Exemplar für Prüfer/innen

Exemplar für Prüfer/innen Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Juni 2015 Mathematik Kompensationsprüfung 2 Angabe für Prüfer/innen

Hinweise zur Kompensationsprüfung Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der Aufgabenstellung muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden Leitfrage ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen. Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen und die Lösungsschlüssel. Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten. Beurteilung Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden. Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema: Note zumindest erreichte Punkte Genügend Befriedigend Gut Sehr gut 4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen. Kompensationsprüfung 2 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 2/13

Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der Beurteilung. Grundkompetenzpunkt erreicht Leitfragenpunkt erreicht Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Kompensationsprüfung 2 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 3/13

Aufgabe 1 Vektoren Gegeben sind Pfeildarstellungen der vier Vektoren a, b, c, d R 2 und ein Punkt P. d c b a P Aufgabenstellung: Ermitteln Sie in der gegebenen Abbildung ausgehend vom Punkt P grafisch Pfeildarstellungen der Vektoren a c und 2 b 1 2 d! Leitfrage: Begründen Sie anhand der gegebenen Pfeildarstellungen, warum es möglich ist, durch die Vektoraddition r b + s d (mit r, s R) den Vektor c zu erhalten, und bestimmen Sie rechnerisch die Werte der Parameter r und s! Kompensationsprüfung 2 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 4/13

Lösung zur Aufgabe 1 Vektoren Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: d c b a 2b 1 2 d P a c Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Lösungsvektoren korrekt ermittelt werden. Lösungserwartung zur Leitfrage: Es ist möglich, weil die Vektoren b und d nicht parallel sind bzw. weil das entsprechende Gleichungssystem genau eine Lösung hat. 2 r ( ) 1 ( ) + s 4 2 ( ) = 3 0 r = 3 4 und s = 3 8 Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Möglichkeit der Darstellung des Vektors c durch die Vektoren b und d (sinngemäß) richtig begründet wird und die Faktoren r und s richtig berechnet werden. Kompensationsprüfung 2 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 5/13

Aufgabe 2 Formel als Funktion interpretieren Gegeben ist folgende Formel: F = 3 a2 2 b mit F, a, b R ; b 0 Aufgabenstellung: Interpretieren Sie sowohl F in Abhängigkeit von a bei konstantem b mit b > 0 als auch F in Abhängigkeit von b bei konstantem a mit a 0 als Funktion und geben Sie jeweils an, um welchen Funktionstyp es sich dabei handelt! Skizzieren Sie den Verlauf des jeweiligen Graphen! Leitfrage: Beschreiben Sie für die obigen zwei Funktionen die folgenden Eigenschaften: Monotonieverhalten Achsensymmetrie Achsenschnittpunkte Kompensationsprüfung 2 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 6/13

Lösung zur Aufgabe 2 Formel als Funktion interpretieren Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: F in Abhängigkeit von a beschreibt eine quadratische Funktion (bei konstantem b). F F(a) a F in Abhängigkeit von b beschreibt eine Potenzfunktion mit dem Exponenten 1 (bei konstantem a). F(b) F b Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Funktionstypen richtig erkannt und skizziert werden. Der Graph von F muss im ersten Fall als eine zur senkrechten Achse symmetrische, nach oben offene Parabel durch den Ursprung erkennbar sein. Der Graph von F muss im zweiten Fall als eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten erkennbar sein. Lösungserwartung zur Leitfrage: Für F in Abhängigkeit von a gilt: Die Funktion wechselt an der Stelle a = 0 das Monotonieverhalten von streng monoton fallend auf streng monoton steigend. Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur senkrechten Achse. Der Graph der Funktion schneidet beide Achsen im Punkt (0 0). Für F in Abhängigkeit von b gilt: Die Funktion ist streng monoton fallend. Der Graph der Funktion ist nicht achsensymmetrisch (sondern punktsymmetrisch). Es gibt keine Achsenschnittpunkte. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn alle drei Eigenschaften für beide Funktionen beschrieben werden und (sinngemäß) der Lösungserwartung entsprechen. Kompensationsprüfung 2 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 7/13

Aufgabe 3 Stromkosten Die jährlichen Stromkosten f(x) eines Haushaltes können modellhaft durch eine Funktion f mit der Gleichung f(x) = k x + d beschrieben werden, wobei x den Stromverbrauch in Kilowattstunden (kwh) angibt. Bei einem Verbrauch von 3 000 kwh sind laut Tarifrechner des Stromanbieters A dieses Haushalts 560 zu bezahlen, bei einem Verbrauch von 3 200 kwh sind 592 zu bezahlen. Aufgabenstellung: Ermitteln Sie die Werte für die Parameter k und d und deuten Sie die Ergebnisse im Hinblick auf die Stromkosten des Haushalts! Leitfrage: Bei einem anderen Stromanbieter B werden die jährlichen Stromkosten K(x) durch die Funktion K mit der Funktionsgleichung K(x) = 60 + 0,18 x berechnet. Neukunden erhalten im ersten Jahr eine Gutschrift von 50. Der jährliche Stromverbrauch des in der Einleitung erwähnten Haushalts liegt erfahrungsgemäß bei ungefähr 3 000 kwh. Lohnt es sich für diesen Haushalt, zu Stromanbieter B zu wechseln, wenn die Mindestvertragsdauer zwei Jahre beträgt und ein gleichbleibender Stromverbrauch pro Jahr angenommen wird? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe von Berechnungen! Kompensationsprüfung 2 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 8/13

