Der zweite Punkt, den man beachten sollte, bezieht sich auf den Umfang der Absicherung. Entweder kann das gesamte Aktiendepot oder nur ein Teil davon abgesichert werden. Eine Teilabsicherung hat den Vorteil, dass sie um einiges günstiger ist, das heisst, wenn man nicht von einem totalen Börsencrash ausgeht, kann man sich auch für eine Teilversicherung entscheiden. (vgl. Focus-Money, 2012: p. 37) Wenn man sich über die zwei genannten Punkte im Klaren ist, muss man ausrechnen wie viele Put-Optionen man erwerben muss, damit die Versicherung des Aktiendepots erfolgreich sein wird. Um die richtige Anzahl zu berechnen, braucht man einen der sechs Griechen 8, nämlich Delta. Nach dem 2012 veröffentlichten Derivate Guide wird Delta wie folgt definiert: Delta zeigt die absolute Veränderung des Optionspreises für eine gegebene Preisveränderung des Basiswertes um eine Einheit (Derivate Guide 2012, 2012: p. 20). Beim Kauf von Put-Optionen handelt es sich bei Delta um die Zahlen zwischen 0 und -1. Dabei bedeutet Delta -0.5 folgendes: Wenn der Underlying um eine Einheit steigt, nimmt der Optionspreis nur um -0.5 an Wert zu. (vgl. Derivate Guide 2012, 2012: p. 20) Wenn Delta -0.5 beträgt, ist die Option at-the-money und wenn Delta sich in Richtung -1 bewegt, ist die Option in-the-money. Out-of-the-money ist die Option, wenn sich Delta in Richtung 0 bewegt. Wenn man ein Aktiendepot mit einem Kauf einer Put-Option absichern möchte, welche ein Delta von -0.5 hat, braucht man doppelt so viele Optionen wie man Aktien hat, um eine 8 Die Sensitivität des Optionspreises wird anhand der griechischen Buchstaben gemessen.

14 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 14 vollkommene Versicherung des Aktiendepots zu erreichen. Da sich der Wert der Option nur um 0.5 verändert, während sich der Wert einer Aktie um eine ganze Einheit verändert, braucht es für die Kompensation doppelt so viele Optionen wie Aktien. Aktiendepot: Absicherung mittels Kauf von Put-Option: Kapital: 90'000 Aktie: Swiss Re Anzahl Aktien: 1000 Einstandskurs: 90 Delta: Optionsprämie: 2.38 Strikepreis: 90 Underlying: 90 Laufzeit: bis (Quelle: Swissquote) Das Ziel dieser Depotabsicherung ist, das gesamte Depot absichern zu können. Der Grund: Bei einem Börsencrash wäre eine Teilabsicherung ungenügend. Um jetzt ein Aktiendepot, welches nur aus Swiss Re-Aktien besteht, vollkommen absichern zu können, muss man Put- Optionen auf Swiss Re-Aktien kaufen. Den Strike wähle ich bei 90, da der Einstandskurs der Aktie bei 90 war und ich somit alles was unter 90 fällt abgesichert habe. Die Gültigkeit geht bis zum , damit die Absicherung nicht zu teuer wird. Wenn es jetzt an der Börse verschiedene Optionspreise für die gleiche Laufzeit und den gleichen Strikepreis gibt, wählt man diejenigen mit dem tiefsten Optionspreis, um eine möglichst kostengünstige Absicherung zu generieren. Damit bei einem Rückgang der Swiss Re-Aktie die Option den Verlust kompensieren kann, braucht es wegen des Deltas von ca. doppelt so viele Optionen wie man Aktien besitzt. Die genaue Anzahl mit den Versicherungskosten wäre: Anzahl Aktien 9 Optionsprämie Delta Aus dieser Gleichung bekommt man die Anzahl der benötigten Optionen multipliziert mit der Optionsprämie, was schlussendlich den Wert der Absicherung ergibt. Da an der Börse nur 9 Nur Aktien derselben Art, also nur Swiss Re Aktien nicht alle verschiedenen Aktien die man evtl. im Aktiendepot hat.

15 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 15 ganze Optionen gehandelt werden, muss man wenn man eine vollkommene Absicherung haben möchte-, die berechnete Anzahl Optionen zuerst auf ganze Zahlen aufrunden und dann mit der Optionsprämie multiplizieren. Somit wäre eine Vollkasko-Versicherung des Aktiendepots realisiert. Die obige Formel ergibt in diesem Beispiel einen Wert von CHF, dies ist der Betrag, welchen man für dieses spezifische Aktiendepot bezahlen müsste. Das wären 5.4% des Aktiendepotwertes. Wenn nun die Aktie sinkt, ist die Option immer mehr in-the-money und somit steigt das Delta, was dazu führt, dass man weniger Optionen für die Absicherung braucht. Dies erkennt man, wenn man das neue Delta in die Gleichung einfügt. Das heisst, bei einem Sinken der Aktie kann man die überzähligen Put-Optionen verkaufen. Somit hat man immer die vollkommene Absicherung seines Aktiendepots. 7. Volatilität Die Volatilität einer Aktie, mit dem griechischen Buchstaben (Sigma) gekennzeichnet, bezeichnet die Kursschwankung, welche ausschlaggebend für den Optionspreis ist. Diese Schwankung liegt üblicherweise zwischen 15% und 60%. (vgl. Hull, 2015: p. 409) Eine hohe Schwankung einer Aktie bedeutet unweigerlich einen höheren Optionspreis, da die Chance grösser ist, während der Laufzeit der Option den Strikepreis zu erreichen und tiefer ins Geld zu kommen, deswegen wird sich der Optionsschreiber vor diesem Risiko absichern. Umgekehrt bedeutet eine kleinere Schwankung eine kleinere Chance, den Strikepreis zu erreichen und somit einen tieferen Optionspreis. Da es sich bei Call und Put-Optionen um das Erreichen des Strikepreises handelt, profitiert man bei beiden Strategien bei hoher Volatilität. (vgl. Derivate Guide 2012, 2012: p. 21)

