Lichtquellenmodellierung

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1 Lichtquellenmodellierung Neuartige Optiken setzen immer bessere Simulationstechniken voraus Optik und Photonik sind zu einer bedeutenden Quelle technischer Innovation geworden. Licht wird immer flexibler eingesetzt, um neuartige Entwicklungen in verschiedensten Anwendungen zu ermöglichen. Damit geht ein stark wachsender Bedarf an optischen Simulationstechniken einher. Insbesondere werden wellenoptische Methoden zur Modellierung der Funktionsweise optischer Systeme benötigt, um die vielfältigen Wirkungen von Licht in Anwendungen untersuchen und umsetzen zu können. Die Darstellung elektromagnetischer Felder durch das harmonische Feldmodell ergänzt daher in immer stärkerem Umfang die Nutzung von Strahlenbündeln in der Optikrechnung [1]. Harmonische Felder sind per Definition monochromatisch und weisen eine einfache sinusförmige Schwingung des Feldvektors in der Zeit auf. Diese Eigenschaft erlaubt es, den Zeitanteil in den meisten konkreten Optikrechnungen nicht zu beachten. Im Ergebnis werden harmonische Felder durch komplexe Amplituden beschrieben. Besonders prominente Vertreter komplexer Amplituden sind die für ebene Wellen, Kugelwellen und gaußförmige Laserstrahlen. Techniken zur Propagation harmonischer Felder durch optische Systeme sind aktueller Gegenstand weltweiter Forschung und Entwicklung [2]. Von Interesse sind zum Beispiel Methoden zur effizienten Simulation der Ausbreitung von harmonischen Feldern in Linsensystemen, der Propagation durch Mikro- und Nanostrukturen und durch streuende Elemente wie zum Beispiel Diffuser. Die wachsende Nutzung des harmonischen Feldmodells in der Optikrechnung findet selbstverständlich auch ihren Niederschlag in der Entwicklung der Optiksoftware. Raytracer werden teilweise durch wellenoptische Komponenten ergänzt. In einer neuen Generation von Optiksoftware ersetzt das FRANK WYROWSKI Frank Wyrowski ist Professor für Technische Physik an der Friedrich-Schiller-Universität in Jena. Nach seiner Promotion und Habilitation an der Universität Essen arbeitete er bei Philips in Eindhoven im Gebiet der diffraktiven Optik und der optischen Materialbearbeitung. Nach einem Wechsel zum Abteilungsleiter am Berliner Institut für Optik folgte er 1996 dem Ruf nach Jena gründete er die Firma LightTrans GmbH. DER AUTOR Prof. Dr. Frank Wyrowski Friedrich-Schiller-Universität Max-Wien-Platz 1 D Jena frank.wyrowski@uni-jena.de Diskretisierung in ω Laterale Modenzerlegung HAGEN SCHIMMEL Hagen Schimmel ist technischer Direktor der LightTrans GmbH. Von 1994 bis 1999 studierte er an der Friedrich Schiller Universität Physik und spezialisierte sich im Gebiet des Optical Engineering. Mit seinem Team löst er für die Kunden der LightTrans GmbH vielfältige Aufgaben in der Optikberechnung. Insbesondere ist Hagen Schimmel verantwortlich für die Entwicklung der wellenoptischen Simulationssoftware VirtualLab. Hagen Schimmel LightTrans GmbH Wildenbruchstr. 15 D Jena hagen.schimmel@lighttrans.de ABBILDUNG 1: Illustrierung der Zerlegung einer Feldfunktion in harmonische Anteile: (1) Das Feld E(x, y, t) ist durch das Rechteck in der oberen Zeile dargestellt. (2) Das Feld wird zeitlich zerhackt und es entsteht ein Ensemble von unterschiedlichen Feldern in verschiedenen Zeitabschnitten. (3) Auf jedes Ensemblemitglied wird eine angewendet. (4) Die resultierenden Ensemblemitglieder in der Frequenzdomäne sind im Allgemeinen statistisch voneinander unabhängig. (5) Eine folgende Diskretisierung im Frequenzraum und (6) anschließende optionale Zerlegung in laterale Moden führt auf die gesuchte Felddarstellung durch harmonische Felder. LTJ 59

