7. Lösung weitere Übungsaufgaben Statistik II WiSe 2017/2018 1. Aufgabe: Die durchschnittliche tägliche Verweildauer im Internet wurde bei 60 Studierenden (30 Männer und 30 Frauen) erfragt. Die Studierenden gehören zu den Studiengängen B&L, BWL und WiW. Dabei waren es je 10 Frauen und 10 Männer pro Studiengang. Die Verweildauern wurden wie folgt ausgewertet: Table of Least Squares Means for Verweildauer Level Count Mean GRAND MEAN 60 62,4 Geschlecht m 30 77,2 w 30 47,6 Fach B&L 20 56,5 BWL 20 62,9 WiW 20 67,8 Geschlecht by Fach m,b&l 10 70,1 m,bwl 10 79,9 m,wiw 10 81,8 w,b&l 10 42,9 w,bwl 10 46,0 w,wiw 10 53,8 Analysis of Variance for Verweildauer - Type I Sums of Squares Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value MAIN EFFECTS A:Geschlecht 13185,5 1 13185,5 144,05 0,0000 B:Fach 1284,06 2 642,032 7,01 0,0020 INTERACTIONS AB 133,501 2 66,7505 0,73 0,4870 RESIDUAL 4942,93 54 91,5357 TOTAL (CORRECTED) 19546,0 59 All F-ratios are based on the residual mean square error. a) Wie lautet die verwendete Modellgleichung? b) Welche Hypothesen werden getestet und wie lauten die Testentscheidungen und die Testergebnisse bei α = 0,01? c) Schätzen Sie den Wechselwirkungseffekt bei Männern im Fach BWL! 1
a) X ijk - durchschnittliche tägliche Verweildauer, α i - Effekt vom Geschlecht Größe β j - Effekt vom Faktor Studiengang, γ ij - Wechselwirkungseffekt µ - allgemeiner Erwartungswert, ε ijk - zufälliger Fehler. Modellgleichung: X ijk = µ + α i + β j + γ ij + ε ijk i = 1,..., 2(= p) j = 1,..., 3(= q) und k = 1,..., 10(= n) b) H A 0 : α i = 0 für alle i gegen H A A : α i 0 für mindestens ein i p = 0, 0000 < 0, 01 = α = H A 0 wird abgelehnt. H B 0 : β j = 0 für alle j gegen H B A : β j 0 für mindestens ein j p = 0, 0020 < 0, 01 = α = H B 0 wird abgelehnt. H0 AB : γ ij = 0 für alle (i, j) gegen HA AB : γ ij 0 für mindestens ein (i, j) p = 0, 4870 > 0, 01 = α = H0 AB wird angenommen. D.h. es gibt signifikante Effekte durch das Geschlecht und durch den Studiengang, aber nicht durch Wechselwirkungen zwischen Geschlecht und Studiengang. c) Wechselwirkungseffekt: m, BWL ˆγ 12 = 79, 9 77, 2 62, 9 + 62, 4 = 2, 2 2
2. Aufgabe: In einer Firma fallen täglich zwei gleiche Aufgaben an. Eine der Aufgaben muss der Angestellte X erledigen und die andere der Angestellte Y. Um zu erfahren welche der Aufgaben dauerhaft welchem der beiden Angestellten zuzuordnen ist, wurde folgende Untersuchung gemacht. In der ersten Woche hat der Angestellte X die Aufgabe 1 erledigt und der Angestellte Y die Aufgabe 2. In der zweiten Woche wurden die Aufgaben getauscht. Die täglich benötigten Zeiten (in min) wurden gemessen und wie folgt ausgewertet: Analysis of Variance for Zeit - Type I Sums of Squares Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value MAIN EFFECTS A:Aufgabe 3175,2 1 3175,2 266,82 0,0000 B:Angestellte 0,8 1 0,8 0,07 0,7987 INTERACTIONS AB 924,8 1 924,8 77,71 0,0000 RESIDUAL 190,4 16 11,9 TOTAL (CORRECTED) 4291,2 19 All F-ratios are based on the residual mean square error. a) Wie lautet die Modellgleichung? X ijk - benötigte Zeit (in min), α i - Effekt vom Faktor Aufgabe β j - Effekt vom Faktor Arbeiter, γ ij - Wechselwirkungseffekt µ - allgemeiner Erwartungswert, ε ijk - zufälliger Fehler. Modellgleichung: X ijk = µ + α i + β j + γ ij + ε ijk i = 1,.., 2, j = 1,.., 2 und k = 1,.., 5 Faktor Aufgabe: p 1 = 1 = p = 2 Faktor Arbeiter: q 1 = 1 = q = 2 N 1 = 19 = N = 20 = p q n = n = 5 b) Welche Hypothesen werden in der obigen Tabelle getestet und wie lauten die Testentscheidungen und Testergebnisse bei α = 0,01? Es werden die folgenden drei Hypothesenpaare gestestet: H A 0 : α 1 = α 2 = 0 v.s. H A A : α i 0 für mindestens ein i H B 0 : β 1 = β 2 = 0 v.s. H A A : β j 0 für mindestens ein j H AB 0 : γ ij = 0 für alle (i, j) v.s. H AB A : γ ij 0 für mindestens ein (i, j) 3
