Im mefi-verlag erschienen: 1
Eine eigenartige «Mathematik der Spielsteine» entwickelte sich, als die Pythagoreer Zahlen als geometrische Figuren deuteten. Eine neue Welt von Beziehungen und Zusammenhängen tat sich auf. Dieses Buch gibt einen guten Einstieg in das spannende Thema Figurenzahlen. Zentrale Punkte sind: Anregungen für das Aufsuchen von Bildungsgesetzen bei Folgen, das Beweisen mit vollständiger Induktion, die «Logarithmen für das Volk», Stifels Wortrechnung und erzeugende Funktionen. Den Schwerpunkt bilden über 150 teils neuartige Aufgaben mit Lösungen und viele geschichtliche Hinweise. Die Unterlagen eignen sich für den Mathematikunterricht, das Selbststudium oder für Facharbeiten. Beschreibung: 150 Seiten, über 150 Aufgaben mit Lösungen, Format 17x24 cm, vierfarbig, ISBN 978-3-9523962-0-9 Kosten: Fr. 29.50/29 Euro, Versandspesen: Fr. 4.50/3 Euro bei Bestellung im mefi- Verlag (Selbstkostenpreis!). (Im Buchhandel 30% teurer). Bestellungen: E-Mail: <mefi>@bluewin.ch (ohne Klammern!), oder Post: mefi-verlag Gächter, Krüsistrasse 12, CH-9000 St.Gallen. Leseprobe: Inhaltsverzeichnis und Vorwort: 2
Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 1 Form und Zahl 5 1.1 Figuren............................... 5 1.2 Zahlen............................... 9 1.3 Figurenzahlen........................... 10 2 Iranische Kashi und mehr 19 2.1 Eine bemerkenswerte Folge................... 19 2.1.1 Sona............................ 23 2.1.2 Magisches......................... 24 2.2 Dem Bildungsgesetz auf der Spur............... 26 2.2.1 Explizit........................... 26 2.2.2 Rekursiv.......................... 28 2.2.3 Differenzenverfahren................... 28 2.2.4 Gleichungssystem.................... 29 2.2.5 Formel von Pick..................... 30 2.2.6 Varianten......................... 31 3 Schicht um Schicht 37 3.1 Hausaufgabe für Leibniz..................... 37 3.2 Unterwegs mit Diophant..................... 40 3.2.1 Polygonalzahl-Formel.................. 40 3.2.2 Eine Keimzelle...................... 41 3.3 Fermat als Pechvogel....................... 43 4 Die Himmelsleiter 49 4.1 Beweisstruktur........................... 52 4.2 Namensgebung.......................... 55 4.3 Beweisen.............................. 56 v
Inhaltsverzeichnis 5 «Logarithmen für das Volk» 61 5.1 Joncourt s Idee........................... 62 5.2 Highlights............................. 64 6 Wortrechnung 71 6.1 Ein göttlich Ding......................... 71 6.2 Die Zahl des Tieres........................ 74 7 Mathematische Wäscheleine 79 7.1 Operationen bei erzeugenden Funktionen........... 80 7.2 Auf der Suche nach erzeugenden Funktionen......... 83 7.3 Anwendungen........................... 84 Referenzen 87 8 Mach s selber 93 9 Lösungen 115 10 Anhang 133 10.1 Vorlage für Sona-Gitter...................... 133 10.2 Mathematiker........................... 134 10.3 Mindmap.............................. 135 10.4 Polygonalzahlen.......................... 136 10.5 Einige erzeugende Funktionen................. 137 10.6 Zusammensetzspiel........................ 138 10.7 Zusammensetz-Beispiele..................... 139 10.8 Tabelle der Dreieckszahlen.................... 140 10.9 Tabelle der Quadratsaumzahlen................ 142 vi
Vorwort Lebenswahr ist ein Unterricht, der Bedeutungskerne und Zusammenhänge zeigt und vieles dem Denken der Schüler überlässt. S. Stirnemann In der Reihe der Anregungen spielt die vorliegende Publikation über Figurenzahlen in einer spannenden und scheinbar eher einfachen Liga. Was zunächst sehr anschaulich und oft vertraut daherkommt, erlaubt aber immer wieder faszinierende Blicke in unerwartete mathematische Tiefen. Zahlreiche Lernende erhalten einen guten Zugang zur Mathematik über Anwendungen. Es wurde daher sehr viel Wert auf eine reichhaltige Sammlung solcher Hinweise gelegt. Das breite Aufgabenmaterial enthält eine Fülle von Anregungen. Mit über 150 zum Teil neuartigen Problemen und Projekten ist es dem obigen Zitat stark verpflichtet. Oft wird es angebracht sein, sich in die Aufgaben zu «verbeissen», um zum Erfolg zu kommen. Argumentieren ist eine nützliche Fähigkeit, welche immer wieder in allen Schulfächern geübt werden sollte. Die Figurenzahlen bieten für dieses Training ideale Voraussetzungen. Eine Behauptung kann oft auf viele Arten bewiesen werden. Wichtig ist, die jeweilige Argumentationsbasis herauszuschälen und jene Beweise schätzen zu lernen, bei welchen die Beweisidee klar zum Ausdruck kommt. Beweise sind nicht dazu da, um das schlechte Gewissen zu beruhigen, sondern tragen wesentlich zum Verständnis eines Stoffes und der verwendeten Begriffe bei. Folgen und Reihen sind eine unverzichtbare Basis für die Analysis. Diese Publikation bietet dafür einen guten Start. Im Zentrum steht die Ermittlung von Bildungsgesetzen. Mustererkennung heisst das Stichwort. Diese kann eine überaus fordernde Aufgabe sein. 1
Der Text ist so gestaltet, dass man ohne weiteres auch eine Auswahl treffen kann. Wichtige Eckpfeiler sind für mich jedoch die vollständige Induktion und das Differenzenverfahren. Wegen der immer wieder angesprochenen fundamentalen Ideen, wie zum Beispiel Zahl, Algorithmus, Zuordnung, finden ausgewählte Teile auch im normalen Unterricht einen Platz. Dies erlaubt, in unteren Klassen (zum Beispiel im 9. Schuljahr) zu starten, in den folgenden Jahren immer wieder auf dieses mehrschichtige Problem zurückzukommen und neue Facetten kennenzulernen. Eindrücklicher wird das mathematische Erlebnis, wenn die Figurenzahlen als Repetition oder in Ergänzungsfächern am Stück behandelt werden. Es wäre nicht möglich gewesen, über Anregungen zu schreiben, wenn ich nicht selbst immer wieder solche von überall her hätte empfangen können. Ein besonderer Dank geht an Daniel Baumgartner für viele gute fachliche Gespräche. Mehrschichtige Freude herrsche! St.Gallen im Frühjahr 2012. Albert A. Gächter 2