Fuzzy Logik Franka Zander, Dezember 2004
Franka Zander, Dezember 2004 2/43 Inhaltsverzeichnis 1. Unscharfe Mengen 1.1 Einleitung 1.2 Unscharfe Mengen und deren Verknüpfung 1.3 Unscharfe Zahlen 2. Unscharfe Logik und Steuerung 2.1 Fuzzifizierung 2.2 Inferenz 2.3 Defuzzifizierung 3. Unscharfe Arithmetik 3.1 Verknüpfung unscharfer Zahlen 3.2 Größenvergleich unscharfer Zahlen
1.1 Einleitung Fuzzy unscharf, verschwommen, vage Seit ca. 1965 entwickelte sich Zweig der Angewandten Mathematik ( Fuzzy-Methoden, L. A. Zadeh) Vollständige Messbarkeit nicht möglich subjektive Beurteilung nötig Franka Zander, Dezember 2004 3/43
Beispiele unscharfer Begriffe: Ausreichende Festigkeit eines Werkstoffes Gesundheitsschädliche Strahlendosis Günstiger Kurs X und Y sind fast gleich Normale Betriebstemperatur Franka Zander, Dezember 2004 4/43
Möglichkeiten im Falle einer unscharfen Situation: 1) Verzicht auf rationale Modellierung 2) Verwendung von scharfen Modellen 3) Einsatz von unscharfen Methoden, die die Unschärfe zum Gegenstand der Modellierung machen Robustheit der Ergebnisse Franka Zander, Dezember 2004 5/43
Beispiel einer unscharfen Schlussweise: Die meisten Schweden sind groß Die meisten Schweden sind blond Nils ist Schwede Nils ist wahrscheinlich groß und blond Franka Zander, Dezember 2004 6/43
Mit stochastischen Methoden behandelt: 90 % der Schweden sind 175 cm 90 % der Schweden sind blond P( blond und 175 ) = 81 % Nils ist mit 81 % Wahrscheinlichkeit groß und blond Merkmale groß und blond müssen scharf definiert werden Es gehen statistische Zusatzannahmen ein (hier: Unabhängigkeit der Merkmale groß und blond ) Franka Zander, Dezember 2004 7/43
Beispiel einer Steuerung mit scharfen Angaben: Gehe 497 m geradeaus bis zur Straßenkreuzung mit 16,5 m Diagonale Schwenke 87 gegen Uhrzeigersinn Gehe weitere 6% der zurückgelegten Distanz Bis zum Bauwerk, das Licht von 520 nm Wellenlänge ausstrahlt Franka Zander, Dezember 2004 8/43
Beispiel der Steuerung mit unscharfen Angaben: Gehe ca. einen halben Kilometer bis zur Kreuzung Dann links Dann noch eine kurze Distanz Bis zum grünen Haus Franka Zander, Dezember 2004 9/43
Unscharfe Steuerung ist in unscharfen Situationen robuster wird großtechnologisch eingesetzt Anwendungsbeispiele sind Fuzzy-Steuerungen bei: Waschmaschinen Klimaanlagen Camcordern und Kameras Staubsaugern U-Bahn in Sendai (Japan), seit 1987 in Betrieb Franka Zander, Dezember 2004 10/43
Franka Zander, Dezember 2004 11/43 1.2 Unscharfe Mengen und deren Verknüpfung Ein Argument, das nur überzeugt, wenn es präzise ist, verliert alle Kraft, wenn die Annahmen, auf denen es beruht, leicht geändert werden; ein unpräzises aber überzeugendes Argument bleibt eher stabil unter Änderung der zugrundeliegenden Axiome (J. Schartz, 1962)
Klassische Mengenlehre: Teilmenge A von X ist eine Ansammlung von gewissen Elementen von X Von jedem Element steht fest, ob es zu A gehört oder nicht Zugehörigkeitsfunktion: m A (x) = 1, wenn x zu A gehört m A (x) = 0, wenn x nicht zu A gehört Franka Zander, Dezember 2004 12/43
