Nebenjobs 00 Kompetenzerwartungen Informationen aus mathematikhaltiger Darstellung entnehmen, strukturieren und bewerten (K ) Lösungswege vergleichen und bewerten (K ) Vorgehensweise zur Lösung eines Optimierungsproblems planen (K ) und beschreiben (K ) Schätzen, überschlagen (K ) Einordnen Klasse 7 Signor Enrico lässt fragen Zur Sache Begriffe Pascalsches Dreieck Merktexte Worum geht es? Binome multiplizieren Nebenjobs Handytarife 5 Heureka Im Zentrum dieser Lernumgebung steht das Thema Optimierung. Die Schülerinnen und Schüler versuchen, unter verschiedenen Möglichkeiten die beste zu wählen: unter verschiedenen Neben job-angeboten das lukrativste auszusuchen; unter verschiedenen Arten, Zeitungen an Haushalte zu verteilen, die kürzestmögliche finden usw. Viele der gestellten Probleme können mithilfe eines Graphen gelöst werden. In einem Straßennetz den kürzesten Weg durch alle Straßen zu finden ist auch für Mathematiker ein anspruchsvolles Problem. Hier geht es darum, dass die Lernenden eine möglichst gute Lösung angeben und diese (intuitiv) begründen. Wer lieber auf andere Sachthemen eingehen möchte, kann z. B. Fragen der folgenden Art aufgreifen: möglichst große Einnahmen erzielen, z. B. bei einer Schülerfirma, möglichst wenig Energie verwenden, Routenplanung an regionalen Beispielen usw. In den späteren Lernumgebungen werden folgende Themen aufgegriffen: Lernumgebung Binome multiplizieren : Pascal- Dreieck, Lernumgebung Handytarife Optimierungsaufgaben, Lernumgebung Heureka Problemlöseaufgaben. Zum Unterricht Was wird benötigt? Arbeitsmaterial: Zeitungsinserate für Neben- und Ferienjobs für Jugendliche Kopiervorlage: Ortsplan der Gemeinde Eilersfeld oder Plan der eigenen Gemeinde Kopiervorlage: Pascalsches Dreieck (Kopiervorlagen auch als Online-Links im Schülerbuch) Vorschlag zur Stundenverteilung Stunde, LU bis 5, LU,, 5 AH ¹ Wie kann man vorgehen? Voraussetzungen Es werden keine besonderen Vorkenntnisse vorausgesetzt. Zur Lernumgebung In dieser Lernumgebung werden Situationen aus der Berufswelt zum Anlass genommen, sich mit Aufgaben zum Problemlösen, aber auch zum Schätzen und Abwägen zu beschäftigen. Die Lernumgebung bekommt einen noch stärkeren Realitätsbezug, wenn die Schülerinnen und Schüler selbst Inserate für Neben- oder Ferienjobs suchen und in die Schule mitbringen. In einer ersten Arbeitsphase ist es durchaus erwünscht, dass die Lernenden über bereits gemachte Joberfahrungen berichten, ohne schon mathematische Überlegungen anzustellen. Auch Überlegungen zu den individuellen Auswahlkriterien der Schülerinnen und Schüler lassen sich hier diskutieren: Verdienstmöglichkeiten, persönliche Neigungen, eigenes Können usw. Die Hauptaufgabe der Lernumgebung besteht darin, das Austragen der Zeitungen zu planen und aufzuteilen, beispielsweise in einer Dreier- oder Vierergruppe. Dabei stellen sich Probleme aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik. Wichtig ist, dass die Gruppen ihr Vorgehen begründen, um dann kompetent mit den anderen Gruppen über ihre Lösungen diskutieren zu können. Dabei üben die Lernenden auch, überzeugend zu argumentieren. Der Ortsplan im Schulbuch zeigt einen Teil einer fiktiven Gemeinde Eilersfeld. In der Realität liegt diesem Bild der Ortsplan der Gemeinde Oensingen (CH) zugrunde. Anstelle dieses Ortsplans kann eventuell auch der Plan der eigenen Gemeinde (oder ein Ausschnitt daraus) verwendet werden. 5 Bei dieser Aufgabe sind mehrere Antworten möglich. Ebenso wichtig wie die Antwort ist die Begründung derselben. Mögliche Kriterien: Anzahl der Haushalte, optimale Anzahl der Verteiler, Aufteilung des Gebietes, Streckenlänge, Startpunkt der Verteilung, Dauer der Austeilung. 0 0 0 0 05 0 07 08 09 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 50 5 5 5 5 55 5 57 58 59 0
00 Nebenjobs Wie könnte es weitergehen? 0 0 0 0 Literatur 05 Gardner, M.: Geometrie mit Taxis, die Köpfe der Hydra und 0 andere mathematische Spielereien. Birkhäuser, Basel 997 07 (nur noch gebraucht zu erhalten) 08 Gritzmann, P.; Brandenberger, R.: Das Geheimnis des kür- 09 zesten Weges. Springer, Berlin 00 (ein sehr schönes Buch 0 über mathematische Methoden bei der Suche nach kürzes- ten Wegen, bei der Routenplanung usw.) Hußmann, S.; Lutz-Westphal, B.: Kombinatorische Optimie- rung erleben, Vieweg 007 5 Lösungen 7 8 individuelle Lösungen 9 Beispiel: Für andere einkaufen; Zeitungen austragen. 0 Nachteile: schlechte Bezahlung, auch bei schlechtem Wetter a. Zeitungsausträger: 500 Zeitungen, je, ct, insgesamt also 5. Zeitaufwand unbekannt, abhängig von der Besiedlung. Babysitter: Wenn man pro Abend zwei Stunden aufpasst, 7 wäre der Verdienst bei. 8 Nachhilfe: Preis unbekannt. 9 b. individuelle Lösungen 0 Verdienst bei Hallo Sonntag ca.,50. Beim obigen In- serat ist keine Zeitangabe vorhanden, daher kein konkreter Vergleich möglich. 5 5 Sinnvolle Antworten liegen in den folgenden Größenord- nungen: 7 Anzahl Haushalte 00 000 8 Zurückgelegte Gesamtstrecke 5 5 km 9 Zeitbedarf (alle Personen zusammen) 0 Stunden 0 a. Das Verteilen der Zeitungen ist so zu planen, dass mög- lichst wenige Wege doppelt gegangen werden müssen. b. Personen; Ablage der Zeitungspakete zentral bei (siehe Stadtplan) wegen kurzer Wege; Aufteilung in Blocks 5 mit ähnlicher Gebäudezahl. 7 Gehen: ca. 5 km/h, also 0 km in 8 h (Arbeitstag), 8 davon _ 9 bis _ 5der Zeit gehen, restliche Zeit Post verteilen 8 km bis km pro Tag 50 50 Arbeitstage 000 km bis 50 km pro Jahr 5 0 bis 0 Berufsjahre 0 000 km bis 0 000 km in sei- 5 nem Berufsleben (das entspricht,5 bis mal um die Erde) 5 5 Ergänzende Datenrecherche: 55 Ein Briefträger geht ungefähr 8 000 Schritte pro Tag, bei 5 einer Schrittlänge von ca. 70 cm sind das, km pro Tag. 57 Eintritt in den Ruhestand im Schnitt mit 50,8 Jahren, daher 58 sind 0 Arbeitsjahre realistischer. Mit diesen beiden Daten 59 kommt man auf knapp 00 000 km. 0 ¹ Lösungen zu den Ergänzenden Aufgaben a. oben: Stundenlohn: ca. 8,0 unten: Stundenlohn: b. oben: Stundenlohn: 7 unten: Der Stundenlohn hängt von der Anzahl der Wochenendeinsätze und von der tatsächlichen Arbeitszeit ( etwa eine halbe Stunde pro Abend) ab. Beispiel: Bei zwei Einsätzen unter der Woche und einem Einsatz am Samstag von je genau einer halben Stunde ergibt sich ein mittlerer Stundenlohn von,80. In diesem Fall ist das obere Angebot besser. c. oben: Stundenlohn: Bei Stunden: unten: Keine genaue Aussage mög lich, da Umsatz nicht bekannt. Bei einer Arbeitszeit von Stunden und einem Umsatz von 00 ergibt sich ein Lohn von 0 ( 5 + 0,05 00 ). In diesem Fall ist das untere Angebot leicht besser. a. b. c.