Die Testentscheidung trifft man durch die jeweiligen p-werte aus der ANOVA- Tabelle: p A = 0, 0000 < 0, 01 = α = H0 A ablehnen p B = 0, 7987 > 0, 01 = α = H0 B annehmen p AB = 0, 0000 < 0, 01 = α = H0 AB ablehnen D.h. der Einflussfaktor Angestellter hat keinen signifikanten Einfluss auf die benötigte Zeit. Der Einflussfaktor Aufgabe hat einen signifikanten Einfluss. Zudem besteht ein signifikanter Einfluss durch einen Wechselwirkungseffekt zwischen den Einflussfaktoren. c) Schätzen Sie aus folgender Tabelle die Wechselwirkungseffekte beim Angestellten X. AnovaTable of Least Squares Means for Zeit Level Count Mean GRAND MEAN 20 91,2 Aufgabe 1 10 78,6 2 10 103,8 Angestellte X 10 91,0 Y 10 91,4 Aufgabe by Angestellte 1,X 5 71,6 1,Y 5 85,6 2,X 5 110,4 2,Y 5 97,2 Die Schätzer für die Werte γ ij berechnen sich durch die Formel ˆγ ij = X ij X i X j + X Hier: ˆγ 1X = 71, 6 78, 6 91 + 91, 2 = 6, 8 ˆγ 2X = 110, 4 103, 8 91 + 91, 2 = 6, 8 4
d) Betrachten Sie den Interaction Plot. 121 111 Interaction Plot Angestellte X Y 101 Zeit 91 81 71 1 2 Aufgabe Sie wollen langfristig jedem der beiden Angestellten eine der beiden Arbeiten zuordnen. Welchem Angestellten würden Sie welche Aufgabe zuordnen? Man sollte dem Arbeiter X die Aufgabe 1 und dem Arbeiter Y die Aufgabe 2 zuordnen, da Sie diese Aufgabe jeweils schneller bearbeiten als der jeweils andere Arbeiter. 5
3. Aufgabe: In einer Studie soll der Einfluss der Größenklasse und des Typs des Abgasfilters auf den Geräuschpegel von PKW untersucht werden. Dazu wurden die Modelle nach ihrer Größe in die 3 Klassen klein, mittel und groß eingeteilt. Außerdem gibt es 3 Typen des Abgasfilters. Analysis of Variance for Geräuschpegel - Type I Sums of Squares Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value MAIN EFFECTS A:Größe 3381,09 2 1690,55 138,52 0,0000 B:Type 401,066 2 200,533 16,43 0,0000 INTERACTIONS AB 169,345 4 42,3362 3,47 0,0149 RESIDUAL 549,212 45 12,2047 TOTAL (CORRECTED) 4500,71 53 a) Wie lautet die Modellgleichung? X ijk - Geräuschpegel, α i - Effekt vom Faktor Größe β j - Effekt vom Faktor Type, γ ij - Wechselwirkungseffekt µ - allgemeiner Erwartungswert, ε ijk - zufälliger Fehler. Modellgleichung: X ijk = µ + α i + β j + γ ij + ε ijk i = 1,.., 3, j = 1,.., 3 und k = 1,.., 6 Faktor Größe: p 1 = 2 = p = 3 Faktor Type: q 1 = 2 = q = 3 N 1 = 53 = N = 54 = p q n = n = 6 b) Welche Hypothesen werden in der obigen Tabelle getestet und wie lauten die Testentscheidungen bei α = 0, 03? H A 0 : α i = 0 für alle i gegen H A A : α i 0 für mindestens ein i p = 0, 0000 < 0, 03 = α = H A 0 wird abgelehnt. H B 0 : β j = 0 für alle j gegen H B A : β j 0 für mindestens ein j p = 0, 0000 < 0, 03 = α = H B 0 wird abgelehnt. H0 AB : γ ij = 0 für alle (i, j) gegen HA AB : γ ij 0 für mindestens ein (i, j) p = 0, 0149 < 0, 03 = α = H0 AB wird abgelehnt. D.h. es gibt signifikante Effekte durch die Größe und durch den Typ und durch Wechselwirkungen zwischen Größe und Typ. 6
c) Schätzen Sie aus folgender Tabelle den Effekt der Größenklasse groß und den Wechselwirkungseffekt zwischen der Größenklasse groß und dem Filtertyp 3. Table of Least Squares Means for Geräuschpegel Level Count Mean GRAND MEAN 54 787,4 Größe klein 18 794,4 mittel 18 791,6 groß 18 776,4 Type 1 18 784,5 2 18 791,1 3 18 786,7 Größe by Type klein,1 6 790,0 klein,2 6 798,6 klein,3 6 794,6 mittel,1 6 787,6 mittel,2 6 794,1 mittel,3 6 793,1 groß,1 6 776,0 groß,2 6 780,6 groß,3 6 772,5 ˆα 3 = 776, 4 787, 4 = 11 ˆγ 33 = 772, 5 776, 4 786, 7 + 787, 4 = 3, 2 d) Betrachten Sie den Interaction Plot. Interaction Plot 800 795 Type 1 2 3 Geräuschpegel 790 785 780 775 770 klein mittel groß Größe Welchen Filtertyp sollte man in welcher Größenklasse wählen, um den Geräuschpegel gering zu halten? Bei der Größe klein und mittel sollte der Filtertyp 1 und bei der Größe groß der Filtertyp 3 gewählt werden. 7