Beispiel: X ist Menge der reellen Zahlen Menge A alle reellen Zahlen kleiner oder gleich 8 Franka Zander, Dezember 2004 13/43
Unscharfe Mengenlehre: Auch graduelle Zugehörigkeitsfunktionen zulassen Unscharfe Teilmenge A von X wird durch Zugehörigkeitsfunktion m A (x) auf X zu beschreiben sein, die beliebige Werte annehmen kann Normierung: 0 m A (x) 1 m A (x) wird als Zugehörigkeitsgrad von x zur Menge A interpretiert Franka Zander, Dezember 2004 14/43
Beispiel: Bestimmter Messwert soll die Sicherheitsgrenze von 8 nicht überschreiten Menge der Messwerte im sicheren Bereich: Franka Zander, Dezember 2004 15/43
A, B seien unscharfe Mengen mit Zugehörigkeitsfunktionen m A (x), m B (x) Unscharfer Durchschnitt A B: m A B (x) = min (m A (x), m B (x)) Unscharfe Vereinigung A B: m A B (x) = max (m A (x), m B (x)) Franka Zander, Dezember 2004 16/43
A Menge der Messwerte im sicheren Bereich B Menge der Messwerte in der Nähe von 10 Zugehörigkeitsfunktion m A B (x): Zugehörigkeitsfunktion m A B (x): Franka Zander, Dezember 2004 17/43
1.3 Unscharfe Zahlen Unscharfe Zahl a: Spezielle unscharfe Menge von Zahlen mit einer Zugehörigkeitsfunktion m A (x) Funktion hat linken ansteigenden Bereich, einen eindeutigen zentralen Wert z mit m A (x) = 1 und einen rechten abfallenden Bereich Funktion ist oberhalbstetig Franka Zander, Dezember 2004 18/43
Sprechweise: eine Zahl ungefähr gleich z Die ansteigenden bzw. abfallenden Teile können linear, quadratisch, exponentiell sein; begrenzt oder ins Unendliche reichend; symmetrisch oder unsymmetrisch Zentraler Plateaubereich: Franka Zander, Dezember 2004 19/43
Franka Zander, Dezember 2004 20/43 Rechteckszahlen: a = a L,a R Dreieckszahlen: a = a L,a M,a R
Günstig, wenn keine besondere Information über die Art der Unschärfe vorliegt Fälle a L = a M oder a M = a R sind zugelassen a L = a M = a R scharfe Zahl als Spezialfall Franka Zander, Dezember 2004 21/43
Trapezzahlen: analog Dreieckszahlen, jedoch mit zentralem Plateaubereich, also von der Form a = a L,a ML,a MR,a R Franka Zander, Dezember 2004 22/43
Polygone Zahlen: sind durch Niveaus 0 = α 0 < α 1 <... < α n und Knickpunkte a L0 a L1... a Ln a Rn... a R1 a R0 mit m(a Li ) = m(a Ri ) = α i charakterisiert Franka Zander, Dezember 2004 23/43
Quadratische Zahlen: Begrenzungen durch Parabelbögen gegeben Franka Zander, Dezember 2004 24/43
2. Unscharfe Logik und Steuerung 2.1 Fuzzifizierung Für V = 90 km/h gilt: m Vmittel (90) = 3/4, m Vgroß (90) = 1/4 Franka Zander, Dezember 2004 25/43
Für den Abstand von 100 m gilt: m Aklein (100) = 2/3, m Amittel (100) = 1/3 Franka Zander, Dezember 2004 26/43
Franka Zander, Dezember 2004 27/43 2.2 Inferenz Mehr als eine Eingangsvariable deren Kombination ( Aggregation ) muss festgelegt werden (Zugehörigkeitsgrad der Verknüpfungen und und oder )