2 harmonische Feldmodell die Modellierung von Licht durch Strahlenbündel als Basistechnologie. Für die Untersuchungen und Simulationen dieses Artikels haben die Autoren die wellenoptische Optiksoftware VirtualLab der Firma LightTrans verwendet. Die konsequente Einführung des harmonischen Feldmodells in der Optikrechnung stellt einen wichtigen Fortschritt dar, um das Innovationspotenzial der optischen Technologien nutzbar machen zu können. Allerdings erlaubt das harmonische Modell nur die Darstellung von kohärentem Licht. Damit können sehr gut alle monomodigen Laserquellen modelliert werden. Die meisten Lichtquellen emittieren jedoch partiell kohärentes Licht und daher kann das harmonische Feldmodell nur als erste Näherung angesehen werden. Dies gilt zum Beispiel für thermische Quellen, LEDs, Excimerlaser und ultrakurz gepulste Laser. In der Konsequenz muss sich innovative Optiksimulation der Modellierung partiell kohärenten Lichtes widmen und das harmonische Feldmodell generalisieren. Die etablierte Behandlung partiell kohärenter Felder findet ihre Formulierung in der Kohärenztheorie [3]. Die elektromagnetischen Felder werden dort durch Kohärenzfunktionen beschrieben. Diese sehr elegante Methode weist für das Optikrechnen allerdings einen wesentlichen Nachteil auf: Die Methoden der Propagation harmonischer Felder können nicht einfach auf die Propagation der Kohärenzfunktion übertragen werden. Außerdem erschließt sich die Schönheit der etablierten Kohärenztheorie oft nur eingeweihten Experten. In diesem Artikel wollen DIE FIRMA LightTrans GmbH Jena LightTrans entwickelt und produziert im Kundenauftrag i. a. nichtabbildende optische Systeme und Komponenten für Beleuchtungsaufgaben, Materialbearbeitung, Messzwecke und Displayanwendungen. Dabei liegt ein Schwerpunkt im Einsatz von mikrostrukturierten Komponenten wie z. B. Gittern, Strahlteilern, Diffusern, digitalen Hologrammen und Kinoforms zur flexiblen Manipulation von Licht. Des Weiteren entwickelt und vertreibt LightTrans die führende wellenoptische Design- und Analysesoftware VirtualLab. Weitere Infos unter wir zeigen, dass man wichtige reale Quellen durch eine Zerlegung des Strahlungsfeldes in harmonische Felder praxisgerecht modellieren kann. Für innovatives Optikrechnen scheint uns dieser Ansatz sehr nützlich zu sein. Quellenmodellierung durch harmonische Felder Im Folgenden betrachten wir elektromagnetische Felder in einem homogenen Dielektrikum. Das kann Luft oder ein Glas sein. Gemäß den Maxwellschen Gleichungen wird ein solches Feld durch jeweils drei Feldkomponenten für den elektrischen und den magnetischen Anteil bestimmt. Allerdings kann gezeigt werden, dass davon nur zwei Komponenten unabhängig sind, zum Beispiel die x- und y-komponente des elektrischen Feldes. Daher führt die Modellierung dieser beiden Komponenten zu einer vollständig vektoriellen Felddarstellung. In diesem Artikel beschränken wir uns ohne Beschränkung der Allgemeinheit auf die Diskussion einer Feldkomponente. Die Einbeziehung der zweiten unabhängigen Komponente kann durch direkte Verallgemeinerung realisiert werden. Jede Feldkomponente ist Funktion des Ortes (x, y, z) und der Zeit t, zum Beispiel E x (x, y, z, t). In der Optikrechnung wird die z-achse typischerweise als optische Achse gewählt und die Abhängigkeit des Feldes Diskretisierung in ω ABBILDUNG 2: Konkretisierung des Quellenmodells für polychromatische Quellen. In der untersten Zeile wird durch die grauen Kästchen illustriert, dass die Phasen je Frequenz und Ensemblemitglied völlig zufällig sind. von z durch Propagationsoperatoren beschrieben. Daher betrachten wir Felder jeweils in einer Ebene senkrecht zur z-achse und dort als Funktionen von (x, y, t). In der Quellenmodellierung geht es darum, für eine gegebene Quelle ein Feld E(x, y, t) in einer Ebene hinter der Quelle zu formulieren, welches die elektromagnetischen Eigenschaften der Quelle hinreichend genau modelliert. Die Zeitabhängigkeit des Feldes kann durch eine in ABBILDUNG 3: Beispiel einer Impulsantwort für ein Linsensystem unter Einbeziehung des polychromatischen Charakters des Eingangsfeldes. eine Frequenzabhängigkeit umgewandelt werden, d. h. E(x, y, t) wird