16 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 16 Einfluss der Volatilität auf den Optionspreis: Abbildung 4 Einfluss der Volatilität auf den Optionsprei 7.1 Implizite Volatilität Die implizite Volatilität ist die Aktienkursschwankung, die von Händlern für die Zukunft eingeschätzt wird. Im praktischen Bereich wird diese implizite Volatilität aus dem Optionspreis mittels der Black-Scholes-Formel ermittelt. Diese zeigt auf, wie die Zukunftsentwicklung seitens des Optionsschreibers aussieht. (vgl. Hull, 2015: pp 426f) Implizite Volatilität im Vergleich zum S&P-500-Index Da die Aktienentwicklung für Aktienoptionen essentiell ist, macht ein Vergleich des S&P-500 Index 10 und der impliziten Volatilität Sinn, denn nicht nur der Basiswert einer Option, sondern auch die Volatilität ist in der Black-Scholes-Formel zum Berechnen des Optionspreises ausschlaggebend. Dadurch kann man Zusammenhänge nutzen, um die Zukunft so akkurat wie möglich zu bestimmen. 10 Der S&P-500-Index ist ein Aktienindex der die 500 stärksten amerikanischen Unternehmen umfasst.

17 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 17 Im untenstehenden Diagramm ist die implizite Volatilität und der S&P-500-Index der vergangenen zehn Jahren abgebildet. Implizite Volatilität im Vergleich zum S&P-500-Index: Implizite Volatilität S&P 500 in % S&P 500 Index Kursentwicklung Abbildung 5 Implizite Volatilität im Vergleich zum S&P-500-Index Auf der linken Seite der Abbildung ist die implizite Volatilität in Prozent dargestellt, auf der rechten Seite der S&P-500-Index und auf der horizontalen Achse sind die Jahreszahlen aufgelistet. Es lässt sich erkennen, dass meistens, wenn die implizite Volatilität steigt, die Kursentwicklung des S&P 500 Index sinkt. Daraus kann man schlussfolgern, dass eine hohe implizite Volatilität einen Rückgang des S&P 500 Index zur Folge hat und eine tiefe Volatilität einen Anstieg des S&P 500 Index nach sich zieht. Dieses Verhalten lässt sich durch das Kaufverhalten der Aktienkäufer erklären, denn wenn die Volatilität hoch ist, heisst das ja ein grosses Risiko, da man von hohen Schwankungen ausgeht und deswegen Investoren, die zum Beispiel nur auf die Dividenden ausgingen oder allgemein keine grossen Risiken eingehen wollen, die Aktien verkaufen was den Index zum Sinken bringt. Die aktuelle Sicht auf den Aktienmarkt zeigt eine tiefe Volatilität. Analog zur hohen Volatilität bedeutet das, dass viele Aktien gekauft werden, da man von einer kleinen Volatilität ausgeht. Dieser verspricht weniger Risiko und gestaltet somit einen Aktienkauf sicherer. Daraus kann man zum Optionskauf ableiten, dass wenn eine hohe implizite Volatilität vorausgesagt wird, eine Aktienoption auf Put sinnvoll wäre und bei einer tiefen impliziten Volatilität eine Call-Option am profitabelsten ist. Das bedeutet in diesem Zeitraum, in dem wir

18 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 18 uns gegenwärtig befinden, wäre auf einen Anstieg der Aktien zu setzen und zwar über eine längere Zeit hinweg Implizite Volatilität im Vergleich zur realisierten Volatilität Um zu sehen, wie genau die Zukunftserwartung mit der Realität übereinstimmt, muss man die Daten von der impliziten Volatilität mit der realisierten Volatilität vergleichen. Dieser Vergleich zeigt, wie optimistisch oder pessimistisch sich die Trader verhalten. In dem untenstehenden Diagramm ist die implizite Volatilität im Vergleich zur realisierten Volatilität der letzten 10 Jahre abgebildet. Implizite Volatilität im Vergleich zur realisierten Volatilität: Implizite Volatilität S&P 500 in % Realisierte Volatilität S&P 500 in % (annualisiert) Abbildung 6 Implizite Volatilität im Vergleich zur realisierten Volatilität Der Wert auf der vertikalen Achse steht für die implizite und realisierte Volatilität in Prozent und die horizontale Achse steht für die Jahreszahlen. Wie man sieht, sind die Zukunftserwartungen viel intensiver als in Wirklichkeit. Das lässt sich durch die pessimistische Sicht des Traders erklären, welcher den Markt viel strenger bewertet als er eigentlich ist, jedoch wird die Tendenz, ob die Volatilität steigen oder sinken wird, gut getroffen: Immer wenn die implizite Volatilität steigt, steigt auch die realisierte Volatilität ein