Nebenjobs d. Es kommt darauf an, wo man startet. e. Der Maßstab beträgt bei c. und d. ungefähr : 000 (Grafik mm, in Wirklichkeit m = 000 mm). Weglänge bei d: ca. 0 m. Weglänge bei c: ca. 500 m. Der Weg bei d. ist um etwa 0 m länger als bei c. f. Der Weg bei d. ist um etwa % länger als bei c. g. Dieser prozentuale Unterschied hängt nicht vom Maßstab ab (Proportionalität). Die Tabelle unten zeigt die Entwicklung. Generell eignet sich diese Aufgabe besonders, um mit einem Tabellenkalkulations programm zu experimentieren. a. Im zweiten Jahr hat Zeitung A nur noch 0 Abonnenten, Zeitung B dagegen 80. b. Nach einem weiteren Jahr hat Zeitung A immerhin wieder 08 Abonnenten, Zeitung B 79. c. Die Abonnentenzahlen stabilisieren sich! Für Zeitung A bei 00 Abonnenten, für Zeitung B bei 800 Abonnenten. d. Die Tabelle zu d. zeigt, dass sich die Abonnentenzahlen, unabhängig von den Anfangswerten, stets bei 00/800 einpendeln. e. Wenn sich zum Beispiel nach jedem Jahr 90 % der Leser und Leserinnen von Zeitung A entscheiden, fortan Zeitung B zu abonnieren, und bei Zeitung B 0 % zu Zeitung A wechseln. zu a. b. c. Zeitung A Zeitung B 00 00 0 80 08 79 98, 80, 00, 799,8 00 800 00 800 00 800 00 800 zu d. Zeitung A Zeitung B 000 00 80 90 77 95, 80,8 00,9 799,0 00 800 00 800 00 800 00 800 a. 0 Möglichkeiten Ziel Ziel Start Start Ziel Ziel Start Start b. Man darf immer nur diagonal zu dem Nagel links oder rechts darunter spannen, nicht direkt schräg vom Startzum Zielpunkt (was ja geometrisch tatsächlich die kürzeste Verbindung wäre). Der Faden muss in jeder nach unten folgenden Nagelschicht einen Punkt berühren, er kann also auch nicht direkt lotrecht nach unten führen. c. Alle Wege befinden sich innerhalb des Rechtecks, das im ersten Bild durch die Linien des roten und blauen Fadens aufgespannt ist, d. h. jeder Faden geht bei drei Nägeln nach links und bei zwei Nägeln nach rechts. Alle Wege, die außerhalb dieses Rechtecks liegen, bedeuten einen Umweg. Start 5 0 d. Die folgenden Gesetzmäßigkeiten helfen beim Ausfüllen aller Zahlen: Einser-Rand im oberen Teil, da man um diese Nägel zu erreichen, immer entweder nur nach links oder nur nach rechts spannen darf, gibt es hier nur eine Möglichkeit. Symmetrie bzgl. der senkrechten Achse durch den Startpunkt, da bei den Wegen zu den entsprechenden Nägeln nur rechts und links vertauscht wird, sich die Anzahl der Wege bei symmetrisch gelegenen Nägeln also nicht ändert. 0 0 0 0 05 0 07 08 09 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 50 5 5 5 5 55 5 57 58 59 0 5
Nebenjobs 0 0 0 0 05 0 07 08 09 0 5 5 7 8 9 0 c. 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 50 5 5 5 5 55 5 57 58 59 0 Summenprinzip: Die Zahl bei einem Nagel ergibt sich aus der Summe der beiden darüberstehenen Nagelzahlen, da alle Wege zum Zielpunkt entweder über den links oder rechts darüberstehenden Nagel führen. Start 5 0 0 5 5 0 5 5 5 70 a. Ist in der Lösung bei c. enthalten. b. Freie Randfelder werden immer mit belegt. Eine Zahl im Pascal-Dreieck entsteht jeweils aus der Summe der beiden darüberstehenden Zahlen. 0 9 55 5 5 8 0 Leistungsaufgabe 8 7 5 8 0 5 5 0 0 5 0 70 0 5 5 5 7 5 8 8 8 9 5 0 0 5 0 0 5 55 Teilaufgabe Kompetenz Anforderungsbereich a. K II b. K II Die Leistungsaufgaben mit Lösung finden Sie auch unter Online-Link 70058 00. Die Sonntagszeitung wird jeden Sonntag kostenfrei an alle Haushalte verteilt. Im Stadtteil List werden ca. 000 Zeitungen von 0 Zustellern verteilt. Jeder Zusteller erhält 00 pro Monat. Der Verlag erhält ein neues Angebot der Zustellung. Eine Firma will die Zeitungen zu einem Preis von 0,08 pro Zeitung pro Sonntag zustellen. a. Berechne für beide Möglichkeiten die Kosten. Wie entscheidet sich der Verlag wohl? b. Eine Konkurrenzfirma bietet im Nachbarstadtteil einen Festpreis von 50 an. Hier müssen 500 Zeitungen zugestellt werden. Untersuche nach welcher Möglichkeit es pro Monat am günstigsten ist. Lösungen zur Leistungsaufgabe a. Insgesamt fallen 000 pro Monat an, wenn sie durch die 0 Zusteller verteilt werden. Bei Zustellung durch die Firma entstehen 0 pro Sonntag, also bei Sonntagen 90, bei 5 Sonntagen 00. Bei 5 Sonntagen im Jahr erhält die Firma 80, die Zusteller kosten jedoch nur 000. Der Verlag wird sich wohl für die Zusteller entscheiden. b. Festpreis: 50. Es würden 5 Zusteller benötigt werden, also 500 pro Monat, wenn die Bedingungen gleich bleiben, also 8 000 pro Jahr. 500 Zeitungen à 0,08 = 0, d. h. bei vier Sonntagen liegt der Festpreis bei 0, bei fünf Sonntagen bei 800. Über ein Jahr macht das 0 5 = 8 70, ist also ungünstiger.
Muster, Term, Gleichung Kompetenzerwartungen Gesetzmäßigkeiten in Figuren und Tabellen erklären; Muster erläutern (K, K ) Terme zu figurierten Zahlen angeben und begründen (K, K, K 5, K ) Terme umformen (K, K 5) Fragestellungen zu figurierten Zahlen in Gleichungen übersetzen und umgekehrt (K, K, K 5) Gleichungen durch Ausprobieren und durch Äquivalenzumformungen lösen (K 5) Einordnen Klasse 7 x-beliebig Klasse 7 8 Verpackte Zahlen Zur Sache Begriffe Muster, Term, Gleichung Zahlenfolgen Quadratische Gleichungen Dreieckszahlen, Quadratzahlen,, figurierte Zahlen, gleichwertige Terme, Gleichung Merktexte Worum geht es? In Fortsetzung der Themen x-beliebig und Verpackte Zahlen aus Klasse 7 wird in dieser Lernumgebung das Aufstellen und Umformen von Termen sowie das Lösen von Gleichungen wiederholt. Figurierte Zahlen Gerade Zahlen Dreieckszahlen Ungerade Zahlen Quadratzahlen Zahlen, deren Namen sich aus Figuren ableiten, bezeichnet man als figurierte Zahlen. Die prominentesten sind sicher schon seit der Grundschule bekannt. Zusätzlich werden in dieser Lernumgebung noch die Fünfecksund Sechseckszahlen dargestellt und näher untersucht. Die Darstellung der Fünfeckszahlen in Anordnung im Schülerbuch entspricht hier der sog. dezentrierten Darstellung. Auch die Sechseckszahlen lassen sich so darstellen. Neben der dezentrierten gibt es auch eine zentrierte Darstellung dieser figurierten Zahlen: Dezentrierte Fünfeckszahlen Dezentrierte Sechseckszahlen Zentrierte Fünfeckszahlen Zentrierte Sechseckszahlen 0 0 0 0 05 0 07 08 09 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 50 5 5 5 5 55 5 57 58 59 0 7