durch die Darstellung Ẽ(x, y, ω) in der Frequenzdomäne ersetzt. Wird diese Funktion bezüglich der Frequenz diskretisiert, erhält man eine Zerlegung des Feldes in harmonische Felder. Dieses Vorgehen ist erlaubt, wenn man die von E(x, y, t) bilden kann. Für reale Quellen ist es nun allerdings so, dass E(x, y, t) bezüglich der Zeit t im Allgemeinen keine deterministische Funktion darstellt, sondern statistischen Schwankungen in der Zeit unterliegt, weil die Entstehung des Lichts selber mehr oder weniger stark durch statistische Prozesse dominiert wird. Daher kann E(x, y, t) nicht einfach in die Frequenzdomäne transformiert werden. Ein einfacher formaler Schritt hilft, diese Beschränkung zu überwinden und damit die statistischen Eigenschaften des Lichts mit der harmonischen Feldzerlegung zu kombinieren. Formal kann das Feld jeweils in endlichen Zeitintervallen betrachtet werden, was einem formalen Zerhacken des Feldes entlang der Zeitachse entspricht. Nun darf man annehmen, dass die Feldvariation je Zeitintervall deterministisch vorliegt und die statistischen Effekte durch die Veränderungen zwischen den Zeitintervallen ausgedrückt werden. Daher kann man das 60 LTJ September 2005 Nr. 3

3 Feld je Zeitintervall in die Frequenzdomäne transformieren. Diese Situation ist in Abbildung 1 illustriert. Kern des Modells ist die Zerlegung des Feldes in ein Ensemble von Feldern, die für endliche Zeitintervalle definiert sind. Zwischen den Ensemblemitgliedern finden statistische Veränderungen statt. Je Ensemblemitglied darf eine Fourieranalyse stattfinden. Eine darauf folgende Diskretisierung des Frequenzraums führt auf die angestrebte Zerlegung des Feldes in ABBILDUNG 4: Das resultierende Beugungsbild eines diffraktiven 1:3 3 Strahlteilers für polychromatische Beleuchtung. harmonische Felder für jedes Ensemblemitglied. In der letzten Zeile der Figur ist noch eine optionale Zerlegung der harmonischen Felder in laterale Moden illustriert. Dies können zum Beispiel die transversalen Moden eines Laserresonators sein. Was hat man durch die Einführung dieses sehr formal wirkenden Modells gewonnen? In der Optikrechnung geht es hauptsächlich um die Modellierung von linearen Systemen. Daher kann man die Modellierung für reale Quellen durch die dargestellte Zerlegung formulieren. Die Propagation aller harmonischen Felder durch das System und eine anschließende Rekombination der Felder führt für lineare Systeme zu dem gesuchten Simulationsergebnis. Von unschätzbarem praktischen Wert dieses Vorgehens ist die Möglichkeit, auch für partiell kohärente Felder die optische Modellierung auf die Propagation harmonischer Felder zu basieren. Die Anwendung des Modells verlangt in der Praxis natürlicherweise eine Spezifizierung der Ensemblebildung und dabei insbesondere der statistischen Veränderungen zwischen den Ensemblemitgliedern. Dies ist Gegenstand der folgenden Abschnitte. Es wird sich zeigen, dass die Konkretisierung des Modells für wichtige Quellen erfreulich einfach durchzuführen ist. Polychromatische Quellen Als erstes Beispiel betrachten wir eine polychromatische Quelle. Um eine Diskussion der lateralen Moden in diesem Beispiel unnötig zu machen, nehmen wir eine Punktlichtquelle an, d. h. das Licht soll ein geeignetes Pinhole und eine Kollimationsoptik passiert haben. Außerdem nehmen wir an, dass der polychromatische Charakter des Lichts durch Beiträge verschiedener energetischer Übergänge in der Quelle verursacht wird. Diese Eigenschaft ist für thermische Quellen, zum Beispiel der Sonne, typisch. Unter diesen Annahmen konkretisiert sich unser Modell aus Abb. 1 zu dem in Abb. 2 gezeigten. Dabei gehen wir davon aus, dass die spektrale Zusammensetzung in der Quelle nicht von der Zeit abhängt. Daher sind die Ensemblemitglieder in der Frequenzdomäne farblich identisch dargestellt. Die Diskretisierung führt zu den gewünschten harmonischen Feldern. Gemäß unserer Modellannahme