Ein Algorithmus für die

Transkript

1 VGG 1 Ein Algorithmus für die Visualisierung gerichteter Graphen in der Ebene (2D) Seminar Graph Drawing SS 2004 bei Prof. Bischof (Lehrstuhl für Hochleistungsrechnen)

2 Gliederung VGG 2 Einleitung Motivation Prinzip Schritt 1: Zuordnung der Knoten zu Schichten Schritt 2: Sortierung der Knoten einer Schicht Schritt 3: Positionierung der Knoten (X/Y) Schritt 4: Bögen und Beschriftungen Schlussbemerkungen

3 Einleitung VGG 3 Vorgestellt wird von dot verwendeter Algorithmus zum Graphen zeichnen zweidimensionale graphische Darstellung gerichteter Graphen in der Ebene

4 VGG 4 Motivation

5 Motivation VGG 5 Wofür ein Algorithmus zur Visualisierung gerichteter Graphen? besseres Verständnis alltäglich auftretender Datenstrukturen abstrakte Datenstrukturen schwer verständlich viele Datenstrukturen gut als Graphen darstellbar

6 Beispiele VGG 6 Funktionsaufrufgraphen Vererbungshierachien Benutzungsstrukturen in Programmen Verknüpfungsstrukturen von Hypertext signaturbeziehungen kryptographischer Schlüssel Stammbäume...

7 Probleme VGG 7 für Menschen überschaubarer Graph muss strenge Kriterien erfüllen an Überschneidungen Kantenlänge erkennbare Zusammenhänge??? Aber: überschneidungsfreie Graphen in Ebene nicht immer möglich! (erst ab 3D) Forderungen widersprechen sich teilweise.

8 VGG 8 Kriterien für gute Graphen Algorithmus für Zeichnen gerichteter Graphen Forderungen: Hervorhebung vorhandener Flussrichtung der Bögen im Graphen Darstellung von Zusammenhängen, Vermeidung langer Kanten Hervorhebung / Zusammenfassung von Substrukturen gleichmäßiges und symmetrisches Layout

9 VGG 9 Prinzip

10 Herausforderungen VGG 10 Optimales Layout zu schwierig: viele Teilprobleme wie globale Bogenlängenminimierung mit exponentieller Komplexität! Abhilfe: Konzentration / Spezialisierung auf bestimmte Graphenklassen Verwendung geeigneter Heuristiken, keine optimale aber gute Lösung, wenig Rechenaufwand

11 Ansatz VGG 11 Optimierung des Algorithmus für annähernd hierarchische gerichtete Graphen mit einer Hauptflussrichtung der Bögen. viele Graphen erfüllen Kriterien! (z.b. alle genannten Beispiele bis auf Signaturbeziehungen)

12 Struktur Algorithmus VGG 12 vier Stufen: (Motivationen & Details folgen) 1. Zuordnung der Knoten zu diskreten Schichten 2. Sortierung der Knoten innerhalb jeder Schicht 3. genaue Positionierung der Knoten (X/Y) 4. Berechnung der Bögen mehrstufiger Aufbau erlaubt getrennte Betrachtung und Optimierung der Schritte

13 Eingabe - 1 VGG 13 alle Knoten mit Bezeichnungen ( 1, 2,...) Bögen zwischen Knoten ( 1 2, 3 1 ) Benutzer kann Mengen von Knoten vorgeben, die auf eine Schicht sollen ( S -Mengen) digraph "callgraph" { F83bc040 [label="htreceive\n "]; F83bea40 [label="copyrequestline\n "]; F83bf0a8 [label="htrecvline\n "]; F83bfe18 [label="htadddata\n "]; (...) F83bc040 -> F83bea40 [weight=2,label=" "]; F83bc040 -> F83bf0a8 [weight=2,label=" "]; F83bf0a8 -> F83bfe18 [weight=2,label=" "]; F83bf0a8 -> F83c2558 [weight=2,label=" "]; (...) } Knoten Bögen (keine S x -Mengen abgebildet)

14 Eingabe - 2 VGG 14 digraph "callgraph" { F83bc040 [label="htreceive\n "]; F83bea40 [label="copyrequestline\n "]; F83bf0a8 [label="htrecvline\n "]; F83bfe18 [label="htadddata\n "]; (...) F83bc040 -> F83bea40 [weight=2,label=" "]; F83bc040 -> F83bf0a8 [weight=2,label=" "]; F83bf0a8 -> F83bfe18 [weight=2,label=" "]; F83bf0a8 -> F83c2558 [weight=2,label=" "]; (...) }

15 VGG 15 - Schritt 1 - Zuordnung der Knoten zu Schichten

16 Schichtung der Knoten VGG 16 Zielkriterien erfüllen, z.b. Vermeidung langer Kanten Wie? 4 Ausgangs-Annahme: annähernd hierarchischer Graph Knoten auf verschiedenen Stufen (untergeordnet / übergeordnet) gute Zuordnung optimiert Kantenlängen!