19 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 19 bisschen später nach allerdings nicht gleich stark. Der Grund dafür ist, dass die Trader sich den Zukunftserwartungen anpassen und somit auf die implizite Volatilität reagieren und sich so verhalten. Auffällig ist aber auch, dass die implizite Volatilität fast immer über der realisierten Volatilität steht, das bedeutet, dass sich Trader mit einer tieferen Volatilität sicherer fühlen und keine Angst haben, in diesem Bereich Geschäfte zu tätigen im Gegensatz zur hohen impliziten Volatilität, wo die realisierte Volatilität nicht nachkommt. Die heutige Sicht des Vergleiches zeigt auf, dass die implizite Volatilität mit der realisierten Volatilität ziemlich übereinstimmt, was für den Optionskauf ein sichereres Handeln bedeutet, da bei dieser Volatilität ein stetiges Steigen zu erwarten ist. (Erklärung findet man in Kapitel 7.1.1)

20 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite Black-Scholes-Modell Bevor das Black-Scholes-Modell erfunden wurde, wurden Optionspreise willkürlich nach individueller Einschätzung des Optionswertes gepreist (vgl. Adelmeyer, 2000: p. 27). Dies hat zur Folge, dass einige Optionen viel zu teuer und andere zu günstig gehandelt wurden. Daraus ergab sich das Problem, dass die teuren Optionen gar nicht erst gekauft und dass die Optionsschreiber von zu günstigen Optionen in den Ruin getrieben wurden. Das heute bekannte Black-Scholes-Modell wurde 1973 von Fischer Black und Myron Scholes nach zweimaliger Ablehnung durch reputierte Zeitschriften erstmalig veröffentlicht (Seite 56 Peggy Daume). Zur gleichen Zeit hat Robert C. Merton das gleiche Modell in einer anderen Veröffentlichung präsentiert (vgl. Daume, 2009: p. 56). P c = Optionspreis eines Calls (T-t) = Laufzeit P p = Optionspreis eines Puts σ = Volatilität S 0 = Underlying r = risikoloser Zinssatz K = Strikepreis N () = Standartnormalverteilung P c = S 0 N(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) P p = Ke r(t t) N( d 2 ) S 0 N( d 1 ) d 1 = ln (S 0 K) + (r + σ 2 2)(T t) σ T t d 2 = ln (S 0 K) + (r σ 2 2)(T t) σ T t = d 1 σ T t (Quelle: Darstellung Mike Egger in Anlehnung an (vgl. Hull, 2015: p. 420) Um die Black-Scholes-Formel für europäische Optionen zu lösen, muss man zuerst d 1 und d 2 ausrechnen. Um diese Gleichung lösen zu können, braucht man alle Variablen, die darin vorkommen. Alle sind simpel zu finden und haben vor allem nur eine konkrete Lösung, nur die Volatilität ist individuell, da diese nicht einfach nachgeschlagen werden kann. Die richtige Volatilität hängt von der eigenen Zukunftserwartung ab, dies bedeutet, dass die Zahl der impliziten Volatilität selbst gewählt werden muss. Dies sorgt für Schwankungen bei den Optionspreisen.

21 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 21 Wenn man jedoch die momentane implizite Volatilität herausfinden möchte, braucht man einen Optionspreis einer aktuell verwendeten Aktienoption. Mit dieser kann man in die Gleichung eine zufällige Volatilität eintragen und ausrechnen, ob bei dieser Volatilität der Preis zu hoch oder zu tief ist. Wenn der Preis zu hoch ist, senkt man die Volatilität, bis man auf das richtige Resultat kommt. Der Grund wieso man nur die Volatilität ändern und die anderen Variablen gleich lassen kann, ist folgender: Die anderen Variablen sind nicht veränderbar, da sie zu einem spezifischen Zeitpunkt nur einen richtigen Wert haben können. Wenn man nun d 1 und d 2 ausgerechnet hat, muss man diese Werte in N(x) eintragen. Um diese Funktion lösen zu können, braucht man die kumulative Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung (Hull, 2015: p. 420). Diese Werte kann man in einer Standardnormalverteilungs-Tabelle finden (Anhang: Kapitel 12.1). Ein möglichst hoher Optionspreis wird erzielt, wenn der Minuend zum Subtrahend einen möglichst grossen Unterschied hat. P c = S 0 N(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) Minuend Subtrahend Je grösser die Differenz, desto höher der Optionspreis.