Lösung zur Aufgabe 3 Stromkosten Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: k = 4 = 0,16 entspricht einem Strompreis von 16 Cent pro kwh. 25 d = 80 entspricht 80 Grundgebühr (Fixkosten) pro Jahr. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Werte richtig berechnet und (sinngemäß) richtig gedeutet werden. Lösungserwartung zur Leitfrage: bisheriger Anbieter: f(3 000) = 560 Anbieter B: K(3 000) = 600 Die Stromkosten sind bei Anbieter B im Lauf von zwei Jahren um 80 höher, während die Gutschrift nur 50 beträgt. Langfristig lohnt sich daher ein Wechsel zu Stromanbieter B nicht. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn mithilfe von Berechnungen schlüssig begründet wird, warum sich ein Wechsel zu Stromanbieter B nicht lohnt. Kompensationsprüfung 2 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 9/13

Aufgabe 4 Ableitung und Stammfunktion einer Polynomfunktion Von einer Polynomfunktion f dritten Grades ist der nachstehende Graph dargestellt. 4 f(x) 3 2 1 0 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 1 x f 2 3 Aufgabenstellung: Beziehen Sie zu folgenden Aussagen die Ableitungsfunktion f betreffend Stellung und begründen Sie, warum diese wahr oder falsch sind! Der Graph von f hat ein lokales Minimum (einen Tiefpunkt). f hat zwei Nullstellen. Der Graph von f hat einen Wendepunkt. Alle Funktionswerte von f sind aus R +. Leitfrage: Geben Sie an, durch welche charakteristischen Eigenschaften (Art der Funktion, Anzahl der Extremstellen und Wendestellen) eine Stammfunktion F der gegebenen Funktion f gekennzeichnet ist! Erläutern Sie weiters, warum F nicht eindeutig ist und warum man nicht konkret angeben kann, wie viele Nullstellen F jedenfalls hat! Kompensationsprüfung 2 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 10/13

Lösung zur Aufgabe 4 Ableitung und Stammfunktion einer Polynomfunktion Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Der Graph von f hat ein lokales Minimum (einen Tiefpunkt). Wahre Aussage: Durch die Wendestelle von f ist eine lokale Extremstelle von f festgelegt. Da an der Wendestelle der Anstieg der Funktion f negativ ist, hat der Graph von f an dieser Stelle ein lokales Minimum. f hat zwei Nullstellen. Wahre Aussage: An den zwei lokalen Extremstellen von f ist der Anstieg null. Der Graph von f hat an diesen Stellen jeweils einen Schnittpunkt mit der x-achse. Der Graph von f hat einen Wendepunkt. Falsche Aussage: f ist eine Polynomfunktion zweiten Grades und hat somit keine Wendestelle. Alle Funktionswerte von f sind aus R +. Falsche Aussage: f ist zwischen den Extremstellen streng monoton fallend, also ist f im Intervall zwischen diesen beiden Stellen negativ. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn alle vier Aussagen korrekt beurteilt und (sinngemäß) korrekt begründet werden. Lösungserwartung zur Leitfrage: F ist eine Polynomfunktion vierten Grades mit drei lokalen Extremstellen (da f drei Nullstellen hat) und zwei Wendestellen (da f zwei Extremstellen hat). Es gilt sowohl F = f als auch (F + c) = f. Das bedeutet, dass es unendlich viele Stammfunktionen von f gibt, die sich alle nur um additive Konstanten unterscheiden. Alle Graphen von F sind kongruent, nur entlang der senkrechten Achse verschoben. Über die genaue Anzahl der Nullstellen kann man daher keine konkrete Aussage treffen. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn über die charakteristischen Eigenschaften der Stammfunktion der Lösungserwartung (sinngemäß) entsprechend reflektiert und eine korrekte Erklärung für die Vielzahl von möglichen Stammfunktionen und der Anzahl der Nullstellen gegeben wird. Kompensationsprüfung 2 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 11/13

Aufgabe 5 Barbesucher/innen Die nachstehenden Kastenschaubilder (Boxplots) beschreiben das Alter der Besucher/innen einer Bar in zwei aufeinanderfolgenden Monaten. Jänner 18 20 22 26 34 Februar 18 22 24 31 38 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 Alter der Besucher/innen in Jahren Aufgabenstellung: Bestimmen Sie sowohl für den Jänner als auch für den Februar den Median die Spannweite das erste und das dritte Quartil des Alters der Besucher/innen! Leitfrage: Geben Sie an, ob die beiden nachstehenden Aussagen gültig sind, und begründen Sie Ihre Entscheidung! Das arithmetische Mittel des Alters der Besucher/innen ist im Februar größer als im Jänner. Wäre nur das Maximum des Alters der Besucher/innen im Februar größer, so würde der Median ebenfalls größer sein. Kompensationsprüfung 2 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 12/13

Lösung zur Aufgabe 5 Barbesucher/innen Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Jänner: Median = 22 Jahre Spannweite = 16 Jahre erstes Quartil = 20 Jahre drittes Quartil = 26 Jahre Februar: Median = 24 Jahre Spannweite = 20 Jahre erstes Quartil = 22 Jahre drittes Quartil = 31 Jahre Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die statistischen Kenngrößen richtig wiedergegeben werden. Lösungserwartung zur Leitfrage: Erste Aussage: Über das arithmetische Mittel des Alters der Barbesucher/innen kann keine Aussage getroffen werden, weil die Datenliste, auf deren Grundlage das Kastenschaubild erstellt wurde, nicht bekannt ist. Man kann daher nicht entscheiden, ob diese Aussage wahr oder falsch ist. Zweite Aussage: Diese Aussage ist nicht korrekt. Der Wert des Medians ist unabhängig vom Wert des Maximums (bei sonst gleichbleibenden Werten). Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Aussagen (sinngemäß) korrekt analysiert werden. Kompensationsprüfung 2 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 13/13