Nullstellen einer Polynomfunktion

Transkript

1 Nullstellen einer Polynomfunktion Typ 1 S Aufgabennummer: 1_39 Prüfungsteil: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: FA 4.4 keine Hilfsmittel S erforderlich gewohnte Hilfsmittel S möglich Typ besondere Technologie erforderlich Wie viele verschiedene reelle Nullstellen kann eine Polynomfunktion 3. Grades haben? Aufgabenstellung: Veranschaulichen Sie Ihre Lösungsfälle durch jeweils einen möglichen Graphen!

2 Nullstellen einer Polynomfunktion Möglicher Lösungsweg Eine Nullstelle: oder Zwei Nullstellen: oder Drei Nullstellen: oder oder

3 Nullstellen einer Polynomfunktion 3 Lösungsschlüssel Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn die Graphen entsprechend der richtigen Nullstellenanzahl korrekt skizziert sind.

4 Polynomfunktionen Typ 1 S Aufgabennummer: 1_19 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Multiple Choice ( aus 5) Grundkompetenz: FA 4.4 keine Hilfsmittel S erforderlich gewohnte Hilfsmittel S möglich Typ besondere Technologie erforderlich Die folgenden Aussagen beschreiben Eigenschaften von Polynomfunktionen f mit f() = ni= ai i mit n ℕ. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an! Jede Polynomfunktion dritten Grades hat genau eine Wendestelle. Jede Polynomfunktion vierten Grades hat mindestens eine Nullstelle. Jede Polynomfunktion, die zwei lokale Etremstellen hat, ist mindestens vom Grad 3. Jede Polynomfunktion, die genau zwei lokale Etremstellen hat, hat mindestens eine Wendestelle. Jede Polynomfunktion, deren Grad größer als 3 ist, hat mindestens eine lokale Etremstelle.

5 Polynomfunktionen Lösungsweg Jede Polynomfunktion dritten Grades hat genau eine Wendestelle. Jede Polynomfunktion vierten Grades hat mindestens eine Nullstelle. Jede Polynomfunktion, die zwei lokale Etremstellen hat, ist mindestens vom Grad 3. Jede Polynomfunktion, die genau zwei lokale Etremstellen hat, hat mindestens eine Wendestelle. Jede Polynomfunktion, deren Grad größer als 3 ist, hat mindestens eine lokale Etremstelle. S S S Lösungsschlüssel Die Lösung gilt nur dann als richtig, wenn genau die drei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.

6 Grad einer Polynomfunktion Typ 1 Aufgabennummer: 1_184 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Multiple Choice ( aus 5) Grundkompetenz: FA 4.4 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich Typ besondere Technologie erforderlich Die folgenden Aussagen beschreiben Eigenschaften von Polynomfunktionen f mit f() = ni = ai i mit n (n ). Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an! Jede Polynomfunktion dritten Grades hat genau eine Wendestelle. Jede Polynomfunktion vierten Grades hat mindestens eine Nullstelle. Jede Polynomfunktion, die zwei lokale Etremstellen hat, ist mindestens vom Grad 3. Jede Polynomfunktion, die genau zwei lokale Etremstellen hat, hat mindestens eine Wendestelle. Jede Polynomfunktion, deren Grad größer als 3 ist, hat mindestens eine lokale Etremstelle.

7 Grad einer Polynomfunktion Lösungsweg Jede Polynomfunktion dritten Grades hat genau eine Wendestelle. Jede Polynomfunktion, die zwei lokale Etremstellen hat, ist mindestens vom Grad 3. Jede Polynomfunktion, die genau zwei lokale Etremstellen hat, hat mindestens eine Wendestelle. Lösungsschlüssel Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau drei Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze richtig gesetzt sind.

8 Polynomfunktion 3. Grades Typ 1 S Aufgabennummer: 1_83 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Multiple Choice ( aus 5) Grundkompetenz: FA 4.4 keine Hilfsmittel S erforderlich gewohnte Hilfsmittel Typ besondere Technologie S möglich erforderlich Gegeben ist die Polynomfunktion 3. Grades f() = a 3 + b + c + d (a, b, c, d ℝ, a ). Aufgabenstellung: Wie viele reelle Nullstellen kann diese Funktion besitzen? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! keine mindestens eine höchstens drei genau vier unendlich viele

9 Polynomfunktion 3. Grades Lösungsweg mindestens eine S höchstens drei S Lösungsschlüssel Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die zwei zutreffenden Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.