17 VGG 17 Vorgehensweise - Schema Schichtung der Knoten zur globalen Kantenlängenminimierung rechnerisch zu aufwändig! erste Vereinfachungen: alle Zyklen entfernen S 2 S S ) S 1 S 3 S 2 S x -Menge Pseudoknoten S x parallele Bögen verschmelzen Schleifchen an Knoten ignorieren

18 Vorgehensweise - NSA VGG 18 Zyklusentfernung durch Umdrehen von Bögen: Funktioniert bei angenommener hierarchischer Grundstruktur nicht viele Zyklen, nicht viel umzudrehen dazu Netzwerk-Simplex-Algorithmus: erstelle Gerüst des Graphen ersetze so lange die schlechtesten Kanten durch die besten Alternativen, bis Gerüst gewisses Gütekriterium erfüllt Welches?

19 VGG 19 Netzwerk Simplex Algorithmus Gütekriterium für eine Kante: 1 1 Stutzwert Bogen mit schlechtesten Stutzwert suchen durch Bogen mit möglichst großem Stutzwert ersetzen 3 0! ) wiederholen, solange möglich 8 8

20 VGG 20 - Schritt 2 - Sortierung der Knoten einer Schicht

21 Sortierung der Knoten VGG 21 nach Schichtung der Knoten Bogenlängen festgelegt kreuzende Kanten von Reihenfolge der Knoten in den Schichten bestimmt Suche nach sinnvoller Sortierung

22 Sortierung Prinzip VGG 22 Suche einer optimalen Sortierung NPvollständig Graphen vereinfachen zusätzliche Heuristiken verwenden Vorgehensweise: Graph vereinfachen (Schleifen ignorieren,...) Anfangssortierung bestimmen Sortierung schrittweise verbessern

23 Sortierung verbessern VGG 23 Knotenreihenfolge abhängig von der Position der Elternknoten in der vorherigen Schicht: Elternknoten-abhängige Gewichtung für jeden Knoten berechnen Knoten abhängig von der Gewichtung sortieren Knoten mit Nachbarn vertauschen, falls besser

24 VGG 24 Gewichtung der Knoten 1 Mögliche Gewichtungen für Knoten: Barycenter-Methode Durchschnittswert der Positionen der Eltern Median-Methode Median der Positionen der Eltern Median-Methode in Praxis besser auch theoretischer Vorteil: Median-Methode max. dreimal schlechter als Optimallösung, bei Barycenter unbekannt

25 VGG 25 Gewichtung der Knoten 2

26 VGG 26 - Schritt 3 - Positionierung der Knoten (X/Y)

27 X/Y-Positionierung VGG 27 in älteren Algorithmen in den vorhergehenden Schritt integriert Realisierung als eigener Schritt erlaubt mehr Flexibilität Problemstellung: gewichtetes x der Bögen minimieren ( gerade Bögen) Platzbedarf quadratisch in Anzahl der Bögen

28 VGG 28 X/Y: Algorithmus Versuch 1 naheliegender Ansatz: Spezial-Heuristiken zur guten Knotenpositionierung suchen effizient, aber Ergebnis nicht zufriedenstellend: Erkennung zusammengehörender Bereiche / Subgraphen mangelhaft gegenseitige Beeinflussung der verwendeten Heuristiken Feineinstellung schwierig

29 VGG 29 X/Y: Algorithmus Lösung Subgrapherkennung / -verschiebung ähnlich zu NSA-Vorgehensweise bei Schichtung! x-koordinaten Schichtung in x-richtung bereits gelöstes Problem Realisierung über Hilfsgraphkonstruktion u b u' u' b ) n b v w b v' v' b a w'

30 VGG 30 - Schritt 4 - Bögen und Beschriftungen

31 VGG 31 Konstruktion der Bögen 1 Darstellung der Bögen als Splines möglichst gleichmäßige Spline-Führung bestmögliche Platzausnutzung R 1 R 2 R 3 1 R 1 R 2 R

32 VGG 32 Konstruktion der Bögen 2 R 1 R 2 R 3 1 R 1 R 2 R

33 VGG 33 Konstruktion der Bögen 3 R 1 R 2 R BB 9 6 BB 7

34 Bogenbeschriftungen VGG 34 Probleme mit Bogenbeschriftungen: werden oft mitten auf dem Bogen platziert (einfach) überdecken dabei oft wichtige Informationen (Murphy) liegen evtl. bei mehreren Bögen Zuordnung schwierig für Betrachter Lösungsansatz: Betrachte Beschriftungen als unsichtbare Knoten!

35 VGG 35 Schlussbemerkungen

36 Schlussbemerkungen VGG 36 dot verfolgt interessante und einige 1993 ganz neue Ansätze zum Graphen zeichnen (NSA für Schichtung und x-koordinaten, Bogenberechnung, etc...) wenig Rechenzeit und gute Ergebnisse! erfolgreiches Verfahren: erfüllt nicht DFSG aber ist Standardtool für Graphenzeichnen bei OpenSource Software z.b. verwendet durch kcachegrind, Doxygen,... Google: GraphViz Treffer