sind verschiedene Farben unterschiedlichen Übergängen zugeordnet und daher Ergebnis zeitlich unabhängiger Emissionsereignisse. In der Frequenzdomäne äußert sich dies durch zufällige Phasen je Farbe und Ensemblemitglied. In Abbildung 2 ist dies durch die grauen Kästchen in der letzten Zeile illustriert. Die resultierenden harmonischen Felder können durch ein System propagiert werden. Typischerweise ist im Ausgang des Systems die Intensität des Feldes von Interesse. Die Intensität ist in der hier betrachteten paraxialen Domäne über den zeitlichen Mittelwert des Betragsquadrates des Ausgangsfeldes definiert. Wenn man diesen mathematischen Ausdruck auswertet, ist die Berücksichtigung der statistischen Veränderungen im Ensemble von besonderer Bedeutung. Hier und in den folgenden Beispielen findet dabei immer ein auch in der Literatur häufig genutztes Argument Anwendung: Alle Terme, in denen zufällige Phasen auftreten, heben sich gegenseitig bei der Mittelung auf. Anders formuliert bedeutet dies, dass alle Terme, die von Ensemblemitglied zu Ensemblemitglied mit neuen zufälligen Phasen belegt werden, in der Intensität und allen anderen energetischen Größen des Feldes entkoppeln. Für das polychromatische Modell folgt damit die Entkoppelung der harmonischen Felder. Wie vermutet ergibt sich damit folgende Modellierung für polychromatische Punktlichtquellen: (1) Führe eine Zerlegung der Quellenstrahlung in harmonische Felder durch, die dem spektralen Gehalt der Quelle entspricht. (2) Propagiere die resultierenden harmonischen Felder durch das System. (3) Berechne die Intensität je Frequenz und überlagere alle resultierenden Intensitäten. Im Ergebnis ergibt sich die gewünschte Ausgangsintensität für die polychromatische Quelle. Durch die Vereinigung wellenoptischer Rechnung mit polychromatischer Lichtmodellierung können zum Beispiel Punktbildfunktionen für thermisch beleuchtete Abbildungssysteme oder polychromatische Beugungsbilder bestimmt werden. Die Abbildungen 3 und 4 zeigen Beispiele. 100 µm 120 fs 0 fs ABBILDUNG 5: Lateraler (vertikal) und temporaler (horizontal) Pulsverlauf im Fokus einer sphärischen Linse. Unten rechts ist zum Vergleich ein idealer Puls mit Gaußschen lateralen und temporalen Profilen gezeigt. 16 mm 16 mm 240 fs 0 fs ABBILDUNG 6: Laterale (vertikal) und temporale (horizontal) Pulsverläufe im Fernfeld eines Doppelspaltes. Oben erkennt man wie die Überlagerung der Pulsanteile je Spalt zu einem durch Interferenzen und Beugung stark modifizierter Pulsverlauf führt. In dem unteren Experiment wurde ein Spalt mit einer Glasplatte bedeckt, die eine Verzögerung von 30 fs einführt. Die wellenoptische Simulation der Pulspropagation macht diese Verzögerung sichtbar und im Ergebnis sieht man zwei Einfachspaltexperimente die zeitlich aufeinander folgen. Es kommt nicht zur Interferenz der beiden Pulsanteile. LTJ 61

4 Laterale Modenzerlegung ABBILDUNG 7: Quellenmodell für angenähert monochromatische aber lateral partiell kohärente Quellen. Die Ensemblemitglieder haben alle die selbe Wellenlänge, aber unterschiedliche räumliche Verteilungen. Diese Unterschiede kann man durch Zerlegung in laterale Moden weiter analysieren. Die lateralen Moden haben in jedem Ensemblemitglied verschiedene konstante Phasen, welche den willkürlichen Phasenverschiebungen je Mode in der Zeitdomäne geschuldet sind. Dies ist durch die grauen Kästen in der letzten Zeile illustriert. Ultrakurz gepulste Laser Auch ultrakurze Pulse sind polychromatisch. Der Zusammenhang zwischen Wellenlängenbereich Δλ und Pulsdauer Δ t ist durch Δλ = λ 2 /(cδ t) gegeben. Für einen Puls mit der Zentralwellenlänge 800 nm und einer Dauer von 10 fs ergibt sich zum Beispiel eine Bandbreite von ungefähr 200 nm. Trotz dieses polychromatischen Charakters von ultrakurzen Pulsen ist die im vorherigen Abschnitt formulierte Modellierung in einem wesentlichen Punkt nicht für ultrakurze Pulse geeignet. Betrachten wir