22 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite Unterschied zwischen Marktpreis und errechnetem Preis Um zu erkennen, wie viel ein Optionsschreiber 11 zum errechneten fairen Preis aufschlägt muss man nur den an der Börse gegebenen Preis mit dem errechneten Preis vergleichen. Interessant ist auch, wie viel bei einer Call-Option im Vergleich zur Put-Option aufgeschlagen wird. Damit man diese Preise möglichst genau vergleichen kann, benutze ich eine Novartis Aktienoption für Call und Put bei gleichen Voraussetzungen in Bezug auf Laufzeit, Volatilität, risikolosem Zins und Underlying. Der Strikepreis einer Call und Put-Option kann nicht derselbe sein, da dann die Voraussetzungen nicht mehr gleich wären, ausser der Underlying entspräche dem Strikepreis. Call-Option Put-Option Marktangegebene Marktangegebene Optionspreis: 0.86 CHF Optionspreis: 1.00 CHF Berechneter Preis: 0.71 CHF Berechneter Preis: 0.72 Differenz: 0.15 CHF Differenz: 0.28 CHF Preiserhöhung in %: 21.1 Preiserhöhung in %: 38.9 Laufzeit: 50 Börsentage Laufzeit: 50 Börsentage Underlying Underlying: Volatilität 14.1 % Volatilität: 15.5 % Strikepreis: 87 Strikepreis: 81 Risikofreier Zinks: 0.5% Risikofreier Zinks: 0.5% (Quelle: Swissquote) Die angegebenen Börsenpreise sind höher als ihr eigentlicher Wert nach der Black-Scholes- Formel. Daraus kann geschlossen werden, dass die Optionsschreiber den Preis zu ihrem eigenen Schutz und Vorteil höher setzten, damit die Optionspreise nicht in den Gewinnbereich kommen. Der Unterschied in Prozent der Preiserhöhung der Put und Call-Option sticht ins Auge, da sich 11 Optionsschreiber ist diejenige Person, welche eine Option verkauft

23 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 23 diese Erhöhung um fast das Doppelte unterscheidet. Aber weshalb machen die Optionsschreiber einen so grossen Unterschied bei den Optionspreisen von Put- und Call- Optionen? Die Antwort ist folgende: Bei Call-Optionen sehen die Optionsschreiber ein kleineres Risiko als bei Put-Optionen. S&P-500-Index: Abbildung 7 S&P-500-Index In diesem Diagramm steht die vertikale Achse für den Indexwert und auf der horizontalen Achse die Jahreszahlen. Dieses Phänomen erklärt sich nach Vergleich der letzten 10 Jahren des S&P-500-Index, nämlich erkennt man, dass sich der Kurs im Vergleich auf einem sehr hohen Punkt befindet und somit ein Sinken des Index nur eine Frage der Zeit ist. 9. Optionspreis Der Optionspreis oder auch Optionsprämie genannt ist der Preis, den der Optionär dem Stillhalter für eine Option bezahlt, damit der Stillhalter auf das Handeln des Optionärs wartet, sonst wäre es nicht lukrativ für den Stillhalter. Diese Optionsprämie setzt sich aus dem inneren Wert und dem Zeitwert zusammen. Wichtig dabei ist, dass es gleichgültig ist, wofür sich der Optionär entscheidet: Der Stillhalter wird in jedem Fall die Optionsprämie behalten können. Generell kann man davon ausgehen, dass ein hoher Ausübungspreis einen tieferen Optionspreis hat, zumal das Risiko grösser ist, dass der Ausübungspreis nicht erreicht wird. Identisch ist es, wenn die Option eine kurze Laufzeit hat dann nämlich ist das Risiko auch grösser den Ausübungspreis nicht zu erreichen. Wie man sieht, spiegeln sich die Optionspreise in den Laufzeiten und Ausübungspreisen wieder.

24 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 24 Den inneren Wert bei Call-Optionen errechnet man, indem man den gegenwärtigen Aktienkurs mit dem Ausübungspreis subtrahiert. Analog bei einer Put-Option verwertet man die Differenz des Ausübungspreises subtrahiert durch den Aktienkurs, also wenn der Underlying unter dem Ausübungspreis steht. Wenn nun kein innerer Wert erzielt werden kann, heisst das nicht zwingend, dass die Option gleich wertlos ist, da es noch den Faktor Zeitwert gibt. (vgl. Derivate Guide 2012, 2012: p. 19) Die Zusammensetzung des Zeitwertes ist komplexer disponiert. Die substanziellsten Punkte des Zeitwertes sind die Volatilität, die Laufzeit und der Preis des Underlyings. Des Weiteren gibt es noch den risikolosen Zinssatz und die zukünftige Dividendenzahlung. Die zukünftige Dividendenzahlung kommt aber nur zum Zug, wenn die Call-Option im Verlauf der Dividendenausschüttung noch nicht abgelaufen ist. Wesentlich zu beherzigen ist, dass die Call-Option an Wert verliert, wenn die Dividenden in seinem Basisgut ausbezahlt werden (Egli, 2001: p. 67). (vgl. Hull, 2015: pp.302ff) Zusammensetzung des Optionspreises: Abbildung 8 Zusammensetzung des Optionspreises