Kernstück der Fuzzysteuerung Liste der Schlussregeln Franka Zander, Dezember 2004 28/43
Schlussfolgerung erhält denselben Zugehörigkeitsgrad wie die Prämisse Prämissen: m P2 (90, 100) = min(3/4, 2/3) = 2/3 (mittel) m P3 (90, 100) = min(3/4, 1/3) = 1/3 (klein) m P4 (90, 100) = min(1/4, 2/3) = 1/4 (groß) m P5 (90, 100) = min(1/4, 1/3) = 1/4 (mittel) Tritt dieselbe Schlussfolgerung mehrmals auf Maximum der Zugehörigkeitsgrade Franka Zander, Dezember 2004 29/43
Bremsdruck: m Bklein = 1/3 (aus P3) m Bmittel = max(2/3, 1/4) = 2/3 (aus P2 und P5) m Bgroß = 1/4 (aus P4) Franka Zander, Dezember 2004 30/43
2.3 Defuzzifizierung Steuerinstrument verlangt scharfe Anweisung Schwerpunkt der Fläche unter dem Zugehörigkeitsgrad verwenden 1,9 bar Franka Zander, Dezember 2004 31/43
3. Unscharfe Arithmetik 3.1 Verknüpfung unscharfer Zahlen a) Rechteckszahlen Summe und Differenz zweier Rechteckszahlen a = a L, a R, b = b L, b R ist wieder eine Rechteckszahl Summe: a L, a R + b L, b R = a L + b L, a R + b R Differenz: a L, a R b L, b R = a L b R, a R b L Franka Zander, Dezember 2004 32/43
Zahlenbeispiel: Franka Zander, Dezember 2004 33/43
b) Dreieckszahlen Summe und Differenz zweier Dreieckszahlen a = a L, a M, a R, b = b L, b M, b R ist wieder eine Dreieckszahl Summe: a L, a M, a R + b L, b M, b R = a L + b L, a M + b M, a R + b R Differenz: a L, a M, a R b L, b M, b R = a L b R, a M b M, a R b L Franka Zander, Dezember 2004 34/43
Zahlenbeispiel: Franka Zander, Dezember 2004 35/43
c) Trapezzahlen Summe und Differenz zweier Trapezzahlen a = a L, a ML, a MR, a R, b = b L, b ML, b MR, b R ist wieder eine Trapezzahl Summe: a L, a ML, a MR, a R + b L, b ML, b MR, b R = a L + b L, a ML + b ML, a MR + b MR, a R + b R Differenz: a L, a ML, a MR, a R b L, b ML, b MR, b R = a L b R, a ML b MR, a MR b ML, a R b L Franka Zander, Dezember 2004 36/43
Zahlenbeispiel: Franka Zander, Dezember 2004 37/43
Addition und Subtraktion von polygonen Zahlen erfolgt analog Im Allgemeinen ist (a b) + b a unscharfe Addition und Subtraktion haben nicht alle gewohnten algebraischen Eigenschaften Franka Zander, Dezember 2004 38/43
Franka Zander, Dezember 2004 39/43 3.2 Größenvergleich unscharfer Zahlen Keine natürliche Anordnung m max(a,b) (x) = sup min(m a (y), m b (z)) x=max(y,z)
Franka Zander, Dezember 2004 40/43 Seien a = a L, a M, a R, b = b L, b M, b R zwei Dreieckszahlen und a b falls gilt: a L b L, a M b M, a R b R es gibt unvergleichbare Zahlen, für die weder a b noch b a gilt
Dreieckszahl c heißt Supremum von a und b, c = sup(a,b) falls gilt: i) a c und b c ii) c ist die kleinste Dreieckszahl mit dieser Eigenschaft sup(a,b) = max(a L,b L ), max(a M,b M ), max(a R,b R ) Franka Zander, Dezember 2004 41/43
Beispiel: a = 3,5,8, b = 2,6,7 ; sup(a,b) = 3,6,8 Franka Zander, Dezember 2004 42/43
Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! Franka Zander, Dezember 2004 43/43