Muster, Term, Gleichung Zahlenfolgen 0 Durch eine Zahlenfolge a 0, a, a, a n wird jeder natürlichen Zahl n, dem Index, nach einer bestimmten Vorschrift eine Zahl 0 a 0 n zugeordnet. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese Zuordnung darzustellen: 05 durch eine allgemeine (auch umgangssprachliche) Be- 0 schreibung 07 durch ein geometrisches Muster 08 durch eine induktive Definition (Rekursionsformel) 09 durch eine explizite Definition (direkte Berechnungsformel) 0 Die Zahlenfolgen, denen figurierte Zahlen zugrunde liegen, las- sen sich durch jede dieser Möglichkeiten darstellen, was sie für eine Behandlung in der Sekundarstufe I besonders wertvoll macht. 5 Eine Übersicht über die in dieser Lernumgebung relevanten Folgen sowie deren explizite Darstellung sind in der folgenden 7 Tabelle dargestellt. 8 9 Folge der erste Folgenglieder 0 geraden Zahlen,,, 8, 0, n ungeraden Zahlen,, 5, 7, 9, n Dreieckszahlen,,, 0, 5,, n ( n + ) Quadratzahlen,, 9,, 5, n = n ( n ) 5 dezentrierten, 5,,, 5, = n ( n ) Fünfeckszahlen 7 dezentrierten 8,, 5, 8, 5, n Sechseckszahlen n = n ( n ) 9 zentrierten 0,,,, 5, = 5 n 5 n + Fünfeckszahlen zentrierten, 7, 9, 7,, 9, = n Sechseckszahlen n + Die Wege zu diesen (oder anderen) expliziten Darstellungen 5 der jeweiligen n-ten figurierten Zahlen sind vielfältig und ma- chen gerade den Reiz dieser Lernumgebung aus. Im Folgenden 7 sollen einige dieser Wege der Lehrperson vorgestellt werden. 8 9 Arithmetische Zahlenfolgen 0 Bei drei aufeinander folgenden Zahlen ist jeweils die mittlere Zahl das arithmetische Mittel der beiden Nachbarzahlen. Eine arithmetische Zahlenfolge kann mit einer beliebigen Zahl a starten. Die jeweils folgende Zahl erhält man durch Addition 5 einer festen Zahl d (Differenz). a = a 7 a = a + d 8 a = a + d 9 50 a n = a + (n ) d 5 5 Beim Arbeiten mit figurierten Zahlen stoßen die Lernenden 5 auf arithmetische Zahlenfolgen: jeweils die Differenzen zwi- 5 schen Gliedern der figurierten Zahlenfolge sind arithmetische 55 Folgen. Geometrisch-anschaulich gesprochen stellen wir uns 5 vor, wie viele weitere Plättchen jeweils zu legen sind, bis wir 57 zur nächsten Zahlenfigur kommen. Für die erste Figur ist somit 58 jeweils Plättchen zu legen. Die jeweils weiteren hinzu zu 59 legen den Plättchens sind: 0 Differenzen bei den Dreieckszahlen:,,, 5, n (immer mehr; d = ) Differenzen bei den Quadratzahlen:, 5, 7, 9, n (immer mehr; d = ) Differenzen bei den Fünfeckszahlen:, 7, 0,, n (immer mehr; d = ) Differenzen bei den Sechseckszahlen: 5, 9,, 7 n (immer mehr als; d = ) Summenfolgen der arithmetischen Zahlenfolgen als ein Zugang zur expliziten Darstellung figurierter Zahlen Addiert man die Glieder arithmetischer Zahlenfolgen, so erhält man entsprechende Summenfolgen. Die figiurierten Zahlen bilden solche Summenfolgen, jeweils mit dem Startglied. Die n-te Summe, d. h. die n-te Zahl der Summenfolge, lässt sich nach folgender Überlegung berechnen: F = + 7 = F = + 0 = Summe von n Zahlen einer arithmetischen Folge = mittleres Glied Anzahl Glieder. Falls die Anzahl Glieder gerade ist, gibt es kein mittleres Glied. An die Stelle des mittleren Gliedes tritt dann das arithmetische Mittel der beiden mittleren Glieder beziehungsweise des ersten und des letzten Gliedes. Für die n-te Fünfeckszahl gewinnt man so die explizite Darstellung: F n = + ( n ) n = n n = n_ ( n ) Induktiver Zugang zu den Summenfolgen Man kennt den Startwert einer Zahlenfolge und die Rekursionsformel, d. h. eine Vorschrift zur Berechnung des nächsten Gliedes, die sich von Stufe zu Stufe wiederholt. Umgangssprachlich kann man dies für die Fünfeckszahlen beispielsweise so formulieren: Für die Folge der Fünfeckszahlen beginnt man bei, man legt Plättchen. Für die nächste Zahl legt man Plättchen mehr als bei der ersten Zahl, also ( + ) = Plättchen. Die zweite Fünfeckszahl ist somit + ( + ) = 5. Für die nächste Zahl legt man wiederum Plättchen mehr, als bei der vorangegangenen Zahl dazugekommen sind, also ( + + ) = 7 Plättchen. Die dritte Fünfeckszahl ist somit + ( + ) + ( + + ) = 5 + 7 = usw. 8
Muster, Term, Gleichung Dieses induktive Hochhangeln kann von einem Tabellenkalkulationsprogramm übernommen werden. Weitere sinnvolle Wege zur Beschreibung figurierter Zahlen Nicht selten suchen die Lernenden den Weg über Quotienten. Index Fünfeckszahl Quotient F n : n F = : = F = 5 5 : =,5 F = : = F = : = 5,5 5 F 5 = 5 5 : 5 = 7 immer,5 mehr n F n =? F n : n =,5 n 0,5 Somit gilt: F n n =,5 n 0,5 F n =,5 n 0,5 n n Geometrischer Zugang zur expliziten Formel für Dreieckszahlen Die explizite Formel für die Dreieckszahlen kann man aus der folgenden geometrischen Figur herleiten: D n = ( n + ) n Dreieckszahlen als Bausteine anderer figurierter Zahlen Fügt man zwei Figuren einer Dreieckszahl D n so übereinander, dass sie sich in einer Reihe überschneiden, dann entsteht die Figur der Quadratzahl Q n. Drei so übereinander gefügte Figuren einer Dreieckszahl D n überschneiden sich demnach in zwei Reihen und formen die Figur der Fünfeckszahl F n. Q n = D n n F n = D n n Zusammenfassend kann man für alle dezentrierten figurierten Zahlen die in der Tabelle dargestellten Formeln finden: Art D n Q n F n S n + + + + + n + + 5 + + ( n ) + + 7 + + ( n ) + 5 + 9 + + ( n ) Summenformel Herleitung vereinfacht Zusammenhang mit Summenfolge Dreieckszahl Quotient D n = + n n = n_ ( n + ) D n n = 0,5 n + 0,5 Q n = + ( n ) n = n F n = + ( n ) n S n = + ( n ) n Q n = D n n = n_ ( n ) F n = D n n = n_ ( n ) = n ( n ) S n = D n n Q n n = n F n n =,5 n 0,5 S n n = n 0 0 0 0 05 0 07 08 09 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 50 5 5 5 5 55 5 57 58 59 0 9
Muster, Term, Gleichung Zum Unterricht 0 0 0 Was wird benötigt? 0 Wendeplättchen zum Legen der Figuren. 05 0 07 Vorschlag zur Stundenverteilung 08 09 Stunde 0 LU 5, 7 8 0 LU, 5 Training Gleichungen AH Training Gleichungen 5 Wie kann man vorgehen? Durch die Vielfalt der möglichen Lösungswege und individuel- 7 len Zähltechniken beim Aufstellen der Terme eignet sich diese 8 Lernumgebung (v. a. die Aufgaben 7) in besonderem Maße, 9 um in ungeübten Klassen das Schreiben eines Lerntagebuchs, 0 wie es z. B. im dialogischen Unterricht nach Gallin und Ruf üblich ist, zu initiieren (siehe unter Literatur). Die Lernenden bearbeiten zuerst selbstständig Aufgabe aus der Lernumgebung schriftlich z. B. in ihrem Lerntage- 5 buch. Die erkannten Gesetzmäßigkeiten dürfen durchaus umgangsprachlich beschrieben werden. 7 Anschließend erklären sich die Schülerinnen und Schüler 8 gegenseitig ihre Beobachtungen oder lassen andere ihre 9 Aufschriebe lesen. 0 Bevor Aufgabe gelöst werden, muss sichergestellt sein, dass alle Lernenden die Darstellung mit dem Index verstehen (n-te Quadratzahl = Q n ). Beim Austausch der Lösungen zu Aufgabe b. werden die Lernenden in der Regel verschiedene Lösungen präsentieren. 5 Es geht hier keinesfalls darum, sich auf nur einen dieser Wege zu einigen. Äquivalente Terme zur Darstellung der 7 figurierten Zahlen sind zudem authentische Anlässe, um 8 den Sinn von Termumformungen aufzugreifen. 9 0 5 Eine der Aufgaben kann durch die Frage nach einer geeig- neten Darstellung für die Sechseckszahlen und einer 7 Beschreibung der n-ten Sechseckszahl S n erweitert werden. 