Abbildung 2 im Zusammenhang mit ultrakurzen Pulsen, so identifizieren wir die Ensemblemitglieder als Einzelpulse in einem Pulszug. Je Einzelpuls liegt das Spektrum bezüglich Amplitude und Phase vollständig fest. Außerdem ändert sich von Puls zu Puls nun nicht mehr zufällig die Phase für alle Frequenzen. Die Pulse unterscheiden sich nur durch eine zufällige konstante Phasenverschiebung über das gesamte Spektrum, da die Pulse in einem Pulszug nicht phasengekoppelt sind. Will man die Intensität durch Mittelung über einen gesamten Pulszug bestimmen, so kann man durch die Entkoppelung der einzelnen Pulse dies für jeden Puls einzeln tun und die Ergebnisse einfach addieren. Die Modellierung der Propagation eines Einzelpulses muss dafür natürlich beherrscht werden. Im Gegensatz zu der thermischen Quelle sind bei einem Puls die Phasenbeziehungen zwischen den Frequenzen determiniert. Sie bestimmen die Pulsform und die Variation der Trägerfrequenz, zum Beispiel in Form eines Chirp. Daher muss bei der Propagation der einzelnen harmonischen Felder eines Pulses die Entwicklung der Phase genau beachtet werden, um im Ausgang des Systems den Effekt der Propagation auf den Puls bestimmen zu können. Dies stellt hohe Anforderungen an die optische Software. Statistische Effekte treten bei der Modellierung eines Einzelpulses nicht auf. Zwei Beispiele sollen die Modellierung ultrakurzer Pulse illustrieren. In beiden Beispielen wurde ein gaußförmiger (temporal und lateral) Puls von 5 fs und 800 nm zentraler Wellenlänge gewählt. Bei der Fokussierung von ultrakurzen Pulsen haben Aberrationen störenden Einfluss auf die laterale und temporale Pulsform. Solche Effekte können mit Hilfe der beschriebenen Pulsmodellierung untersucht werden und ein Beispiel ist in Abbildung 5 gezeigt. Auch die Beugung von ultrakurzen Pulsen kann mit wellenoptischen Modellierungstechniken untersucht werden. Zwei Doppelspaltexperimente sind in Abbildung 6 dargestellt. 2mm 2mm 200 mm 30 mm ABBILDUNG 8: Darstellungen der Wellenausbreitung für einen kohärenten Gauß hoher Ordnung (Tophat) oben und einer entsprechenden partiell kohärenten Verteilung, z. B. der Strahlung einer LED, unten. Horizontal ist die Propagation entlang der z-achse dargestellt und vertikal die entsprechende laterale Veränderung. Räumlich partiell kohärente Quellen Wenden wir uns abschließend einem weiteren wichtigen Fall der Quellenmodellierung zu. Die Quelle soll schmalbandig sein und wir nehmen daher monochromatisches Licht an. Im Falle einer Punktlichtquelle oder eines monomodigen Laserstrahls könnten wir an dieser Stelle das harmonische Feldmodell benutzen. Allerdings interessieren wir uns jetzt für ausgedehnte bzw. multimodige Lichtquellen wie LEDs oder Excimerlaser. Diese Quellen sind räumlich partiell kohärent und daher ist es nicht mehr erlaubt, das harmonische Feldmodell zu nutzen. Die laterale Modenstruktur muss Eingang in das Modell finden. Daher wenden wir nun das Modell aus Abbildung 7 an. Von Ensemblemitglied zu Ensemblemitglied nehmen wir statistische Änderungen der Verteilung an. Die Beschränkung auf monochromatische Quellen ist durch die einheitliche Farbgebung illustriert. Eine Zerlegung der Felder in laterale Moden bestimmt die Modellierung. Laterale Moden können zum Beispiel die Resonatormoden einer Lasers sein. Dazu müssen diese und ihre Gewichte bekannt sein. Gerade für LEDs und Excimerlaser bietet sich eine andere Modenzerlegung an. Da beide Quellen über die emittierende Apertur nur eine langsam variierende Helligkeit aufweisen, sind sie quasihomogen [3]. Solche Quellen können durch lateral verschobene identische Moden modelliert werden, z. B. durch einen Gaußschen Mode. Unabhängig von der konkreten Wahl der lateralen Moden basiert die weitere Diskussion des Modells auf der statistischen Veränderung der 1mm 1mm ABBILDUNG 9: Simulationen der Feldausbreitung eines partiell kohärenten Feldes (identisch zu Abb. 8, unten) hinter einem Doppelspalt. Im oben dargestellten Fall bilden sich deutliche Interferenzen aus. Der Spaltabstand beträgt 150 µm. Wird dieser Abstand auf 250 µm vergrößert, reduzieren sich die Interferenzen deutlich. 62 LTJ September 2005 Nr. 3

