3 Logarithmen Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer 1. 9. Oktober 2008 Kap. 3: Logarithmen 1
Logarithmen: Definition Definition: Zu x > 0 und b > 0, b 1 sei der Logarithmus von x zur Basis b folgende Zahl y R: y = log b x : b y = x (Mal wieder eine neue Art, Definitionen aufzuschreiben... ) Kap. 3: Logarithmen 2
Logarithmen: Definition Definition: Zu x > 0 und b > 0, b 1 sei der Logarithmus von x zur Basis b folgende Zahl y R: y = log b x : b y = x (Mal wieder eine neue Art, Definitionen aufzuschreiben... ) Drei spezielle Basen kommen so oft vor, dass sie eigene Symbole bekommen: 2 (vor allem bei Informatikern!), 10 und e = 2, 71828...: ld x := log 2 x, log x := log 10 x und ln x := log e x. Kap. 3: Logarithmen 2
Logarithmen: Rechenregeln Potenzieren und Logarithmieren heben sich auf: x = b log b x (4) Kap. 3: Logarithmen 3
Logarithmen: Rechenregeln Potenzieren und Logarithmieren heben sich auf: x = b log b x (4) Aus dem Mal wird ein Plus... log b (x y) = log b x + log b y (5) Kap. 3: Logarithmen 3
Logarithmen: Rechenregeln Potenzieren und Logarithmieren heben sich auf: x = b log b x (4) Aus dem Mal wird ein Plus... log b (x y) = log b x + log b y (5)... aus dem Bruch wird ein Minus... log b x y = log b x log b y (6) Kap. 3: Logarithmen 3
Logarithmen: Rechenregeln Potenzieren und Logarithmieren heben sich auf: x = b log b x (4) Aus dem Mal wird ein Plus... log b (x y) = log b x + log b y (5)... aus dem Bruch wird ein Minus...... und aus dem Potenzieren wird ein Mal: log b x y = log b x log b y (6) log b (x n ) = n log b x (7) Kap. 3: Logarithmen 3
Logarithmen: Basis umrechnen Was tun wir, wenn wir den Logarithmus zu einer Basis brauchen, die unser Taschenrechner nicht beherrscht? Wir verwenden log c x = (log b x) (log c b). (8) (Herleitung: in (4) auf beiden Seiten log c anwenden, anschließend (7) verwenden). Kap. 3: Logarithmen 4
Anwendung: Rechenschieber In der guten alten Zeit vor Ankunft der Taschenrechner waren die Regeln (5) bis (7) für s praktische Rechnen von großer Bedeutung, weil Addieren viel einfacher geht als Multiplizieren z.b. mit zwei aneinander gelegten Skalen. Kap. 3: Logarithmen 5
Anwendung: Rechenschieber In der guten alten Zeit vor Ankunft der Taschenrechner waren die Regeln (5) bis (7) für s praktische Rechnen von großer Bedeutung, weil Addieren viel einfacher geht als Multiplizieren z.b. mit zwei aneinander gelegten Skalen. Haben die Skalen logarithmische Einteilung (Abstand von zwei Achsenbeschriftungen x 1 und x 2 proportional zu log x 1 log x 2 = log(x 1 /x 2 ), Basis ist egal wegen (8)) multipliziert man (mit einem Rechenschieber). Kap. 3: Logarithmen 5
Anwendung: Rechenschieber In der guten alten Zeit vor Ankunft der Taschenrechner waren die Regeln (5) bis (7) für s praktische Rechnen von großer Bedeutung, weil Addieren viel einfacher geht als Multiplizieren z.b. mit zwei aneinander gelegten Skalen. Haben die Skalen logarithmische Einteilung (Abstand von zwei Achsenbeschriftungen x 1 und x 2 proportional zu log x 1 log x 2 = log(x 1 /x 2 ), Basis ist egal wegen (8)) multipliziert man (mit einem Rechenschieber). 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Ein Rechenschieber für Informatiker. Berechnet wird 8 32 = 256. Kap. 3: Logarithmen 5
Anwendung: Diagramme Aber auch für Besitzer von Taschenrechnern sind logarithmische Skalen nützlich u.a. für Diagrammbeschriftungen. Wenn man z.b. Wachstumsprozesse (unsere Geldanlage!) aufmalt, sind Verhältnisse y 1 /y 2 zwischen zwei Werten meist viel interessanter als die absoluten Abstände y 1 y 2 ; z.b. um bei unserer Geldanlage die Rendite zu ermitteln. Kap. 3: Logarithmen 6
Anwendung: Diagramme Aber auch für Besitzer von Taschenrechnern sind logarithmische Skalen nützlich u.a. für Diagrammbeschriftungen. Wenn man z.b. Wachstumsprozesse (unsere Geldanlage!) aufmalt, sind Verhältnisse y 1 /y 2 zwischen zwei Werten meist viel interessanter als die absoluten Abstände y 1 y 2 ; z.b. um bei unserer Geldanlage die Rendite zu ermitteln. Summen und Differenzen von Streckenlängen kann das Auge gut abschätzen, Quotienten viel weniger gut (ich kann s zumindest nicht). Daher sollte man in diesem Fall die Ordinate (vulgo y-achse ) logarithmisch skalieren und könnte aus der Steigung der Kurve wunderbar die Rendite abschätzen. Kap. 3: Logarithmen 6
Anwendung: Diagramme Aber auch für Besitzer von Taschenrechnern sind logarithmische Skalen nützlich u.a. für Diagrammbeschriftungen. Wenn man z.b. Wachstumsprozesse (unsere Geldanlage!) aufmalt, sind Verhältnisse y 1 /y 2 zwischen zwei Werten meist viel interessanter als die absoluten Abstände y 1 y 2 ; z.b. um bei unserer Geldanlage die Rendite zu ermitteln. Summen und Differenzen von Streckenlängen kann das Auge gut abschätzen, Quotienten viel weniger gut (ich kann s zumindest nicht). Daher sollte man in diesem Fall die Ordinate (vulgo y-achse ) logarithmisch skalieren und könnte aus der Steigung der Kurve wunderbar die Rendite abschätzen. Fragen Sie mich bitte nicht, warum der DAX in der Zeitung mit linearer Ordinate abgedruckt wird... Kap. 3: Logarithmen 6