Eine Einführung zum numerischen Programmieren mit Excel Bastian Gross Universität Trier 30. April 2012 Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 1/36 30. April 2012 1 / 36
Inhaltsverzeichnis 1 Antike Numerik 2 Einführung 3 Berechnung von π Leibniz Reihe Wallis Produkt Übungen 4 Numerische Berechnung von Grenzwerten Geometrische Reihe Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt 5 Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen 6 Integralapproximation Mittelwertregel Trapezregel Simpsonsregel Übungen Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 2/36 30. April 2012 2 / 36
Beispielprogramme Die Beispielprogramme sind hier zu finden: www.mathematik.uni-trier.de/ gross Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 3/36 30. April 2012 3 / 36
Antike Numerik Berechnung in alten Zeiten: Divison Bastian Gross (Universita t Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 4/36 30. April 2012 4 / 36
Antike Numerik Berechnung in alten Zeiten: Differenzieren und Integrieren Bastian Gross (Universita t Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 5/36 30. April 2012 5 / 36
Antike Numerik Berechnung in alten Zeiten: Grundrechenarten Die Rechenmaschine von Gottfried Wilhelm Leibniz aus dem Science Museum (London UK). Bastian Gross (Universita t Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 6/36 30. April 2012 6 / 36
Einführung Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 7/36 30. April 2012 7 / 36
Einführung Die einzelnen Zellen und damit ihr Inhalt werden mittel der Zeilenzahl und des Spaltenbuchstabes aufgerufen (z.b. D4). Falls man eine Zeile oder Spalte konstant halten will geschieht dies mit dem Dollarzeichen, $ (z.b. $D$4 oder jeweils $D4 bzw. D$4). Formeln in einer Zelle müssen mit eine Gleichheitszeichen, =, beginnen! Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 8/36 30. April 2012 8 / 36
Einführung Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 9/36 30. April 2012 9 / 36
Einführung Funktionen die in den einzelnen Zellen aufgerufen werden können, findet man hier! Um sich Zeit beim Eintippen zu sparen kann man mit Hilfe der Maus Zellen ziehen. Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 10/36 30. April 2012 10 / 36
Einführung Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 11/36 30. April 2012 11 / 36
Einführung Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 12/36 30. April 2012 12 / 36
Einführung Wenn man die Ausgabe in einer oder mehrerer Zellen formatieren möchte, also zum Beispiel die Anzahl der Nachkommastellen vergrößern will, muss man mit einem Rechtsklick der Maus, nach dem alle gewünschten Zellen markiert sind, auf Zellen formatieren klicken und dann in diesem neuen Fenster das gewünschte einstellen. Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 13/36 30. April 2012 13 / 36
Einführung Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 14/36 30. April 2012 14 / 36
Einführung Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 15/36 30. April 2012 15 / 36
Berechnung von π Leibniz Reihe Madhave-Leibniz-Formel π = 4 k=0 ( 1) k 2k + 1 Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 16/36 30. April 2012 16 / 36
Berechnung von π Leibniz Reihe Leibniz Reihe zur Berechnung von π Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 17/36 30. April 2012 17 / 36
Berechnung von π Wallis Produkt Wallis Produkt (2k) 2 π = 2 (2k) 2 1 k=1 Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 18/36 30. April 2012 18 / 36
Berechnung von π Wallis Produkt Wallis Produkt zur Berechnung von π Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 19/36 30. April 2012 19 / 36
Berechnung von π Übungen Übung: Riemansche ζ-funktion Schreiben Sie ein Excel Program, das π mittels der Riemanschen ζ-funktion für s = 2 approximiert: π 2 = 6 k=1 1 k 2 Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 20/36 30. April 2012 20 / 36
Berechnung von π Übungen Übung: Bailey-Borwein-Plouffe-Reihe Schreiben Sie ein Excel Program, das π mittels folgender Bailey-Borwein-Plouffe-Reihe (BBP-Reihe) approximiert: π = 1 ( 1 8 2 16 k 8k + 2 + 4 8k + 3 + 4 8k + 4 1 ) 8k + 7 k=0 Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 21/36 30. April 2012 21 / 36
Numerische Berechnung von Grenzwerten Geometrische Reihe Geometrische Reihe Für die endliche geometrische Reihe gilt folgende Formel n k=0 α 0 q k = α 0 1 q n+1 1 q q R\{1}, Für die (unendliche) geometrische Reihe gilt dann für q < 1 α 0 q k = lim k=0 n n k=0 α 0 q k 1 q n+1 = lim α 0 = α 0 n 1 q 1 q Die geometrische Reihe findet zum Beispiel in der Finanzmathematik bei der Rentenberechnung (Barwertberechnung) a Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 22/36 30. April 2012 22 / 36