10 Quadratische Funktion Typ 1 S Aufgabennummer: 1_13 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Zuordnungsformat Grundkompetenz: FA 4.1 keine Hilfsmittel S erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich Typ besondere Technologie erforderlich Eine quadratische Funktion hat die Funktionsgleichung f() = a + b + c mit a, b, c ℝ und a. Ihr Graph ist eine Parabel. Aufgabenstellung: Ordnen Sie den vorgegebenen Bedingungen für a, b und c die daraus jedenfalls resultierende Eigenschaft zu! a< A Der Funktionsgraph hat keine Nullstelle. a> B Der Graph hat mindestens einen Schnittpunkt mit der -Achse. c= C Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt. b= D Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt. E Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur -Achse. F Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-achse.

11 Quadratische Funktion Lösungsweg a< C A Der Funktionsgraph hat keine Nullstelle. a> D B Der Graph hat mindestens einen Schnittpunkt mit der -Achse. c= B C Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt. b= F D Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt. E Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur -Achse. F Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-achse. Lösungsschlüssel Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn alle Buchstaben korrekt zugeordnet wurden.

12 Polynomfunktion* Typ 1 Aufgabennummer: 1_13 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Zuordnungsformat Grundkompetenz: FA 4.1 keine Hilfsmittel gewohnte Hilfsmittel erforderlich besondere Technologie möglich Es sind die Graphen von vier Polynomfunktionen f: Typ erforderlich gegeben. Aufgabenstellung: Ordnen Sie den folgenden Graphen jeweils die entsprechende Funktionsgleichung zu! f() f A f() = B f() = C f() = + 1 D f() = E f() = F f() = f() f f() f f() f * Diese Aufgabe wurde dem im Oktober 1 publizierten Kompetenzcheck (vgl. entnommen.

13 Polynomfunktion Möglicher Lösungsweg f() f F A f() = B f() = C f() = + 1 D f() = E f() = F f() = f() f A f() f D f() f B Lösungsschlüssel Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn alle vier Buchstaben richtig zugeordnet sind.

14 Graphen von Polynomfunktionen* Typ 1 S Aufgabennummer: 1_158 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Multiple Choice ( aus 5) Grundkompetenz: FA 4.1 keine Hilfsmittel gewohnte Hilfsmittel S erforderlich möglich Typ besondere Technologie erforderlich Gegeben ist eine Polynomfunktion f dritten Grades. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie diejenige(n) Abbildung(en) an, die einen möglichen Funktionsgraphen von f zeigt/zeigen! f() f() f() f() f() * Diese Aufgabe wurde der im Mai 13 publizierten Probeklausur (vgl. entnommen.

15 Graphen von Polynomfunktionen Lösungsweg f() f() S S f() S Lösungsschlüssel Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau drei Abbildungen angekreuzt sind und alle Kreuze richtig gesetzt sind.

16 Grad einer Polynomfunktion Typ 1 Aufgabennummer: 1_184 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Multiple Choice ( aus 5) Grundkompetenz: FA 4.4 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich Typ besondere Technologie erforderlich Die folgenden Aussagen beschreiben Eigenschaften von Polynomfunktionen f mit f() = ni = ai i mit n (n ). Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an! Jede Polynomfunktion dritten Grades hat genau eine Wendestelle. Jede Polynomfunktion vierten Grades hat mindestens eine Nullstelle. Jede Polynomfunktion, die zwei lokale Etremstellen hat, ist mindestens vom Grad 3. Jede Polynomfunktion, die genau zwei lokale Etremstellen hat, hat mindestens eine Wendestelle. Jede Polynomfunktion, deren Grad größer als 3 ist, hat mindestens eine lokale Etremstelle.

17 Grad einer Polynomfunktion Lösungsweg Jede Polynomfunktion dritten Grades hat genau eine Wendestelle. Jede Polynomfunktion, die zwei lokale Etremstellen hat, ist mindestens vom Grad 3. Jede Polynomfunktion, die genau zwei lokale Etremstellen hat, hat mindestens eine Wendestelle. Lösungsschlüssel Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau drei Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze richtig gesetzt sind.