8 Konkrete Fragestellungen (hier: Fragen zu den figurierten 5 Zahlen) in Gleichungen zu übersetzen und umgekehrt ist 0 eine zentrale mathematische Kompetenz. 7 Zum Lösen der Gleichungen: 8 Quadratische Gleichungen können die Schülerinnen und 9 Schüler noch nicht durch die Lösungsformel lösen. Daher 50 sollen die Aufgaben, die auf quadratische Gleichungen füh- 5 ren (Aufgabe 9 und 0 a.), mittels systematischen Auspro- 5 bierens oder evtl. mit Tabellenkalkulation gelöst werden. 5 Aber auch die Umformungen der Gleichungen in Aufgabe 5 0, bei denen x 55 schlussendlich durch Umformungen wegfällt, sind anspruchsvoll. Bei Bedarf kann vorher oder wäh- 5 renddessen mithilfe des Trainings Gleichungen das Term- 57 umformen und Lösen von Gleichungen wiederholt werden. 58 59 0 ¹ Wie könnte es weitergehen? Deutsch / Projektunterricht Mit dem Buch Zahlenteufel kann man sich im Projektunterricht weiter mit dem Thema befassen. So könnten (einzelne oder alle) Lernenden beispielsweise in Verbindung mit dem Fach Deutsch ein weiteres Kapitel über die figurierten Zahlen schreiben. Weitere Anregungen zu den figurierten Zahlen findet man auch im Internet (siehe Literatur). Literatur Barzel, B., Herget, W. (Hrsg.): Terme in mathematik lehren, Heft, Friedrich Verlag Seelze, 00. Conway, J. H., Guy, R. K.: Zahlenzauber. Birkhäuser, Basel 997. Enzensberger, H. M.: Der Zahlenteufel. Deutscher Taschenbuchverlag, München 999. Fischer, A., Hefendehl-Hebeker L., Prediger, S.: Mehr als Umformen: Reichhaltige algebraische Denkhandlungen im Lernprozess sichtbar machen. In Praxis der Mathematik, Heft, Aulis Verlag, Hallbergmoos, 00. Gallin, P.: Den Unterricht dialogisch gestalten neun Arbeitsweisen und einige Tipps in: U. Ruf, S. Keller, F. Winter (Hrsg.): Besser lernen im Dialog Dialogisches Lernen in der Unterrichtspraxis. Klett-Kallmeyer, Seelze-Velber, 008, S. 9 08. Hofe, R. v., Jordan, A. (Hrsg.): Wissen vernetzen Geometrie und Algebra. In mathematik lehren, Heft 5: Friedrich Verlag, Seelze 009. Müller, G. N. et al.: Arithmetik als Prozess. Kallmeyer, Seelze, 00. Schupp (Hrsg.): Figurierte Zahlen. Der Mathematikunterricht, Jg. 5, Heft, Erhard Friedrich Verlag, Seelze 008. http://bscw.avmz.uni-siegen.de/pub/bscw.cgi/d9597/ Vieleckige_Zahlen.pdf http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/figz.htm http://www.poegot.org/www_seite/historie/polygon_ zahlen.pdf Lösungen: a. Die natürlichen Zahlen erhöhen sich immer um : + = ; + = ; + = usw. Die Dreieckszahlen erhöhen sich immer um die nächste natürliche Zahl, es kommt also immer mehr hinzu: D n 0 5 + + + + 5 + + + Bei den Quadratzahlen wird immer die nächste ungerade Zahl addiert, es kommen also immer mehr hinzu. Q n 9 5 + + 5 + 7 + 9 + + + 0
Muster, Term, Gleichung Bei den Fünfeckszahlen kommen immer mehr hinzu: F n 5 5 + + 7 + 0 + + + + b. Zwei mögliche Darstellungen für die Sechseckszahlen sind: Bei den Sechseckszahlen kommen immer mehr hinzu. S n 5 8 5 a. b. c. + 5 + 9 + + 7 + + + n D n Q n F n S n 5 9 5 0 8 5 5 5 5 5 5 7 8 9 70 9 8 9 0 9 5 8 7 5 0 55 00 5 90 a. Q 00 = 00 00 = 0 000 b. Q n = n n a. D 0 = ( 0 ): = 0 : = 0 b. Ein passender Term lässt sich z. B. mithilfe von geeigneten Figurenfolgen oder durch Ausprobieren geeigneter Rechnungen in den Tabellen finden. n 0 0 ( n + ) n 0 0 05 5 0 a. 07 08 09 0 b. n 5 7 8 9 0 + 0 + 9 + n + ( n ) n = n n Sechseckszahlen: 5 5 5 n n ( n ) 7 8 9 0 5 Zu allen Zahlen existieren gleichwertige alternative Terme. 7 a. z. B. D + D = + 0 = = = Q oder 8 D 9 5 + D = 5 + = = = Q. 0 Algebraisch: D n + D n = ( n ) n + n ( n + ) = n n + n + n = n = n = Q n. b. Beispiel: D D = 0 = oder D 9 D 8 = 5 = 9. Algebraisch: 5 7 D n D n = n ( n + ) ( n )n = n (+ ) (n ) n 8 = n + n n + n = n = n 9 50 7 a. Term B passt. Mögliche Begründung: In der unteren Zeile der Figur liegen n Plättchen, darüber liegen nach dem Umbauen ( n ) Spalten mit jeweils n Plättchen. b. A: ( n ) + ( n )= n n + + n = n B: n + n ( n )= n + n n = n 5 5 5 5 55 5 57 C: n ( n ) ( n )n = n n n + n = n = n 58 D: n ( n + ) 59 + ( n )n = n + n + n n = n = n 0
Muster, Term, Gleichung c. A 0 0 0 0 05 0 07 08 09 0 Immer die ( n )-te Quadratzahl plus eins weniger als das Doppelte der n-ten natürlichen Zahl. C 5 7 8 9 0 n-te Fünfeckszahl minus ( n )-te Dreieckszahl D 5 7 Die n-te plus die ( n )-te Dreieckszahl 8 9 8 0 a. = und ( ) =, weil das Produkt zweier nega- tiver Zahlen ebenfalls positiv ist. b. Mögliche Frage: Die wievielte Quadratzahl heißt? c. Für diese Frage ist nur die positive Lösung x = relevant. d. Bedeutung: Die Differenz zweier aufeinanderfolgender 5 7 8 9 0 Quadratzahlen beträgt. Wie heißen die Quadratzahlen? Lösung: x ( x ) = x x + x = x = Die Zahlen lauten = und 0 = 00. Andere Lösung: Die Differenz aufeinanderfolgender Quadratzahlen nimmt immer um zu, daher ist x die. Quadratzahl. 5 7 8 9 50 9 0 n ( n + )= 0. Das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ergibt 0. Lösen durch Ausprobieren: n = 0 und n + =. Es handelt sich um die 0. Dreieckszahl. 5 5 5 5 a. Frage: Die wievielte Dreieckszahl hat den Wert 00? Lösen durch Ausprobieren analog Aufgabe 9. Antwort: Es handelt sich um die. Dreieckszahl. b. bis d. können durch Äquivalenzumformungen gelöst werden: 55 5 Frage: Lösungen: Antwort: 57 a. Die wievielte Dreieckszahl x = x = 5 Die. 58 59 0 hat den Wert 00? Nur x ist als Lösung relevant. Dreieckszahl. Frage: Lösungen: Antwort: b. Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen beträgt 57. Die wievielten Dreieckszahlen sind das? c. Die x-te Fünfeckszahl ist die Summe aus der x-ten Quadratzahl und der ( x )-ten Dreieckszahl. Auf welche Zahlen trifft dies zu? d. Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen ergibt eins mehr als das Doppelte der Folgennummer der größeren der beiden Zahlen ¹ a. x = 57 wahre Aussage, beliebig viele Lösungen Falsche Aussage, keine Lösung Die Differenz der 57. und 5. Dreieckszahl. Der Sachverhalt gilt für alle Zahlen, also immer. Es gibt keine Quadratzahlen, auf die dies zutrifft. Lösungen zu den Ergänzenden Aufgaben Nr. der Figur Anzahl Plättchen 5 7 8 9 0 8 0 8 0 b. Individuelle Lösung. Beispiele: siehe Aufgabe. a. Mögliche Erklärungen, was sich die beiden überlegt haben: Annika sieht ein Quadrat mit der Seitenlänge ( n + ), bei dem man aus der Mitte ein Quadrat mit der Seitenlänge n herausnimmt. Boris sieht z. B. zwei waagrechte Reihen der Länge ( n + ) und zwei senkrechte Reihen der Länge n. b. Beide Terme können auf die Form n + gebracht werden. a. Nr. der Figur 5 7 8 9 0 Anzahl 8 8 80 0 8 88 0 0 Plättchen b. Mögliche Lösung: b n = ( n + ) Quadrat minus mittleres Plättchen. b n = n ( n + ) Rechtecke ringsherum angeordnet. b n = n + n Quadrate an den Ecken plus Verbindungsstreifen.