25 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite Optionspreis in Abhängigkeit der Restlaufzeit Im Normalfall sinkt der Optionswert gegen Schluss der Laufzeit und beim Verfallsdatum erreicht der Optionswert null, ausser er hat einen inneren Wert. Je näher man an das Laufzeitende kommt, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, einen grossen Gewinn zu erlangen. Diese Eigenschaft kann mit der Black-Scholes-Formel dargestellt werden, da diese Formel dazu zuständig ist, einen adäquaten Optionspreis, in Abhängigkeit der Restlaufzeit, zu ermitteln und man somit den Optionspreis ür die Variable Zeit auflösen kann und so einen Graphen aufzeigen kann, welcher die Entwicklung Richtung Laufzeitende darstellt. Optionspreis in Abhängigkeit der Restlaufzeit: Abbildung 9 Optionspreis in Abhängigkeit der Restlaufzeit Bei diesem Graphen geht man davon aus, dass der Underlying, der Strikepreis, der risikofreie Zins und die Volatilität gleichbleiben, ansonsten wäre es nicht möglich gewesen, die Restlaufzeit akkurat aufzuzeigen. Diese Grafik lässt sich folgendermassen interpretieren: Je näher die Option dem Verfallsdatum kommt, desto schneller verliert sie an Wert, bis sie dann schlussendlich wertlos verfällt. Daraus kann man konkludieren, dass wenn man einen Gewinn möglichst gross aus dem Zeitwert einer Option erlangen möchte, man nicht bis zum Ende warten sollte, da dort der grösste Zeitverlust vorkommt.

26 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite Mathematische Erklärung Die Daten in der Grafik des Optionspreises in Abhängigkeit der Restlaufzeit wurden mit der Black-Scholes-Formel berechnet. Mit dieser kann man beweisen, weshalb sich der Preis so verhält. Damit der Optionspreis kleiner wird, muss B an Wert gewinnen, damit die Differenz möglichst kleiner wird. Bei Laufzeitende einer Option konzentriert man sich nur auf die Variable T. Das heisst wenn sich die Variable T verkleinert, muss B grösser werden. e r(t t) = 1 e r(t t) => daraus kann man schliessen, dass der Term einen kleineren Wert ausgibt, wenn die Variable T grösser wird. Wenn T kleiner wird, gibt analog der Term einen grösseren Wert aus und somit wird B vergrössert. P c = S 0 N(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) A B Ein weiterer Grund, dass gegen Ende der Laufzeit der Optionspreis an Wert verliert, ist folgender: Der Unterschied zwischen d 1 und d 2 wird kleiner und somit wird dann auch die Differenz zwischen A und B kleiner. d 2 = d 1 σ T t Je kleiner der Wurzelterm, desto weniger zieht man von d 1 ab, was zu einer kleineren Differenz führt Berechneter Optionspreis gegen Ende Laufzeit mit realem Beispiel vergleicht Um zu sehen, ob die berechneten Daten auch mit der Realität übereinstimmen, braucht man Daten von abgelaufenen Optionen, um dann das Laufzeitende akkurat vergleichen zu können. Das Ende der Laufzeit kann man noch gut vergleichen, da man genau weiss, wie sich die Zeit verändert und man somit bis zum Ablaufdatum immer einen Wert in die Black-Scholes-Formel eintragen kann. In der untenstehenden Grafik ist eine Call-Aktienoption abgebildet, welche

27 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 27 noch eine Laufzeit von 33 Tagen hatte. Die Aktie, auf der die Option abgeleitet wurde, war von Nestle. Call-Aktienoption von Nestlé: Call-Aktienoption von Nestlé Abbildung 10 Call-Aktienoption Nestlé In dieser Abbildung ist auf der vertikalen Achse der Optionspreis dargestellt und in der horizontalen Achse ist die Restlaufzeit bis zum Verfall dargestellt. Wie man sieht, zeigt die Grafik im Vergleich zur Abbildung 9.1 keine schöne Kurve nach unten, sondern eine Vielzahl von Ausreissern. Diese Ausreisser entstehen aus den dauernd wechselnden Variablen, da an jedem Tag eine neue Voraussetzung entsteht: Es gibt zum Beispiel eine neue Volatilität oder auch einen neuen Underlying. Trotz der Ausreisser ist in diesem Beispiel der eindeutige Abwärtstrend erkennbar. Dieses Beispiel endet nicht beim Wert 0, da beim Ende der Laufzeit die Option noch einen inneren Wert hat. Beim Vergleich mit verschiedenen anderen abgelaufenen Call-Optionen, wird klar, dass die Mathematik hinter der Abnahme des Optionswertes gegen Ende der Laufzeit zu ungenau ist, da sich die anderen Variablen in der Realität zu stark verändern und somit die berechneten Resultate verfälschen.