Numerische Berechnung von Grenzwerten Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt Fibonacci Reihe Leonardo von Pisa (Fibonacci) ca. 1200 Vermehrung eines Kaninchenpaares : Ein Paar wirft vom 3. Lebensmonat an in jedem weiteren Lebensmonat ein weiteres Kaninchenpaar, ebenso wie alle seine Nachkommen. Die rekursive Folge wird dann wie folgt beschrieben f 0 = 1, f 1 = 2, f n+1 = f n + f n 1 n 2. Nun betrachten wir den Grenzwert des Quotientens f n+1 lim = Φ, n f n der gegen den Goldenen Schnitt φ = 1+ 5 2 konvergiert. Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 23/36 30. April 2012 23 / 36
Numerische Berechnung von Grenzwerten Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt Fibonacci Reihe zur Berechnung des Goldenen Schnittes Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 24/36 30. April 2012 24 / 36
Numerische Berechnung von Grenzwerten Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt Übung: Schreiben Sie ein Excel Program, das folgende Grenzwerte approximiert: a) b) c) ( ) lim n n + 1 n n ( lim 1 + x ) n x R beliebig n n lim n ( 1 n n ) n Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 25/36 30. April 2012 25 / 36
Newton Verfahren Table of contents 1 Antike Numerik 2 Einführung 3 Berechnung von π Leibniz Reihe Wallis Produkt Übungen 4 Numerische Berechnung von Grenzwerten Geometrische Reihe Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt 5 Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen 6 Integralapproximation Mittelwertregel Trapezregel Simpsonsregel Übungen Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 26/36 30. April 2012 26 / 36
Newton Verfahren Newton-Raphson Verfahren Das Newton-Raphson Verfahren ist eine Nullstellensuche für eine Funktion f C 1 [a, b] mit a, b R. Solange f (x k ) 0 x k+1 = x k f (x k) f (x k ). Mit dieser Vorschrift erhält man eine angenäherte Lösung x für das Problem f (x) = 0. Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 27/36 30. April 2012 27 / 36
Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen Babylonisches Wurzelziehen oder Heron Verfahren Um die Zahl x = a für ein beliebiges a 0 zu berechnen, benützt man die Funktion f (x) = x 2 a und verwendet das Newton Verfahren zur Nullstellenbestimmung dieser Funktion. Dann erhält man als Iterationsvorschrift x k+1 = 1 ) (x k + axk. 2 Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 28/36 30. April 2012 28 / 36
Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen Babylonisches Wurzelziehen oder Heron Verfahren mit Excel Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 29/36 30. April 2012 29 / 36
Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen Babylonisches Wurzelziehen: Ergebnis Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 30/36 30. April 2012 30 / 36
Integralapproximation Table of contents 1 Antike Numerik 2 Einführung 3 Berechnung von π Leibniz Reihe Wallis Produkt Übungen 4 Numerische Berechnung von Grenzwerten Geometrische Reihe Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt 5 Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen 6 Integralapproximation Mittelwertregel Trapezregel Simpsonsregel Übungen Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 31/36 30. April 2012 31 / 36
Integralapproximation Mittelwertregel Mittelwertregel von f (x) = 1 x Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 32/36 30. April 2012 32 / 36
Integralapproximation Trapezregel Trapezregel von f (x) = 1 x Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 33/36 30. April 2012 33 / 36
Integralapproximation Simpsonsregel Simpsonsregel von f (x) = 1 x Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 34/36 30. April 2012 34 / 36
Integralapproximation Übungen Übung Schreiben Sie ein Excel Program, das die Integrale folgender Funktionen auf dem Intervall [ 2, 2] mit n = 10 und n = 100 numerisch berechnet: f 1 (x) = x 2 f 2 (x) = 1 1 + x 2 f 3 (x) = cos(x 2 ) Die Exakte Lösung muss nicht ausgerechnet werden! Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 35/36 30. April 2012 35 / 36
Integralapproximation Übungen Informationen: www.mathematik.uni-trier.de/ gross/ grossb@uni-trier.de Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 36/36 30. April 2012 36 / 36