Muster, Term, Gleichung a. falsch, z. B. ist + = 0 nicht durch teilbar. b. richtig, es ist ( n + )+ ( n + )= n + = ( n + ). c. richtig, es ist n + ( n + )+ ( n + )= n + = ( n + ). d. falsch, sie haben stets den Teiler gemeinsam: n + ( n + )= n + = ( n + ). 5 a. Plättchendarstellung: siehe Lösung zur Aufgabe 5 b. in der Lernumgebung. Zahlbeispiel: D + Q = + = = F. Die ( n + )-te Fünfeckszahl lässt sich darstellen als: F n + = ( n + ) ( n + ) = ( n + n + ) n = n + 5 n + n ( n + ) D n + Q n + = + ( n + ) = n ( n + )+ ( n + ) = n + n + ( n + n + ) = n + n + n + n + = n + 5 n + = F n + s n = w n + n = n_ ( n + )+ n = ( n + )+ n n = n + 5 n q n = w n + n = n ( n + )+ n = n ( n + )+ n = n + n Leistungsaufgabe Teilaufgabe Kompetenz Anforderungsbereich a. K 5 I b. K, K, K 5 III Die Leistungsaufgaben mit Lösung finden Sie auch unter Online-Link 70058 00. Christof hat herausgefunden, dass sich die Siebeneckszahlen durch den Term Si n = 5 n n und die Achteckszahlen durch den Term A n = n ( n ) beschreiben lassen. a. Vervollständige folgende Tabelle: n 5 0 SiebeneckszahlSi n 7 55 Achteckszahl A n 8 Die n-te Achteckszahl lässt sich als Summe der n-ten Siebeneckszahl und der (n )-ten Dreieckszahl darstellen. b. Überprüfe die Aussage zunächst an einem Zahlbeispiel. Stelle die Aussage anschließend algebraisch dar und beweise sie. Lösungen zur Leistungsaufgabe a. n 5 0 SiebeneckszahlSi n 7 8 55 5 Achteckszahl A n 8 0 5 80 b. = A = Si + D = 8 + = Si n + D n = 5 n n + ( n )n = 5 n n + n n = n n = n n = n ( n ) = A n. 0 0 0 0 05 0 07 08 09 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 50 5 5 5 5 55 5 57 58 59 0
Kopfgeometrie 0 Kompetenzerwartungen 0 Ebene und räumliche Figuren zeichnen und herstellen (K 5) 0 Verknüpfungen von Bewegungen beschreiben (K ) 0 Anleitungen ausführen (K ) 05 Verschiedene Darstellungen verwenden (K ) 0 07 08 Einordnen 09 Zur Sache 5 Begriffe 7 8 Tetraeder 9 0 Merktexte Worum geht es? 5 0 Klasse 7 9 Kopfgeometrie Kopfgeometrie Klasse 9 Im Zentrum der Lernumgebung steht die Beschäftigung mit 7 Tetraedern, von denen einige weniger bekannte Baumöglich- 8 keiten präsentiert werden. Neben dem Training des Raumvor- 9 stellungsvermögens bereitet die Lernumgebung die Volumen- 0 berechnung der Pyramiden in Klasse 9 vor. Zum Unterricht 5 Was wird benötigt? 7 Arbeitsmaterial: für die Modelle wird stärkeres Papier benötigt. 8 Kopiervorlage: Tetraederkippen 9 0 Vorschlag zur Stundenverteilung 5 7 Stunde LU LU AH,,,,, 5, 5 5 7 8 9 50 5 5 5 5 55 5 57 58 Wie kann man vorgehen? Zur Lernumgebung Die Lernumgebung heißt zwar Kopfgeometrie, bevor aber Geometrie im Kopf betrieben werden kann, muss die Hand zum Zuge kommen. Das Greifen steht vor dem Begreifen. Diesem Schritt muss genügend Zeit zugestanden werden. Er ist unabdingbar, wenn räumliches Denken und die Orientierung im Raum gefördert und nicht bloß geprüft werden sollen. Es ist denkbar, vorerst nur die Lernumgebung zu bearbeiten. Je nach 59 Bedarf können Teile aus dem ergänzenden Aufgabenteil und 0 ¹ dem Arbeitsheft zu einem späteren Zeitpunkt aufgegriffen werden. 5 7 Unter Anwendung der in der Kopfgeometrie bereits erworbenen Fähigkeiten erforschen die Schüler hier einen neuen Körper, das Tetraeder. Die in Aufgabe erworbenen Kenntnisse sollen jetzt am konkreten Modell umgesetzt werden. Der bereits bekannte Würfelkörper dient dabei als Hilfskonstruktion für die Herstellung eines Tetraeders. Es entsteht hier kein echter Tetraeder, dies kann an dieser Stelle von den Schülern nur am Modell begründet werden. Die Ähnlichkeit mit dem bekannten Tetrapak ist jedoch auffällig. Hier kann also auch thematisiert werden, wie die Masssenproduktion eines solchen Tetrapaks angelegt werden könnte. Dieses mit einer ganz bestimmten Falttechnik hergestellte Tetraeder fördert in besonderem Maße räumliche Überlegungen und sorgfältiges Arbeiten bei den Schülern. Mit dieser Aufgabe werden erste Überlegungen zu sogenannten Doppelpyramiden angeregt. Die Möglichkeiten reichen von einer Doppel-Dreierpyramide bis zum Oktaeder. Diese Aufgabe bietet somit die Chance einer inneren Differenzierung, der Schwierigkeitsgrad wächst mit der Anzahl der verklebten Tetraeder. Beim Tetraederkippen führen verschiedene Wege zum selben Zielfeld immer auch zur selben Endposition des Tetraeders. Hier verhält sich der Tetraeder anders als die in vorherigen Jahrgangsstufen betrachteten Würfel oder Quader. Die Aufgabe verlangt ein sehr gutes Raumvorstellungsvermögen, sie dient damit der Leistungsdifferenzierung nach oben. Zu den Ergänzenden Aufgaben, dem Arbeitsheft Einzelne Schülerinnen und Schüler werden die Aufgaben problemlos und ohne Anschauungshilfen im Kopf lösen können. Andere sind über längere Zeit auf Modelle angewiesen. Das wiederholte Aufgreifen einer Aufgabe kann eine Ablösung von den Anschauungshilfen bewirken. Speziell im Zusammenhang mit der Raumvorstellung ist oft zu beobachten, dass ein Schüler, der die Aufgabe x mit Leichtigkeit löst, bei Aufgabe y auf fast unüberwindbare Probleme stößt, und dass bei einer anderen Schülerin die Sache genau umgekehrt liegt. Die Streuung innerhalb einer Klasse scheint auf diesem Gebiet noch größer als in anderen Bereichen der Mathematik. Die Lernenden sollen dazu angehalten werden, aufgrund von Neigungen oder persönlichem Ehrgeiz eine geeignete Auswahl zu treffen. Es ist sinnvoll, einzelne Aufgaben aus den Ergänzenden Aufgaben/dem Arbeitsheft über das Jahr verteilt zu bearbeiten. Die Aufgaben sollen zusammen mit dem vorhandenen, selbst gebauten Material auch mehrmals eingesetzt werden. Formenkundliche Problemstellungen verlangen einiges an Zeit. Die Investition lohnt sich aber doppelt, da sowohl das Raum-
Kopfgeometrie vorstellungsvermögen als auch die Systematisierungsfähigkeit der Lernenden geschult werden. Das gemeinsame Suchen in einer Kleingruppe kann die Anforderung in diesem Bereich herabsetzen, ohne dass das Problem zu simpel wird. Der sprachlichen Umschreibung des Körpers ist viel Aufmerksamkeit beizumessen. Je mehr Lernkanäle angesprochen werden, umso besser gelingt es den Lernenden, Einsicht ins Thema zu gewinnen. Verschiedene Lerntypen können zudem so ihre Stärken einbringen. Wie könnte es weitergehen? Falten ist ein fruchtbares Aufgabenfeld, nicht nur, um Symmetrien bei ebenen Figuren handfest zu erleben. Es verlangt oft ausgeprägte räumliche Überlegungen. Anregungen dazu findet man z. B. in den unten genannten Büchern. Literatur Meirovitz, M.; Jacobs, P. I.: Visuelles Denken. DuMont, Köln 990 Quak, U.: Die Fundgrube für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I., Cornelsen Scriptor, Berlin 998 Steibl, H.: Geometrie aus dem Zettelkasten. Franzbecker, Bad Salzdetfurt 997 Umfangreiches Bild- und Anschauungsmaterial gibt es auch zu unmöglichen Figuren bzw. Täuschungen bei der zweidimensionalen Darstellung von räumlichen Situationen: Ernst, B.: Der Zauberspiegel des M. C. Escher. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 985 Ernst, B.: Abenteuer mit unmöglichen Figuren. Taco, Berlin 987 Del Prete, S.: Illusorismen. Benteli, Bern 98 Petzschler, Uwe; Petzschler, Ines: Mathe-Welt: Optische Täuschungen. In: Mathematik lehren 5, S., 00. Beutelspacher, A.; Wagner, M.: Wie man durch eine Postkarte steigt. Herder, Freiburg 008 Lösungen a. Vier Seitenflächen, sechs Kanten, vier Ecken. b. Die Seitenfläche sind gleichseitige Dreiecke. c. Alle Winkel zwischen den Kanten betragen 0 Grad. d. Alle Kanten sind gleichberechtigt. Stellt man das Tetraeder symmetrisch auf eine Kante, verläuft die oberste, horizontale Kante senkrecht dazu. (Der Winkel zwischen zwei Geraden ist auch dann definiert, wenn die beiden Geraden sich nicht schneiden, d. h. windschief verlaufen. Der Winkel zwischen zwei windschiefen Geraden ist definiert als Winkel zwischen den Richtungsvektoren der Geraden.) e. Es gibt nur zwei verschiedene Netze: Beispiele für Netze, mit folgenden Maßen: Würfelkante cm Tetraederkante 8, cm Schlauch-Tetraeder: Die beiden geklebten Kanten haben die Länge : = 5,5 (mm). Die verklebte Breitseite des Streifens ist die Höhe in einer Seitenfläche des Tetraeders. Damit werden die übrigen vier Kanten des Tetraeders theoretisch 900000000000000000000000000000000 8,5 + 9 5,5 (mm) lang (siehe Abbildung). Natürlich wird das ganze Tetraeder wegen der Verklebung deutlich weniger regelmäßig. Das Tetraeder in Aufgabe ist also auch im Idealfall nicht regelmäßig. 5 a. Es werden Dreierpyramiden weggeschnitten: Die Standfläche ist ein gleichseitiges Dreieck (Seitenlänge = Würfelkante 90000 ). Die übrigen Seitenflächen sind rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke (Schenkellänge = Würfelkante). b. Mögliche Netze: c. individuelle Lösungen d. Werden zwei Exemplare an den gleichseitigen Dreiecken verklebt, entsteht eine Doppel-Dreierpyramide mit gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken als Seitenflächen. Verklebt man zwei Exemplare an den gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken, entsteht ein Tetraeder mit zwei gleichseitigen und zwei gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken als Seitenflächen. 0 0 0 0 05 0 07 08 09 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 50 5 5 5 5 55 5 57 58 59 0 5
Kopfgeometrie Werden vier Exemplare Rücken an Rücken verklebt, erhält man 0 eine Ägyptische Pyramide : vier gleichseitige Dreiecke als 0 schräge Seitenflächen über einem Quadrat. Objekt A: I; IV; VI; XII; XIII; XV 0 Verdoppelt man die Ägyptische Pyramide (acht Exemplare Objekt B: II; V; VII; IX; 0 werden verklebt), dann erhält man ein regelmäßiges Oktaeder. Objekt C: III; VIII; X; XI; XIV; XVI 05 Dieses würde als Flächenmitten-Verbindung genau in einen 0 Würfel von 8 cm Kantenlänge passen. Konstruktion: 07 Diese Dualität von Würfel und Oktaeder erleichtert stereomet- 08 rische Berechnungen am Oktaeder wesentlich. Speziell wird 09 damit auch die Volumenberechnung für Pyramiden gestützt. 0 ( _ Grundfläche Höhe) a. Feld: A B C D Obere Ecke: 5 b. Feld: A F E D Obere Ecke: 7 c. Auf beiden Wegen ist am Schluss die Ecke oben. 8 d. Bei jedem Kippen wechselt die Ecke von unten nach oben 9 oder umgekehrt. Für jeden Weg, der zum Feld J führt, benötigt man immer eine ungerade Anzahl an Kippvorgängen. ist das Dreieck ASM völlig bestimmt. Die Figur kann man AMund MSsind gleich lang, ASist die Kantenlänge. Damit 0 Unabhängig vom gewählten Weg ist am Schluss bei auch als Umlegen des Dreiecks ASM um AMin die Ebene Feld J immer die Ecke oben. ABC interpretieren. Konstruktion: h,7 cm 7 Berechnung mit Pythagoras*: h = 90000 _ 5 a. Die vier Strecken sind gleich lang, als Mittellinien im Dreieck gerade die halbe Tetraeder-Kantenlänge. Weil je zwei liegt also auf _ des AM-Wegs.) 7 (Der Höhenfußpunkt ist der Schwerpunkt von Dreieck ABC, Seiten zu einer Tetraederkante parallel sind und die beiden 8 Richtungsvektoren der Tetraederkanten senkrecht zueinander stehen, ist die Raute ein Quadrat. 0 * folgt erst in Lernumgebung 9 Pythagoras-Parkette 9 Anderer Weg: Denkt man sich das Tetraeder wie bei Aufgabe in den Codierung Würfel eingebettet, so entsprechen die vier Punkte den + + + + + + + + Seitenflächen-Mitten des Würfels. Von oben betrachtet bilden sie das Mittenviereck eines Quadrats. Und dieses ist 5 wiederum ein Quadrat. b. Das Netz lässt sich sehr leicht konstruieren: Über zwei 0 mm 0 mm 0 mm 0 0 mm mm 0 mm 0 mm 7 0 mm 80 mm 80 mm 80 mm Quader: (,,,,, ); (, +, +, +, +, ) 80 mm Quadratseiten liegen zwei gleichseitige Dreiecke, über dem 8 Dreier-Prismen: (,,,, ); (, +, +, +, ); anderen Paar zwei gleichschenklige Trapeze, bei denen die 9 ( +, +, +,, ) Schenkel und die eine Parallelseite gleich lang sind. Weil 0 Vierer-Pyramiden: (,,,, ); (, +, +, +, + ) diese Parallelseite gerade halb so lang ist wie die gegen- Dreier-Pyramiden: (,,, ); (, +, +, + ) überliegende, kann man in der Figur ein Gitter aus gleich- Doppelpyramiden: (,,,,, ); ( +, +, +, +, +, +); seitigen Dreiecken erkennen. (,,, +, +, + ) (da gäbe es noch eine nichtkonvexe Version: kleine Dreier- 5 Pyramide in großer) 7 und: ( +, +, +, +, ) 8 9 50 5 5 5 5 55 c. Wer den Trick nicht kennt, probiert eventuell lange. Wenn 5 man aber weiß, dass zwei gegenüberliegende Tetraeder- 57 kanten senkrecht zueinander stehen, gelingt das Zusam- 58 mensetzen. 59 0 ¹ Lösungen zu den Ergänzenden Aufgaben 80 mm 0 mm 0 0 mm mm 80 mm 80 mm 80 mm 0 mm 0 mm 0 mm 0 mm 0 mm
Kopfgeometrie Leistungsaufgabe Aufgabe Kompetenz Anforderungsbereich K, K I, II Die Leistungsaufgaben mit Lösung finden Sie auch unter Online-Link 70058 00. E A Von einem Würfel mit Kantenlänge cm wird gemäß der Zeichnung eine Pyramide abgeschnitten. Zeichne ein Netz dieser Pyramide. H D F B Lösungen zur Leistungsaufgabe G C Das Netz besteht aus drei gleichschenkligen Dreiecken und einem gleichseitigen Dreieck. B cm cm G 0 0 0 0 05 0 07 08 09 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 50 5 5 5 5 55 5 57 58 59 0 7
