MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 08 Blatt 9.06.08 Tutorium zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II Bearbeitungsvorschlag 33. a Es ist cos ϕ sin ϕ cos ψ sin ψ D ϕ D ψ sin ϕ cos ϕ sin ψ cos ψ cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ cos ϕ sin ψ sin ϕ cos ψ sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ sin ϕ sin ψ + cos ϕ cos ψ cosϕ + ψ sinϕ + ψ D sinϕ + ψ cosϕ + ψ ϕ+ψ und cos ϕ sin ϕ cos ψ sin ψ S ϕ S ψ sin ϕ cos ϕ sin ψ cos ψ cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ cos ϕ sin ψ sin ϕ cos ψ sin ϕ cos ψ cos ϕ sin ψ sin ϕ sin ψ + cos ϕ cos ψ cosϕ ψ sinϕ ψ D sinϕ ψ cosϕ ψ ϕ ψ sowie cos ϕ sin ϕ cos ψ sin ψ D ϕ S ψ sin ϕ cos ϕ sin ψ cos ψ cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ sin ϕ sin ψ cos ϕ cos ψ cosϕ + ψ sinϕ + ψ S sinϕ + ψ cosϕ + ψ ϕ+ψ cos ϕ sin ϕ cos ψ sin ψ S ϕ D ψ sin ϕ cos ϕ sin ψ cos ψ cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ sin ϕ cos ψ cos ϕ sin ψ sin ϕ sin ψ cos ϕ cos ψ cosϕ ψ sinϕ ψ S sinϕ ψ cosϕ ψ ϕ ψ
b Jedes Produkt der Matrizen entspricht der Hintereinanderausführung der entsprechenden Drehung um den Ursprung bzw. Achsenspiegelung an einer Ursprungsgeraden; dabei gilt: Die Hintereinanderausführung zweier Drehungen ist wieder eine Drehung; dabei addieren sich die beiden Drehwinkel auf. Die Hintereinanderausführung zweier Achsenspiegelung ist eine Drehung; dabei ist der Drehwinkel doppelt so groß wie der zwischen der ersten und der zweiten Achse eingeschlossene Winkel. Die Hintereinanderausführung einer Achsenspiegelung und anschließend einer Drehung ist wieder eine Achsenspiegelung; dabei ist die Spiegelungsachse um den halben Drehwinkel in mathematisch positiver Richtung gedreht. Die Hintereinanderausführung einer Drehung und anschließend einer Achsenspiegelung ist wieder eine Achsenspiegelung; dabei ist die Spiegelungsachse um den halben Drehwinkel in mathematisch negativer Richtung gedreht. 34. a Eine orthogonale Abbildung f : R R mit fv w bildet den zu 4 v senkrechten Vektor v der Länge v 7 65 auf einen zu w senkrechten Vektor x wegen der Winkeltreue der Länge x 65 wegen 8 der Längentreue ab; damit ist aber fv ±w mit w. Für f l A mit f v w und f v w gilt A v v A v A v w w und damit 8 7 4 A w w v v 8 65 4 7 3 5 5 und für f l A mit f v w und f v w gilt A v v A v A v w w und damit 8 7 4 A w w v v 8 65 4 7 5 3 4 ; 4 3 man sieht sofort daß A und A orthogonale Matrizen und folglich f und f orthogonale Abbildungen sind. Alternativ kann man auch die allgemeine Gestalt cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ D ϕ bzw. S sin ϕ cos ϕ ϕ sin ϕ cos ϕ
orthogonaler Matrizen ansetzen und ϕ R so bestimmen daß D ϕ v w bzw. S ϕ v w erfüllt ist. Für D ϕ ergibt sich dabei cos ϕ sin ϕ 7 also sin ϕ cos ϕ 4 8 7 cos ϕ 4 sin ϕ I 7 sin ϕ + 4 cos ϕ 8 II woraus man durch 7 I + 4 II zum einen 65 cos ϕ 5 also cos ϕ 5 3 sowie durch 4 I 7 II zum anderen zusammen also 65 sin ϕ 60 also sin ϕ 3 cos ϕ sin ϕ A 5 sin ϕ cos ϕ 3 5 erhält; für S ϕ ergibt sich dagegen cos ϕ sin ϕ 7 also sin ϕ cos ϕ 4 8 woraus man durch 4 I + 7 II zum einen 7 cos ϕ + 4 sin ϕ I 7 sin ϕ 4 cos ϕ 8 II 65 sin ϕ 5 also sin ϕ 4 5 sowie durch 7 I 4 II zum anderen zusammen also 65 cos ϕ 39 also cos ϕ 3 5 cos ϕ sin ϕ A 3 4 sin ϕ cos ϕ 5 4 3 erhält. Man überprüft sofort daß A und A orthogonale Matrizen und folglich f und f orthogonale Abbildungen sind die v auf w abbilden. b Wegen deta ist f orientierungstreu; f bildet ja das Rechtssystem v v auf das Rechtssystem w w ab. Die Abbildung f beschreibt eine Drehung um den Ursprung wobei für den Drehwinkel ϕ gilt cos ϕ 5. 3 Wegen deta ist f orientierungsumkehrend; f bildet ja das Rechtssystem v v auf das Linkssystem w w ab. Die Abbildung f beschreibt eine Achsenspiegelung mit der Spiegelachse R a EigA ; ; wegen A E 4 5 I 5 4 8 5 4 II II I 0 0 ist etwa a.
35. a In ergibt sich aus speziell für x mit fx A x 0 a a also a fx x 0 und für x 0 mit fx A x a a also a fx x 0 wodurch man für x a + a mit fx A x a + a a 0 a 0 a a ferner a + a fx x 0 erhält. In besitzt die Matrix A die Gestalt x und für alle x R gilt und damit also fx x. x a x fx A x a x fx x a x x + a x x 0 b Die lineare Abbildung f l A mit A Bedingung und es gilt 3 0 5 3 f 4 5 0 4 0 a für ein a R 0 5 R 5 0 erfüllt nach a die 0 4 5. 5 3 3 4 Sei g : R R irgendeine lineare Abbildung mit und g 5. 4 3 0 a Nach a ist g l B mit B für ein a R und es folgt 4 5 g 3 3 4 0 a 3 4 4 a 4 a 3 a 3 und damit a 5; folglich ist g f. Damit ist f l A die einzige lineare Abbildung die den beiden gestellten Bedingungen genügt.
c Sei f : R R eine lineare Abbildung mit. Es ist also f l A mit 0 a A für ein a R also A A 0 a a 0 0 a a 0 0 a. Damit ist f genau dann eine orthogonale Abbildung wenn A eine orthogonale Matrix ist also genau für a ±. Im Falle a ist A D π und im Falle a ist A D π ; in beiden Fällen handelt es sich also um Drehungen um π für a und um π für a. x 36. Für jeden Vektor x R x bestimmen wir die Koordinaten des Bildvektors fx x R unter dem Endomorphismus f : R R. Nach Voraussetzung gilt x fx y detx y für alle y R so daß sich speziell für die beiden Einheitsvektoren e und e x x x fx e 0 detx e x x 0 x sowie x x x 0 fx e detx e ergibt. Wegen x fx x x x 0 0 x x x 0 x x D π x beschreibt f die Drehung mit dem Ursprung als Drehzentrum um den Winkel α π ; es ist also cos α 0.