Physikalisches Grundpraktikum Versuch 10 Die Potenzialwaage Praktikant: Tobias Wegener Alexander Osterkorn E-Mail: tobias.wegener@stud.uni-goettingen.de a.osterkorn@stud.uni-goettingen.de Tutor: Gruppe: Ralph Schäfer 1 Durchgeführt am: Protokoll abgegeben: 4.9.2013 10.9.2013 Testiert:
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Theorie 2 2.1 Grundlagen............................ 2 2.2 Der Plattenkondensator..................... 2 3 Durchführung 3 3.1 Versuchsaufbau.......................... 3 3.2 Benutzungshinweise........................ 4 3.3 Messungen............................. 4 4 Auswertung 6 4.1 Messreihe 1............................ 6 4.2 Messreihe 2............................ 8 5 Diskussion 10 Anhang 12 1
1 Einleitung In diesem Versuch wird eine wichtige physikalische Konstante experimentell bestimmt, die elektrische Feldkonstante ε 0. Sie taucht u.a. in den Grundgleichungen der Elektrodynamik, den Maxwellschen Gleichungen auf. Im Versuch wird speziell die elektrische Anziehungskraft vermessen, die zwei Kondensatorplatten aufeinander ausüben. 2 Theorie 2.1 Grundlagen Das Coulombsche Gesetz [Dem13, S.4] gibt die Stärke der elektrischen Kraft F el an, die eine Ladung Q an der Stelle r Q auf eine Probeladung q am Ort r wirkt: F el = qq 4πε 0 r r Q r r Q 3 (1) Die elektrische Feldstärke E ist entsprechend definiert [Dem13, S.5]: E = F el q (2) Im elektrostatischen Fall lässt sich ein skalares elektrisches Potential Φ definieren, so dass gilt [Dem13, S.10]: E = Φ (3) Eine Potentialdifferenz bezeichnet man als elektrische Spannung U = Φ 1 Φ 2 [Dem13, S.9]. Durch das Verschieben einer Probeladung q von Punkt 1 nach 2 im elektrischen Feld E wird eine Arbeit W verrichtet, die sich wie folgt berechnet [Dem13, S.9]: W = 2 1 2 F el d s = q E d s = q(φ 1 Φ 2 ) = qu (4) 1 2.2 Der Plattenkondensator Ordnet man zwei Leiterflächen der Fläche A im Abstand d zueinander parallel an, so erhält man einen Plattenkondensator. Dabei kann der Zwischenraum mit einem Dielektrikum der Permittivität ε = ε 0 ε r ausgefüllt sein. Wird auf eine der Platten eine Ladung Q aufgebracht, so influenziert diese 2
auf der gegenüberliegenden Platte eine Ladung gleichen Betrags, aber entgegengesetzter Polung. Die entgegengesetzten Ladungen erzeugen ein elektrisches Feld E und damit eine Spannung U zwischen den beiden Platten, die proportional zur Ladung Q ist [Dem13, S.19]: Q = C U (5) Die Proportionalitätskonstante C nennt man Kapazität. Sie lässt sich aus der Geometrie des Kondensators berechnen zu [Dem13, S.20] C = ε A (6) d Der oben beschriebene Prozess funktioniert auch andersherum, indem an die Kondensatorplatten eine äußere Spannung U angelegt wird, die dann zur durch Glg. 5 beschriebenen Ladungsverteilung führt. Für den Versuch interessant ist noch die elektrische Kraft, die beide Platten gegenseitig aufeinander ausüben. Zur Berechnung verwendet man die potentielle Energie des Kondensators [Dem13, S.22]: E pot = 1 2 CU 2 (7) Die auf die Platten wirkende Kraft versucht, den Plattenabstand d zu verändern, analog zu Glg. 3 erhält man die Kraft als Ableitung der Kondensatorenergie, also 3 Durchführung 3.1 Versuchsaufbau F = de pot dd = 1 2 εau2 d 2 (8) Zentrales Element dieses Versuchs ist eine Balkenwaage. Auf der einen Seite der Waage kann eine Kraft durch kleine Massestücke ausgeübt werden. Auf der anderen Seite befindet sich ein Kondensator, dessen eine Platte ebenfalls mit der Waage verbunden ist. Durch Anlegen einer Hochspannung kann hier eine (elektrische) Gegenkraft erzeugt werden. Folgende Dinge können variiert werden: Massestücke für eine zusätzliche Gewichtskraft Spannung am Kondensator 3