28 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 28 Call-Aktienoption von der Credit Suisse: Call-Aktienoption von der Credit Suisse Abbildung 11 Call-Aktienoption von der Credit Suisse In dieser Abbildung ist auf der vertikalen Achse der Optionspreis dargestellt und in der horizontalen Achse ist die Restlaufzeit bis zum Verfall dargestellt. Beim Vergleichen der Restlaufzeit der Credit Suisse-Aktienoption von 33 Börsentagen, fällt stark auf, dass gegen Ende der Laufzeit nochmals ein hoher Anstieg entsteht, was dem stets abfallenden Wert der Abbildung 9.1 widerspricht. Nur der Anfang des Optionswertverlaufes entspricht halbwegs der Abbildung 9.1. Daraus kann man schliessen, dass sich eine Option umso genauer der berechneten Grafik 9.1 annähert, je weniger volatil sie ist und wenn sich im Allgemeinen die anderen Variablen kaum verändern. In der Realität aber ändern sich alle paar Sekunden die Variablen, was dazu führt, dass sich der Optionspreisverlauf ebenfalls ständig ändert.

29 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite Optionspreis in Abhängigkeit der impliziten Volatilität Die wichtigste Komponente, um einen Optionspreis auszurechnen, ist die implizite Volatilität, da sich die Volatilität mit den Unsicherheiten des zukünftigen Aktienkurses befasst (vgl. Hull, 2015: p. 305). Wenn man eine grosse Volatilität hat, bedeutet dies, dass eine Aktie grosse Schwankungen hat und somit einen höheren Optionspreis geniessen kann. Dieser höhere Optionspreis ist gerechtfertigt, weil durch eine grössere Bewegung des Underlyings die Wahrscheinlichkeit grösser wird, dass die Option an Wert gewinnt und somit der Optionsschreiber ein grösseres Risiko eingehen muss. Preis des Underlyings 100 Strikepreis 110 Perioden bis Verfall 2 Um den genauen Einfluss der impliziten Volatilität zu ermessen, kann man das Black-Scholes- Modell verwenden, da aus dieser Formel die Optionspreise berechnet werden und in dieser Formel die implizite Volatilität als Variable vorhanden ist und man somit für die implizite Volatilität beliebige Prozentsätze ausrechnen kann. Risikofreier Zins 1% 1%- Volatilität 50%

30 1% 3% 5% 7% 9% 11% 13% 15% 17% 19% 21% 23% 25% 27% 29% 31% 33% 35% 37% 39% 41% 43% 45% 47% 49% Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 30 Optionspreis in Abhängigkeit der impliziten Volatilität einer Call-Option: Abbildung 12 Optionspreis in Abhängigkeit der impliziten Volatilität einer Call-Option In dieser Abbildung ist in der vertikalen Achse der Optionspreis dargestellt und in der horizontale Achse die implizite Volatilität in Prozent. Diese Grafik beinhaltet den Einfluss der impliziten Volatilität zwischen 1% bis 50% auf den Optionspreis, wenn man davon ausgeht, dass sich die anderen Faktoren nicht weiter verändern. Der Underlying ist auf 100 gesetzt und der Strikepreis auf 110, wobei die Periode 2 und der risikofreie Zins 1% beträgt. Die Volatilität kann bei einer Call-Option nicht 0 % betragen, da dann im Divisor der Black-Scholes-Formel eine Null wäre und dies ist nicht definiert, somit gibt es keine Lösung für = 0. Wie man sieht, steigt der Preis bei tiefer Volatilität viel schneller als bei einer höheren Volatilität. Das bedeutet es ist rationaler, wenn man eine Option kauft, wenn sie eine höhere Volatilität hat, denn im Vergleich zur Volatilitätsänderung steigt der Preis weniger stark.

31 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite Mathematische Erklärung Um zu verstehen wie sich der Preis beim Ändern der Volatilität verändert, muss man die Variable für die Volatilität in der Black-Scholes-Formel genauer ansehen. Da nur in d 1 und d 2 vorkommt, steht diese Gleichung im Vordergrund und wie auch schon bei der Entwicklung des Optionspreises gegen Ende der Laufzeit ist die Differenz zwischen A und B wichtig. Im Fall der Volatilität muss die Differenz zwischen A und B grösser werden je grösser die Volatilität wird. Somit steigt der Preis wie im Grafen. P c = S 0 N(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) A B d 1 = ln (S 0 K)+(r+σ 2 2)(T t) σ T t d 2 = ln (S 0 K)+(r σ 2 2)(Tt) σ T t Wenn steigt, wird der Wert von d 1 grösser, weil quadriert und mit r addiert wird. Aber bei d 2 wird der Wert kleiner wenn quadriert wird, da das quadrierte Sigma von der Variable r abgezogen wird. Das führt unweigerlich zu einer grossen Differenz zwischen d 1 und d 2 und deswegen gibt es dann bei A und B eine grössere Differenz je grösser wird.