18 Parabel Typ 1 Aufgabennummer: 1_69 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Multiple Choice ( aus 5) Grundkompetenz: FA 4.1 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich Typ besondere Technologie erforderlich Der Graph einer Polynomfunktion zweiten Grades mit f() = a + b + c ist eine Parabel. Aufgabenstellung: Welche Bedingungen müssen die Koeffizienten a, b und c jedenfalls erfüllen, damit die Parabel (so wie in der nebenstehenden Skizze) nach unten offen ist und ihren Scheitel auf der y-achse hat? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! a< a> b= b< c=

19 Parabel Lösung a< b= Lösungsschlüssel Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.

20 Nullstellen Typ 1 Aufgabennummer: 1_7 Prüfungsteil: Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: FA 4.3 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel besondere Technologie möglich erforderlich Gegeben ist die Funktion g mit der Gleichung g ( ) =. 8 Aufgabenstellung: Berechnen Sie alle Werte von, für die g() = gilt! Typ

21 Nullstellen Möglicher Lösungsweg 1 = 4 und = 4 Lösungsschlüssel Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn beide Werte korrekt angegeben sind.

22 Polynomfunktion mit Terrassenpunkt Typ 1 S Aufgabennummer: 1_71 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Multiple Choice ( aus 5) Grundkompetenz: FA 4.4 keine Hilfsmittel S erforderlich gewohnte Hilfsmittel S möglich Typ besondere Technologie erforderlich Ein Terrassen- bzw. Sattelpunkt an einer Stelle liegt dann vor, wenn f ( ) = f ( ) = gilt. Eine Polynomfunktion f vierten Grades besitzt den Sattelpunkt S = ( ). Die nachstehenden fünf Abbildungen zeigen Graphen von Polynomfunktionen, wobei alle Etrem- und Wendepunkte in den Darstellungen enthalten sind. Aufgabenstellung: Kreuzen Sie die beiden Abbildungen an, die den Graphen der Funktion f darstellen können!

23 Polynomfunktion mit Terrassenpunkt Lösung S S Lösungsschlüssel Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Abbildungen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.

24 Skalierung der Achsen Typ 1 Aufgabennummer: 1_88 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Konstruktionsformat Grundkompetenz: FA 4. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich Typ besondere Technologie erforderlich Die unten stehende Grafik zeigt einen Ausschnitt des Graphen einer Polynomfunktion f vom Grad 3. In der nebenstehenden Wertetabelle sind die Koordinaten einzelner Punkte angeführt. Aufgabenstellung: Tragen Sie die Skalierung der Achsen so ein, dass eine Übereinstimmung mit den Werten der Tabelle und der Grafik gegeben ist! Zeichnen Sie dazu auf jeder Achse zumindest zwei ganzzahlige Werte ein! y 4 5,6 3,44 1, , ,56 5

25 Skalierung der Achsen Möglicher Lösungsweg Lösungsschlüssel Aus einer der Nullstellen ergibt sich die Skalierung der -Achse, aus dem Punkt (1 1 ) die Skalierung der y-achse. Die Aufgabe ist dann als richtig gelöst zu werten, wenn die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten gut ablesbar sind und mindestens zwei ganzzahlige Werte auf jeder Achse eingetragen sind.

26 Zusammenhang Tabelle Graph Typ 1 Aufgabennummer: 1_89 Prüfungsteil: Aufgabenformat: Zuordnungsformat Grundkompetenz: FA 4. keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich Von Polynomfunktionen f mit f() = einigen Stellen. mit n Typ besondere Technologie erforderlich kennt man die Funktionswerte f() an Aufgabenstellung: Ordnen Sie den vier Tabellen jeweils einen möglichen Graphen (aus A bis F) richtig zu!

27 Zusammenhang Tabelle Graph f 1() f () f 3() f 4() A B C D E F

28 Zusammenhang Tabelle Graph 3 Lösung f 1() f () f 3() f 4() F A C B A C E D E F Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jeder der vier Tabellen ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.

29 Funktionswert bestimmen Typ 1 Aufgabennummer: 1_317 Prüfungsteil: Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 4.3 keine Hilfsmittel erforderlich gewohnte Hilfsmittel möglich Typ besondere Technologie erforderlich Der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades hat im Ursprung einen Wendepunkt und geht durch den Punkt P = (1 ). Aufgabenstellung: Geben Sie den Funktionswert an der Stelle = 1 an! f( 1) =

30 Funktionswert bestimmen Möglicher Lösungsweg f( 1) = Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn der richtige Funktionswert angegeben ist.