Abbildung 1: Versuchsanordnung Plattenabstand (lässt sich über die große Scheibe unterhalb des Versuchsaufbaus regulieren) Arretierung der Waage (lässt sich über das Rad vorne am Aufbau einstellen/lösen) 3.2 Benutzungshinweise Die kleinen Massestücke dürfen nur mit der beiliegenden Pinzette berührt werden, da deren Masse sich schon bei kleinen Verunreinigungen vergleichsweise stark erhöhen kann. Um die ordnungsgemäße Funktionsweise der Waage nicht zu gefährden, dürfen Gewichte nur dann hinzugefügt oder entfernt werden, wenn die Waage arretiert ist. Außerdem ist darauf zu achten, dass die Waagentür vollständig geschlossen ist, sobald eine Spannung angelegt werden soll (ansonsten wird dies durch eine Sicherung verhindert). 3.3 Messungen In der ersten Messreihe wird zu einer vorgegebenen Spannung und einer vorgegebenen Masse ein Plattenabstand eingestellt, bei dem sich die Kondensatorplatten noch anziehen. Dieser wird dann solange vergrößert, bis die obere Kondensatorplatte abhebt. Das ist gerade der Moment, in dem die elektrische Kraft die Gravitationskraft unterschreitet und repräsentiert somit etwa den Gleichgewichtszustand. Diese Messung wird für verschiedene Gewichte 4
(3 und 4 g) mit jeweils variierenden Spannungen (2,3,4 und 5 kv) wiederholt. Der Versuchsaufbau ließ jedoch eine Messung bei 2 kv nicht zu, da die obere Kondensatorplatte schon beim kleinstmöglichen Plattenabstand (ohne Funkenübeschlag) abgehoben hat. Daher wurde die Messung stattdessen zusätzlich für weitere Spannungswerte durchgeführt. In der zweiten Messreihe wird bei einer vorgegebenen Masse und einem vorgegebenen Plattenabstand die Spannung von einem genügend hohen Wert so lange reduziert, bis wiederum die obere Platte abhebt. Dabei sollen die Massenstücke zwischen 1 und 4 g und der Plattenabstand zwischen den Werten 2, 2.5, 3, 3.5 und 4 mm variiert werden. Auch hier ließen sich einige Messungen nicht durchführen, weil die maximale Spannung bei dem entsprechenden Plattenabstand zu klein war, um die Gewichtskraft zu kompensieren. Abbildung 2: Immer dran denken: Waagentür schließen! 5
4 Auswertung 4.1 Messreihe 1 0.0025 d = f(u) Plattenabstand d[mm] 0.002 0.0015 0.001 0.0005 Messw. m = 3 g 0 Messw. m = 4 g Fit 7.48e-07 x + -1.44e-03 Fit 7.02e-07 x + -1.72e-03-0.0005 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 Spannung U[V] Abbildung 3 Masse m [g] Steigung α [m V 1 ] Fehler α [m V 1 ] 3 7.48 10 7 1.9 10 8 4 7.02 10 7 1.4 10 8 Tabelle 1: Fit-Werte für α sowie der jeweilige Fehler In der ersten Messung wird die wirkende Gewichtskraft F = mg konstant gehalten und der Plattenabstand d in Abhängigkeit von der Spannung U gemessen. Abb. 3 zeigt die Messwerte mit linearem Fit. Der Wert für die Steigung α der Geraden entspricht dem Quotienten d /U. Nach Gl. 8 lässt sich damit bei gegebener Querschnittsfläche A und Masse m ein Wert für ε berechnen. Da die relative Permittivität von Luft 1 ist, gilt ε ε 0. Der Wert der effektiven Querschnittsfläche des Kondensators ist angegeben als A = π ( r 2 + ra ). 6
Mit den vorgegebenen Werten r = 40 mm und a = 1 mm ergibt sich als Wert für die effektive Querschnittsfläche A 0.005 15 m 2. Bekannt ist weiter die Erdbeschleunigung g = 9.81 kg m s 2. ε 0 = 2 m g α2 A σ ε0 = 4 m g α α A Masse m [g] ε 0 [A s V 1 m 1 ] 3 (6.4 ± 0.4) 10 12 4 (7.5 ± 0.3) 10 12 Tabelle 2: Ergebnisse für ε 0 aus der ersten Messung Der gewichtete Mittelwert aus der Daten in Tabelle 2 ist ε 0 = (7.1 ± 0.3) 10 12 A s V 1 m 1. Der y-achsenabschnitt der Regressionsgeraden in Abb. 3 entspricht dem Offset des Plattenabstandes. Somit kann dieser aus den Regressionswerten berechnet werden. Als gewichtetes Mittel ergibt sich = (0.00161 ± 0.00005) m. 7