5 Felder im Ensemble. Bezüglich der lateralen Moden drückt sich diese statistische Veränderung durch zufällig veränderte Phasen je Ensemblemitglied für die Moden aus. Völlig analog zu den einzelnen Farben in der polychromatischen Quelle entkoppeln wegen dieser statistischen Variation nun die lateralen Moden bei der Auswertung der Intensität des Feldes. Es ergibt sich damit folgende Modellierungstechnik für quasihomogene Quellen: (1) Wähle einen lateralen Mode, der mit der Divergenz der Quellenstrahlung übereinstimmt. Ein Gaußscher Mode geeigneter Breite ist oft eine gute Wahl. Durch laterale Wiederholung und Gewichtung des Modes wird nun die leuchtende Fläche der Quelle modelliert. (2) Propagiere die einzelnen Moden durch das System. (3) Bestimme im Systemausgang die Gesamtintensität, indem die Intensitäten der Moden addiert werden. Mit dieser Technik lassen sich sehr gut zum Beispiel die Strahlung von LEDs und Excimerlaser durch Systeme propagieren. In den Abbildungen 8 und 9 sind Simulationen gezeigt, in denen die freie Feldausbreitung und ein Beugungsexperiment am Doppelspalt zwischen einem kohärenten und einem partiell kohärenten Feld verglichen werden. Bei der Freiraumausbreitung ergibt sich ein erwartetes Bild. Das kohärente Feld bildet signifikante Interferenzeffekte während der Propagation aus, wohingegen das partiell kohärente Feld eine Abstrahlcharakteristik frei von Interferenzen besitzt. Es wäre allerdings völlig falsch daraus zu schließen, dass die partiell kohärente Strahlung nicht zu Interferenzen fähig wäre. Dies zeigt sich eindrucksvoll durch die Doppelspaltexperimente in Abbildung 9. Offenbar beinhaltet die formulierte Quellenmodellierung die wichtigen Effekte lateral partiell kohärenter Strahlung und sie macht entsprechende Simulationen möglich. Zusammenfassung Die diskutierten Modelle zeigen, dass man auf der Basis harmonischer Felder sehr gut auch die Strahlung von realen Quellen modellieren kann. Dazu werden die Quellfelder durch geeignete überlagerungen harmonischer Felder dargestellt, propagiert und unter Auswertung der für den Quellentyp spezifischen statistischen Eigenschaften ausgewertet. Dieses Vorgehen erlaubt die Erweiterung wellenoptischer Simulationen auf partiell kohärente Strahlung auch ohne umfangreiche Kohärenztheorie. Außerdem bietet sich diese Methode an, um optische Simulationssoftware für partiell kohärentes Licht nutzbar zu machen. Die Forschungsarbeiten für diese Publikation wurden im Rahmen der Projektförderung Optische Technologien durch das BMBF gefördert. Literatur [1] F. Wyrowski and J. Turunen. Wave-optical engineering. In A. H. Guenther, editor, International Trends in Applied Optics, chapter 21, pages SPIE Press, Bellingham, [2] F. Wyrowski and J. Turunen. Local interface techniques in wave-optical engineering. In T. P. Jannson, editor, Tribute to Emil Wolf, chapter 18. SPIE Press, Bellingham, [3] L. Mandel and E. Wolf. Optical coherence and quantum optics. Cambridge University Press, Cambridge, OPTISCHE KOMPONENTEN Wir liefern von der einfachen Beleuchtungsoptik bis hin zur Präzisionsoptik sphärische Linsen und Achromate ab Ø 3 mm sphärische Linsen und Asphären gepreßt Kunststofflinsen Filter, Spiegel, Planoptik, Scheiben, Prismen, Objektive gepreßte technische Gläser LED-Spotleuchten Messe und Kongress März 2006 Berlin Adlershof Optische Glasfilter bei uns kein Problem Viele Typen in beliebigen Größen kurzfristig lieferbar! Farbfilter wie z.b. RG, OG, NG, UG, WG, BG Wärmeschutzfilter: KG1, KG2, KG3, KG4, KG5 B&M Optik GmbH Am Fleckenberg 20 D Limburg Tel.: +49 (0) / Fax: +49 (0) / baldus@bm-optik.de Optische Technologien für internationale Märkte Jetzt anmelden! LTJ 63