Verpackungen 0 Kompetenzerwartungen 0 Skizzen anfertigen und Lösungswege dokumentieren 0 (K, K ) 0 Schätzen, überschlagen und Annahmen treffen (K ) 05 Eigenschaften von Prismen beschreiben (K, K ) 0 Verpackungen mittels Prismen modellieren (K ) 07 Oberfläche und Volumen von Prismen berechnen (K 5) 08 09 0 Einordnen Klasse 7 9 Kopfgeometrie Kopfgeometrie 5 Verpackungen 7 8 9 Klasse 7 Platonische Körper Grundfläche Höhe 0 Zur Sache Begriffe 5 Prisma, Mantel, Körperhöhe, Oberfläche, Volumen, Grundfläche, Deckfläche 7 8 Merktexte 9 0 Die Grundfläche eines Prismas ist ein Vieleck. Grundfläche und Deckfläche sind deckungsgleich, die Seiten- flächen sind Rechtecke und sie stehen (beim geraden Prisma) senkrecht auf Grund- und Deckfläche. 5 Worum geht es? 7 Das räumliche Vorstellungsvermögen soll weiter gefördert 8 werden. Hier wird das Prisma als neuer Körper eingeführt. 9 Am Prisma und an anderen Körpern werden Flächen- und Volu- 0 men berechnungen gefestigt und erweitert. Diese erweiterten Kenntnisse ermöglichen dann schon einen Einblick in die ma- 5 7 8 9 50 5 5 thematische Struktur der Körperberechnungen. Der Umgang mit Formeln wird angeleitet und gefestigt. In den Bildungsstandards für Baden-Württemberg ist die Behandlung von Prismen derzeit für diese Klassenstufe eigentlich nicht vorgesehen. In der vorliegenden Lernumgebung geht es um das Erkennen von geraden Prismen, um räumliches Vorstellungsvermögen und das Zeichnen von Netzen. Das Ermitteln des Volumens dürfte jedoch kein Problem darstellen. Im Sinne des spiralcurricularen Vorgehens ist die Behandlung von diesen einfachen Körpern eine gute Vorbereitung auf Klasse 9, in der dann Pyramiden, Kegel und Kugeln behandelt werden. 5 5 55 5 57 58 Christo und Jeanne-Claude Anlass zur Berechnung größerer Flächen geben zwei ausgesuchte Werke der Verpackungs- und Verhüllungskünstler Christo und Jeanne-Claude. Christo ist gebürtiger Bulgare. 957 emigrierte er im Alter von jahren in die USA, wo er sich 59 vorerst auf Porträts spezialisierte. Er lernte 959 die ehemalige 0 Air-France-Stewardess Jeanne-Claude kennen und heiratete sie. Seither überraschen Christo und Jeanne-Claude die Öffentlichkeit immer wieder mit spektakulären Verhüllungen. Ihre Projekte finanzieren sie durch den Verkauf von Bildern. Christo akzeptiert weder Mäzene noch Sponsoren. Während Christo durch seine Frau inspiriert die Verpackungsprojekte realisiert, führt Jeanne-Claude die Verhandlungen mit den Behörden. Die beiden Weltenbummler pendelten oft zwischen den USA und Europa. Jeanne-Claude starb im Jahr 009. Zum Unterricht Was wird benötigt? Arbeitsmaterial: festes Papier, Büroklammern, Kleber; evtl. einige Verpackungen; evtl. Bilder von Projekten von Christo und Jeanne-Claude (www.christojeanneclaude.net); evtl. Zeitungspapier als Ersatz für Geschenkpapier Vorschlag zur Stundenverteilung Stunde LU, LU,, AH, ¹ Wie kann man vorgehen? Voraussetzungen Flächeninhalte von Dreiecken und Vierecken bestimmen Netze zeichnen oder skizzieren Volumen und Oberfläche von Quadern bestimmen Es bietet sich an, die Gedanken der Lernumgebung 0 Sammeln Ordnen Strukturieren mit einfließen zu lassen und die Flächenformel zu systematisieren. Die Verpackungen von Süßigkeiten haben sehr oft Prismenform und sind daher als Thema geeignet, Prismen einzuführen. Netze, Oberflächeninhalte sowie Volumina von Prismen werden mit dieser Aufgabe erarbeitet. Insbesondere Teilaufgabe d. eignet sich dafür, auf anschauliche Art und Weise einen Zugang zur Volumenberechnung von Prismen zu gewinnen. Eine Grundidee könnte sein, dass sich alle Prismen in dreiseitige Teilprismen zerlegen lassen. Ein dreiseitiges Prisma hat aber das halbe Volumen des entsprechenden Quaders, der sich aus zwei dieser Prismen zusammensetzt. Damit kann ein erster Zugang zur Volumenformel Volumen = Grundfläche mal Höhe gewonnen werden. Wenn es gewünscht wird, kann diese Formel an dieser Stelle auch ausformuliert werden. Hier geht es auch wieder um die Schulung der Raumvorstellung durch das eigene Handeln. Bisherige Kenntnisse müssen herangezogen werden, um Skizzen und Netze anfertigen und Oberflächeninhalte bestimmen zu können. 8
Verpackungen Es ist schwierig, aufgrund des Bildmaterials die Breite der Stoffumrandung abzuschätzen. Man kann die Lernenden darauf hinweisen, dass sie durchschnittlich 0 m beträgt. Da es hier weder um genaue Berechnungen noch um exakte Zeichnungen geht, beruhen auch die Lösungsvorschläge auf Schätzungen. Einige Schülerinnen und Schüler werden die Formen aus der Luftaufnahme ohne Korrektur für ihre Skizzen über nehmen. Man kann an dieser Stelle auf perspektivische Darstellungen eingehen. je nach Leistungsstand der Klasse können die Ergebnisangaben in m, a und/oder ha gefordert werden. Unten ist ein möglicher Grundriss skizziert. Man könnte sich außerdem überlegen, wie die einzelnen Stoffteile zusammengefügt wurden. ca. 80 m ca. 80 m Auch bei dieser Aufgabe steht der Umgang mit Größenordnungen, Schätzen, Überschlagen und Skizzieren im Vordergrund. Genaue Ergebnisse machen in diesem Zusammenhang keinen Sinn. Die Schüler müssen anhand der Abbildungen Annahmen über den Faltenwurf treffen, dies kann sicher sehr unterschiedlich ausfallen. Die Ergebnisse können zur Überprüfung in Relation zur gesamten Stoffmenge gesetzt werden. Wie könnte es weitergehen? Weiterführende Untersuchungen an Verpackungen durchführen. Die Schülerinnen und Schüler skizzieren oder bauen selbst eine Insel, messen sie aus, berechnen die Fläche und verpacken sie. Geeignete Objekte im Schulbereich verpacken. Das Projekt entsprechend dokumentieren. Literatur Christo and Jeanne-Claude: Wrapped Reichstag Berlin 97 9, New York 00 Mathematik 5 0 (Heft : Geometrie nicht nur auf Papier), Erhard Friedrich Verlag, Seelze 008 ca. 0 m Lösungen a. Die Verpackungen ; ; ; 7 und 8 stellen gerade Prismen dar. Verpackung : Dreieckige Grund- und Deckfläche. Grundund Deckfläche zueinander kongruent. Drei zueinander kongruente rechteckige Seitenflächen. Verpackung : Sechseckige Grund- und Deckfläche. Grundund Deckfläche zueinander kongruent. Sechs zueinander kongruente rechteckige Seitenflächen. Verpackung : Dreieckige Grund- und Deckfläche. Grundund Deckfläche zueinander kongruent. Drei zueinander kongruente rechteckige Seitenflächen. Verpackung 7: Quadratische Grund- und Deckfläche. Grundund Deckfläche zueinander kongruent. Vier zueinander kongruente rechteckige Seitenflächen. Verpackung 8: Achteckige Grund- und Deckfläche. Grundund Deckfläche zueinander kongruent. Acht zueinander kongruente rechteckige Seitenflächen. b. SE8970058_G_DS0_0.eps 8 mm x 7.7 mm 0 0 0 0 05 0 07 08 09 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 50 5 5 5 5 55 5 57 58 59 0 9
