Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag

Transkript

1 MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 22 Blatt Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag 4. a) Die Gerade g besitzt den Trägerpunkt t A sowie den Richtungsvektor 2 u B A. Die Gerade g 2 besitzt den Trägerpunkt 8 3 t 2 C 2 sowie den Richtungsvektor u 2 v. Zunächst ergibt 7 4 sich für die Ebene, die die Gerade g enthält und parallel zur Geraden g 2 ist, die Parameterdarstellung E t + R u + R u 2 + R + R Mit dem Normalenvektor 8 ũ E u u ergibt sich für E die Gleichung ũ E x ũ E t, also 8 x 4 x 2 + x 3 2 b) Wegen ũ E ( 8) 2 + ( 4) und ũ E t > besitzt E die Hessesche Normalform 8 x 4 x 2 + x Da die Gerade g 2 parallel zur Ebene E ist, ergibt sich für den Abstand zwischen g 2 und E d(g 2, E) d(t 2, E)

2 Die Ebene E zerlegt den R 3 in zwei offene Halbräume, nämlich E { x R 3 ũ (x t ) < und Wegen und E { x R 3 ũ (x t ) >. ũ (t 2 t ) 3 < ist t 2 E ũ ( t ) 2 9 < ist E liegt die Gerade g 2 auf derselben Seite von E wie der Ursprung. 46. Im euklidischen R 3 sind die beiden (als windschief vorausgesetzten) Geraden 3 g R und g 2 + R zu betrachten; für Punkte a g und b g 2 gilt also 3 a und b + 3 mit geeigneten Parametern, R. Die Verbindungsstrecke zwischen a und b liegt demnach auf einer Geraden mit den Richtungsvektor 3 3 u b a und ist demnach genau dann parallel zur x y Ebene z mit dem Normalenvektor ũ e 3, wenn u ũ ist; wegen 3 u ũ trifft dies genau für zu. In diesem Fall ist u, so daß die Verbindungsstrecke von a und b die Länge 2 d(a, b) u (2) 2 + ( ) besitzt ( ) 2 2 +

3 a) Wegen d(a, b) ,2 ( 2) ± ( 2) 2 4 ( 3) oder besitzen genau die beiden Punktepaare a g und 3 b g 2 sowie a 2 g und b 2 die gewünschten Eigenschaften. 9 8 g 2 2 ± 64 b) Die Länge d(a, b) der Verbindungsstrecke von a und b wird genau dann minimal, wenn d(a, b) minimal wird; wegen ( ( ) ) 2 ( ) 2 + ( ) ist dies genau für der Fall, und die minimale Länge beträgt demnach l Für die Gerade g im euklidischen R 3 durch die Punkte P und P 2 ergibt sich die Parameterdarstellung g t g + R u g mit 2 t g P und u g P 2 P ; die Schnittgerade h E E 2 ist genau die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems x z 2 x + y

4 und besitzt damit wegen ( 2 ) ( II 2I 2 ) die Parameterdarstellung h t h + R u h mit t h und u h 2. Die gemeinsame Lotgerade l der Geraden g und h besitzt den Richtungsvektor 3 u g u h 2 bzw. ũ ; 3 seien x und y die Lotfußpunkte auf g und h. Dabei besitzt y (als Punkt von h) die Gestalt y mit einem geeigneten R, wodurch sich für die gemeinsame Lotgerade l y + R ũ 2 + R ergibt; folglich erhält man für den Lotfußpunkt x die Darstellungen 2 + τ + {{ {{ l g mit geeigneten Parametern τ, R und somit 2 τ. Wegen 2 II+2I III I III+II erhält man, τ und, so daß sich x und y

5 ergibt. Für den Abstand der Geraden g und h gilt damit d(g, h) d(x, y ) x y. 48. Im euklidischen R 4 betrachten wir die Ursprungsebene E e + e 2, e 3 + e 4 sowie den Punkt P e / E. Der Lotfußpunkt x von P in der Ebene E besitzt die Gestalt x + mit geeigneten Parametern, R. Damit ist u l x P ein Richtungsvektor der Lotgeraden l, der allerdings auf den beiden Richtungsvektoren e + e 2 und e 3 + e 4 der Ebene senkrecht stehen muß. Es ist also u l e +e 2 + sowie u l e 3 + e 4 +. Damit ist x, und für den Abstand d(p, E) des Punktes P von der Ebene E ergibt sich d(p, E) d(p, x ) x P ( ) 2 + ( 2 )