32 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite Optionspreis in Abhängigkeit des Underlyings Die Auszahlung einer Call-Option bei zukünftigem Ausüben ist der Betrag um wieviel höher der Underlying gegenüber dem Strikepreis liegt, daher steigt der Preis einer Call-Option bei höherem Underlying und bei sinkendem Underlying sinkt der Preis einer Call-Option. Für eine Put-Option verhält sich dies entgegengesetzt, bei dieser Strategie profitiert man am meisten, wenn der Underlying zukünftig möglichst weit unter dem Strikepreis liegt, deswegen bedeutet ein tiefer Underlying einen teureren Optionspreis und umgekehrt. (vgl. Hull, 2015: p. 304) Preis des Underlyings Strikepreis 110 Perioden bis Verfall 0.2 Risikofreier Zins 1% Volatilität 30.0% Optionspreis in Abhängigkeit des Underlyings bei einer Call-Option: Abbildung 13 Optionspreis in Abhängigkeit des Underlyings bei einer Call-Option In dieser Abbildung ist auf der vertikalen Achse der Optionspreis dargestellt und auf der horizontalen Achse der Underlying. Diese Grafik beinhaltet den Einfluss des veränderten Underlyings während einer gewissen Laufzeit, bei welcher sich der Strikepreis, die Periode, der risikofreie Zins und die Volatilität nicht verändern. Dies ist notwendig, damit sich das Resultat nicht verfälscht, wenn man andere Einflüsse miteinbezieht. Somit sieht man was genau der stetig ändernde Underlying ausmachen kann. Der Underlying steht bei 100 und der Strikepreis bei 110. Damit man eine

33 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 33 gute Übersicht über den Einfluss hat, bewegt sich die Grafik zwischen einem Underlying von 100 bis 130. Wie man sieht entwickelt sich der Optionspreis stärker je höher der Underlying wird stärker, dies hat mit der Black-Scholes-Formel zu tun und es macht auch Sinn, denn wenn eine Option mehr an Wert gewinnt, steigt die Nachfrage nach der Option und somit steigt der Preis auch überproportional. Daraus kann man sagen, dass es sich weniger lohnt eine Option mit hohem Underlying im Vergleich zum Strikepreis zu kaufen, da dort der Preis höher ist und man somit einen kleineren Hebel hat Mathematische Erklärung Bei der Entwicklung des Underlyings ist die Formel P c im Vordergrund, da dort der Underlying am stärksten vorkommt. Da bei der Black-Scholes-Formel nur der Underlying geändert wird, wird bei einem grösseren Underlying A vergrössert und B gleichbleibend gelassen, weil bei B der Underlying nicht vorkommt. Dies führt zu einer grösseren Differenz und somit zu einem grösseren Optionspreis. Wenn man den Underlying verkleinert wird A kleiner und somit wird die Differenz auch kleiner. P c = S 0 N(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) A B

34 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite Konklusion Den Einfluss der Restlaufzeit auf ein Optionspapier hat bei meinen Untersuchungen ergeben, dass man davon ausgehen kann, dass wenn eine Option gegen Ende der Laufzeit noch nicht verkauft ist, möglichst schnell verkauft werden sollte, da dies ein Anzeichen für einen Rückgang des Wertes ist. Pauschal kann man aber nicht sagen, dass es immer sinkt. An Hand des Beispiels der Abbildung 11 erkennt man, dass es trotzdem möglich ist, in den letzten Tagen an einem Anstieg des Optionswertes zu profitieren, wobei dieser Anstieg nicht besonders gross ist und man sich somit fragen muss ob sich dieses Risiko lohnt, bis zum Schluss mit dem Verkauf zu warten. Beim Einfluss der Volatilität kann man sagen, dass eine hohe Volatilität einen höheren Optionspreis zur Folge hat und man deswegen bei einer hohen Volatilität eine kürzere Laufzeit wählen sollte, damit der Optionspreis nicht zu hoch wird. Analog zur hohen Volatilität ist bei einer tiefen Volatilität eine längere Laufzeit zu wählen, da bei einer tiefen Volatilität der Optionspreis tiefer ist. Mit Hilfe der Abbildung 5 kann man eine Zukunftsprognose abgeben, welche wegen der tiefen Volatilität für einen Anstieg des Aktienmarktes spricht. Das bedeutet, man sollte auf einen Anstieg der Aktien setzten und sich somit mit Call-Optionen ausrüsten. Natürlich treffen Prognosen nicht immer zu und deswegen sollte man Optionen immer mit Vorsicht geniessen. Ein weiterer Grund sich für Call-Optionen in diesem Zeitraum zu entscheiden ist, dass Call- Optionen momentan kostengünstiger im Vergleich zu Put-Optionen sind. Dies liegt daran, dass die Optionsschreiber mehr Geld für Put-Optionen auf den berechneten Preis aufschlagen als bei Call-Optionen. Abgesehen von den Daten ist die eigene Zukunftserwartung eines Aktienverlaufs am zentralsten, denn auch wenn die Black-Scholes-Formel viele Faktoren mit einbeziehen kann, ist die Black-Scholes-Formel nicht allwissend. Wenn man aber trotzdem sein Aktiendepot absichern möchte, sollte man immer einen Blick auf die implizite Volatilität werfen, sobald diese drastisch ansteigt wird eine Absicherung mittels Put-Optionen sehr sinnvoll. Auch wenn die Kosten für eine Put-Option etwas höher sind als jene für Call-Optionen. Zusammenfassend kann man sagen, dass sich Optionen nicht wirklich mit der erwarteten Berechnung mittels Black-Scholes-Modell in Einklang bringen lassen, obwohl man eine gewisse Tendenz erkennen kann. Eine Absicherung hingegen ist besser möglich. Sie hängt aber auch mit der persönlichen Zukunftserwartung zusammen, das heisst, ob man eine