Verpackungen 0 0 0 0 05 0 07 08 09 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 0 5 7 8 9 50 5 5 5 5 55 5 57 58 59 0 c. Verpackung : Grund- und Deckfläche bestehen aus jeweils sechs Dreiecken mit der Fläche cm, cm : = 7, m Grund und Deckfläche insgesamt: 7, m = 8, m Mantel: Sechs Rechteckflächen mit der Fläche cm cm = 5 m Gesamtoberfläche O = 8, m + 5 m =, m Verpackung 5: Die Verpackung besteht aus vier kongruenten Dreiecken mit der Grundseite cm und der Höhe,5 cm. Die Gesamtoberfläche beträgt: cm,5 cm : =,5 cm d. Die Volumen berechnung von Quadern ist bekannt: V = cm cm cm = 7 cm Jedes Rechteck lässt sich in zwei gleich große Dreiecke zerlegen, also hat ein dreiseitiges Prisma das halbe Volumen des dazugehörigen Quaders. V = Dreiecksfläche Höhe Verpackung : V =,5 cm 9 cm = 8,5 cm Verpackung 8: V = ( 8,75 m ) cm = 080 m individuelle Lösung a. Kleinstmögliche Stoffbahn:,7 m 0 m = ((ca.)) 0 m Größtmögliche Stoffbahn:,7 m 90 m = ((ca.)) 00 m b. Mögliche Lösung bzw. Schätzung: Die Insel ist ca. 0 m lang und durchschnittlich ca. 50 m breit. Ihre Fläche beträgt etwa 0 bis 00 Ar. Die Fläche der Verpackung dürfte etwa das Drei- bis Vierfache der Inselfläche betragen, also etwa bis Hektar (siehe Teilaufgabe d.). c. Stoffbedarf pro Insel = ((ca.)) 5 ha Die Schätzung bei b. ist etwas kleiner. Es handelt sich wahrscheinlich um eine kleinere der verpackten Inseln. d. Bei jeder rechteckigen Insel mit 500 m Umfang beträgt die Fläche der ebenfalls rechteckigen Verpackungen Ar. 0 m 500 m + 0 m 0 m = a Bei abgerundeten Ecken beträgt die Fläche der Verpackung Ar. Insel 00 m 50 m Verpackung 70 m 0 m Insel 00 m Verpackung 0 m 50 m 70 m ¹ Schülerlösung Größe eines Fußballfeldes: Lösungen zu den Ergänzenden Aufgaben Der Karton für eine Verpackung ist 8, cm breit und etwa cm lang. a. Länge der Rolle: 000 8, cm = m, km b. Fläche der Rolle: l b = m, m = 87, m 7 a c. Gewicht der Rolle: 0 000 0,05 kg = 800 kg,8 t d. Flüssigkeitsmenge: 0 000 0,5 ø = 0 000 Liter 0 m a. Rechteckfläche cm,9 cm = 87,9 cm ; Mantelfläche 87,9 cm = 5,7 cm ; Grund- und Deckfläche cm,9 cm =,8 cm ; Gesamtfläche 5,7 cm +,8 cm = 70,5 cm b. Trapez: cm 7,5 cm +,75 cm 7,5 cm = 95,5 cm Unterseite: cm,5 cm = 88,5 cm 50
Verpackungen Oberseite: cm cm = 7 cm Seitenfläche: cm 7,7 cm = 9,7 cm Gesamt: 95,5 cm + 88,5 cm + 7 cm + 9,7 cm = 8,5 cm c. Eine Schülerlösung als Beispiel: Es kommt drauf an, wie man das Poster einrollt. Wenn man es so einrollt: dann würde ich die Verpackungsmöglichkeiten 0 5/0 75 mm wählen. Wenn man das Poster anders rollt, also so: dann würde ich die Verpackungsmöglichkeiten 80 5/0 75 mm wählen. a. V = (,9 cm cm : ) cm = 5087, cm ; möglicher Quader:,9 cm cm 0,5 cm b. Quader C ist viel kleiner als die Trapez-Plus-Verpackung. Bei A ist die Grundfläche kleiner, deshalb ist das Volumen auch kleiner. Die Grundfläche von B ist größer, also auch das Volumen. V = 95,5 cm cm =,875 cm ; V A = cm,0 cm 7,5 cm = 57,5 cm ; V B = cm,5 cm 7,5 cm = 7,5 cm ; V C =,5 cm cm 7,5 cm = 9,5 cm Leistungsaufgabe Aufgabe Kompetenz Anforderungsbereich a. K 5 I, II b. K III Die Leistungsaufgaben mit Lösung finden Sie auch unter Online-Link 70058 00. Nina und Rebecca wollen im nächsten Sommer eine Kanutour machen und dabei zelten. Sie besuchen zusammen eine Camping-Messe, um sich über Zelte zu informieren. Es kommen am Ende zwei Zelte in die engere Wahl: 0 0 0 0 05 0 Zelt Aconcagna Gewicht, kg 07,8 m 08 09,0 m 0 Zelt Broad Peak 5 0,5 m Gewicht 5,7 kg,8 m 7 8,90 m 9 0 Nina und Rebecca möchten die Zelte vergleichen. Dabei möchten sie Standhöhe, Liegefläche, Volumen, Preis und Gewicht berücksichtigen. a. Berechne die benötigten Werte. b. Was rätst du den beiden? 5 7 Lösungen zur Leistungsaufgabe 8 9 a. Standhöhe: 0 A,80 m B,80 m Liegefläche: A,0 m m =,80 m B,90 m,90 m =, m Volumen: A ( _,0 m,80 m ) m B V =,90 m,90 m 0,5 m 5 =, m =,5 m, m V = ( _,90 m,5 m ),90 m 7 =,75 m, m 8 V + V =,0 5 m,0 m 9 0 b. Mehr Fläche und Volumen, geringes Gewicht, keiten im Zelt, dadurch etwas Bessere Bewegungsmöglich- niedriger Preis. komfortabler. 5 7 8 9 50 5 5 5 5 55 5 57 58 59 0 m 80,90 5,90,90 m 5
5 Binome multiplizieren 0 Kompetenzerwartungen 0 Binomische Formeln mit dem Malkreuz und dem Recht- 0 eckmodell veranschaulichen (K ) 0 Muster und Gesetzmäßigkeiten beim Multiplizieren von 05 Binomen erkennen (K ) 0 07 08 Einordnen 09 0 Klasse 7 7 Terme multiplizieren 5 Binome Nebenjobs Faktorisieren multiplizieren 5 Muster Term Gleichung 7 8 9 0 Zur Sache Begriffe Binom, binomische Formeln 5 Merktexte 7 8 ( a + b ) = a + ab + b 9 ( a b ) = a ab + b 0 ( a + b ) ( a b )= a b Worum geht es? In der Lernumgebung Terme multiplizieren in Klasse 7 haben 5 die Schülerinnen und Schüler das Ausmultiplizieren von Termen als Termumformung kennen gelernt. Durch Veranschaulichung 7 der Terme als Rechteckflächen konnte so die Äquivalenz der 8 Terme nachgeweisen werden. Aus Aufgabe 7 in dieser Lern- 9 umgebung sind auch die binomischen Formeln schon bekannt. 0 In Binome multiplizieren wird dieses Vorwissen reaktiviert und vertieft. Rechenvorteile durch die binomischen Formeln werden erarbeitet. In den Ergänzenden Aufgaben werden u. a. Gesetzmäßigkeiten in Termen der Form ( a + b ) n erforscht (Pascalsches Dreieck). 5 Die geometrische Darstellung der Terme ( a + b + c ) und ( a + b + c + d ) sowie jeweils deren ausmultiplizierte Form 7 wird anhand des Bildes Sechs vertikale systematische Farb- 8 reihen mit orangem Quadrat rechts oben von R. P. Lohse 9 thematisiert. 50 5 Informationen zu Richard Paul Lohse 5 5 Lohse ist Schweizer Maler, geboren 90 und gestorben 988 5 in Zürich. Er war zunächst als Werbegrafiker tätig und vom Ku- 55 bismus beeinflusst. Später jedoch gelangte er zu einem streng 5 konstruktivistischen, mathematischen Stil, der geometrische 57 Formen in horizontalen und vertikalen Strukturen ordnet. Die- 58 se werden insbesondere auch variiert durch eine Vielzahl von 59 Farbkompositionen. 0 Zum Unterricht Was wird benötigt? Kopiervorlage Hunderterfeld Vorschlag zur Stundenverteilung Stunde LU 5, 7 ¹ LU AH Wie kann man vorgehen? ; Training Terme Aufgaben Die drei binomischen Formeln lassen sich mithilfe der Aufgaben bis wiederholen bzw. neu erarbeiten. Alternativ kann auch mit der Familienformel (Aufgabe in den Ergänzenden Aufgaben) eingestiegen werden. Das Pascalsche Dreieck ist den Lernenden aus der Lernumgebung Nebenjobs bereits bekannt. Wie könnte es weitergehen? Möglich wäre ein weiterführendes Referat zum Thema Blaise Pascal und die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Literatur Affolter, W.: Ein innovatives Algebra-Konzept. In: Mathematik 5 bis 0 (Heft ), Erhard Friedrich Verlag, Seelze 009. Barzel, B., Herget, W. (Hrsg.): Terme. Mathematik lehren, Heft, Friedrich Verlag, Seelze 00. Jaschke, Tobias: Vom Bild zum Term, und Wissen vernetzen Geometrie und Algebra. Mathematik lehren (Heft 5), Erhard Friedrich Verlag, Seelze 009. Lösungen a. = ( 0 + ) = ( 0 + ) ( 0 + )= 00 + 0 + = = ( 0 + ) = ( 0 + ) ( 0 + )= 00 + 0 + 9 = 9 = ( 0 + ) = ( 0 + ) ( 0 + )= 00 + 80 + = 9 5 = ( 0 + 5 ) = ( 0 + 5 ) ( 0 + 5 )= 00 + 00 + 5 = 5 b. ( 0 + x ) = ( 0 + x ) ( 0 + x )= 00 + 0 x + x c. ( 0 + x ) = ( 0 + x ) ( 0 + x )= 00 + 0 x + x d. ( a + x ) = ( a + x )( a + x )= a + a x + x 5