4.2 Messreihe 2 0.07 0.06 0.05 F = f(u 2 ) Messw. d = 1.0 mm Fit 2.37e-03 x + 2.90e-03 Messw. d = 1.5 mm Fit 1.69e-03 x + 2.51e-03 Messw. d = 2.0 mm Fit 1.20e-03 x + 2.03e-03 Messw. d = 2.5 mm Fit 8.07e-04 x + 2.55e-03 Kraft F [N] 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 5 10 15 20 25 Spannung U 2 [kv 2 ] Abbildung 4 Im zweiten Versuchsteil wird der Plattenabstand d fest eingestellt. Abb. 4 zeigt die Ergebnisse und einen linearen Fit für das Quadrat der gemessenen Spannung. In Tabelle 3 sind die Steigungen der von Gnuplot gefitteten Geraden mit Fehler angegeben. Der mit (*) markierte Fehler kann von Gnuplot aufgrund der geringen Zahl der Datenpunkte nicht berechnet werden und wird deswegen abgeschätzt. Mit der berechneten Nullpunktkorrektur kann nun zunächst aus den eingestellten Plattenabständen d der wirkliche Abstand d w = d + mit der 8
Plattenabstand d [mm] Steigung α i [10 9 N V 2 ] Fehler α i [10 9 N V 2 ] 1.0 2.37 0.11 1.5 1.69 0.11 2.0 1.2 0.07 2.5 0.8 0.1 (*) Tabelle 3 Fehlerfortpflanzung σ 2 d w = σ 2 d + σ 2 berechnet werden. Dabei sei der Fehler beim Einstellen des Plattenabstandes zu σ d = 0.1 mm abgeschätzt. Tabelle 4 zeigt die Ergebnisse. Nach Formel 8 gilt dann Plattenabstand d [mm] Echter Abstand d w [m] Fehler σ dw [m] 1.0 0.00261 0.00011 1.5 0.00311 0.00011 2.0 0.00361 0.00011 2.5 0.00411 0.00011 Tabelle 4 α i = F U = 1 ε 0 A 2 2 d 2 w ε 0 = 2α id 2 w A mit der Fehlerfortpflanzung σ 2 ε 0 = ( 2d 2 w A ) 2 σ 2 α i + ( 4αi d w A ) 2 σ 2 d w. Tabelle 5 stellt die Ergebnisse zusammen. Als gewichteter Mittelwert ergibt sich ein Wert von ε 0 = (6.15 ± 0.22) 10 12 A s V 1 m 1. 9
Plattenabstand d [mm] ε 0 [10 12 A s V 1 m 1 ] Fehler σ ε0 [10 12 A s V 1 m 1 ] 1.0 6.3 0.6 1.5 6.3 0.3 2.0 6.1 0.5 2.5 5.2 0.7 5 Diskussion Tabelle 5 In diesem Versuch wurden zwei Werte für ε 0 bestimmt, die in Tabelle 6 mit dem Literaturwert aus [Dem13, S. 481] verglichen werden. Dabei ist auffällig, Herkunft ε 0 [10 12 A s V 1 m 1 ] Messung 1 7.1 ± 0.3 Messung 2 6.15 ± 0.22 Literatur 8.8542... Tabelle 6 dass der Literaturwert bei beiden Messungen nicht innerhalb des Fehlertoleranzbereiches liegt. Das deutet darauf hin, dass Fehler in der Auswertung der Messung nicht berücksichtigt oder fehlerhaft abgeschätzt wurden. Weiter ist festzuhalten, dass die gemessenen Werte in derselben Größenordnung wie der Literaturwert liegen, die Messung also prinzipiell realistische Ergebnisse liefert. Dabei liegt das Ergebnis der ersten Messung noch dichter am Literaturwert (Abweichung von 24%), während der zweite Messwert eine Abweichung von 44% aufweist. Einige mögliche Fehlerquellen wurden in der Auswertung nicht berücksichtigt. So wurde die Masse m und die daraus berechnete Gewichtskraft als fehlerfrei angenommen, was sicher nicht zutreffend ist. Schon in der Versuchsbeschreibung wird darauf hingewiesen, dass kleinere Fettflecken die Masse der Probekörper verfälschen können. Nicht nachprüfbar ist auch, ob die Potentialwaage selbst korrekt geeicht wurde. Am Versuchsaufbau wirkte die Aufhängung der oberen Kondensatorplatte beschädigt, so dass nicht ganz klar ist, ob sich die elektrische Kraft voll auf 10
den Waagebalken überträgt. Eine andere Fehlerquelle könnte noch sein, dass es durch Luftfeuchtigkeit Ladungsbewegungen zwischen den Kondensatorplatten gibt, so dass nicht von einem Innenvakuum ausgegangen werden darf. Literatur [Dem13] Wolfgang Demtröder. Experimentalphysik 2. 6. Aufl. Springer Spektrum, 2013. 11
Durchführung 1 SpannungU[V ] delta U [V ] d[mm] delta d [mm] in meter 2500 100 0.39 0.04 0.00039 0.00004 3000 100 0.84 0.04 0.00084 0.00004 3500 100 1.21 0.04 0.00121 0.00004 4000 100 1.54 0.04 0.00154 0.00004 4500 100 1.96 0.04 0.00196 0.00004 5000 100 2.27 0.04 0.00227 0.00004 Tabelle 7: m=3g SpannungU[V ] delta U [V ] d[mm] delta d [mm] in meter 3000 100 0.39 0.04 0.00039 0.00004 3500 100 0.75 0.04 0.00075 0.00004 4000 100 1.06 0.04 0.00106 0.00004 4500 100 1.46 0.04 0.00146 0.00004 5000 100 1.79 0.04 0.00179 0.00004 Tabelle 8: m=4g Durchführung 2 d [mm] / m [g] 1 2 3 4 1 1800 2600 3300 3950 1.5 2100 3100 4100 4600 2 2500 3900 4750 2.5 3000 4600 Tabelle 9 12