35 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 35 vollkommene Absicherung oder nur eine Teilabsicherung eingehen möchte. Aus meiner persönlichen Erfahrung kann ich sagen, dass es viel schwieriger ist, eine Zukunftsvorhersage für die Entwicklung einer Aktie zu machen, als ich gedacht hatte. Die Gebühren, die je nach Trader variieren, sind auch Faktoren, die ich beim theoretischen Kauf von Aktienoptionen nicht wirklich miteinberechnet habe. Deswegen bin ich froh, dass ich mit wenig Geld an die Börse ging, um diese nicht nur über die Literatur, sondern auch praktisch kennenzulernen. Ich empfehle allen Personen, die an der Börse aktiv sein möchten und sich noch nicht richtig damit auseinandergesetzt haben, dass sie zu Beginn nur mit der Geldmenge traden, die sie auch bereit sind zu verlieren.

36 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite Verzeichnisse 11.1 Quellenverzeichnis (2012). Anleitung zur Depotabsicherung: Vollkasko fürs Dax-Portfolio. In: Focus-Money, Nr. 37. Retrieved , from Adelmeyer, M. (2000). Call & Put: Einführung in Optionen aus wirtschaftlicher und mathematischer Sicht. Zürich: Orell Füssli Verlag Ag. Daume, P. (2009). Finanzmathematik im Unterricht: Aktien und Optionen: Mathematische und didaktische Grundlagen mit Unterrichtsmaterialien. Deutschland: Vieweg + Teubner. Egli, M. (2001). Optionen und Futures-Basiswissen: Einführung in derivative Finanzinstrumente (2., vollständig überarb. und erw. Aufl.). Zürich: Verlag des Schweizerischen Kaufmännischen Verbandes. Hull, J. C. (2015). Optionen, Futures und andere Derivate (9., vollständig überarb. und erw. Aufl.). Polen: Pearson Deutschland GMBH. Müller-Möhl, E. (2002). Optionen und Futures: Grundlagen und Strategien für das Termingeschäft in der Schweiz, Deutschland und Österreich (5., vollständig überarb. und erw. Aufl.). Zürich: Verlag Neue Zürcher Zeitung. ARD, (2017). Basiswert. Retrieved , from

37 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite Abbildungsverzeichnis Titelbild: (abgerufen: ) Abbildungsverzeichnis 1: Überblick der Geschäftsarten Quelle: (abgerufen: ) Abbildungsverzeichnis 2: Pay-off-Diagramm Call-Option Quelle: (abgerufen: ) Abbildungsverzeichnis 3: Pay-off-Diagramm Put-Option Quelle: (abgerufen: ) Abbildungsverzeichnis 4: Einfluss der Volatilität auf den Optionspreis Quelle: Derivate Guide 2012 Abbildungsverzeichnis 5: Implizite Volatilität im Vergleich zum S&P-500-Index Quelle: Mike Egger (Daten sind aus Bloomberg, welche von Herr David Zimmermann zur Verfügung gestellt wurden) Abbildungsverzeichnis 6: Implizite Volatilität im Vergleich zur realisierten Volatilität Quelle: Mike Egger (Daten sind aus Bloomberg, welche von Herr David Zimmermann zur Verfügung gestellt wurden) Abbildungsverzeichnis 7: S&P-500-Index Quelle: Mike Egger (Daten sind aus Bloomberg, welche von Herr David Zimmermann zur Verfügung gestellt wurden) Abbildungsverzeichnis 8: Zusammensetzung des Optionspreises Quelle: Derivate Guide 2012 Abbildungsverzeichnis 9: Optionspreis in Abhängigkeit der Restlaufzeit Quelle: (abgerufen: )

38 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite 38 Abbildungsverzeichnis 10: Call-Aktienoption von Nestlé Quelle: Mike Egger (Daten von Daniel Kukan, Head Equity Derivatives Trading bei der Zürcher Kantonalbank) Abbildungsverzeichnis 11: Call-Aktienoption von der Credit Suisse Quelle: Mike Egger (Daten von Daniel Kukan, Head Equity Derivatives Trading bei der Zürcher Kantonalbank) Abbildungsverzeichnis 12: Optionspreis in Abhängigkeit der impliziten Volatilität bei einer Call-Option Quelle: Mike Egger mit Hilfe von David Zimmermann Abbildungsverzeichnis 13: Optionspreis in Abhängigkeit des Underlyings bei einer Call- Option Quelle: Quelle: Mike Egger mit Hilfe von David Zimmermann

39 Einfluss der Volatilität und der Restlaufzeit auf das Optionspapier Seite Anhang 12.1 Standardnormalverteilungs-Tabelle (Quelle: 5a9.jpg) (abgerufen: )